1.1 Polynomfunktion
Vad är då en funktion? En funktion är en regel i matematiken som beskriver sambandet mellan två storheter. T.ex. Hur många hjul har 3 bilar? 3 4 = 12 Hur många hjul har 4 bilar? 4 4 = 16 Hur många hjul har 5 bilar? 5 4 = 20 Hur många hjul har x bilar? x 4 = 4x
Om vi betecknar antalet bilar med x och antalet hjul med y så får vi sambandet y = 4x. Sambandet y = 4x kallas för en ekvation. Om vi vill ha en funktion behöver vi först ett namn för funktionen. I matematiken ger man funktionerna namn med bara en bokstav. Oftast bokstaven f. Vi kan till exempel bilda en funktion som räknar ut antalet hjul på basis av antalet bilar. Vi byter y mot f och får f = 4x.
Istället för f = 4x skriver man oftast f(x) = 4x. Det x som finns i parentesen anger att det är denna storhet som sätts in i funktionen. Som svar får man sedan storheten y (som kallas för funktionsvärdet). Med f(3) avser man det y-värde som fås då x=3. Detta y-värde kallas för funktionsvärdet. Vi skriver f(3) = 4 3 = 12 eller f(3) = 12 Funktionen f(x) = 4x är en polynomfunktion. Även kallad förstagradsfunktion.
Vi tittar på en annan funktion. Låt x vara sidan i en kvadrat och y vara arean av kvadraten. Vi får då sambandet y = x² Eller funktionen f(x) = x² x x Detta är en också en polynomfunktion. Även kallad andragradsfunktion.
Vi ska bilda ännu en funktion. Tänk dig att du har 12 meter staket och vill omgärda ett rektangelformat område som gränsar mot en älv. Staketet läggs bara längs tre sidor då älven utgör den fjärde sidan. x x 12 2x Bilda en funktion som anger områdets area då de två lika långa sidorna av staket har längden x meter. Arean av området blir då längden gånger bredden, 12 2x multiplicerat med x.
Vi måste använda parentes eftersom längden av området 12 2x är ett uttryck bestående av flera termer. Produkten är (12 2x) x eller (12 2x)x Detta kan förenklas till 12x 2x² Funktionen är alltså f(x) = 12x 2x² Detta är också en polynomfunktion. Det är en andragradsfunktion. Eller en polynomfunktion av andra graden.
Vi har nu bildat de tre funktionerna f(x) = 4x f(x) = x² f(x) = 12x 2x² Egentligen borde de ha olika namn, t.ex. f, g samt h men eftersom de flesta uppgifter bara innehåller en enda funktion så använder man f på nytt och på nytt. Bokstaven f avser ju just ordet funktion. Denna kurs går ut på att undersöka funktioner som dessa.
f(x) = 4x f(x) = x² f(x) = 12x 2x² Bokstaven x kallas för variabel eftersom den kan variera. Grafen av en förstagradsfunktion är alltid en rät linje. Alltså är grafen av funktionen f(x) = 4x en linje. Linjen y = 4x
f(x) = 4x f(x) = x² f(x) = 12x 2x² Grafen av en andragradsfunktion är alltid en parabel. Alltså är graferna till funktionerna f(x) = x² och f(x) = 12x - 2x² båda parabler. Parablerna y = x² och y = 12x 2x² Det finns även tredjegradsfunktioner vilka innehåller x³
f(x) = 4x f(x) = x² f(x) = 12x 2x² Man ordnar ofta termerna hos en polynomfunktion i storleksordning så att x³ kommer först, sedan x², därefter x och till sist den konstanta termen (som inte innehåller variabeln x). Således skriver vi den tredje funktionen som f(x) = 2x² + 12x Man säger att den har termerna 2x² och 12x
f(x) = 2x² + 12x Funktionen f har koefficienterna 2, 12 och 0 Med koefficient avses ett siffervärde. Vi har 2 gånger x², 12 gånger x. Konstanten är noll. På samma sätt har funktionen f(x) = 4x termen 4x samt koefficienterna 4 och 0. Funktionen f(x) = x² har termen x² samt koeffienterna 1 och 0
Vi ska se på sambandet mellan temperaturskalorna Celsius och Fahrenheit. Om man med x avser C och med y avser F så har vi sambandet y = 1,8x + 32. Vi kan bilda en funktion som omvandlar C till F. f(x) = 1,8x + 32 Förstagradsfunktion. Grafen är en rät linje. Termerna 1,8x och 32. Koefficienterna 1,8 och 32
Vi ser ännu på ett samband. Ett armband till en nöjespark kostar 34. Man får då åka obegränsat i alla attraktioner i nöjesparken. Vi kallar antalet gånger man åker för x och det totala priset i euro för y. Priset i euro y är oberoende av antalet gånger x. Sambandet blir helt enkelt y = 34. f(x) = 34 är en konstant funktion (av grad noll). Oavsett vad x är (dvs hur många gånger man än åker) så blir kostnaden 34 euro. Grafen är en rät linje parallell med x-axeln.
Vi har nu fem funktioner och vi ska titta på deras ungefärliga grafer. f(x) = 4x f(x) = x² f(x) = 2x² + 12x f(x) = 1,8x + 32 f(x) = 34 y = 34 k > 0 a > 0 a < 0 k > 0 k = 0
Nollstället anger var grafen ligger i förhållandet till x- axeln. En funktions nollställe är det x-värde (eller de x- värden) som gör att funktionsvärdet blir noll. x-värdet är inte nödvändigtvis noll men y = 0 Nollställena är de x-värden där funktionens graf skär x-axeln. Vi får dem genom att lösa ekvationen f(x) = 0
f(x) = 0 För den första funktionen f(x) = 4x 4x = 0 x = 0 Nu råkar också nollstället vara noll. Då är både x och y lika med noll. Grafen skär x-axeln genom punkten (0, 0) Vi kan då rita ut även x-axeln i vår ungefärliga graf. 0
För den andra funktionen f(x) = x² x² = 0 x = 0 Nollstället är även noll här. Då grafen är en parabel och det bara finns ett enda nollställe så betyder det att parabeln tangerar x-axeln. Grafen skär x-axeln genom punkten (0, 0) Vi ritar ut x-axeln och funktionens graf. 0
För den tredje funktionen 2x² + 12x = 0 x( 2x + 12) = 0 x = 0 eller 2x + 12 = 0 x = 0 x = 6 f(x) = 2x² + 12x y = 2x² + 12x 0 6 Nollställen: x = 0 och x = 6 Här har vi två nollställen vilket är vanligt då man har en andragradsfunktion. Parabeln kommer nu att skära x-axeln på två ställen. Vi har redan räknat ut att det är i x = 0 och x = 6
För den fjärde funktionen f(x) = 1,8x + 32 1,8x + 32 = 0 1,8x = 32 x = 32 / 1,8 17,8 Nollstället x 17,8 har här den betydelsen att 17,8 C 0 F Grafen går genom punkten ( 17,8 ; 0) 17,8
Den femte funktionen f(x) = 34 har inga nollställen ty ekvationen 34 = 0 saknar lösningar. Det betyder att grafen aldrig skär x-axeln.