Funktionsstudier med derivata

Funktionsstudier med derivata Derivatan ett kraftfullt verktyg för att studera och tolka funktioner Det här avsnittet handlar om att man kan använda derivatan till att bestämma en funktions egenskaper med avseende på följande: 1. När är funktionen växande eller avtagande?. Hur ska man förvänta sig att funktionens graf kommer att se ut?. När har funktionen lokala extrempunkter eller terrasspunkter? Växande och avtagande Vi såg tidigare att derivatans tecken talar om för oss om funktionen i punkten är växande eller avtagande. f (x)>0 i ett intervall innebär att funktionen f(x) är växande ( stigande ) i samma intervall. f (x)<0 i ett intervall innebär att funktionen f(x) är avtagande ( fallande ) i samma intervall. Exempel Låt oss betrakta funktionen f(x)=x -x. För att bättre förstå begreppen växande och avtagande har dessa delar av funktionen märkts ut nedan. Lägg märke till att på x-axeln har motsvarande intervall för x också markerats. Nu kan man fråga sig hur hittar man dessa intervall utan att rita grafen. Allra först letar man reda på intervallgränserna, dvs. där funktionen varken är växande eller avtagande. Det måste vara de x-värden där derivatan är noll eftersom man byter tecken på derivatan genom att passera noll eller f (x)=0. f(x) = x -x ger f (x) = x och f (x)=0 ger oss en ekvation x =0 som vi ska lösa. Omflyttning av termerna ger x = vilket ger rötterna x =± ± 0, 8. Detta stämmer väl överens med figuren ovan eftersom det markerar gränserna mellan växande och avtagande. Två nollställen säger oss att vi har tre åtskilda områden (A, B och C i figuren ovan). Nu ska vi hitta ett enkelt sätt att ge dessa tre områden deras rätta egenskaper. Vi gör något som kallas teckenstudium. Vi ritar ut x-axeln och markerar där derivatans nollställen. Därefter ritar vi under x-axeln in två extrarader. Se figuren nedan. Som nästa steg sätter man in ett godtyckligt x-värde från respektive intervall i derivatan för att se vilket tecken derivatan har i intervallet. Man försöker alltid välja enkla heltalsvärden på x. 1

I vårt fall kan vi t ex välja x= -1, x= 0 och x=1, vilket ger följande beräkningsresultat och slutsatser. f (-1) = (-1) = 1, dvs. f (x)>0 i motsvarande intervall och därmed f(x) växande i motsvarande intervall. f (0) = (0) = -, dvs. f (x)<0 i motsvarande intervall och därmed f(x) avtagande i motsvarande intervall. (-1) = (1) = 1, dvs. f (x)>0 i motsvarande intervall och därmed f(x) växande i motsvarande intervall. Som nästa steg för man in denna information i teckentabellen som nästa figur visar. Nu kan vi alltså säga att Funktionen är växande för x<-0,8 och x>0,8 ( eller x < och x > om det krävs exakt svar). Funktionen är avtagande för 0,8 < x < 0,8 ( eller < x < om det krävs exakt svar). Lokala extrempunkter eller så kallade stationära punkter Men vad ska man säga att funktionen karaktäriseras av när derivatan är noll, dvs. i de punkter där x =± ± 0, 8? Tittar man på grafen är det uppenbart att man lokalt får en maximi- eller minimipunkt. Pilarnas riktningar pekar ut kullen eller dalen. Se nästa figur där även max eller min-punkt satts ut. Vi räknar ut resp. funktionsvärde för extrempunkterna och får då. f(-0,8) = 1,08 och f(0,8) = -1,08 ger lokalt max i (-0,8, 1,08) och lokalt min i (0,8, -1,8). Terrasspunkt När derivatan har teckenväxlingen + 0 + eller - 0 - har vi något som kallas terrasspunkt. Lägg märke till att om funktionens derivata är positiv i en viss punkt dvs tangentens riktningskoefficient i punkten har ett positivt värde - så är funktionen växande i punkten. Omvänt gäller förstås att om derivatan är negativ i punkten så är funktionen avtagande i punkten. Begreppen växande och avtagande är viktiga vid studiet av funktioner. För att inga missförstånd ska råda, kanske det bör påpekas att med växande menas att funktionsvärdet (y-värdet) ökar när x-värdet ökar, och med avtagande att funktionsvärdet minskar när x-värdet ökar. (När man studerar en funktion rör man sig alltid från vänster till höger längs x-axeln.)

