Mat Grundkurs i matematik 3-II

Mat-1.1532 Grundkurs i matematik 3-II G. Gripenberg Aalto-universitetet 23 november 2010 1 Matriser....................... 4 Grundläggande definitioner.............. 4 LU-uppdelningen.................. 11 Linjärt oberoende, baser............... 12 Linjära avbildningar................. 19 Egenvärden.................... 22 Projektioner.................... 25 QR-uppdelningen.................. 27 Matrisnormer.................... 28 Singulärvärdesuppdelning............... 31 Pseudoinvers.................... 33 Principalkomponenter................ 35 2 Differentialekvationer................. 37 Linjära differentialekvationssystem........... 37 Stabilitet..................... 42 Numeriska metoder för differentialekvationer....... 44 Randvärdesproblem................. 50 G. Gripenberg (Aalto-universitetet) Mat-1.1532 Grundkurs i matematik 3-II 23 november 2010 1 / 58 G. Gripenberg (Aalto-universitetet) Mat-1.1532 Grundkurs i matematik 3-II 23 november 2010 2 / 58 3 Partiella differentialekvationer.............. 51 Diffusionsekvationen................. 51 Numeriska metoder................. 55 Finita element metoden............... 57 Matriser, indexering A(1, 1) A(1, 2)... A(1, n) A(2, 1) A(2, 2)... A(2, n) A =.... = [A(j, k) = [a jk A(m, 1) A(m, 2)... A(m, n) är en m n-matris. A(j, :) är rad j och A(:, k) är kolumn k i matrisen A G. Gripenberg (Aalto-universitetet) Mat-1.1532 Grundkurs i matematik 3-II 23 november 2010 3 / 58 G. Gripenberg (Aalto-universitetet) Mat-1.1532 Grundkurs i matematik 3-II 23 november 2010 4 / 58

Räkneoperationer Transponering: B = A T B(j, k) = A(k, j) Summa A + B = C: A, B och C m n-matriser, C(j, k) = A(j, k) + B(j, k) Multiplikation med en skalär, λa = C: C(j, k) = λa(j, k) Produkt C = AB: A är en m n-, B en n p- och C en m p-matris, C(j, k) = n q=1 A(j, q)b(q, k) Hermiteskt konjugat, A T = C: C(j, k) = A(k, j), dvs. transponering och komplex konjugering Obs! (λa + µb) T = λa T + µb T, (λa + µb) T = λa T + µb T. Egenskaper hos matrisprodukten (AB) T = B T A T A(BC) = (AB)C I allmänhet är AB BA Några definitioner ifall A är m n, B är n p och C är p q 0 m n eller endast 0 är en m n-matris, vars alla element är 0 I m m eller vanligtvis endast I är en m m-matris, vars alla diagonalelement är 1, dvs. { 1, ifall j = k, I (j, k) = 0, ifall j k. AI = IA = A G. Gripenberg (Aalto-universitetet) Mat-1.1532 Grundkurs i matematik 3-II 23 november 2010 5 / 58 G. Gripenberg (Aalto-universitetet) Mat-1.1532 Grundkurs i matematik 3-II 23 november 2010 6 / 58 Observera Elementen i en matris kan också vara matriser, tex.: En m n matris kan behandlas som en m 1 matris vars element är 1 n matriser, dvs. radvektorer. En m n matris kan behandlas som en 1 n matris vars element är m 1 matriser, dvs. (kolumn)vektorer. Produkten av en matris och en vektor: x 1 x 1 x 2 A. = [ A(:, 1)... A(:, n) x 2. = x 1A(:, 1) +... + x n A(:, n) x n x n så AX är alltså en linjär kombination av kolumnvektorerna i A G. Gripenberg (Aalto-universitetet) Mat-1.1532 Grundkurs i matematik 3-II 23 november 2010 7 / 58 Olika typer av matriser En n n matris A är kvadratisk; inverterbar eller reguljär ifall det finns en (invers) matris A 1 så att AA 1 = A 1 A = I men det räcker att kontrollera att AA 1 = I eller A 1 A = I ; en diagonalmatris ifall A(j, k) = 0 då j k; en uppåt triangulär matris ifall A(j, k) = 0 då j > k; en nedåt triangulär matris ifall A(j, k) = 0 då j < k; symmetrisk ifall A T = A; skevsymmetrisk ifall A T = A; ortogonal ifall A T A = AA T = I, dvs. A T = A 1 ; hermitesk ifall A T = A; skevhermitesk ifall A T = A; unitär ifall A T A = AA T = I, dvs. A T = A 1. G. Gripenberg (Aalto-universitetet) Mat-1.1532 Grundkurs i matematik 3-II 23 november 2010 8 / 58

