Magnetostatik och elektromagnetism

Magnetostatik och elektromagnetism Magnetostatik eskriver hur magneter med konstanta magnetfält, t.ex. permanentmagneter, växelverkar med varandra och med externa magnetfält. Vi känner till följande effekter: 1. En fritt upphängd magnet ställer in sig parallellt med det jordmagnetiska fältet 2. Den del av en magnet som pekar mot norr benämner vi magnetisk nordpol och den som pekar åt söder för magnetisk sydpol (detta betyder att jordens geografiska nordpol är en magnetisk sydpol och vice versa ) 3. Om vi delar upp en magnet i mindre delar kan vi inte avskilja en separat nord- och sydpol utan de nya mindre delarna av magneten bildar nya magneter med både nord- och sydpol. Man kan dra slutsatsen att det inte finns en magnetisk laddning utan att den enklaste magneten är en dipol. N S N S N S

Magnetostatik Attraktion Trots att det inte finns (upptäckts) någon magnetisk laddning observerar man: 4. Olika poler attraherar varandra N S N S Repulsion 5. Lika poler repellerar varandra N S S N

Fältlinjer N S 6. Fältlinjernas riktning ges av den riktning en kompassnåls nordpol pekar åt då kompassnålen placeras i ett magnetiskt fält. 7. Fältlinjerna bildar slutna banor som pekar från nordpol till sydpol utanför magneten men från sydpol till nordpol inuti magneten. 8. Tätheten hos fältlinjerna är störst vid polerna. 9. Fältlinjer kan inte korsa varandra.

Magnetiska och icke-magnetiska material Tre olika fall: Dia- och paramagnetism 1. Endast mycket små förändringar uppmäts i det yttre fältet. När materialet tas bort från fältet kan man inte uppmäta något magnetfält kring materialet. Om den lilla förändring man mätte när materialet befann sig i fältet gav ett litet större fält kallas materialet: Paramagnetiskt om fältet istället blev något mindre kallas materialet Diamagnetiskt Många vanliga material/ämnen tillhör dessa två grupper: trä, luft, glas, koppar, mässing

Magnetiska och ickemagnetiska material Permanentmagneter En magnet tillverkad av ett magentiskt material kallas för permanentmagnet. Typiskt används legeringar av Fe, Ni och Al för att tillverka permanentmagneter. Magnetiseringen hos en permanentmagnet kan fås att försvinna genom att hetta upp magneten. En permanentmagnet förvaras ofta armerad, d.v.s. med slutna fältlinjer m.h.a. järnstycken. järnstycken N S S N

Ferromagnetism Om man placerar ett järnstycke i ett yttre magnetiskt fält så förstärks fältet avsevärt. Ämnen med denna egenskap kallas ferromagnetiska då de ofta är föreningar som innehåller järn (ferrum = latin för järn). Remanens Om magnetfältet kvarstår även efter att det yttre fältet tagits bort, d.v.s om metallstycket har magnetiserats så säger man att materialet uppvisar magnetisk remanens. Materialet uppvisar m.a.o. minneseffekter från det tidigare pålagda fältet. Detta beror på att förstärkningen av magnetfältet tillkom i en process som inte är direkt reversibel när fältet togs bort. Vanligt stål uppvisar ofta avsevärd remanens.

Magnetiska domäner Ferromagnetiskt material nom mindre områden i materialet riktar de atomära magnetiska momenten, som kan ses som små magnetiska dipoler, upp sig spontant. Eftersom riktningarna är slumpvis fördelade är det totala fältet utanför materialet litet. Om ett magnetiskt fält läggs över materialet så riktar domänerna upp sig med detta fält på samma sätt som en kompassnål vrider sig i det jordmagnetiska fältet. Den magnetiska kraftverkan utför ett arbete för att göra detta. Upplinjeringen kvarstår efter att fältet avlägsnats. Nature, UC erkeley

Magnetiskt flöde och flödestäthet Definition Magnetiskt flödestäthet: 1 Vs/m, 1T (tesla) Magnetisk flöde:φ 1Vs 2 Θ A A A cos( ) Normal till ytan A Gauss lag för magnetism d A 0

Elektromagnetism eskriver hur elektriska laddningar och rörelser hos dessa växelverkar med och skapar magnetiska och elektriska fält. De tre klassiska experimentella upptäckterna: 1. Magnetfält från rak ledare (Örsted och Ampere) Fältriktning hos koncentriska ringar En konstant ström genom en rak ledare ger upphov till ett magnetfält utanför ledaren. Fältlinjerna följer den s.k. högerhandregeln. Fältets styrka avtar med avståndet från ledaren.

