Lektion 2: Värmetransport TKP4100/TMT4206 Strömning och varmetransport/ varmeoverføring Metaller är kända för att kunna leda värme, samt att överföra värme från en hög temperatur till en lägre. En kombination av vibrationer och förflyttning av elektroner ligger till grund för värmeöverföringen. Ragnhild E. Aune (ragnhild.aune@ntnu.no) 1
Värmetransporter En värmetransport från en varmare till en kallare kropp sker alltid spontant, och temperaturdifferensen är därmed den drivande kraften som ligger till grund för värmetransporten. Storleken av värmeflödet genom t ex en te mugg beror INTE enbart på temperaturdifferensen mellan medierna i och på yttersidan av muggen, utan också på muggens: - storlek - utformning - material och material egenskaper - strömningsförhållanden 2
Värmetransporter Eftersom temperaturen är högst i muggen så kommer värmet (enligt termodynamikens andra lag) att flöda från det värmare området till det kallare. Q (J) är definierad som värme och är den energi som överförs från ett system till ett annat som ett resultat av temperaturskillnaden mellan de två systemen. Q > 0 Värmeöverförningen till systemet är positiv. Q = 0 En adiabatisk process (ingen värmeöverförning) Q < 0 Värmeöverförningen fra systemet är negativ. 3
Värmetransporter Antag att en vägg består av ett fast homogent material. För att åskådliggöra värmeflödet drar man upp ett koordinatsystem under väggen med temperaturen på y-axeln samt sträckan (väggens tjocklek) på x-axeln. Från början har materialet temperaturen T 1. Temperaturen sänks dock till T 2 på högra sidan. Temperaturerna T 1 och T 2 hålls konstanta över en längre tid. Efter tiden t (lång tid) uppkommer en temperaturprofil i materialet. 4
Värmetransporter Flödet av värme genom väggen kan då beräknas med hjälp av Fourier s lag. q = k dt dx Eftersom temperaturen är högst på den vänstra sidan så kommer värmet (enligt termodynamikens andra lag) att flöda från den vänstra sidan till den högra sidan (från det värmare området till det kallare). 5
Värmetransporter Flödet är proportionerligt mot lutningen och kan uttryckas på följande sätt: q dt dx där (lutningen) är temperaturgradienten. Minustecknet är där i ekvationen eftersom lutningen är negativ men flödet positivt. 6
Värmetransporter Sätter man in en proportionalitetskonstant i ekvation fås följande: q = k dt dx där k är värmeledningstalet eller värmeledningskoefficienten. Värmeledningstalet är en materialkonstant, d.v.s. en konstant som förändras om någon förändring sker i det aktuella materialet (t.ex. en fasomvandling). Storheten är beroende av temperatur och tryck. 7
Värmetransporter För att kunna beräkna storleken på värmeledningstalet för t ex en vägg måste man känna till lagarna för hur värme transporteras: - från det varmare mediet till väggytan - genom väggen - från väggens andra yta till det kallare mediet Värmetransporten sker på olika sätt i det fasta väggmaterialet respektive i de lättrörliga medierna som omger väggen. 8
Värmetransporter Fouriers lag: q = k dt dx är grundläggande för behandlingen av värmeledningsproblem. Om temperaturgradienten i materialet är konstant, d.v.s. inte förändras med tiden, kallas det tillstånd som uppnåtts för det stationära tillståndet. I detta fall kan man skriva om gradienten på följande sätt: ΔT Δx = T x 2 2 T x 1 1 vilket förenklar beräkningarna betydligt. 9
Fouriers lag Övning 1 En ugnsvägg är 10 cm tjock. Ena sidan har temperaturen 300 o C och andra sidan 20 o C. Beräkna värmeledningstalet om flödet genom väggen är 1000 J/m 2 s. Antag stationärt tillstånd! Svar: k = 0.357 W/m K 10
Frågor? 11
Värmetransporter Man brukar särskilja tre huvudformer av värmetransport: - konduktion - konvektion - strålning Det totala värmeutbytet med omgivningen är summan av bidragen från de olika former av värmeutbyte som uppträder vid den betraktade ytan. 12
