Nästan vanliga tal 1. Beräkna1 2+3 4+5 2000+2001 Lösning. 1 + ( 2 + 3) + ( 4 + 5) +... + ( 2000 + 2001) = 1+ 142 +... 43 + 1 = 1001 2. Förkorta bråket så långt som möjligt 1001/10000001 1000 gnr Lösning. Om man kan förkorta med a då gäller detsamma för bråken 10000001/1001 = 999 + 11/1001 samt 11/1001. Det sista bråket kan förkortas med 11. Således 1001/10000001 = (1001/11)/( 10000001/11) = 91/909091. 3. Bestäm produkten av alla rötter till ekvationen 3x 4 1000x 2 +2001=0 Lösning. Ekvationen 3x 4 1000x 2 +2001=0 har 4 reella rötter då ekvationen 3u 2 1000u+2001=0 har 2 olika positiva rötter. Enligt Vietas sats är rötternas produkt lika med 2001/3=667. 2 5 3 4. Beräkna integralen ( x 3x + 7x + 500,25) dx 2 Lösning. Man kan stryka bort de tre första termerna i integranden då udda potenser ger 0 om de integreras över ett symmetriskt intervall kring 0. Den sista termen ger arean av rektangel av längden 4 och höjden 500,25, vilket ger svaret 2001. 5. Man vet att talen a,b,c är olika. Bestäm derivatan för funktionen f ( x a)( x b) ( x a)( x c) ( x c)( x b) f ( x) = + + ( c a)( c b) ( b a)( b c) ( a c)( a b) Lösning. Funktionen f(x) ser ut som ett andragradspolynom. Observera dock att f(a)= f(b)= f(c)=1. Ekvationen f(x)=1 har minst tre rötter, således måste termerna av första samt andra graden vara lika med noll. Det återstår bara fallet att funktionen f(x) är en konstant, och alltså gäller att f (x)=0. Knep och knåp 1. Ett skogsavverkningsföretag vill avverka en tallskog, men miljöaktivisterna börjar att protestera. Då försöker företagets VD lugna ner dem: 99% av träden i skogen är tallar. Vi kommer endast att såga ner tallar. När vi blir färdiga kommer 98% av alla kvarstående träd att vara tallar. Hur stor andel av skogen planerar företaget att avverka? Lösning. 1% av träden i skogen är inte tallar. Efter avverkningen kommer andelen av icke tallar vara 2%, dvs den andelen kommer att fördubblas utan att antalet icke tallar förändras. Detta betyder att antalet träd i skogen kommer att halveras, dvs företaget planerar att såga ner 50% av skogen. 2. Kung Rurik hade tre söner. Bland kungens ättlingar hade 999 personer exakt 2 söner och inga döttrar. De övriga ättlingarna hade inga barn alls. Hur många ättlingar hade Rurik sammanlagt?
Lösning. Alla ättlingarna förutom Ruriks söner var sönerna till de 999 fäderna. Således är deras antal lika med 2 999=1998. Tillsammans med Ruriks tre söner blir det 2001 ättlingar sammanlagt. 3. En familj kom till en bro under nattetid. Pappa kan komma över bron på 1 minut, mamma på 2 minuter, lillebror på 5 minuter, medan mormor endast på 10 minuter. De har bara en ficklampa. Bron är så liten att bara en eller två personer kan vistas på den samtidigt. Hur kan de alla komma över bron på 17 minuter sammanlagt? Villkor: a) Om två personer går samtidigt då går de med den minsta av de två hastigheterna. b) Man får inte gå över bron utan en ficklampa. c) Man kan inte belysa vägen från långt håll. d) Man får inte bära varandra. e) Man får inte kasta ficklampan. Lösning. Det behövs minst 3 övergångar fram och 2 tillbaka. Om mormor och lillebror går var för sig eller om någon av dem kommer tillbaka då krävs det minst 10+5+1+1+1=18 min. Mormor och lillebror kan inte vara det första eller det sista paret, annars skulle någon av dem komma tillbaka med ficklampan. Nu återstår det praktiskt taget en enda möjlighet: pappa och mamma går fram över bron först (på 2 min), sedan kommer mamma tillbaka (på 2 min), sedan går mormor och lillebror fram (på 10 min), och pappa återvänder (på 1 min). Till slut går pappa och mamma fram (på 2 min). Det blir sammanlagt precis 17 minuter. 