Algoritm, potensmetoden

Relevanta dokument
Egenvärden, egenvektorer

K 4-1. Introduktion till Egenvärden och SVD. Egenvärdesproblemet. Egenvektorn. Egenskaper

Egenvärden och egenvektorer

2D1250 Tillämpade numeriska metoder II Läsanvisningar och repetitionsfrågor:

Lågrangsapproximation exempel. Singulärvärden och tillämpningar

Institutionen för Matematik TENTAMEN I LINJÄR ALGEBRA OCH NUMERISK ANALYS F1, TMA DAG: Måndag 14 januari 2002 TID:

Egenvärden och egenvektorer. Linjär Algebra F15. Pelle

12. SINGULÄRA VÄRDEN. (u Av) u v

Norm och QR-faktorisering

Institutionen för Matematiska Vetenskaper TENTAMEN I LINJÄR ALGEBRA OCH NUMERISK ANALYS F1, TMA

Linjär algebra Föreläsning 10

1. Bestäm volymen för den parallellepiped som ges av de tre vektorerna x 1 = (2, 3, 5), x 2 = (3, 1, 1) och x 3 = (1, 3, 0).

kvivalenta. Ange rangen för A samt en bas för kolonnrummet för A. och U =

Lösningar till tentan i 5B1760 Linjär och kvadratisk optimering, 17 december 2003.

Linjär Algebra, Föreläsning 20

Institutionen för Matematik TENTAMEN I LINJÄR ALGEBRA OCH NUMERISK ANALYS F1, TMA DAG: Fredag 30 augusti 2002 TID:

4x az = 0 2ax + y = 0 ax + y + z = 0

Lösningsförslag till skrivningen i Vektorgeometri (MAA702) Måndagen den 13 juni 2005

A = (3 p) (b) Bestäm alla lösningar till Ax = [ 5 3 ] T.. (3 p)

TENTAMEN I LINJÄR ALGEBRA OCH NUMERISK ANALYS F1, TMA671

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen Fredagen den 23 oktober, 2009 DEL A

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen DEL A. (1 p) (c) Bestäm avståndet mellan A och linjen l.

Lösningar till MVE021 Linjär algebra för I

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen DEL A

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till modelltentamen DEL A

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen DEL A

Vektorgeometri för gymnasister

MVE022 Urval av bevis (på svenska)

t Möjliga lösningar? b

TMV166 Linjär Algebra för M. Tentamen

denna del en poäng. 1. (Dugga 1.1) (a) Beräkna u (v 2u) om v = u och u har längd 3. Motivera ert svar.

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen DEL A

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen DEL A

TENTAMEN I LINJÄR ALGEBRA OCH NUMERISK ANALYS F1/TM1, TMA

19. Spektralsatsen Spektralsatsen SPEKTRALSATSEN

Lösningsförslag till skrivningen i Vektorgeometri (MAA702) måndagen den 30 maj 2005

Linjär algebra/matematik. TM-Matematik Mikael Forsberg ma014a, ma031a

Vi skalla främst utnyttja omskrivning av en matris för att löas ett system av differentialekvaioner. 2? Det är komplicerat att

Institutionen för Matematiska Vetenskaper TENTAMEN I LINJÄR ALGEBRA OCH NUMERISK ANALYS F1, TMA

1. Bestäm volymen för den parallellepiped som ges av de tre vektorerna x 1 = (2, 3, 5), x 2 = (3, 1, 1) och x 3 = (1, 3, 0).

UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Styf. Exempeltenta med lösningar Programmen EI, IT, K, X Linjär algebra juni 2004

SF1624 Algebra och geometri Tentamen Torsdag, 17 mars 2016

November 24, Egenvärde och egenvektor. (en likformig expansion med faktor 2) (en rotation 30 grader moturs)

Lösning till tentamensskrivning på kursen Linjär algebra, SF1604, den 12 mars 2013 kl

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen Lördagen den 5 juni, 2010 DEL A

Instuderingsuppgifter & Läsanvisningar till Linjär Algebra II för lärare

Multiplicera 7med A λ 1 I från vänster: c 1 (Av 1 λ 1 v 1 )+c 2 (Av 2 λ 1 v 2 )+c 3 (Av 3 λ 1 v 3 ) = 0

Preliminärt lösningsförslag

Institutionen för Matematiska Vetenskaper TENTAMEN I LINJÄR ALGEBRA OCH NUMERISK ANALYS F1/TM1, TMA

ALA-c Innehåll. 1 Linearization and Stability Uppgift Uppgift Egenvärdesproblemet Uppgift

TMA 671 Linjär Algebra och Numerisk Analys. x x2 2 1.