Elektromagnetism 2. Kraftverkan mellan två ledare Attraktion + + U U Attraktion Repulsion Repulsion

Elektromagnetism 3. Fält från strömspole Magnetfälten från de enskilda ledarna summeras inuti (och utanför) spolen och ger upphov till en riktning hos det magnetiska fältet som ges av en liknande högerhandregel som för den enskilda ledaren. Man får ett yttre fält av samma typ som från en stavmagnet med en given nord- och sydpol. S N Symboler inåtgående ström utåtgående ström

Laddning i rörelse påverkas av ett magnetfält Lorentzkraften: Laddningar i rörelse i magnetfält F qe F q v ) v Använde vi i elstatiken Θ F qv qvsin( ) v Q F R Högerhandsregeln v F v F

Avböjning i magnetfält

Mikroskopisk bakgrund till magnetism Laddning i rörelse genererar ett magnetfält Rörelsemängdsmoment - l R v Z m l + Elektroner som rör sig runt kärnan med hastigheten v på radien R ger upphov till ett magnetfält på samma sätt som elektronerna i en spole med endast en slinga. Produkten av massa, hastighet och radie kallas rörelsemängdsmoment och är karaktäristisk för banrörelse av denna typ. Spinn På samma sätt kan man också se det som att elektronerna roterar kring sin egen axel (jämför jordens rotation kring solen och kring sin egen axel). Denna rörelse ger också upphov till en ström och därför till ett magnetfält.

iot-savarts lag Laddningar i rörelse genererar ett magnetfält z dl r y iot-savarts lag är för magnetfältet litet grand av motsvarigheten till Coulombs lag för det elektriska fältet från en punktladdning. En ström i riktningen dl ger med hjälp av kryssprodukten, mellan strömriktningen och riktningen till punkten man söker magnetfältet i, fältet i denna punkt. Storleken hos d avtar som 1/r 2 x d r 0 4 dl e r r 2

Fysik för i Magnetisk permeabilitet Precis som det elektriska fältet påverkar ett material och kan polarisera det så ser vi t.ex. från det ferromagnetiska fallet att ett magnetfält också påverkar ett material. Fältbilden blir m.a.o. inte densamma med resp. utan materialet. När det gällde det elektriska fältet så dividerade vi laddningen med permittiviteten för vacuum (ε 0 ) och med det relativa permitivitetstalet (ε r ) för materialet för att ta hänsyn till polarisation. E Q 4 0 r r 2 För magnetfältet multiplicerar vi istället med permeabilitetstalet för vacuum och det relativa permeabilitetstalet för materialet (>0) för att ta hänsyn till att magnetfältet kan förstärkas av vissa material. d r 0 4 dl e r r 2 Som nämndes tidigare så har ε 0 och μ 0 införts för att få en koppling mellan Newtons ekvation och elektromagnetisk kraftverkan, d.v.s. för att ha ett enhetligt enhetssystem.

Amperes lag Lyckligtvis finns det ett sätt att beräkna magnetfältet i enkla geometrier som är snabbare och enklare än att utföra integrationen m.h.a. iot-savarts lag. Från elstatiken minns vi Gauss lag som innebar att om vi kunde finna en yta på vilken E är konstant så kunde vi multiplicera E med denna ytas area och att denna produkt då blir den inneslutna laddningen dividerad med dielekticitetskonstanten. Amperes lag för magnetostatiken (d.v.s då vi har konstanta strömmar och elektriska och magnetiska fält) säger att strömmen multiplicerad Skriv med en ekvation permeabilitetskonstanten här. är lika med magnetfältet integrerat längst en slinga som omsluter strömmen: l 0 dl 0 på avståndet det allmänna fallet μ r μ 0 från lång Skriv en ekvation här. r rak ledare: 0 2 r Δl

Tillämpning av Amperes lag Toroid 2 R r 0 N Rak lång spole r 0 N 2 R R =0 L dealiserat fall. Slingan går sträckan L genom spolen där är konstant och parallellt med L. Utanför spolen är slingan vinkelrät mot och ger inget bidrag. Slutligen avslutas slingan på mycket stort avstånd där antas nära noll, d.v.s. produkten mellan och L är då noll. L r 0 N r 0 N L Generell lösning kan integreras fram enl. iot-savarts lag ex.vis för positioner utanför ändlig spole (för resultatet se läroboken)

Kraft på ledare Magnetisk kraftverkan F q(e v ) F qv, v Om vi har en konstant ström där laddningen q rör sig sträckan L under tiden t vinkelrätt mot fältet får vi: F qv qv L q q L t q t L L

Definition av 1 Ampere 0 e 2 R F L F 0 2 R L 2 0 L 2 R Om L=1 m och R=1 m så är 1 A då F=2 10-7 N F 0 2 0 4 10 7 N /A 2 + U Attraktion c 2 1/ 0 0 c 299792458m/s 0 8.854 10 12 As /(Vm)

Enhet för magnetfältet μ 0 F L F 0 2 L 2 R [ ] [ F] N CV Vs 2 2 [ ][ L] Am Am m T [ 0 ] [F]/[ 2 ] N /A 2 Vs /Am Enheten Tesla uppkallad efter Nikola Tesla. Kan förstås uttryckas i andra härledda enheter också.