Värmetransporter Man brukar särskilja tre huvudformer av värmetransport: - konduktion - konvektion - strålning Värmetransport Konduktion är benämningen för värmetransporten i ett fast eller stillastående medium som sker genom att atomerna vibrerar eller genom elektronledning. 13
Konduktion Atomerna vibrerar Elektronledning Inom en fast homogen, och för strålning ogenomskinlig, kropp är konduktion den enda formen av värmetransport som kan uppträda. 14
Konduktion Ett enkelt exempel kan vara hur värme sprids i ett fast material genom att en temperaturskillnad existerar mellan de båda kanterna. T T 1 T 2 Tvärsnittsarean är konstant x Flödet av värme beskrivs i detta fall av Fouriers lag q x = k dt dx Fouriers lag tar inte hänsyn till tiden. I detta fall är q x lika med det värme som flödar vid en viss punkt. 15
Konduktion - Fouriers lag Luft Te Luft Värm kopp te k = värmeledningskoefficienten (W/m K) q dt = k dx x = Q A cond dt/dx = temperaturgradienten (K/m) A = kontaktytan vinkelrätt mot värmeöverföringsriktningen (m 2 ) Q cond = värmeöverförningen (W) 16
Konduktion - Fouriers lag Från Fouriers lag kan man få information om hur ett vist material leder värme: - om temperaturskillnaden mellan de aktuella ytorna är liten leder materialet värme bra. - om temperaturskillnaden mellan de aktuella ytorna är stor leder materialet värme dårligt. Fylld halvägs med vatten Ballongen spricker inte eftersom värmet överförs från ballongen till vattnet ballongen leder värme mycket väl. 17
Konduktion - Fouriers lag Förhållande mellan: tid position temperatur kan enkelt härledas till den generella Fouriers lag: T t = α 2 T 2 x Tar hänsyn till tiden. For vissa enklare geometrier finns det färdiga lösningar till denna ekvation. De flesta fall löses dock numerisk med hjälp av datorer. 18
Konduktion - Fouriers lag q x = k dt dx T t = α 2 T 2 x Charles Fourier I dessa två former av Fouriers lag finns faktorerna k och α. Båda dessa faktorer är materialspecifika och normalt temperaturberoende. Förhållandet mellan dessa faktorer beskrivs av följande samband: α = k ρ c p k α ρ c p = värmeledningskoefficienten (J/m 2 s K) = termisk diffusivitet = densiteten på materialet = specifika värmet 19
Konduktion - Fouriers lag k metal ~100 W/m K k icke-metal = 1-10 W/m K k lösning = 0.1-10 W/m K k infodring = 0.01-0.1 W/m K k gas = 0.01-0.1 W/m K Värmeledningstalet (k) ÄR en egenskap hos de aktuella fluiderna. 20
Värmetransport vid varierande area I många system är arean inte konstant. Man måste då i härledningen av temperaturfördelningen genom det aktuella systemet ta hänsyn till detta. Istället för att teckna värmeflödet som q (J/m 2 s) måste man därför teckna det som Q (J/s). I samtliga fall där temperaturfördelningen genom väggen skall beräknas kan följande appliceras, om antagandet att inget värme genereras i systemet görs : ( Flö det in) (Flö det ut) = 0 21
Värmetransport vid varierande area ( Flö det in) (Flö det ut) = 0 Matematiskt kan detta skrivas på följande sätt: Q y Q y+ dy = 0 A(y) dt k dy dt A(y) k dy y y+ dy = 0 22
Värmetransport vid varierande area A(y) dt k dy dt A(y) k dy = y y+ dy 0 Om man nu låter y 0 fås derivatan: d dy A(y) k dt dy = 0 vilket är det generella uttrycket för fördelning av värme i ett material. 23
Värmetransport vid konstant area Värmeflödet genom en plan vägg med tjockleken Y betraktas. Temperaturen vid y = 0 sätts till T 0 och vid y = Y till T Y där T 0 >T Y. Antaganden: inget värme genereras i systemet ( q = 0). 24
Värmetransport vid konstant area Vid konstant area A och konstant värmeledningskoefficient k fås följande: d dy A(y) k dt dy = 0 2 d T A k 2 dy = 0 Om arean A = 1 fås följande förenklade samband: 2 d T dy k 2 = 0 25