(AB) 1 = B 1 A 1 Om A är kvadratisk så är A 0 = I och då n > 0 är A n = AA }{{... A } n A n = A } 1 A 1 {{... A 1 } n (A n ) 1 = A n A n A m = A n+m och (A n ) m = A nm men i allmänhet är (AB) n A n B n Linjära ekvationssystem AX = B Kan lösas med Gauss metod där man genom radoperationer omvandlar koefficientmatrisen till trappstegsform. G. Gripenberg (Aalto-universitetet) Mat-1.1532 Grundkurs i matematik 3-II 23 november 2010 9 / 58 G. Gripenberg (Aalto-universitetet) Mat-1.1532 Grundkurs i matematik 3-II 23 november 2010 10 / 58 LU-uppdelningen Om A är en m n matris så kan man skriva där PA = LU P är en m m permutationsmatris som byter rader, dvs. på varje rad och varje kolumn i P finns en 1, resten 0; L är en m m nedåt triangulär matris med 1 på diagonalen, dvs. L(j, j) = 1, L(j, k) = 0 då k > j; U är en m n matris i trappstegsform, dvs. om U(p, k p ) 0 och U(p, k) = 0 då k < k p ((p, k p ) ett pivot-element) så är U(j, k) = 0 då j > p och k k p. Vektorrum Ett vektorrum W är en mängd sådan att två element (vektorer) i W kan adderas och varje element (vektor) kan multipliceras med ett tal (reellt tal i ett reellt vektorrum, komplext i ett komplext) och alla förnuftiga räkneregler gäller. Tex. R n = { (x 1,..., x n ) : x j R } och R n 1 = { [ x 1... x n T : xj R } är (reella) vektorrum Delrum V är ett delrum av vektorrummet W ifall 0 V och αu + βv V då u, v V Ekvationssystemet LUX = B löser man genom att först lösa Y ur systemet LY = B och sedan X ur systemet UX = Y (om det lyckas). G. Gripenberg (Aalto-universitetet) Mat-1.1532 Grundkurs i matematik 3-II 23 november 2010 11 / 58 G. Gripenberg (Aalto-universitetet) Mat-1.1532 Grundkurs i matematik 3-II 23 november 2010 12 / 58

Linjärt oberoende Vektorerna v 1, v 2,..., v m är linjärt oberoende ifall v 1 + α 2 v 2 +... + α m v m = 0 = α 2 =... = α m = 0 dvs. v 1 + α 2 v 2 +... + α m v m = 0 endast då = α 2 =... = α m = 0 Linjärt beroende Vektorerna v 1, v 2,..., v m är linjärt beroende ifall de inte är linjärt oberoende, dvs. (åtminstone) en av vektorerna kan skriva som en linjär kombination av de andra, dvs. v j = v 1 +... β j 1 v j 1 + β j+1 v j+1 +... + v m Linjärt hölje Vektorrummet som spänns upp (genereras) av w 1, w 2,..., w n dvs. det linjära höljet av dessa vektorer är (K = R eller C) { w 1 + α 2 w 2 +... + α n w n :, α 2,..., α n K } Bas Vektorerna v 1, v 2,..., v m bildar en bas för vektorrummet W dvs. de är basvektorer ifall de är tillräckligt men inte för många: spänner upp W de är linjärt oberoende (vektorer i W) varje vektor w i W kan skrivas på ett entydigt sätt i formen w = v 1 + β 2 v 2 +... + v m. G. Gripenberg (Aalto-universitetet) Mat-1.1532 Grundkurs i matematik 3-II 23 november 2010 13 / 58 G. Gripenberg (Aalto-universitetet) Mat-1.1532 Grundkurs i matematik 3-II 23 november 2010 14 / 58 Dimension Dimensionen av ett vektorrum W är antalet vektorer i någon (dvs. varje) bas Koordinater Om (v 1, v 2,..., v m ) är en bas i W och w = v 1 + β 2 v 2 +... + v m så är [... T koordinaterna för w i basen (v1, v 2,..., v m ) Basbyte Antag att (u 1, u 2,..., u m ) och (v 1, v 2,..., v m ) är baser för W så att [ u1 u 2... u m = [ v1 v 2... v m A Om [... α m T är koordinaterna för w i basen (u1, u 2,..., u m ) och om [... T är koordinaterna för w i basen (v1, v 2,..., v m ) så är [ v1... v m. = w = [ u 1... u m. = [ v 1... v m A. α m α m. = A. α m G. Gripenberg (Aalto-universitetet) Mat-1.1532 Grundkurs i matematik 3-II 23 november 2010 15 / 58 G. Gripenberg (Aalto-universitetet) Mat-1.1532 Grundkurs i matematik 3-II 23 november 2010 16 / 58