4. Den första siffran i ett 10-siffrigt tal är lika med antalet ettor i talets decimalutveckling, den andra siffran är lika med antalet tvåor, den tredje med antalet treor, o.s.v., den nionde siffran är lika med antalet nior, och den tionde siffran med antalet nollor. Bestäm det 10-siffriga talet. Lösning. Låt oss beteckna med a 0,a 1,a 2,,a 9 antalet förekomster i talet T av siffran 0,1,2,, 9. Låt oss också beteckna antalet nollor med n, och antalet ettor med e, dvs a 0 =n och a 1 =e. Talet T består av 10 siffror sammanlagt: a 0 nollor, a 1 ettor osv, således gäller a 0 +a 1 +a 2 +...+a 9 =10 (E1) Å andra sidan låt oss samla siffrorna av T i grupperna enligt antalet förekomster i T. Antag att siffran j förekommer exakt 3 gånger. Då står trean i T på j:te plats. Således gäller att antalet olika siffror som förekommer exakt tre gånger är lika med antalet treor i T. Men antalet treor är a 3. Således upptar dem siffrorna som förekommer tre gånger exakt 3a 3 platser i T. Samma gäller för de siffror som förekommer 1 gång, 2 gånger osv. Detta medför ekvationen a 1 +2a 2 +...+9a 9 =10 (E2) Om vi endast betraktar positiva termer i E2: s vänsterled då är den minsta termen åtminstone 1, den näst minsta åtminstone 2 osv. Således har vi högst 4 positiva termer, eftersom annars överstiger summan i vänsterledet 1+2+3+4=10. Med exakt 4 positiva termer gäller E2 om och endast om a 1 =a 2 =a 3 =a 4 =1. I detta fall innehåller T minst 4 ettor, dvs a 1 >1. Motsägelse! Således har vi högst 3 positiva termer i (E2). Då har vi minst 6 nollor i T, dvs a 0 =n 6. Eftersom det finns siffran n i T är a n >0. Å andra sidan gäller na n <10 samt n>5. Således är
a n =1. Vi har redan minst en etta i T. Om också a 1 =1, då har vi minst 2 ettor, dvs a 1 >1 Motsägelse! Således a 1 =e>1. Då finns siffran e i T, således a e >0. Då har vi redan tre positiva termer i (E2): a 1, ea e samt na n. Fler kan det inte finnas. Således är a 0 =n=6, a 6 =1, a e =1 samt a 1 =e=2. Vi får alltså T=2100010006. 5. a) Man vill hänga en tavla på en vägg. Ett snöre är fastgjort vid tavlans två övre hörn. Hur kan man linda snöret på två spikar så att tavlan hänger stabilt, men skulle ramla ner om man tog bort antingen den ena eller den andra av de två spikarna? (Både snöret och spikarna ska vara ovanför tavlan). b) Samma fråga med tre spikar (tavlan skulle ramla ner om man tog bort vilken som helst av de tre spikarna). Lösning. Låt oss beskriva lösningen på följande sätt: vi genomlöper snöret från det vänstra hörnet till det högra, och när snöret går ovanför den i:te spiken till höger skriver vi H i, och när snöret går till vänster skriver vi V i. a) Exempelvis duger H 1 V 2 V 1 H 2. Om man tar bort den första spiken, då försvinner både H 1 och V 1 och då tar V 2 och H 2 ut varandra. Samma sak gäller om man tar bort den andra spiken. b) Exempelvis duger H 1 V 2 V 1 H 2 H 3 V 2 H 1 H 2 