Uppgifter, 2015 Tillämpad linjär algebra

SF1624 Algebra och geometri Bedömningskriterier till tentamen Tisdagen den 15 december, 2009

Föreläsningsanteckningar Linjär Algebra II Lärarlyftet

Institutionen för Matematik TENTAMEN I LINJÄR ALGEBRA OCH NUMERISK ANALYS F1, TMA DAG: Lördag 26 maj 2001 TID:

1. (Dugga 1.1) (a) Bestäm v (3v 2u) om v = . (1p) and u =

. (2p) 2x + 2y + z = 4 y + 2z = 2 4x + 3y = 6

SKRIVNING I VEKTORGEOMETRI

A = x

Vektorgeometri för gymnasister

Gripenberg. Mat Grundkurs i matematik 1 Tentamen och mellanförhörsomtagning,

Tentamen i Linjär algebra (TATA31/TEN1) ,

Matematiska Institutionen KTH. Lösning till tentamensskrivning på kursen Linjär algebra II, SF1604, den 9 juni 2011 kl

Tentamen i Linjär algebra (TATA31/TEN1) ,

Inför tentamen i Linjär algebra TNA002.

Exempel :: Spegling i godtycklig linje.

ax + y + 4z = a x + y + (a 1)z = 1. 2x + 2y + az = 2 Ange dessutom samtliga lösningar då det finns oändligt många.

Basbyten och linjära avbildningar

Exempelsamling :: Diagonalisering

Determinanter, egenvectorer, egenvärden.

Crash Course Algebra och geometri. Ambjörn Karlsson c januari 2016

Laboration 1. Ekvationslösning

För ingenjörs- och distansstudenter Linjär Algebra ma014a ATM-Matematik Mikael Forsberg

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till modelltentamen DEL A

Exempel :: Spegling i godtycklig linje.

Linjär algebra på några minuter

3. Lös det överbestämda systemet nedan på bästa sätt i minsta kvadratmening. x + y = 1 x + 2y = 3 x + 3y = 4 x + 4y = 6

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen DEL A

Matematiska Institutionen KTH. Lösning till tentamensskrivning på kursen Linjär algebra, SF1604, den 15 mars 2012 kl

y z 3 = 0 z i )

Numerisk Analys, MMG410. Exercises 2. 1/33

SKRIVNING I VEKTORGEOMETRI

Provräkning 3, Linjär Algebra, vt 2016.

DEL I. Matematiska Institutionen KTH. Lösning till tentamensskrivning på kursen Linjär algebra II, SF1604, den 15 mars 2010 kl

Föreläsn. anteckn. TMV206-VT13. Vecka 6-7. Egenvärden och Egenvektorer. Kap. 8-9

3x + y z = 0 4x + y 2z = 0 2x + y = Lös det överbestämda systemet nedan på bästa sätt i minsta kvadratmening. x = 1 x + y = 1 x + 2y = 2

Chalmers tekniska högskola Datum: kl Telefonvakt: Linnea Hietala MVE480 Linjär algebra S

1 Linjära ekvationssystem. 2 Vektorer

Lösningar till utvalda uppgifter i kapitel 8

Frågorna 1 till 6 ska svaras med ett kryss för varje korrekt påstående. Varje uppgift ger 1 poäng.

Stöd inför omtentamen i Linjär algebra TNA002.

TMV166 Linjär algebra för M, vt 2016

EXTRAMATERIAL TILL LINJÄR ALGEBRA II

DEL I. Matematiska Institutionen KTH. Lösning till tentamensskrivning på kursen Linjär algebra II, SF1604, den 17 april 2010 kl

Vektorerna är parallella med planet omm de är vinkelräta mot planets normal, dvs mot

SF1624 Algebra och geometri Tentamen Onsdag, 13 januari 2016

Preliminärt lösningsförslag

Rangordning av internetsidor - ett egenvärdesproblem för positiva matriser

Del 1: Godkäntdelen. TMV141 Linjär algebra E

Transkript:

Algoritm, potensmetoden Algoritm för att finna största reella egenvärde och tillhörande egenvektor till en reell matris. givet en startvektor x 0 i = 0 y i+1 = A x i x i+1 = y i+1 / y i+1 2 λ i+1 = x T i+1 A x i+1 Genom att stuva om i snurran kan antalet matris-vektor-multiplikationer halveras givet en startvektor x 0 y 1 = A x 0 i = 1 x i = y i / y i 2 y i+1 = A x i λ i = x T i y i+1 Linjär konvergens med konvergenshastighet λ 2 /λ 1, där λ 1 är det till beloppet största egenvärdet, och λ 2 är det näst största.