De fyra fundamentala rummen N (A), R(A), N (A T ), R(A T ) Om A är en m n matris och K = R eller C så är N (A) = { X K n 1 : AX = 0 } K n 1 matrisens nollrum R(A) = { AY : Y K n 1 } K m 1 är matrisens kolumnrum eller bildrum N (A T ) = { X K m 1 : A T X = 0 } K m 1 R(A T ) = { A T Y : Y K n 1 } K n 1 Om PA = LU så är dim(r(a)) = dim(r(a T )) antalet pivot-element i U dim(n (A)) antalet kolumner i U utan pivot-element dim(n (A T )) antalet rader med bara nollor i U dim(r(a)) = dim(r(a T )) är matrisens rang N (A) + R(A T ) = K n 1, N (A) R(A T ) och dim(n (A)) + dim(r(a T )) = n N (A T ) + R(A) = K m 1, N (A T ) R(A) och dim(n (A T )) + dim(r(a)) = m G. Gripenberg (Aalto-universitetet) Mat-1.1532 Grundkurs i matematik 3-II 23 november 2010 17 / 58 G. Gripenberg (Aalto-universitetet) Mat-1.1532 Grundkurs i matematik 3-II 23 november 2010 18 / 58 Definition Om V och W är två vektorrum så är T : V W en linjär funktion eller avbildning om T (αu + βv) = αt (u) + βt (v). Linjära avbildningar och matriser Antag att T : V W är en linjär avbildning, (v 1,..., v n ) är en bas i V och (w 1,..., w m ) är en bas i W och u = [ v 1... v n. och T (u) = [ w 1... w m. α n Om nu A(:, j) är koordinaterna för T (v j ) i basen (w 1,..., w m ) så är. = A. G. Gripenberg (Aalto-universitetet) Mat-1.1532 Grundkurs i matematik 3-II 23 november 2010 19 / 58 α n Basbyte Om A är m n matrisen för en linjär avbildning T i baserna (e 1,..., e n ) och (f 1,..., f m ) och [ v1... v n = [ e1... e n V [ w1... w m = [ f1... f m W så blir matrisen för avbildningen i baserna (v 1,..., v n ) och (w 1,..., w m ) W 1 AV. G. Gripenberg (Aalto-universitetet) Mat-1.1532 Grundkurs i matematik 3-II 23 november 2010 20 / 58

Varför? u = [ v 1... v n. α n = [ e 1... e n V T (u) = [ w 1... w m. AV. α n = W. W 1 AV. α n = [ f 1... f m W. α n =.. Egenvärden Ifall AX = λx och X 0 så är λ ett egenvärde till A och X är en egenvektor Karakteristiska polynom Om A är en m m-matris så är det(a λi ) är A:s karakteristiska polynom λ ett egenvärde till A det(a λi ) = 0 Linjärt oberoende egenvektorer Om matrisen A har egenvärdena λ 1, λ 2,... λ m och λ i λ j då i j så är det motsvarande egenvektorerna X 1, X 2,... X m linjärt oberoende Egenvärden till symmetriska matriser Egenvärden till en symmetrisk (och reell) matris är reella och egenvektorer (som hör till olika egenvärden) är ortogonala mot varandra. G. Gripenberg (Aalto-universitetet) Mat-1.1532 Grundkurs i matematik 3-II 23 november 2010 21 / 58 G. Gripenberg (Aalto-universitetet) Mat-1.1532 Grundkurs i matematik 3-II 23 november 2010 22 / 58 Diagonalisering Om A är en n n-matris med egenvärden λ 1, λ 2,..., λ n och egenvektorer X 1, X 2,..., X n och om matrisen V, där V (:, j) = X j, är inverterbar dvs., egenvektorerna är linjärt oberoende så är λ 1 0... 0 V 1 0 λ 2... 0 AV =..... 0 0 0... λ n λ 1 0... 0 0 λ 2... 0 A = V..... 0 V 1 0 0... λ n λ k 1 0... 0 A k 0 λ k 2... 0 = V..... 0 V 1 0 0... λ k n G. Gripenberg (Aalto-universitetet) Mat-1.1532 Grundkurs i matematik 3-II 23 november 2010 23 / 58 Similära matriser Om A är en m m-matris och S är en inverterbar m m-matris så har matriserna A och S 1 AS samma egenvärden. Matriserna A och S 1 AS sägs vara similära. Egenvärden för triangulära matriser Om A är en uppåt eller nedåt triangulär kvadratisk matris (isynnerhet en diagonal matris) så är A:s egenvärden elementen på diagonalen i A. G. Gripenberg (Aalto-universitetet) Mat-1.1532 Grundkurs i matematik 3-II 23 november 2010 24 / 58