V 1 V 3. Indelning i kvadrater och rektanglar 1. Dela upp en kvadrat i a) 9; b) 7; c) 6; d) 8 mindre kvadrater (ej obligatoriskt lika stora). Svar. 2. Dela upp en kvadrat i a) 10; b) 15; c) 17 mindre kvadrater. Svar. 3. Visa att det är omöjligt att dela upp en kvadrat i a) 2; b) 3; c)* 5 mindre kvadrater. Lösningar. a,b) I varje hörn av kvadraten måste en delkvadrat ligga och en delkvadrat kan inte täcka två hörn samtidigt. Således behövs det minst 4 delkvadrater. c) Om det finns en glipa mellan två delkvadrater som täcker två hörn vid samma kvadratssida, då skulle det behövas ytterligare delkvadrater för att täcka glipan. Två glipor vid olika sidor kan inte täckas av samma delkvadrat. Det finns bara en delkvadrat förutom de 4 hörndelkvadraterna. Alltså finns det minst tre sidor utan glipor, dvs hörndelkvadraterna ligger där tätt intill varandra. Låt den ursprunliga kvadraten ha storleken 1 och låt hörnkvadraterna ha storlekar a,b,c,d. Antag att en glipa saknas mellan a och b, mellan b och
c samt mellan c och d. Då gäller att a+b=b+c=c+d=1, vilket medför att a=c, b=d. Om a>0,5 då är a+c>1. Detta skulle betyda att a och c överlappade varandra kring medelpunkten av kvadraten. Således är a 0,5, och av samma anledning är b 0,5. Detta medför att a=b=c=d=0,5, dvs kvadraten är uppdelad endast i 4 delkvadrater. 4. Visa att det går att dela upp en kvadrat i a) 1000; b) godtycklig antal dock större än 5 mindre kvadrater. Lösning. a) Dela kvadraten i 10 10=100 lika stora delkvadrater. Dela sedan varje delkvadrat i 10 mindre delkvadrater som i 2a). b) Observera att om vi delar upp en delkvadrat i 4 lika stora mindre delkvadrater då ökar antalet delkvadrater med 3. Kalla denna operation för fyrdelning. Nu gör vi så här. Först skriver vi om n på formen n=3k+r, där k är ett heltal och resten r är lika med 0, 1 eller 2. Om r=0 då tar vi indelningen i 6 kvadrater och upprepar fyrdelningen k 2 gånger. Om r=1 då tar vi den ursprungliga kvadraten och upprepar fyrdelningen k gånger. Om r=2 tar vi indelningen i 8 kvadrater och upprepar fyrdelningen k 2 gånger. 5. a) En rektangel är uppdelad i två mindre rektanglar som är likformiga med den ursprungliga rektangeln. Bestäm förhållandet mellan sidorna i den ursprungliga rektangeln. b) En rektangel är uppdelad i en kvadrat och en mindre rektangel som är likformig med den ursprungliga rektangeln. Bestäm förhållandet mellan sidorna i den ursprungliga rektangeln. Lösning. a) Båda delrektanglarna måste ligga på tvären, annars blir de inte likformiga med den ursprungliga rektangeln. Låt delrektanglarna ha sidorna a och b där sidan b är gemensam. Då har den ursprungliga rektangeln sidorna 2a och b och vi får ekvationen 2a/b=b/a. Svaret blir då b = 2 a. b) Delrektangeln måste ligga på tvären, annars blir den ej likformig med den ursprungliga rektangeln. Låt delrektangeln ha sidorna a och b där sidan b är gemensam med kvadraten. Då har den ursprungliga rektangeln sidorna a+b och b och vi får ekvationen (a+b)/b=b/a. Låt b/a=x, då kan vi skriva om ekvationen 1/x + 1 = x, x 2 x 1=0. Svaret blir då b 1+ 5 = (gyllene snittet). a 2 6. a) Hur kan man dela upp en kvadrat i fem rektanglar så att två av dem aldrig har en gemensam sida? b) Antag dessutom att alla de ovanstående rektanglarna har samma area. Visa att en av rektanglarna är en kvadrat. Lösningar. a)