Värmetransport vid konstant area 2 d T dy k 2 = 0 Randvillkoren för denna andra ordningens ekvation kan sättas till: T = T 0 vid y = 0 och T = T Y vid y = Y Vid integration två gånger fås följande: T = C + y 2 C 1 där C 1 och C 2 är integrationskonstanter. 26
Värmetransport vid konstant area T = C + y 2 C 1 Konstanterna kan lösas ut vid att sätta in angivna randvillkor, vilket ger (T = T 0 vid y = 0 och T = T Y vid y = Y): C 2 = T 0 och C 1 = T y T Y 0 = T0 + (Ty T ) T 0 y Y vilket beskriver temperaturprofilen i materialet. 27
Värmetransport vid konstant area Värmeflödet genom väggen kan beräknas i punkten y med hjälp av följande samband om bredden och yttertemperaturerna är kända: q y = k T dt dy = k (T 0 T Y Y ) 28
Konduktion - Fouriers lag Övning 2 En ugnsvägg är 18 cm tjock. Temperaturen på insidan är 550 C och på yttersidan 30 C. Beräkna värmeförlusterna genom väggen i W/m 2 om värmeledningskoefficienten antas vara 3.0 W/m K. Svar: q värmeförlust = 8 667 W/m 2 29
Frågor? 30
Värmetransporter Man brukar särskilja tre huvudformer av värmetransport: - konduktion - konvektion - strålning Konvektion är benämningen för den värmetransport som erhålles genom omblandning av element strömmande inom en gas eller en vätska. 31
Konvektion Man skiljer på olika former av konvektion: vid fri konvektion eller egenkonvektion sker strömningen fritt inom mediet och uppträder till följd av densitetsskillnader, vilka i sin tur uppstår på grund av temperaturdifferenser inom mediet om strömningen åstadkoms på mekanisk väg, t ex med hjälp av en pump eller fläkt, talar man om forcerad eller påtvingad konvektion. Luft Värm kopp te Värm kopp te 32
Konvektion Newtons lag Flödet av värme beskriv i detta fall av Newtons lag: Isaac Newton qx = h (T T 1) där (T -T 1 ) är temperaturskillnaden mellan den fasta och den flytande fasen och h värmeöverföringstalet. Analytiska lösningar har tagits fram för beräkning av konvektionens effekter i flera normalfall. Lösningarna bygger på användandet av dimensionslösa tal. 33
Konvektion Newtons lag Hastighetsprofilen för luft Temperaturprofilen för luft Luft Värm kopp te T Q conv q = h (T T ) = x 1 Q A conv Värm te T 1 h = värmeöverföringstalet (W/m 2 K) (T -T 1 ) = temperaturskillnaden mellan T 1 (yta) och T (långt från ytan) A = kontaktytan där värmeöverföringen sker (m 2 ) Q conv = värmeöverförningen (W) 34
Konvektion Newtons lag qx = h (T T 1) Värmeöverföringstalet (h): beskriver hur effektiv värmeöverföringen är mellan två faser beroende av en mängd olika faktorer, t ex: - vilket typ av flöde som behandlas - flödeshastigheten - konvektionstypen egenkonvektion / påtvingad konvetion - temperaturen - värmeledningskoefficienten (k) 35
Konvektion Newtons lag Egenkonvektion h gas = 2-25 W/m 2 K h flytand = 50-1000 W/m 2 K Påtvingad konvektion h gas = 25-250 W/m 2 K h flytand = 50-20 000 W/m 2 K Värmeöverföringstalet (h) beror på de aktuella fluidernas egenskaper (så som k), vilken typ av fluidflöden man har nära gränsytan, samt geometrin i/vid gränsytan. Värmeöverföringstalet (h) ÄR INTE en egenskap hos de aktuella fluiderna. 36
Konvektion Newtons lag Övning 3 Temperaturen på insidan av en ugnsvägg skall vara 1500 C. Beräkna den minimala väggtjockleken som ugnsväggen måste ha om väggens yttertemperatur inte får överskrida 200 C. Det genomsnittliga värmeledningskoefficienten för infodringsmaterialet i ugnsväggen antas vara 0.6 W/m K. Omgivningens temperatur är 20 C och värmeförlusterna från ytterväggen till omgivningen kan uttryckas med hjälp av följande samband: q = 2.8 (T 1.25 Y Ta ) där T a är omgivningens temperatur i C, T Y ugnsväggens yttertemperatur i C och q värmeflödet i W/m 2. Svar: y = 0.42 m 37
Frågor? 38