Projektioner Antag att kolumnerna i (den reella) m n-matrisen A är linjärt oberoende Då är den ortogonala projektionen på A:s kolumnrum Defintion Avbildningen X PX är en projektion om Ortogonal projektioner P 2 = P En projektion X PX är ortogonal om PX X PX, dvs. (PX ) T (X PX ) = 0 P är symmetrisk G. Gripenberg (Aalto-universitetet) Mat-1.1532 Grundkurs i matematik 3-II 23 november 2010 25 / 58 P = A(A T A) 1 A T. Den ortogonala projektionen på delrummet av R m 1 som är ortogonalt (vinkelrätt) mot A:s kolumner är I P. Om kolumnerna i matrisen A är ortonormala ( A T A = I ) dvs. de har längden 1 och är vinkelräta mot varandra så är projektionen på A:s kolumnrum P = AA T Om A är en m 1 kolumnvektor så är PX = AT X A T A A G. Gripenberg (Aalto-universitetet) Mat-1.1532 Grundkurs i matematik 3-II 23 november 2010 26 / 58 QR-uppdelningen Om A är en (reell) m n-matris kan man skriva A = QR där Q är en m p matris med ortonormala kolumner dvs. Q(:, j) T Q(:, k) = 0 då j k och Q(:, j) T Q(:, j) = 1. R är en p n uppåt triangulär matris i trappstegsform utan någon rad med endast nollor och där p är A:s rang. Om p < m kan matrisen Q kompletteras till en m m ortogonal matris och då kompletteras R med m p rader med nollor. Antag att A = QR där R inte har någon rad med bara nollor. Då är Kolumnvektorerna i matrisen Q en ortonormal bas för A:s kolumndvs. bildrum QQ T en ortogonal projektion på A:s kolumnrum. Vektornormer En funktion : V R (där V är ett vektorrum) är en norm ifall u + v u + v αu = α u u 0 och u = 0 u = 0 Om och är normer i V och dim(v) < så finns det konstanter c och c så att v c v och v c v, v V Exempel på normer Om X K n 1 (K = R eller C) så är X 1 = n j=1 X (j, 1) n X 2 = j=1 X (j, 1) 2 X = max 1 j n X (j, 1) normer i K n 1. G. Gripenberg (Aalto-universitetet) Mat-1.1532 Grundkurs i matematik 3-II 23 november 2010 27 / 58 G. Gripenberg (Aalto-universitetet) Mat-1.1532 Grundkurs i matematik 3-II 23 november 2010 28 / 58

Matrisnormer Om A är en m n matris och p är en norm i K n 1 så är en norm i K m n. Definition A p def = max X p=1 AX p AB p A p B p. lim A n = B lim A n B = 0 n n Exempel på matrisnormer Om A är en m n (reell) matris så är A 1 = max m 1 k n j=1 A(j, k) A = max n 1 j m k=1 A(j, k) A 2 = Matrisens AA T (eller A T A) största egenvärde Konditionstal Om A är en m m matris och och p är en norm i K m m så är A:s konditionstal κ p (A) = A p A 1 p med κ p (A) = om A inte är inverterbar G. Gripenberg (Aalto-universitetet) Mat-1.1532 Grundkurs i matematik 3-II 23 november 2010 29 / 58 G. Gripenberg (Aalto-universitetet) Mat-1.1532 Grundkurs i matematik 3-II 23 november 2010 30 / 58 Singulärvärdesuppdelningen Låt A vara en (reell) m n-matris. Då finns det en m m ortogonal matris U en n n ortogonal matris V en m n diagonal matris S (dvs. S(i, j) = 0 när i j) så att S(1, 1) S(2, 2)... S(p, p) 0 där p = min{m, n} och en singulärvärdesuppdelning av A är Om A är en (reell) m n-matris med svu. A = USV T så är A T = VS T U T A 1 = VS 1 U T om m = n och S(m, m) > 0 A 2 = S(1, 1) S(1, 1) κ 2 (A) = om m = n och S(m, m) > 0 S(m, m) A = USV T Obs! Om A = USV T är en singulårvärdesuppdelning av A så kan man skriva q A = S(j, j)u(:, j)v (:, j) T, j=1 ifall S(j, j) = 0 då j = q + 1,..., min{n, m}. G. Gripenberg (Aalto-universitetet) Mat-1.1532 Grundkurs i matematik 3-II 23 november 2010 31 / 58 Om A är en (reell) m n-matris med svu. A = USV T så att q av singulärvärdena S(j, j) är positiva dvs. S(q, q) > 0 men S(j, j) = 0 då j > q, så är vektorerna U(:, j), j = 1,... q en ortonormal bas för R(A) U(:, k), k = q + 1,... m en ortonormal bas för N (A T ) V (:, j), j = 1,... q en ortonormal bas för R(A T ) V (:, k), k = q + 1,... n en ortonormal bas för N (A) G. Gripenberg (Aalto-universitetet) Mat-1.1532 Grundkurs i matematik 3-II 23 november 2010 32 / 58

