Kraft och dynamik 9 Vad innebär Newtons lagar? Hur kan en krockkudde rädda liv? Är det sant att en bil som kör med konstant fart inte påverkas av några krafter?
Mekanikens historia Aristoteles och Galilei Det kan tyckas rimligt att tro att det finns ett samband mellan ett föremåls toppfart och den kraft som föremålet påverkas av ju större kraft i bilmotorn, desto snabbare kan bilen köra. Eller? Detta är en missuppfattning som är mycket gammal. Vi sätter klockan till 300 år f. Kr och byter ut bilen mot en grekisk häst och vagn på en dammig landsväg. Greken Aristoteles, som levde då, var den förste som formulerade regler för ett föremåls rörelse. Aristoteles menade t.ex. att två hästar kan dra en vagn dubbelt så fort som en häst. Vagnens maximala fart skulle alltså vara direkt proportionell mot den kraft som verkade på vagnen en vanlig uppfattning under många århundraden. Aristoteles skrev många verk om bland annat fysik, kemi, ekonomi och filosofi och var en naturvetenskaplig auktoritet under nästan 000 år. Ända fram till slutet av 500-talet bestod studier i fysik av att läsa Aristoteles verk och sedan försöka förklara det som stod i böckerna. På 500-talet var det inte många vetenskapsmän som ens kunde drömma om göra egna experiment för att pröva om det som stod skrivet i Aristoteles böcker verkligen stämde. Om böckerna inte stämde överens med verkligheten, måste det helt enkelt bero på att man inte förstod det som stod skrivet i böckerna på ett korrekt sätt. Teckningen i bakgrunden är från mitten av 500-talet och visar ett av problemen att beskriva verkligheten med hjälp av Aristoteles fysik. Bilden visar hur en kanonkula avfyras snett uppåt (från höger). Kanonkulan fortsätter i en snett uppåtriktad bana så länge som en kraft driver den framåt. Vid en viss tidpunkt, ganska långt från kanonen, är plötsligt all kraft förbrukad och kulan faller rakt ner mot jorden (till vänster). Under 500- och 600-talet började många fysiker tycka att det var orimligt att acceptera Aristoteles verk texterna stämde så illa överens med vad man kunde se i naturen. Några enstaka fysiker började med något för den tiden så revolutionerande som att ställa upp nya teorier och utföra egna experiment. 38 Krafter och dynamik
Galileo Galilei levde från 564 till 64. Isaac Newton levde från 64 till 77. Den mest framstående av experimentalfysikerna vid denna tid var Galilei. Han mätte krafter, utförde fallförsök och observerade stjärnhimlen med sin nykonstruerade kikare. Galilei blev banbrytande i sitt nya sätt att studera fysik. Han gjorde iakttagelser och experiment och använde matematik som ett redskap för att kunna beskriva fysikaliska förlopp. Med Galilei kunde fysiken träda ut ur Aristoteles skugga efter nästan 000 år. Newtons mekanik Även om många fysiker försökte lösa problemet med hur kraft och hastighet hänger samman var det länge en svår nöt att knäcka. I slutet av 600-talet revolutionerade engelskmannen Isaac Newton mekaniken genom att formulera tre grundläggande rörelselagar: tröghetslagen, kraftlagen samt lagen om verkan och motverkan. Dessa tre lagar utgör grunden för hela dynamiken. Vi återkommer till dem senare i kapitlet. De tre röreslelagarna är bara en liten del av de resultat som beskrivs i Newtons kända verk Principia eller som det mera fullständigt heter: Philosophiae Naturalis Principia Mathematica (Naturvetenskapens matematiska principer). Principia är ett av de mest betydelsefulla naturvetenskapliga dokument som någon människa skapat. Då det gavs ut 687 väckte det en kolossal uppståndelse i Europas vetenskapliga kretsar. Principia skapade förutsättningarna att med hjälp av naturvetenskap beskriva vår värld och har haft en avgörande betydelse för vår vetenskapliga utveckling. Kvantmekanik och relativitetsteori I början av 900-talet insåg fysiker att den newtonska mekaniken inte kan beskriva allt i den fysikaliska världen. Eftersom teorin inte kunde göra bra förutsägelser på atomnivå, utvecklades en ny teori för detta, kvantmekaniken. Dessutom visade det sig att den klassiska mekaniken inte kunde beskriva kroppars rörelser vid hastigheter nära ljusets. För att förklara detta behövs Einsteins relativitetsteori, som vi redan stiftat bekantskap med. Nu kan du lösa uppgift 90 på sidan 64 3 4 5 6 7 9 0 S Krafter och dynamik 39
