1 Euklidisk geometri.

1 Euklidisk geometri. Pythagoras (ca 570 497 f. kr.) grundade i Kroton i nuvarande södra Italien en skola vars motto var Allt är tal. Skolans medlemmar, pytagoreerna, försökte visa att allt i deras omvärld styrdes av de naturliga talen. Det kan vara tankeväckande att notera att drygt två tusen år senare har matematiker (Dedekind, Peano med fler) försökt att i viss mening visa att all matematik kan byggas upp från de naturliga talen och lite elementär mängdlära. Själva benämningen matematik (från grekiskans mathema - kunskap) härstammar kanske ifrån Pythagoras själv, men som så många andra uppgifter kring Pythagoras är det inte säkert. Mycket lite är i själva verket känt om Pythagoras liv. Idag känner många till honom bara genom en geometrisk sats som bär hans namn. Pythagoras sats och något av dess bevis är välkända för varje skolbarn, men satsen härstammar i själva verket inte ifrån Pythagoras. Vi kallar heltal (a,b,c) pytagoreiska om det gäller att a 2 + b 2 = c 2. Konsten att framställa naturliga pytagoreiska tal var välkänd i Babylonien åtminstone så tidigt som ca 2000 f. kr.. Detta är bland annat belagt genom fyndet av en babylonisk lertavla (känd under namnet Plimpton 322) vilken listar en stor mängd pytagoreiska naturliga tal. Det är fullt tänkbart att redan babylonierna kände till den allmänna formeln för samtliga pytagoreiska tal. För att nå denna formel noterar vi först att om (a,b,c) är pytagoreiska tal gäller att ( a c )2 + ( b c )2 = 1, d.v.s. punkten ( a c, b c ) ligger på enhetscirkeln. Omvänt om (x 1,x 2 ) är en punkt på enhetscirkeln med rationella koordinater, så får vi pytagoreiska taltripler genom att multiplicera dem med vilken gemensam nämnare som helst. Problemet att finna samtliga pytagoreiska tal är sålunda ekvivalent med att finna samtliga punkter med rationella koordinater på enhetscirkeln. Definition 1. En kurva i R d sägs vara rationell om det finns en parameterframställning av den av typen t (x 1 (t),x 2 (t),...,x d (t)) R d, där samtliga koordinatfunktioner t x i (t) är rationella. Rationella kurvor är ovanliga objekt, men varje cirkel i planet är en rationell kurva. Vi visar detta endast för enhetscirkeln C och ber läsaren att tänka igenom att detta (genom skalning och translation) även täcker det allmänna fallet. Vi börjar med att notera att en linje L t genom den rationella punkten ( 1,0) C, med lutning t R, kommer att skära enhetscirkeln i ytterligare en punkt (x,y) C. Linjen L t s ekvation är y = t(x + 1) och cirkeln Cs ekvation är x 2 + y 2 = 1. Sålunda fås skärningen genom att lösa ekvationen x 2 + t 2 (x + 1) 2 = 1. (1) Detta är en kvadratisk ekvation med lösningarna x = 1 (denna visste vi redan om!) och x = 1 t2. Skärningspunkten blir alltså (x,y) = ( 1 t2 2t, ). 1+t 2 1+t 2 1+t 2 1