Pseudoinvers Låt A vara en m n (reell) matris med singulärvärdesuppdelning A = USV T S + är n m- diagonal matrisen { med 1 S + S(j,j), då j = k och S(j, j) > 0 (j, k) = 0, då j k eller S(j, j) = 0 A:s pseudoinvers är då A + = VS + U T Om A är kvadratisk och inverterbar så är A + = A 1 Pseudoinversen och ekvationssystem A + B är den kortaste vektorn som minimerar AX B 2 dvs. om X = A + B så är AX B 2 A X B 2 om AX B 2 = A X B 2 så är X 2 X 2 Obs! Singulärvärdesuppdelningen är inte entydig, men pseudoinversen A + av en matris A är entydig och bestäms också av villkoren A + AA + = A +, AA + A = A, A + A och AA + är symmetriska. G. Gripenberg (Aalto-universitetet) Mat-1.1532 Grundkurs i matematik 3-II 23 november 2010 33 / 58 G. Gripenberg (Aalto-universitetet) Mat-1.1532 Grundkurs i matematik 3-II 23 november 2010 34 / 58 Minsta kvadratsummor eller principalkomponenter Problem: Punkterna (x j, y j ) j = 1,..., n är givna, bestäm den räta linje som ligger närmast dem, dvs. så att summan av kvadraterna av avstånden till linjen är liten som möjligt. Lösning: Räkna medeltalen x = 1 n n j=1 x j och y = 1 n n j=1 y j. Bilda matrisen A med A(1, j) = x j x, A(2, j) = y j y. Räkna en singulärvärdesuppdelning A = USV T Linjen har riktningsvektor U(:, 1) och normal U(:, 2) och går genom (x, y) Räkning för hand: Bilda matrisen A. Beräkna matrisens AA T största egenvärde. Beräkna en egenvektor som hör till detta egenvärde. Denna vektor är linjens riktningsvektor. Principalkomponenter forts. Problem: Vektorerna X j R m 1, j = 1,..., n är givna. Bestäm vektorn X 0 och det p-dimensionella (p < m) delrum som ligger närmast X j X 0, dvs. så att summan av kvadraterna av avstånden till delrummet är så liten som möjligt. Lösning: Räkna medeltalen X 0 = 1 n n j=1 X j Bilda matrisen A med A(:, j) = X j X 0 Räkna en singulärvärdesuppdelning A = USV T Delrummet spänns upp av U(:, k), k = 1,..., p G. Gripenberg (Aalto-universitetet) Mat-1.1532 Grundkurs i matematik 3-II 23 november 2010 35 / 58 G. Gripenberg (Aalto-universitetet) Mat-1.1532 Grundkurs i matematik 3-II 23 november 2010 36 / 58

Den enklaste linjära ekvationen En formel för lösningen Y (t) = AY (t) Y (t) = e At Y (0) Y (t) = AY (t) + F (t), Y (t 0 ) = Y 0 n=0 Y (t) = e A(t t 0) Y 0 + t Matrisexponenten e B 1 = n! Bn = I + B + 1 2 B2 + 1 6 B3 +... t 0 e A(t s) F (s) ds e A+B = e A e B ifall AB = BA så att e A(t+s) = e At e As men i allmänhet är e A+B e A e B Exponentmatris genom diagonalisering λ 1 0... 0 0 λ 2... 0 B = V..... 0 V 1 0 0... λ n e λ 1 0... 0 e B 0 e λ 2... 0 = V..... 0 V 1 0 0... e λn G. Gripenberg (Aalto-universitetet) Mat-1.1532 Grundkurs i matematik 3-II 23 november 2010 37 / 58 G. Gripenberg (Aalto-universitetet) Mat-1.1532 Grundkurs i matematik 3-II 23 november 2010 38 / 58 Cayley-Hamiltons teorem det(b λi ) = p(λ) = ( 1) n λ n + b n 1 λ n 1 +... + b 1 λ + b 0 p(b) = ( 1) n B n + b n 1 B n 1 +... b 1 B + b 0 I = 0 Cayley-Hamiltons teorem och exponentmatrisen Om f (x) = n=0 a nx n, tex. f (x) = e x och B är en n n matris så gäller f (B) = a n B n = c 0 I + c 1 B +... + c n 1 B n 1 n=0 där koefficienterna c j är lösningen till ekvationssystemet f (λ j ) = c 0 + c 1 λ j +... + c n 1 λ n 1 j, j = 1, 2,..., n, där λ j är matrisens B egenvärden. Om λ j är ett k-dubbelt egenvärde till B så är λ j ett k-dubbelt nollställe för funktionen f (x) (c 0 + c 1 x +... + c n 1 x n 1 ), dvs. om tex. k = 2, λ j = λ j+1 och f (x) = efn x får man förutom ekvationen e λ j också ekvationen e λ j = c 0 + c j λ j +... + c n 1 λ n 1 j = c 1 + 2c 2 λ j +... + (n 1)c n 1 λ n 2 j. G. Gripenberg (Aalto-universitetet) Mat-1.1532 Grundkurs i matematik 3-II 23 november 2010 39 / 58 Om A är en n n-matris med egenvärden λ 1,..., λ n och linjärt oberoende egenvektorer X 1,..., X n så kan varje lösning till ekvationen Y (t) = AY (t) skrivas i formen Y (t) = c 1 e λ 1t X 1 +... + c n e λnt X n. Om A är en n n-matris med egenvärden λ j och Re (λ j ) µ, j = 1,..., n och A har n linjärt oberoende egenvektorer så gäller e At ce µt, t 0. Om A högst har ett k-dubbelt egenvärde gäller e At c(1 + t k 1 )e µt, t 0. G. Gripenberg (Aalto-universitetet) Mat-1.1532 Grundkurs i matematik 3-II 23 november 2010 40 / 58