Krafter Ett äpple som faller, en bil som ökar sin fart för att kunna köra om och en fotboll som sparkas iväg har något gemensamt alla accelereras och alla påverkas av en yttre kraft. F luft F tyngd En kraft har både storlek och riktning. Här verkar tyngdkraften, F tyngd, nedåt och luftmotståndet, F luft, som bromsar rörelsen, uppåt (observera att pilarnas längd inte är proportionella mot värdena i texten). Den resulterande kraften är: F res = F tyngd F luft som är riktad nedåt. Ett föremål kan naturligtvis påverkas av flera krafter samtidigt. I exemplen ovan påverkas föremålen av tyngdkraft och luftmotstånd. Vi är intresserade av summan av alla krafter på föremålet. Denna kraft kallar vi för den resulterande kraften, F res, på föremålet. När vi ska räkna med krafter, måste vi ta hänsyn till att krafterna har både storlek och riktning. I exemplet med det fallande äpplet kommer den resulterande kraftens storlek att vara skillnaden mellan den nedåtriktade tyngdkraften och den uppåtriktade bromskraften orsakad av luftmotståndet, F res = F tyngd - F luft. Om vi t.ex. har att F tyngd =,4 N och F luft = 0,0 N så är F res =, N riktad neråt. Kraftlagen Newton upptäckte att det inte fanns något direkt samband mellan hastighet och kraft. Det gör det däremot mellan acceleration och kraft ju större kraft ett föremål påverkas av desto större är dess acceleration. Detta samband brukar kallas kraftlagen eller Newtons andra lag: Accelerationen är proportionell mot den resulterande kraft som verkar på föremålet, och verkar i den resulterande kraftens riktning. Newton gav en matematisk beskrivning av sambandet mellan acceleration och kraft: F Bilen accelererar i samma riktning som den resulterande kraften. F res = m a Här är F res den resulterande kraften på föremålet, m föremålets massa och a den acceleration föremålet får under kraftpåverkan. Ett föremål med stor massa behöver alltså en större kraft för att få samma acceleration som ett föremål med liten massa. 40 Krafter och dynamik
När bilen bromsar känns det som om vi slungas framåt. Vad som egentligen händer är att medan bilen bromsar fortsätter vi framåt med samma hastighet som bilen tidigare hade. Kraft och acceleration Ett föremål som faller fritt påverkas bara av tyngdkraften (om luftmotståndet försummas). Tyngdkraften blir alltså den resulterande kraften, F res = m g. Med hjälp av kraftlagen har vi att F res = m a. Det innebär att mg = ma och att a = g = 9,8 m/s. Tröghetslagen Newton visade att ett föremål kan röra sig utan att det påverkas av någon kraft. Om bara en kraft sätter föremålet i rörelse, fortsätter det att röra sig tills någon annan kraft stoppar det. En flicka på skridskor som glider fram på isen kommer nära en sådan beskrivning. För att komma igång måste hon påverkas av någon kraft hon kan bli ivägknuffad eller själv sätta fart. Sedan kan hon glida fram över isen utan att hon påverkas av någon resulterande kraft. Om det inte fanns något luftmotstånd eller friktion mot isen skulle hon fortsätta att röra sig så länge hon inte bromsar själv eller bromsas av något. Flickan på skridskor är ett exempel på tröghetslagen eller Newtons första lag: Ett föremål som inte påverkas av någon resulterande kraft förblir i vila eller fortsätter att röra sig med konstant fart längs en rät linje. Vi kan visa att detta stämmer genom att utnyttja kraftlagen. Om den resulterande kraften på ett föremål är 0 N så får vi att: 0 = m a Eftersom detta ger a = 0 får föremålet accelerationen 0 m/s. Det innebär att om föremålet redan rör sig, fortsätter det att röra sig med samma hastighet. Om föremålet är i vila (ligger stilla), förblir det i vila. 3 4 5 6 7 9 0 S Krafter och dynamik 4