Vi har nu erhållit den rationella parametrisering R t ( 1 t2 ) R 2 1+t 2 av cirkeln C. (Alla punkter på C utom ( 1,0) kommer med.) Sålunda är cirkeln en rationell kurva (det går att ordna så att även ( 1,0) kommer med). Vi noterar nu att i denna parametrisering av cirkeln har en punkt (skild från ( 1,0)) rationella koordinater om och endast om t är rationellt. Detta följer av att parametriseringen är rationell, och de där ingående polynomen har rationella koefficienter, och eftersom t = y x+1. Slutsatsen blir alltså att samtliga punkter på enhetscirkeln med rationella koordinater (utom ( 1,0)) fås genom Q t ( 1 t2 1+t 2, 2t 1+t 2, 2t 1+t 2 ). Med t = p q fås punkten ( q2 p 2 2pq, ) och samtliga pytagoreiska taltripler har alltså formen q 2 +p 2 q 2 +p 2 a = r(q 2 p 2 ) ; b = 2rpq ; c = r(q 2 + p 2 ), (2) för givna heltal p,q och r. Vi har i diskussionen ovan använt algebraiska och analytiska metoder för att diskutera geometri och tvärt om. Insikten om att man kan representera geometriska objekt med hjälp av ekvationer och vice versa utnyttjades systematiskt först av Fermat (1629) och Descartes. Descartes publicerade 1637 sin La Géométrie i vilken han beskrev sina upptäckter. Redan på Fermats och Descartes tid hade Euklides Elementa varit den helt dominerande lärotexten inom de matematiska vetenskaperna i nära 2000 år. Dess inflytande på och betydelse för hela västerlandets vetenskap kan knappast överdrivas. Om Euklides vet vi om möjligt ännu mindre än om Pythagoras. Vi vet dock att han var verksam ca 300 f. kr. vid biblioteket i Alexandria och att den Axiomatiska metoden som han presenterade i sin Elementa, bestående av 13 böcker, blev stilbildande inom snart sagt all vetenskap fram till idag. Låt oss illustrera den axiomatiska metoden just med hjälp av lite geometri, om inte direkt från Euklides, så i alla fall starkt a la Euklides. Euklides började med ett antal odefinierade grundbegrepp, exempelvis punkt, linje och plan. Därefter följde ett antal grundläggande förutsättningar, s.k. axiom eller postulat. Ett exempel är det s.k. linjeaxiomet Axiom 1. Genom två skilda punkter går det precis en unik linje. För att underlätta notation och språk tillfogar vi definitioner, exempelvis Definition 2. Tre eller flera punkter sägs vara kolinjära om det finns en linje vilken innehåller dem alla. Vi kan nu utnyttja denna nya term för att formulera t.ex. planaxiomet Axiom 2. Genom tre icke kolinjära punkter går det precis ett unikt plan. 2

Logiska konsekvenser av axiomen som beskriver exempelvis relationer mellan olika definierade begrepp kallade Euklides teorem eller satser. Ett exempel är Sats 1. Två skilda linjer kan mötas i högst en punkt. Argumenteringen för att detta är en logisk konsekvens av axiomen kallar vi för ett bevis. Låt oss skriva ned beviset för satsen ovan. Bevis Antag att två linjer skär varandra i två skilda punkter. Då måste de enligt linjeaxiomet vara identiska. Detta innebär att två skilda (d.v.s. icke identiska) linjer kan skära varandra i högst en punkt. På detta sätt bygger vi upp en väv av logiska konsekvenser av axiomen. Den axiomatiska metoden har alltsedan Euklides dagar varit vägledande vid vetenskapligt arbete. De axiomatiska system vi arbetar med byggs naturligtvis inte upp på måfå. Vi bär alla abstrakta idéer som representerar strukturer vi tycker oss varsebli i vår omvärld. Hur pass framgångsrikt ett axiomatiskt system blir beror på hur väl det representerar dessa abstrakta tankar. Väl betyder här att systemet skall vara både enkelt och effektivt. I allmänhet finns det trots allt många olika möjliga axiomatiska system för att representera en uppsättning idéer. Vilket system vi då väljer beror på något så diffust som tycke och smak. Jag citerar ur G.H. Hardys En matematikers försvarstal : - Matematikens mönster, liksom målarens eller poetens, måste vara vackert; idéerna måste liksom färgerna eller orden passa ihop på ett harmoniskt sätt. Skönhet är det första kännetecknet: det finns ingen bestående plats i världen för ful matematik. Kraven på logisk stringens har trots allt skärpts sedan Euklides dagar, och en med moderna ögon sett stringent omarbetning av Euklides geometri gjordes av D. Hilbert 1899 i hans Grundlagen der Geometrie. En ypperlig elementär modern framställning av Euklidisk geometri ges i John Roes Elementary Geometry. En strikt logisk konstruktion av det euklidiska rummet är, som det kanske framgått ovan, ett delikat byggnadsverk. Hilbert gjorde det utgående ifrån Euklides geometriska axiom, men det kan också göras utgående ifrån de reella talen och deras egenskaper. Det är dock väsentligt att hålla isär exempelvis det geometriska tvådimensionella euklidiska planet E 2 och vektorrummet R 2. Kom ihåg att i ett allmänt givet vektorrum finns ingen särskild naturlig bas utmärkt framför andra. I den plana euklidiska geometrin (i E 2 ) kan vi uttala oss om relationer mellan olika geometriska objekt utan att nämna koordinater. Identifikationen av E 2 och R 2 kom efter Fermats och Descartes arbeten, men det är väsentligt att tänka på att denna identifikation är möjlig först efter, och beror av, ett val av origo och av bas i E 2, och ett val av bas i R 2. 3