Jämviktspunkter Om F (Y ) = 0 så är Y en jämviktspunkt till differentialekvationen Y (t) = F (Y (t)) Om Y (t) = AY (t) + F (t), A har egenvärden λ j med Re (λ j ) < 0, j = 1,..., n och lim t F (t) = F så gäller lim t Y (t) = Y där (jämviktslösningen) Y uppfyller ekvationen AY + F = 0 och Y (t) = Y är då en (konstant) lösning. Stabila jämviktspunkter En jämviktspunkt Y till Y (t) = F (Y (t)) är stabil ifall för varje ɛ > 0 det finns ett tal δ > 0 så att om Y (0) Y < δ så är Y (t) Y < ɛ för alla t 0 och den är asymptotiskt stabil om dessutom lim t Y (t) = Y då Y (0) Y < δ (där δ > 0). Det endimensionella fallet y (t) = f (y(t)) Om f är kontinuerlig, f (y ) = 0 och för något tal δ > 0 gäller f (y) > 0 då y (y δ, y ) och f (y) < 0 då y (y, y + δ) (dvs. speciellt om f (y ) < 0) så är y en asymptotiskt stabil jämviktslösning G. Gripenberg (Aalto-universitetet) Mat-1.1532 Grundkurs i matematik 3-II 23 november 2010 41 / 58 G. Gripenberg (Aalto-universitetet) Mat-1.1532 Grundkurs i matematik 3-II 23 november 2010 42 / 58 Stabilitetskriterium Om F är kontinuerlig, deriverbar i punkten Y, F (Y ) = 0 och egenvärdena för F (Y ) alla har negativ reell del så är Y en asymptotiskt stabil jämviktspunkt till Y (t) = F (Y (t)) Om F är kontinuerlig, deriverbar i punkten Y, F (Y ) = 0 och F (Y ) har (åtminstone) ett egenvärde med positiv reell del så är Y inte en stabil jämviktspunkt till Y (t) = F (Y (t)) Om egenvärdena har en imaginär del som inte är noll kan lösningen väntas gå som en spiral. Varför? Om Y (t) Y är liten så gäller Y (t) = F (Y (t)) = F (Y (t)) F (Y ) F (Y )(Y (t) Y ) och hur lösningarna till differentialekvationen Z (t) = F (Y )Z(t) uppför sig bestäms av matrisens F (Y ) egenvärden. O(g(h)) Med beteckningen O(g(h)) avses någon funktion f (h) som är sådan att det finns en konstant C så att f (h) C g(h), och om det inte sägs ut skall man av sammanhanget förstå att detta skall gälla tex. då h 0+, dvs. det finns en konstant h 0 så att olikheten ovan gäller då 0 < h h 0. Detta innebär tex. att O(h) + O(h 2 ) = O(h) då h 0+, men de två O(h) som finns i detta uttryck är inte samma funktioner. Eulers metod Y (t) = F (t, Y (t)), Y (t 0 ) = Y 0, Y n Y (t n ), t n = t n 1 + h Y n+1 = Y n + hf (t n, Y n ), Fel: O(h 2 ) för ett steg, O(h) på [t 0, t 0 + T G. Gripenberg (Aalto-universitetet) Mat-1.1532 Grundkurs i matematik 3-II 23 november 2010 43 / 58 G. Gripenberg (Aalto-universitetet) Mat-1.1532 Grundkurs i matematik 3-II 23 november 2010 44 / 58