Lagen om aktion och reaktion Lagen om aktion och reaktion beskriver vad som händer då två föremål påverkar varandra med krafter. Om du t.ex. trycker din handflata mot en kamrats handflata påverkar du henne med en kraft som är riktad bort från dig. Samtidigt påverkar din kamrat dig med en lika stor och motriktad kraft. Observera att den första kraften påverkar din kamrat, den andra dig. Detta är ett exempel på lagen om aktion och reaktion eller Newtons tredje lag: Två föremål påverkar varandra med krafter som är lika stora och motsatt riktade. Bilden visar ett annat exempel på Newtons tredje lag. Om en boll kastas mot en vägg påverkar bollen väggen med en viss kraft, och väggen påverkar bollen med en lika stor motriktad kraft. Verkan av kraften på bollen blir att den vänder tillbaka. Bollen påverkas av en kraft åt vänster och väggen av en kraft åt höger. Dessa båda krafter är lika stora och motriktade. Experiment Kraftlagen En vagn placeras på en luftkuddebana. I vagnen fästs ett snöre som via ett hjul leder till ett antal tyngder som kan accelerera vagnen. Häng t.ex. en 0-gramsvikt i snöret och placera två 0-gramsvikter på vagnen. Släpp sedan vagnen, mät hastigheten och beräkna accelerationen. Placera sedan en 0-gramsvikt i snöret och 30 g på vagnen och upprepa. Rita hur accelerationen beror av den accelererande kraften. Att fundera över: Varför är det viktigt att flytta tyngder mellan snöre och vagn? Därefter kan försöket upprepas med konstant dragkraft men varierande massa på vagnen. Hur beror accelerationen på massan? 4 Krafter och dynamik
Experiment Lagen om aktion och reaktion Du behöver en våg, en liten bägare, en tyngd och en dynamometer. Fyll bägaren till drygt hälften med vatten och placera den på vågen. Fäst vikten i dynamometern och sänk ner vikten i vattnet. Studera vad som händer med vågens och med dynamometerns utslag då du sänker ned vikten. Förklara först det du ser och gör sedan mätningar för att kontrollera att din förklaring stämmer. 3 EXEMPEL En kula, vars massa är 50 g, rullar nerför ett lutande plan. Kulans acceleration bestäms till,4 m/s. Hur stor är den resulterande kraften på kulan? EXEMPEL Lisa står i en hiss som accelererar uppåt med, m/s. Lisa väger 5 kg. a) Hur stor är den accelererande kraften på Lisa? b) Hur stor är den uppåtriktade kraften på Lisa? c) Med hur stor kraft pressar Lisa mot golvet när hissen accelererar och när den går med konstant fart? Experiment Fundera över hur du ska kunna mäta accelerationen hos en hiss med hjälp av en badrumsvåg. Genomför experimentet! Kulans massa är m = 50 g = 0,50 kg. Kraftlagen ger: F = m a = (0,50,4) N = 0,36 N Svar: Den resulterande kraften utmed planet är 0,36 N. a) Enligt kraftlagen är den accelererande kraften på Lisa: F res = m a = 5, N = 6,4 N b) Eftersom Lisa påverkas av sin tyngd neråt, så gäller att: F res = F upp - F g (där F g = m g) Det innebär att: F upp = F g + F res = (5 9,8 + 6,4)N (50,6 + 6, 4)N 573N c) Den kraft Lisa påverkar golvet med är lika stor som den kraft golvet påverkar Lisa med och motriktad. När hissen accelererar påverkar alltså Lisa golvet med en nedåtriktad kraft på 570 N. Då hissen går med konstant fart påverkar Lisa golvet med en nedåtriktad kraft som är lika stor som hennes tyngd, dvs. ca 50 N, och golvet påverkar Lisa uppåt med en lika stor kraft. Svar: a) Den accelererande kraften är 6 N. b) Den uppåtriktade kraften är 570 N. c) Hissen påverkas av en neråtriktad kraft, som vid acceleration är 570 N och vid konstant fart 50 N. 4 5 6 7 9 0 S Nu kan du lösa uppgifterna 90-906 på sidan 64 Krafter och dynamik 43