Exempel: Potensmetoden V = randn(3); D = diag([2-1 0.5]); V*D/V; x = ones(3,1); y = A*x; for k = 1:10 x = y/norm(y); y = A*x; x *y 0.83733198519744 2.87312856029338 1.64415905951431 2.19667621471412 1.90651791043056 2.04793155270074 1.97633464522796 2.01190742351812 1.99406501908572 2.00297216759123 D = D + [0 3 0; -3 0 0 ; 0 0 0]; V*D/V; eig(a) ans = 0.5000-2.5981i 0.5000 + 2.5981i 0.5000 x = ones(3,1); y = A*x; for k = 1:10 x = y/norm(y); y = A*x; x *y 0.78207878609794-0.94367599040274 1.38864486739718-1.22996860865631 2.11317602011408-0.54512846034724 2.25980867745654 0.19684659171458 0.26764927285825 0.92675171234019

Algoritm: Inversiteration Om vi byter ut A i potensmetoden mot A 1 finner vi istället inversen till det till beloppet minsta egenvärdet 1/λ n Om vi byter ut A i potensmetoden mot (A σ I) 1 finner vi då inversen till det till beloppet minsta egenvärdet λ 0 av matrisen A σ I, men då är A (σ + λ 0 ) I singulär, och λ 0 det till beloppet minsta tal som gör att den blir singulär. Alltså är σ + λ 0 det egenvärde till A som ligger närmast σ. Eftersom A och (A σ I) 1 har samma egenvektorer kan vi besämma σ + λ 0 direkt från framräknad egenvektor. givet en startvektor x 0 LU-faktorisera A σ I = P L U i = 0 y i+1 = (A σ I) 1 x i /* lös system */ x i+1 = y i+1 / y i+1 2 λ i+1 = x T i+1 A x i+1 Ett σ nära ett egenvärde ger snabb linjär konvergens.

Exempel: Inversiteration V = randn(3); D = diag([2-1 0.5]); V*D/V; x = ones(3,1); [L,U] = lu(a-(-0.9)*eye(3)); for k = 1:10 y = U\(L\x); x = y/norm(y); x *A*x -0.89831780060298-1.00488224010459-0.99974098803177-1.00001540316103-0.99999900648123-1.00000006728530-0.99999999532081-1.00000000032985-0.99999999997659-1.00000000000167

Algoritm: Ortogonal iteration Potensmetoden fann det till beloppet största egenvärdet och en tillhörande egenvektor. Vi utökar nu metoden till att hitta rätt på en ON-bas för ett invariant underrum som hör till de p största egenvärdena givet Z 0 R n p med ON-kolonner i = 0 Y i+1 = A Z i QR-faktorisera Y i+1 = Z i+1 R i+1 (span(z i+1 ) approximerar ett invariant underrum) Om egenvärdena är ordnade så att λ 1 λ 2 λ n så konvergerar algoritmen med linjär konvergenshastighet λ p+1 /λ p.

Ortogonal iteration För första kolonnen i Z i är algoritmen identisk med potensmetoden. Andra kolonnen är beroe av den första, tredje av första och andra, och så vidare. Exempelvis: vid iteration med tjugo kolonner så beter sig de fem första på samma sätt som om man itererade med fem kolonner. Det innebär att vi utan att blinka kan iterera med n kolonner och välja Z 0 = I. Konvergenshastigheten för kolonn k ges av λ k+1 /λ k Sats 4.8 Vi använder p = n och Z 0 = I i algoritmen för ortogonal iteration. Om alla egenvärden har olika belopp, och alla delmatriser S(1 : j, 1 : j) till egenvektorsmatrisen S har full rang, så konvergerar A i = Z T i A Z i mot Shur-formen av A, dvs mot en övertriangulär matris med egenvärdena till A på diagonalen. Egenvärdena är ordnade på diagonalen i avtagande beloppsordning.