Eulers modifierade eller Heuns metod Y (t) = F (t, Y (t)), Y (t 0 ) = Y 0, Y n Y (t n ), t n = t n 1 + h, K 1 = hf (t n, Y n ), K 2 = hf (t n + h, Y n + K 1 ), Y n+1 = Y n + 1 ) 2( K1 + K 2, Fel: O(h 3 ) för ett steg, O(h 2 ) på [t 0, t 0 + T Runge-Kuttas metod (av fjärde ordningen) Y (t) = F (t, Y (t)), Y (t 0 ) = Y 0, Y n Y (t n ), t n = t n 1 + h, K 1 = hf (t n, Y n ), K 2 = hf (t n + 1 2 h, Y n + 1 2 K 1), K 3 = hf (t n + 1 2 h, Y n + 1 2 K 2), K 4 = hf (t n + h, Y n + K 3 ), Y n+1 = Y n + 1 ) 6( K1 + 2K 2 + 2K 3 + K 4, Fel: O(h 5 ) för ett steg, O(h 4 ) på [t 0, t 0 + T G. Gripenberg (Aalto-universitetet) Mat-1.1532 Grundkurs i matematik 3-II 23 november 2010 45 / 58 G. Gripenberg (Aalto-universitetet) Mat-1.1532 Grundkurs i matematik 3-II 23 november 2010 46 / 58 Eulers implicita metod Y (t) = F (t, Y (t)), Y (t 0 ) = Y 0, Y n Y (t n ), t n = t n 1 + h, K 1 = hf (t n + h, Y n + K 1 ), Y n+1 = Y n + K 1, Fel: O(h 2 ) för ett steg, O(h) på [t 0, t 0 + T Den implicita mittpunktsmetoden Y (t) = F (t, Y (t)), Y (t 0 ) = Y 0, Y n Y (t n ), t n = t n 1 + h, K 1 = hf (t n + 1 2 h, Y n + 1 2 K 1), Y n+1 = Y n + K 1, Fel: O(h 3 ) för ett steg, O(h 2 ) på [t 0, t 0 + T Allmänt om RK-metoder c 1 A(1,1) A(1,2) A(1,s) c 2 A(2,1) A(2,2) A(2,s)....... c s A(s,1) A(s,2) A(s,s) b 1 b 2 b s K i = hf (t n + c i h, Y n + s j=1 A(i, j)k j), i = 1,..., s; Y n+1 = Y n + s i=1 b ik i s j=1 A(i, j) = c i och s i=1 b i = 1. Metoden är explicit om A(i, j) = 0 då j i annars implicit. G. Gripenberg (Aalto-universitetet) Mat-1.1532 Grundkurs i matematik 3-II 23 november 2010 47 / 58 G. Gripenberg (Aalto-universitetet) Mat-1.1532 Grundkurs i matematik 3-II 23 november 2010 48 / 58

Det enklaste randvärdesproblemet y (x) + λy(x) = 0, 0 < x < 1 { α1 y(0) α 2 y (0) = 0 Feluppskattning: Räkna på två olika sätt, tex. med olika metoder eller ett steg med h, två steg med h 2. Skillnaden mellan resultaten kan användas som en uppskattning av felet i den bättre metoden. y(1) + β 2 y (1) = 0 där α 2 1 + α2 2 > 0 och β2 1 + β2 2 > 0. Det finns (egenvärden) λ 1 < λ 2 <... och (egen)funktioner y n så att om y är en lösning och y 0 så är λ = λ n och y = cy n för något tal n 1. 1 0 y m (x)y n (x) dx = 0, m n Varje funktion f så att 1 0 f (x) 2 dx < kan skrivas som f (x) = n=1 c 1 1 ny n (x) där c n = 1 0 yn(x) 2 dx 0 y n(x)f (x) dx G. Gripenberg (Aalto-universitetet) Mat-1.1532 Grundkurs i matematik 3-II 23 november 2010 49 / 58 G. Gripenberg (Aalto-universitetet) Mat-1.1532 Grundkurs i matematik 3-II 23 november 2010 50 / 58 Variabelbyte då v(y, s) = u u t (x, t) = κu xx (x, t), a < x < b, t > 0 v s (y, s) = v yy (y, s), 0 < y < 1, s > 0 ) ( ) (a + y(b a), (b a)2 κ s dvs. u(x, t) = v x a b a, κ t. (b a) 2 Serielösning med egenfunktioner u t (x, t) = u xx (x, t), 0 < x < 1, t > 0 u(0, t) α 2 u x (0, t) = u(1, t) + β 2 u x (1, t) = 0, t > 0, u(x, 0) = u 0 (x), 0 < x < 1, λ n och y n är egenvärden och -funktioner för y (x) + λy(x) = 0, y(0) α 2 y (0) = y(1) + β 2 y (1) = 0 u(x, t) = c n e λnt y n (x) n=1 1 1 där c n = 1 0 yn(x) 2 dx 0 y n(x)u 0 (x) dx G. Gripenberg (Aalto-universitetet) Mat-1.1532 Grundkurs i matematik 3-II 23 november 2010 51 / 58 G. Gripenberg (Aalto-universitetet) Mat-1.1532 Grundkurs i matematik 3-II 23 november 2010 52 / 58