Krocktest. Impulslagen För att ett föremål ska kunna ändra sin hastighet krävs att det påverkas av en resulterande kraft. Ju längre denna kraft får verka, desto större blir hastighetsändringen. Om en bil kör in i en vägg, så som krocktestet på bilden visar, är det en fördel om kraften får verka under längre tid. Ju längre tid hastighetsförändringen tar, desto mindre blir kraften som påverkar personerna i bilen. Moderna bilar är därför försedda med deformationszoner som gör att krocktiden förlängs. Utöver detta är moderna bilar utrustade med krockkuddar som fördelar kraften och på så sätt ytterligare förlänger den tid som kraften verkar. Impuls När ett föremål påverkas med en resulterande kraft accelereras det. Sambandet mellan kraft och acceleration ges av kraftlagen, F = m a. Om accelerationen skrivs som a = Dv/Dt kan kraftlagen tecknas: F = m v t F Dt = m Dv Sambandet F Dt = m Dv brukar kallas impulslagen. 44 Krafter och dynamik
Produkten av kraften, F, och den tid kraften verkar, Dt, kallas impuls, I, och har enheten Ns: I = F Dt Rörelsemängd Produkten av massa, m, och fart, v, kallas rörelsemängd, p, och har enheten kgm/s: p = m v Impulslagen kan alltså skrivas som: F Dt = m Dv I = Dp eller formuleras i ord: Impulsen är lika stor som förändringen av rörelsemängd. Exempel på impuls En trapetskonstnär på cirkus har oftast ett säkerhetsnät under sig för att kunna överleva ett eventuellt fall. Om trapetskonstnären misslyckas är rörelsemängdsändringen densamma, p = m Dv, oavsett om det finns ett säkerhetsnät eller inte. Av impulslagen ser du att: F Dt = m Dv Skillnaden mellan de båda fallen är att utan säkerhetsnät verkar en stor ( dödande ) kraft under en kort tid. Med säkerhetsnät är Dt stort kraften verkar under lång tid och är ofarlig för trapetskonstnären. För att tydliggöra skillnaderna kan du tänka dig en bil som bromsas till stillastående genom att köra in i en bergvägg eller i en höstack. I båda fallen är rörelsemängdsändringen lika stor, men om inbromsningstiden är hundra gånger längre för bilen som kör in i höstacken, är kraften endast en hundradel ( eftersom impulsen är konstant ). 3 4 5 6 7 9 0 S I många fall kan impulslagen användas istället för kraftlagen. Detta är speciellt lämpligt då hastigheter är kända eller ska beräknas. Krafter och dynamik 45
Kollision med en vagn Vi ska nu visa ett experiment med vars hjälp impulslagen kan verifieras. I försöket rör sig en liten vagn mot och kolliderar med en kraftgivare. Efter kollisionen vänder vagnen och rullar tillbaks i motsatt riktning. Kraften som funktion av tiden. Genom att låta vagnen kollidera med en kraftgivare kan den variation i kraft som påverkar vagnen vid kollisionen registreras och impulsen kan beräknas. Om vagnen dessutom förses med en reflektor kan vagnens rörelse studeras med hjälp av en ultraljudsdetektor. På så sätt kan rörelsemängden beräknas. Bilderna visar dels kraften, dels hastigheten som funktion av tiden. Kraften växer upp mot ett maxvärde för att sedan avta ned till noll när vagnen släpper kontakten med givaren. Hastigheten ändras direkt efter kollisionsögonblicket eftersom vagnen ändrar rörelseriktning. Tidsskalan är väsentligt olika i de båda bilderna. Hela kraftkurvan utspelas under den korta tid då hastigheten ändrar riktning. Hastigheten som funktion av tiden. Rörelsemängdsändring Genom att placera markören på lämpliga ställen i v( t )-grafen kan vagnens hastighetsförändring vid kollisionen bestämmas. Av de båda bilderna framgår att hastighetsförändringen är: Dv = ( -0,33 0,464 ) m/s = -0,787 m/s Vagnens massa är 35 g. Rörelsemängdsändringen blir alltså : m Dv = -,35 0,787 kgm/s -0,893 kgm/s Det negativa tecknet ska tolkas så att hastighetsändringen och rörelsemängdsändringen är motsatta positiv rörelseriktning, dvs. motsatt vagnens ursprungliga rörelseriktning. Hastigheten vid t =,997 s är 0,464 m/s. Hastigheten vid t =,96 s är -0,33 m/s. 46 Krafter och dynamik