Exempel: Ortogonal iteration V = randn(4); D = diag([2-1 -2.5 0.5]); V*D/V 3.4115-2.3105-1.9467-3.0462-0.8502 0.4467 0.2103 1.2139-1.2146-0.0369-1.1866-1.9019 4.1922-2.1263-1.7968-3.6716 Z = eye(4); for k = 1:30 Y = A*Z; [Z,R] = qr(y); T = Z *A*Z T = -2.4993-0.2790 1.7330 4.4337-0.0117 1.9993 2.1030 6.0770-0.0000 0.0000-1.0000-1.4863 0.0000 0.0000-0.0000 0.5000 D = D + [0 3 0 0; -3 0 0 0 ; 0 0 0 0 ; 0 0 0 0]; V*D/V 2.3439-3.9400-2.4228-0.7738 1.0039-1.0983-0.4980 0.3307 7.7544-3.9245-3.3544-8.6851-1.2149-0.7696-0.8362 1.1088 eig(a) ans = 0.5000-2.5981i 0.5000 + 2.5981i -2.5000 0.5000 Z = eye(4); for k = 1:150 Y = A*Z; [Z,R] = qr(y); T = Z *A*Z T = 0.4869-3.0563 2.0124 1.4392 2.2089 0.5130-4.5290 11.4463 0.0002-0.0002-2.4999 4.1713-0.0000 0.0000 0.0000 0.5000

Algoritm: QR-iteration Genom att iterera över A istället för över Z erhålls QR-iteration: A 0 = A i = 0 QR-faktorisera A i = Q i R i A i+1 = R i Q i A i och A i+1 är similära ty A i+1 = Q T i A iq i. Lemma 4.3 Om A i beräknas med QR-iteration, så är A i = Z T i A Z i där Z i beräknats genom ortogonal iteration med Z 0 = I. Detta ger att A i konvergerar mot Schurform om alla egenvärden har olika belopp.

Algoritm: QR-iteration med skift A 0 = A i = 0 Välj ett skift σ i i närheten av ett egenvärde QR-faktorisera A i σ i I = Q i R i A i+1 = R i Q i + σ i I Lemma 4.4 A i och A i+1 är (ortogonalt) similära. För reella egenvärden åstadkommer vi kvadratisk konvergens genom att välja σ i = A i (n, n). När vi har funnit ett egenvärde tar vi bort det från problemet och jobbar vidare med resten av matrisen.

Exempel: QR-iteration 1.17e+00 2.71e-01 4.82e-02 2.70e-03 5.07e-06 1.67e-11 0.00e+ V = randn(4); D = diag([2-1 -2.5 0.5]); V*D/V 3.4115-2.3105-1.9467-3.0462-0.8502 0.4467 0.2103 1.2139-1.2146-0.0369-1.1866-1.9019 4.1922-2.1263-1.7968-3.6716 for k = 1:7 sig = A(4,4); fprintf( %1.2e,abs(sig-(-2.5))) [Q,R] = qr(a - sig*eye(4)); R*Q + sig*eye(4); A 2.0528-2.3173 1.2981 5.6076 0.0347 0.4500 0.1303-4.2637-0.0019-0.0243-1.0028 3.0696 0.0000 0.0000-0.0000-2.5000 for k = 1:4 sig = A(3,3); fprintf( %1.2e,abs(sig-(-1))) [Q,R] = qr(a(1:3,1:3) - sig*eye(3)); A(1:3,1:3) = R*Q + sig*eye(3); A(1:3,4) = Q *A(1:3,4); 2.84e-03 5.32e-06 1.74e-11 3.66e-15 A 2.0032-2.3723 1.2617 5.5145 0.0020 0.4968 0.1292-4.4335-0.0000-0.0000-1.0000 2.9971 0.0000 0.0000-0.0000-2.5000

Exempel: QR-iteration, forts for k = 1:4 sig = A(2,2); fprintf( %1.2e,abs(sig-(0.5))) [Q,R] = qr(a(1:2,1:2) - sig*eye(2)); A(1:2,1:2) = R*Q + sig*eye(2); A(1:2,3:4) = Q *A(1:2,3:4); 3.20e-03 6.82e-06 3.10e-11 2.66e-15 A 2.0000-2.3743 1.2618 5.5085 0.0000 0.5000 0.1275-4.4409-0.0000-0.0000-1.0000 2.9971 0.0000 0.0000-0.0000-2.5000