Diffusionsekvationen, forts. u t (x, t) = u xx (x, t) + f (x, t), 0 < x < 1, t > 0 u(0, t) α 2 u x (0, t) = g 1 (t), t > 0 u(1, t) + β 2 u x (1, t) = g 2 (t), t > 0, u(x, 0) = u 0 (x), 0 < x < 1, λ n och y n är egenvärden och -funktioner för y (x) + λy(x) = 0, y(0) α 2 y (0) = y(1) + β 2 y (1) = 0 w(x, t) är en funktion så att w(0, t) α 2 w x (0, t) = g 1 (t), w(1, t) + β 2 w x (1, t) = g 2 (t) f (x, t) w t (x, t) + w xx (x, t) = f n (t)y n (x) u 0 (x) w(x, 0) = u(x, t) = n=1 c n y n (x) n=1 ( c n e λnt + t 0 n=1 ) e λn(t s) f n (s) ds y n (x) + w(x, t) G. Gripenberg (Aalto-universitetet) Mat-1.1532 Grundkurs i matematik 3-II 23 november 2010 53 / 58 Diffusionsekvationen på reella axeln Om t.ex. u(x, t) är begränsad då x R och t > 0 så är u t (x, t) = u xx (x, t), x R, t > 0 u(x, t) = 1 2 πt u(y, 0) = lim t 0+ u(y, t) e (x y)2 4t u(y, 0) dy G. Gripenberg (Aalto-universitetet) Mat-1.1532 Grundkurs i matematik 3-II 23 november 2010 54 / 58 En explicit metod för diffusionsekvationen U(m, n + 1) U(m, n) t = U(m + 1, n) 2U(m, n) + U(m 1, n) ( x) 2 m = 1,..., M 1, n 0, x = 1 M U(0, n) = U(M, n) = 0, U(m, 0) = u 0 (m x) U(m, n) u(m x, n t) där u t = u xx, u(0, t) = u(1, t) = 0, u(x, 0) = u 0 (x) ifall t ( x) 2 1 2 En implicit metod för diffusionsekvationen (Crank-Nicholson) U(m, n + 1) U(m, n) t = 1 U(m + 1, n) 2U(m, n) + U(m 1, n) 2 ( x) 2 + 1 U(m + 1, n + 1) 2U(m, n + 1) + U(m 1, n + 1) 2 ( x) 2 m = 1,..., M 1, n 0, x = 1 M U(0, n) = U(M, n) = 0, U(m, 0) = u 0 (m x) U(m, n) u(m x, n t) där u t = u xx, u(0, t) = u(1, t) = 0, u(x, 0) = u 0 (x) (men inga begränsningar på behövs). t ( x) 2 G. Gripenberg (Aalto-universitetet) Mat-1.1532 Grundkurs i matematik 3-II 23 november 2010 55 / 58 G. Gripenberg (Aalto-universitetet) Mat-1.1532 Grundkurs i matematik 3-II 23 november 2010 56 / 58

Finita element metoden (FEM), grundide d dx (a(x)u (x)) + c(x)u(x) = f (x), 0 < x < 1, u(0) = u(1) = 0 om a(x) > 0 och c(x) 0 så är u är lösningen till minimeringsproblemet: min v V 1 0 ( 1 2 a(x)v (x) 2 + 1 2 c(x)v(x)2 f (x)v(x) ) dx där V = { v : [0, 1 R : v(0) = v(1) = 0, 1 0 v (s) 2 ds < } Approximation: Man bestämmer istället lösningen u h till minimeringsproblemet: FEM, forts. 1 0 ( a(x)u h (x)v (x) + c(x)u h (x)v(x) f (x)v(x) ) dx = 0, v V h Enklaste fallet: 0 = x 0 < x 1 <... < x M = 1 och V h = { v : v : [0, 1 R är kontinuerlig, v(0) = v(1) = 0, v (x) är konstant då x (x j 1, x j ), j = 1,..., M }. min v V h 1 0 ( 1 2 a(x)v (x) 2 + 1 2 c(x)v(x)2 f (x)v(x) ) dx där V h V är ett delrum med ändlig dimension. G. Gripenberg (Aalto-universitetet) Mat-1.1532 Grundkurs i matematik 3-II 23 november 2010 57 / 58 G. Gripenberg (Aalto-universitetet) Mat-1.1532 Grundkurs i matematik 3-II 23 november 2010 58 / 58