kraft F Dt F 5 Dt EXEMPEL 3 tid tid Impulsen fås genom att summera mätvärden och multiplicera med tidsintervallet mellan mätpunkterna (se översta bilden på föregående sida). En bil, som väger 950 kg, påverkas under 5,0 s av en accelererande kraft som är, kn. a) Hur stor blir impulsen på bilen? b) Hur stor rörelsemängdsändring får bilen? c) Hur stor blir bilens fartändring? Impuls Om kraften varit konstant, skulle vagnens impuls kunna beräknas som arean av rektangeln under kraftkurvan. I detta fall varierar kraften med tiden. Du kan därför betrakta kraftkurvan som sammansatt av smala rektanglar, vars bas är tidsintervallet mellan mätpunkterna ( 0,005 s ). Om du antar att kraften som registrerats av kraftgivaren är konstant under ett sådant intervall, kan impulsen bestämmas som: F Dt + F Dt + F 3 Dt +...+ F n Dt = Dt ( F + F + F 3 +...+ F n ) Genom att summera mätvärdena som registrerats av kraftgivaren och sedan multiplicera värdet med 0,005 s får du värdet 0,898 Ns på impulsen på kraftgivaren. Enligt Newtons tredje lag är impulsen på vagnen motriktad ( -0,898 Ns ), vilket stämmer bra överens med den registrerade rörelsemängdsändringen ( se föregående sida ). Om ni gjort experimentet kan det vara intressant att göra om det, fast med en liten skumgummibit fasttejpad i fronten på vagnen. Försök få vagnen att träffa med samma hastighet och jämför sedan kurvorna. Vad är detta exempel på? a ) Impulsen är: I = F Dt =, 0 3 5,0 Ns = 5,5 0 3 Ns b ) Rörelsemängdsändringen är 5,5 0 3 kgm/s, lika stor som impulsen. c ) Eftersom du vet rörelsemängdsändringen och massan, kan fartändringen beräknas: 550, Dv = 950 Svar : a ) Impulsen är 5,5 0 3 Ns. 3 m/s 5,79 m/s 0,8 km/h b ) Rörelsemängdsändringen är 5,5 0 3 kgm/s. c ) Fartändringen är km/h. 3 4 5 6 7 9 0 S Nu kan du lösa uppgifterna 907 909 på sidan 65 Krafter och dynamik 47
Stöt Många händelser kan beskrivas som en kollision mellan två eller flera föremål. Exempel på kollisioner är t. ex. en krock mellan två biljardkulor, mellan en atomkärna och en alfapartikel, mellan jorden och en meteorit eller mellan två bilar i trafiken. En kollision ( eller en stöt ) innebär inom fysiken en händelse då två eller flera föremål kortvarigt växelverkar med varandra. Det kan vara mycket komplicerat att beskriva de krafter som verkar i själva kollisionsögonblicket. Lyckligtvis kan man ändå förutsäga vad som kommer att inträffa efter en stöt om man bara har tillräckligt med information om de inblandade föremålens rörelser före stöten. Rörelsemängd är ett centralt begrepp vid diskussion av stötförlopp eftersom rörelsemängden bevaras vid stöten. Det innebär att den sammanlagda rörelsemängden hos föremålen före stöten är lika stor som efter stöten. 48 Krafter och dynamik
ex 4 ex 3 s 3 s 4ö s 4n Rak central stöt Du kommer i fortsättningen att i huvudsak studera raka centrala stötar. Föremålen rör sig då hela tiden längs samma riktningslinje. v f v f F F v e v e m m m m m m Föremålens rörelse före stöten. Kraftverkan på föremålen under stöten. Föremålens rörelse efter stöten. Bilderna ovan visar vad som händer vid kollisionen. Under kollisionen verkar kraften F på det vänstra föremålet och F på det högra. Krafterna är, i enlighet med Newtons tredje lag, lika stora och motriktade och verkar under lika lång tid, Dt. Om du tillämpar impulslagen på det vänstra föremålet får du att: F Dt = m v e m v f och på motsvarande sätt för det högra föremålet: F Dt = m v e m v f Eftersom de båda krafterna är motriktade är F = F. Om du summerar krafterna blir alltså: F Dt + F Dt = 0 = m v e m v f + m v e m v f Detta kan du skriva som : m v f + m v f = m v e + m v e I vänstra ledet står summan av rörelsemängderna före stöten och i högra ledet summan av rörelsemängderna efter stöten. Rörelsemängderna är alltså lika stora före och efter stöten. Detta gäller för alla stötar: Rörelsemängden bevaras vid en stöt. 3 4 5 6 7 9 0 S Krafter och dynamik 49