Motorn, roterande strömslinga i magnetfält Slinga med inkommande ström F Den magnetiska delen av Lorentzkraften ger upphov till ett vridmoment kring den centrala axeln. Strömmen måste byta riktning en gång per varv för att upprätthålla rörelsen. F qv

Motor

Varierande magnetfält Vi har sett att en konstant ström ger upphov till ett magnetfält. Vi vet också att en konstant laddningsfördelning endast ger upphov till ett konstant elektriskt fält men inget magnetfält samt att en konstant fördelning av magnetiska dipoler endast ger upphov till ett konstant magnetfält. E Q N S

Varierande magnetfält Fråga: Om elektriska laddningar i rörelse ger upphov till ett magnetfält vad händer då om vi varierar det magnetiska fältet? Ger detta upphov till ett elektriskt fält? Frågan undersöktes av Michael Faraday som upptäckte det s.k. induktionfenomenet. Matematiskt formuleras svaret på frågan i Faradays lag: A Φ E dl t dl E Vad betyder det i praktiken?

nduktion Jo, om vi ändrar det magetiska flödet som flyter innanför en sluten slinga så kommer denna förändring att ge upphov till ett elektriskt fält. Detta fält driver som vanligt en laddningsomfördelning d.v.s. en ström. Slutsats: Om flödet ändras induceras en spänning som i sin tur kan driva en ström genom en yttre krets (d.v.s. man får en generator). ind N S Fix spole Rörelseriktning

Lenz lag Den inducerade strömmen skapar ett magnetfält som motverkar den fältförändring som uppkommer när magneten förs in genom slingan. D.v.s. om magnetens nordpol pekar in mot slingan under rörelsen blir strömmen sådan att ett magnetfält med nordpolen riktad mot magnetens nordpol skapas. När magneten sedan dras tillbaka blir strömriktningen istället sådan att en sydpol skapas som attraherar nordpolen hos magneten. Man kan från energiprincipen inse att detta måste vara fallet. ind N S Fix spole Rörelseriktning

nduktionslagen från energiprincipen F qv A F,v F Man för en ledare med konstant hastighet vinkelrätt mot ett konstant magnetfält. Den magnetiska delen av Lorentzkraften gör att en ström flyter genom ledaren. Denna ström leder i sin tur till en magnetisk motkraft på ledaren. För att upprätthålla konstant hastighet måste krafterna i ledarens rörelseriktning vara noll.

nduktionslagen från energiprincipen F qv Mekaniskt arbete W F s Elektrisk effekt P U W L s Et L s Vi ser på ett kort intervall dt Magnetisk motkraft F L W Pt Ut, U E Energin E L s t L v v ds dt L nducerade emk:n e L ds dt F,v tidsberoende s

nduktionslagen från energiprincipen F qv e L ds dt da dt da d A F,v s e d dt L Med N st varv i lindningen får man: e N d dt Man brukar ange referensriktningen med ett minustecken för att indikera att den inducerade spänningen motverkar flödesändringen: e N d dt

Självinduktion En spole genom vilken det flyter en ström skapar ett magnetfält. Om strömmen varierar så varierar också magnetfältet som strömmen skapar. Denna fältändring ger upphov till en inducerad emk som motverkar den strömförändring som gav upphov till den ursprungliga fältändringen. Fenomenet kallas självinduktion och är viktigt i växelströmsberäkningar. i(t) Φ ind Φ(t) Fix spole

nduktans Fältet i lång spole r 0 N l r 0 N l A d dt r 0 NA l di dt nduktionslagen Tillsammans ger detta: e N d dt e N d dt N r 0 NA di l dt r 0 N 2 A l di dt L di dt nduktansen: Enhet: L r 0 N 2 A l [L] Vs A H

Generatorn, roterande strömslinga i magnetfält A Θ A A A A cos( )

Generatorn, roterande strömslinga i magnetfält A A cos( ) A cos( t) nduktionslagen t t e N d dt e NA d cos( t) NA sin( t) dt

Fysik för i Energi i kondensator Med induktionsfenomenet har vi sett att elektriska och magnetiska fenomen beror av variationer över tiden som vi kan relatera till laddningars rörelse. Om vi går tillbaka till kondensatorn så inser vi också att det måste ta en viss tid för laddningarna att ladda upp en kondensator efter att man anslutit den till en spänningskälla. Mängden laddning på plattorna är m.a.o. en funktion av tiden och närmar sig till slut ett slutvärde. När detta har uppnåtts är spänningen U på plattorna. dw U(q)dq U(q) q dq W dw U(q)dq UCdU C U 2 2 0 U 0 U 0

Fysik för i Cirkulär strömslinga z På samma sätt som ovan kan man integrera fram fältet på centrala axeln genom en strömslinga: r 0 R 2 2r 3,r 2 R 2 a 2 r dl R a För fallet a=0 får man fältet i centrum av slingan. r 0 2R