Då vi väl infört ett origo och en bas i E 2 kan vi identifiera det med R 2, och exempelvis linjer i E 2 kan då identifieras med lösningsmängder till linjära ekvationer i R 2. Man skall dock alltid komma ihåg att denna identifikation beror av valet av origo och bas i E 2. Att ha det geometriska synsättet samtidigt som man har tillgång till de analytiska hjälpmedlen som följer med införandet av ett koordinatsystem är oerhört effektivt. Antag exempelvis att vi har infört ett koordinatsystem i E 2. Vi kan då identifiera linjer, vilka ej är parallella med y-axeln, med lösningsmängder L = {(x,y) R 2 ; y = kx + l} (3) där k och l är givna tal, lutningen och skärningen med y-axeln. Notera dock att inget av dessa båda tal har geometrisk mening för en given linje i E 2. Talen beror av koordinatsystemet vi valt. Byter vi koordinatsystem så ändras dessa tal. Antag nu att vi har två givna linjer L 1 och L 2 och betraktar motsvarande tal k 1,l 1 samt k 2,l 2. Då gäller att talet k 2 k 1 1+k 1 k 2 har geometrisk mening. Detta kan vi sluta oss till genom att helt enkelt kontrollera att det inte ändras vid koordinatbyten, vilket är relativt ansträngande, eller genom att notera att talet är tangens för vinkeln mellan linjerna, en geometrisk storhet. Detta följer exempelvis av additionsformeln för tangens tan(β α) = tan(β) tan(α) 1 + tan(β)tan(α). (4) Det är väsentligt att både ha den geometriska åskådningen och samtidigt kunna räkna i koordinater. Detta är det genomgående temat i den linjära algebran från vilken vi hämtar vårt nästa exempel. Grundläggande för detta exempel är den ett till ett korrespondens som finns mellan reella n n matriser (d.v.s. scheman av ordnade tal) och linjära avbildningar från R n till R n. Kom ihåg att en linjär avbildning F från R n till R n är en funktion från R n till R n sådan att F(ax + by) = af(x) + bf(y) ; a,b R ;x,y R n. (5) Korrespondensen ovan ges av avbildningen som tar n n matrisen A till motsvarande linjära avbildningen R n x Ax R n. Problem 1. Betrakta mängden G av kvadratiska och reella n n matriser sådana att samtliga radsummor är 1. (Dylika matriser dyker upp exempelvis i sannolikhetsläran.) Detta betyder alltså att A = [a ij ] 1 i,j n ligger i G om och endast om n a ij = 1 ; i = 1,2,...,n. (6) j=1 Visa att om A G och B G så gäller att AB G. 4

Detta problem kan lösas genom att man skriver upp definitionen av matrismultiplikation mellan A och B, varefter man beräknar produktens radsummor. En mer geometrisk lösning är att notera att A G om och endast om vektorn 1 = [1,1,...,1] T är en egenvektor till A med egenvärdet 1, d.v.s. om och endast om vektorn 1, under avbildningen R n x Ax, avbildas på sig själv. Eftersom matrismultiplikation svarar mot sammansättning av motsvarande linjära avbildningar följer påståendet efter ett ögonblicks kontemplation. Lösningen av problemet ovan genom ren aritmetik och summation av uppkommande dubbelsummor är naturligtvis logiskt vattentätt, men den insikt man vinner om problemet genom det geometriska synsättet är mycket mer tillfredsställande. En matematiker vill ofta inte bara veta att ett påstående, en sats, är sann. Man vill också veta varför påståendet är sant. Varje nytt sätt att betrakta och lösa ett givet problem ger nya insikter om just varför ett eventuellt givet påstående är sant eller falskt. Dessa nya insikter visar sig förbluffande ofta också vara praktiskt tillämpbara. 5