s 3 ex 3 s 4ö s 3 s 4n s 4ö s 4n Före stöten: v f 0 m/s m m Efter stöten: v e v e m m Stöt vid special fallet v f = 0. Är stöten fullkomligt elastisk gäller att v e - v e = v f - 0, den relativa hastigheten bevaras. Vad händer med v e och v e om m = m? Det är viktigt att du tänker på att rörelsemängden har riktning. Om föremålen rör sig åt olika håll, kommer alltså en rörelsemängd att betraktas som positiv och en annan som negativ. I allmänhet bevaras inte rörelseenergin vid en stöt. Vid de flesta kollisioner uträttas ett deformationsarbete och en del av rörelseenergin omvandlas till värme. Den totala rörelseenergin minskar därför oftast vid en stöt. I den mikroskopiska världen ( vid kollisioner mellan partiklar ) förekommer stötar där rörelseenergin bevaras. Sådana stötar kallas fullkomligt elastiska. Ibland approximerar man och säger att en stöt, t. ex. mellan två vagnar med fjädrar eller repellerande magneter, är så gott som elastisk. Vid en elastisk stöt bevaras den relativa hastigheten. Det innebär att: v f v f = v e v e Observera att detta enbart gäller då stöten är fullkomligt elastisk. Rörelseenergin och den relativa hastigheten bevaras vid en fullständigt elastisk stöt. Vid vissa stötar häftar föremålen ihop vid kollisionen. En stöt där detta sker kallas fullkomligt oelastisk. Sammanfattningsvis kan sägas att oavsett om stöten är fullkomligt elastisk eller fullkomligt oelastisk eller något mellanliggande så bevaras alltid rörelsemängden. Endast om stöten är fullkomligt elastisk bevaras rörelseenergin och därmed också den relativa hastigheten. Experiment Rörelsemängd Låt två personer som sitter på varsin lättrullad kontorsstol ta spjärn mot varandra med kraftigt böjda armar och skjuta isär stolarna. Kan sträckorna utnyttjas för att visa att rörelsemängderna hos de båda stolarna är lika och motriktade? Låt gärna personer med olika massor upprepa försöket och mät upp de sträckor som stolarna rullar. Förklara experimentet med hjälp av impulslagen och energiresonemang. 50 Krafter och dynamik
ex 4 ex 3 s 3 EXEMPEL 4 Två vagnar rör sig mot varandra och kolliderar i en frontalkollision. Vid kollisionen fastnar vagnarna i varandra. a) Hur stor fart får vagnarna efter stöten? b) Hur förändras den totala rörelseenergin hos vagnarna? Före stöten:,5 m/s -,3 m/s 0,50 kg 0,80 kg Efter stöten: v (0,50 + 0,80) kg a ) Rörelsemängden bevaras : ( 0,50,5 0,80,3 ) kgm/s = 0,430 kg v v 0,33 m/s b ) Den totala rörelseenergin före kollisionen är : 0 50 5,, + 003,, J 0, 433 J Efter kollisionen är den totala rörelseenergin: 0, 430 033, J 0, 03 J Den totala rörelseenergin minskar från 0,433 J till 0,03 J, dvs. med ca 95 %. Svar : a ) Vagnarna får farten 0,33 m/s åt den tyngre vagnens håll. b ) Rörelseenergin minskar med ca 95 %, från 0,43 J till 0,0 J. 3 4 5 6 s 4ö s 4n ex 4 ex 4 EXEMPEL 5 En kollision mellan två vagnar med fjädrande stötfångare på en luftkuddebana är så gott som elastisk. Före kollisionen rör sig vagn A med massan 350 g och farten,5 m/s in mot vagn B med massan 70 g som står stilla. Vilka farter får vagnarna efter stöten? Före stöten:,5 m/s Efter stöten: 0 m/s 0,350 kg 0,70 kg v e v e Alla enheter anges i kg resp. m/s. Vagn A har hastigheten u efter stöten och vagn B har hastigheten v efter stöten. Rörelsemängden bevaras : 0,350,5 = 0,350 v e + 0,70 v e Eftersom det är en elastisk stöt bevaras den relativa hastigheten :,5 = v e v e v e = v e +,5 Sätt in v i den första ekvationen : 0,350,5 = 0,350 v e + 0,70 ( v e +,5 ) 0,875 = 0,350 v e + 0,70 v e + 0,675 0,00 = 0,60 v e v e 0,3 v e,8 Svar : Efter stöten har vagn A farten 0,3 m/s och vagn B,8 m/s. 7 9 0 S ex 3 0,350 kg 0,70 kg Nu kan du lösa uppgifterna 90 93 på sidan 65 ex 3 Krafter och dynamik 5 s 3
F F N F friktion Så länge som den kraft man puttar med understiger den fullt utvecklade friktionskraften är kraft och friktionskraft lika stora. Den resulterande kraften på bilen är noll bilen rör sig inte. F F friktion När den kraft man puttar med överstiger den fullt utbildade friktionskraften är den resulterande kraften riktad framåt bilen accelererar. F tyngd Friktion Ett föremål som rör sig längs ett underlag påverkas alltid av ett visst motstånd. Denna motståndskraft orsakas av ojämnheter i ytan hos föremålet. När ytorna är i kontakt, griper ojämnheterna tag i varandra. Denna motståndskraft kallas friktionskraft. Friktionskraftens storlek beror av