b) Den centrala delrektangeln har sidorna b 1 a 3 resp. b 2 a 4. Antag att b 1 b 2, säg, b 1 >b 2. Eftersom b 1 a 2 =b 2 a 3 gäller a 2 <a 3. Eftersom a 2 +b 2 =a 3 +b 3 gäller b 2 >b 3. Detta medför på samma sätt att b 3 >b 4, vilket i sin tur ger oss b 4 >b 1. Men då får vi kedjan b 1 >b 2 >b 3 >b 4 >b 1 vilket är en motsägelse. På samma sätt är b 1 <b 2 omöjligt. Således b 1 =b 2. På samma sätt härleder vi att a 3 =a 4. Då är sidorna i den centrala rektangeln lika stora, dvs den är en kvadrat. 7. Rektanglarna på bilderna a) och b) nedan är uppdelad i kvadrater. Man vet att sidan i den minsta av kvadraterna är lika med 1. Bestäm sidorna av de övriga kvadraterna. Lösning. a) Beteckna sidorna av delkvadrater som i figuren 7a. Vi härleder sambandet genom att addera delkvadraternas storlekar på båda sidorna av någon sträcka. Då får vi i tur och ordning: b=a, c=a+b 1=2a 1, d=c 1=2a 2, e=d 1=2a 3. Sambandet e=a+1 ger oss då ekvationen 2a 3=a+1. Ur detta får vi a=4, b=4, c=7, d=6, e=5. b) Beteckna sidorna av delkvadrater som i figuren 7b. På samma sätt som i punkten a) får vi b=a 1, c=a 2, d=2a 3, e=a+1. Då är e+1=c+f får vi f=e+1 c=4. Vidare gäller g=a+5, h=a+9. Sambandet c+d=f+h ger oss ekvationen 3a 5=a+13. Ur detta får vi a=9, b=8, c=7, d=15, e=10, f=4, g=14, h=18. Observera att alla kvadrater är olika! 8. Är det möjligt att dela upp en kvadrat i 3 likformiga men ej lika rektanglar? Lösning. Ja, det är möjligt. Betrakta indelningen av enhetskvadraten på bilden. 1 1 y x Delrektanglarna är likformiga sinsemellan om = =. Då är y=x(1 x) och likheten 1 x x y 1 1 x(1 x) = är då ekvivalent med tredjegradsekvationen x 3 2x 2 +3x 1=0. Eftersom 1 x x vänsterledet är negativt i punkten x=0 och positivt i punkten x=1 så finns det en rot mellan 0 och 1. Den roten ger oss de sökta storlekarna på delrektanglarna.
9. En kvadrat är uppdelad i 100 mindre kvadrater. Alla kvadrater förutom en är enhetskvadrater. Bestäm storleken av den ursprungliga kvadraten. Lösning. Antag att man skär kvadraten lodrätt med en sträcka som ej innehåller någon sida av delkvadraterna och ej skär den särskilda delkvadraten. Då måste sträckan delas i enhetsintervall av sina skärningspunkter med alla vågräta sidor. Således är kvadratens storlek ett heltal. Om man skär kvadraten lodrätt med en sträcka som ej innehåller någon sida av delkvadraterna och skär den särkilda delkvadraten, då får vi på samma sätt att storleken av den särskilda delkvadraten också är ett heltal. Vi har alltså två heltal: n är storleken av den ursprungliga kvadraten och m är storleken av den särskilda kvadraten. Differensen av deras areor n 2 m 2 blir 100. Vi skriver om detta som ekvationen (n m)(n+m)=100. Talen n m och n+m är av samma paritet och n+m>n m. Då finns det bara ett sätt att faktoruppdela 100=2 50. Ur ekvationssystemet n m=2, n+m=50 fås lösningen m=24, n=26, vilket är svaret. 10. * Dela upp en kvadrat i mindre kvadrater så att inga tre av dem är lika. Lösning. Först tar vi en kvadrat av storleken 65 och delar upp den i två kvadrater av storlekar 32 resp. 33 och två rektanglar av storlekar 32 33. Sedan delar vi upp var och en av de två rektanglarna i olika kvadrater enligt schemat från lösningen 7b.