strukturen hos de båda ytor, som är i kontakt med varandra. Däremot beror den inte nämnvärt på hur snabbt föremålet förflyttas längs ytan. Om ett föremål ligger stilla och man utsätter det för en kraft parallell med underlaget kommer föremålet att börja röra sig först då kraften man drar med blir tillräckligt stor. Tänk dig att du ska försöka putta igång en bil som fått motorstopp. Innan du börjar putta är friktionskraften = 0 N. När du börjar putta och successivt ökar kraften, ökar även friktionskraften friktionskraften är hela tiden lika stor som dragkraften och bilen rör sig inte ur fläcken. Men när du tar i på allvar kan inte friktionskraften längre motverka den kraft du puttar med. Man säger att friktionskraften är fullt utvecklad den kan inte bli större. Eftersom kraften du puttar med är större än friktionskraften börjar bilen röra sig. I och med att bilen rör sig kan du fortsätta att putta med en kraft som är lika stor som friktionskraften. Bilen fortsätter då att röra sig med konstant fart. Vad händer om du puttar med en större eller mindre kraft? Låt oss studera en situation där ett föremål ligger på ett horisontellt bord. Tyngden, F tyngd, påverkar föremålet med en nedåtriktad kraft. Från bordet verkar en uppåtriktad kraft som är lika stor och motsatt riktad. Denna kraft kallas normalkraften, F N. Normalkraften är alltid vinkelrätt mot underlaget, även om underlaget inte är horisontellt. Man kan visa att den fullt utvecklade friktionskraften är proportionell mot normalkraften. Detta gäller även då underlaget lutar. Vi kan formulera detta som: F friktion = μ F N 5 Krafter och dynamik
Exempel på ytor Stål mot is 0,0 Skida mot snö 0,03-0,06 Trä mot trä 0,-0,7 Glas mot glas 0,4 Bildäck mot isbelagd asfalt 0,0 Bildäck mot våt asfalt 0,5 Bildäck mot torr asfalt 0,7 Gummi mot betong,0-,5 EXEMPEL 6 En trälåda med äpplen står på ett trägolv. Lådan med äpplen väger 0,0 kg. Friktionstalet mellan de båda ytorna är 0,65. Tänk dig att du drar i lådan med en kraft som är parallell med golvet. Hur stor är friktionskraften mellan lådan och golvet om du drar i lådan med kraften a) 85 N b) 40 N EXEMPEL 7 Lådan i föregående exempel kommer ut på ett golv där det räcker med kraften 85 N för att flytta den med konstant fart längs golvet. Hur stort är friktionstalet mellan ytorna nu? μ Konstanten μ kallas friktionstalet. Friktionstalets storlek beror på de båda kontaktytornas struktur. Ju skrovligare de är, desto större. Friktionstalet är dimensionslöst, det saknar alltså enhet. Om du löser ut konstanten μ ur sambandet: m = F friktion FN ser du att m saknar enhet. I tabellen ser du några olika exempel på friktionstal. Eftersom en bils bromskraft beror på friktionstalet, ser du tydligt hur bromskraften snabbt kan förändras när det regnar och fryser. Normalkraften på lådan är lika stor som lådans tyngd: F N = m g = 0 9,8 N = 96 N Den fullt utvecklade friktionskraften är alltså: F f = μ F N = 0,65 96 N = 7,4 N 30 N a) Om jag drar i lådan med kraften 85 N, är friktionskraften lika stor och motriktad, 85 N. Lådan befinner sig alltså fortfarande i vila. b) Om jag drar i lådan med kraften 40 N, överstiger dragkraften den fullt utvecklade, vilken är 30 N. Lådan kommer alltså att röra sig med den accelererande kraften 0 N. Svar: a) Friktionskraften är 85 N. b) Friktionskraften är 30 N. Eftersom lådan flyttas med konstant fart om dragkraften är 85 N, är friktionskraften lika stor som dragkraften, dvs. 85 N. Vi kan beräkna friktionstalet μ ur sambandet F f = μ F N : Ff 85 N μ = = 043, F 96 N N Svar: Friktionstalet är 0,43. 3 4 5 6 7 9 0 S Nu kan du lösa uppgifterna 94-95 på sidan 66 Krafter och dynamik 53
A B C F fjäder F fjäder = 0 F fjäder x x jämviktsläge Hookes lag Om vi vill förlänga eller pressa samman en fjäder måste vi påverka den med en kraft. Om vi försöker pressa samman en fjäder känner vi att fjädern pressar tillbaka, vilket är helt i överensstämmelse med Newtons tredje lag. Om vi å andra sidan drar ut en fjäder upptäcker vi att fjädern drar tillbaka. Denna kraft kallas fjäderkraften. Man kan visa att fjäderkraften är proportionell mot fjäderns förlängning eller hoptryckning från jämviktsläget. Sambandet kallas Hookes lag och skrivs: F fjäder = k x Här motsvarar x förlängningen och k kallas fjäderkonstanten. EXEMPEL 8 En vikt med massan m hänger i en fjäder med fjäderkonstanten k. Fjädern förlängs då sträckan x. a) Hur stor är den resulterande kraften? b) För en fjäder blir förlängningen cm då fjädern belastas med en vikt med massan 50 g. Hur stor är fjäderkonstanten? a) Då vikten är i jämvikt är den uppåtriktade kraften lika stor som den nedåtriktade kraften, dvs. k x = m g. Den resulterande kraften är alltså 0 N. b) Enligt texten är x = cm = 0, m och m = 50 g = 0,50 kg. Ekvationen ovan ger då att: mg k = 0, 50 98, N = 0, 5 N/m x 0, 0 m Svar: a) Den resulterande kraften är 0 N. b) Fjäderkonstanten är 0 N/m. F fjäder = k x F tyngd = m g Nu kan du lösa uppgifterna 96-97 på sidan 66 54 Krafter och dynamik
m m F F r Krafter på avstånd Vi har nu i huvudsak studerat kraftverkan mellan föremål som är i kontakt med varandra. Kraftverkan kan också ske på avstånd, dvs. utan att föremålen är i kontakt med varandra. Exempel på detta är gravitationslagen och Coulombs lag. Det finns flera krafter som påverkar på avstånd. I Orbit återkommer vi till dessa. Gravitationslagen Jorden påverkar dig med en kraft oavsett om du står på marken eller hoppar upp i luften. Och på samma sätt som jorden och månen påverkar varandra med lika stora, motsatt riktade krafter, så påverkar du jorden med en lika stor kraft som den påverkar dig. Enligt Newtons gravitationslag beror attraktionskraften av de ingående kropparnas massor och avståndet mellan dem: F G m = m r Här står m och m för de båda kropparnas massor och r för avståndet mellan deras centra. Proportionalitetskonstanten G 6,67 0 - Nm /kg. När Newton 687 publicerade sina rön som gav gravitationslagen fanns det inga möjligheter att bestämma gravitationskonstanten. Det dröjde över 00 år innan den engelske fysikern och kemisten Henry Cavendish kunde bestämma G med hjälp av en torsionsvåg En torsionsvåg består av en arm med blykulor i ändarna som är upphängd i en tunn tråd. Om två andra blykulor närmas de som ligger i ändan på armen kommer de att attrahera varandra och armen kommer att svänga någon bråkdels grad mot blykulorna. När Cavendish bestänt gravitationskonstanten fick man en möjlighet att beräkna jordens massa och densitet och man förvånades då av att densiteten hos jorden var mycket större än jorddkorpans densitet. Detta ledde till att man fick revidera de teorier som fanns om hur jordens inre var uppbyggt. 3 4 5 6 7 9 0 S Krafter och dynamik 55
Q F F q Coulombs lag Som du tidigare sett i kapitel 5, påverkar två laddade partiklar varandra. Har laddningarna samma tecken repellerar partiklarna varandra, annars attraherar de varandra. Enligt Coulombs lag beror attraktionskraften av de ingående partiklarnas laddningar och avståndet mellan: r F k Q = q r Här betecknar F kraften, som verkar på var och en av laddingarna, Q och q laddningarna hos respektive punktladdning och r avståndet mellan deras centra. Konstanten k har värdet k = 8,99 0 9 Nm /C. EXEMPEL 9 Utnyttja din egen tyngd och tabellvädet för jordens diameter för att bestämma jordens massa. Min egen massa betecknas m. Jordens massa betecknas M. Vid jordytan är min tyngd F tyngd = m g där g = 9,8 m/s som orskas av jordens attraktionskraft: F = G m M attr R där R är jordens radie. Jordens diameter vid ekvatorn är 757 km. Radien är alltså R 6,8 0 6 m. Eftersom jag befinner mig vid jordens yta är radien detsamma som avståndet till jordens centrum. Men jordens attraktionskraft är min tyngd. Alltså är: m g G m = M R Dividera bägge sidor med m: g = G M R Lös ut M: M = g R 98, ( 6, 38 0 ) G 6670, 6 kg 5,99 0 4 kg Svar: Jordens massa är ca 6,0 0 4 kg. Nu kan du lösa uppgifterna 98-9 på sidan 66 56 Krafter och dynamik