Som nämnts ovan är derivatan ett utmärkt verktyg när det gäller att studera en funktions egenskaper. Förutom skärningspunkterna med koordinataxlarna, är det oftast de s.k. stationära punkterna som är intressanta. Det finns tre olika typer av stationära punkter, maximi-, minimi- och terasspunkter. Maximi- och minimipunkter kallas ofta för extrempunkter. Vi kan ta reda på var dessa punkter finns med hjälp av derivatan. Det hela bygger på att derivatan är noll i dessa punkter. Enligt vad som tidigare sagts, definieras derivatan i en viss punkt på en funktion som tangentens riktningskoefficient i punkten. Ritar man en tangent i en stationär punkt får den ingen lutning, dvs derivatan är noll i punkten. Arbetsgången när man vill ta reda på en funktions stationära punkter är följande. 1. Derivera funktionen. Bestäm derivatans nollställen. Undersök derivatans tecken i de olika intervallen kring nollställena. Kallas teckenstudium. 4. Bestäm koordinaterna för de stationära punkterna 5. Komplettera med en värdetabell Vill man rita funktionen har man en bra början, om man känner de stationära punkterna. Man kompletterar med en värdetabell, för att få ytterligare några koordinater, och kan sen rita upp funktionen. När man studerar en funktion genom att utföra de här beskrivna stegen, säger man att man gör en analytiskt funktionsstudie. Man kan givetvis studera en funktion med hjälp av grafräknaren också. Kommentar 1: Vissa funktioner saknar stationära punkter. Det gäller t.ex. f( x) = x som är ständigt växande och f( x) = x som är ständigt avtagande. Algebraiskt visar det sig genom att derivatan saknar nollställen. (Det måste alltså inte nödvändigtvis vara så att du räknat fel, om du inte hittar några nollställen till derivatan). f( x) = x är dessutom bara definierad för x 0 eftersom man inte kan dra roten ur ett negativt tal. Kommentar : Man måste också vara observant på om funktionen bara är definierad för vissa x-värden. Funktionens derivata kan ibland ha nollställen som ligger utanför definitionsmängden och som därför inte ska beaktas. Kommentar : Om man har att göra med en andragradsfunktion, behöver man inte göra teckenstudium, eftersom en andragradsfunktion har antingen en maximi- eller en mimimipunkt. Vilken typ det är fråga om ges av tecknet på koefficienten för x -termen. Du bör rita så pass många funktioner för hand att du känner dig säker på hur man gör. När ritandet så småningom börjar bli rutinartat, kan du med fördel överlåta en del av arbetet på grafräknaren. Problemet är att avgöra i vilken takt räknaren ska tillåtas ta över. Det kan bara du själv känna. Andraderivatan När vi hittills tagit upp derivata har det underförstått varit den s.k. förstaderivatan f ( x) Det finns en andraderivata också. Den skrivs f ( x), och utläses f-biss-x Man skulle kunna säga att f ( x) är derivatan av f ( x). ( Derivatan av derivatan ). För att bestämma en funktions andraderivata, deriverar man helt enkelt funktionen två gånger. På samma sätt som det finns en koppling mellan en funktion och dess (första)derivata, finns motsvarande koppling mellan förstaderivatan och andraderivatan. Tidigare har vi konstaterat att om f ( a) > 0, så är funktionen växande i punkten a, och om f ( a) < 0, så är funktionen avtagande i a.

På samma sätt gäller att om f ( a) > 0, så är förstaderivatan växande i punkten a, och om f ( a) < 0, så är förstaderivatan avtagande i punkten a. Dessa egenskaper gör att man kan använda andraderivatan, som ett alternativ till teckenstudium, när man vill bestämma en funktions extrempunkter. Hur det går till beskrivs här nedan. Allra sist i denna sammanfattning talas om andraderivatan f (x) och dess användbarhet när man vill bestämma en funktions egenskaper. Med hjälp av andraderivatan kan man slippa teckenschemat helt. För att förstå detta ska vi titta på två andragradsfunktioner. Funktionen är f(x)=x f (x) = x f (x) = > 0 Funktionen konkav uppåt Lokalt min Funktionen är f(x)=-x f (x) = -x f (x) = - < 0 Funktionen konkav nedåt Lokalt max Utifrån detta kan vi bättre förstå följande: Antag att f (a)=0 Om f (a)>0 så är funktionen konkav uppåt i närheten av a och f(x) har lokalt minimum för x=a. Om f (a)<0 så är funktionen konkav nedåt i närheten av a och f(x) har lokalt maximum för x=a. Om f (a)=0 så har funktionen en terrasspunkt för x=a. Exempel Bestäm lokala extrempunkter till funktionen f(x) = x + x 1x +. Steg 1: Bestäm derivatan f (x) = 6x + 6x - 1 Steg : Bestäm derivatans nollställen f (x) = 0 ger 6x + 6x 1 =0 Förenkling ger då x + x =0 som har lösningen 1 1 1 1 1 9 1 x = ± ( ) = ± + = ± = ± 4 4 Dvs. rötterna x 1 = 1 och x = - Steg : Bestäm extrempunkternas karaktär 4

Alternativ 1: Teckenschema f (-)=4>0 f (0)=-1<0 f ()=4>0 Svar: Lokalt min i (1, -4) Lokalt max i (-, ) Alternativ : Andraderivata Bestäm andraderivatan f' (x)=1x+6 f' (1)=1 1+6=18>0 min. punkt f' (-)=1 (-)+6=-18<0 max. punkt f(1)= (1) + (1) 1 1 + =-4 f(-)= (-) + (-) 1 (-) + = Svar: Lokalt min i (1, -4) Lokalt max i (-, ) Grafen till funktionen f(x) = x + x 1x +. Sammanfattning: Om f ( a) = 0 och f ( a) > 0, så har funktionen en minimipunkt för x= a Om f ( a) = 0 och f ( a) < 0, så har funktionen en maximipunkt för x= a Om både f ( a) = 0 och f ( a) = 0, sägs ovan att funktionen har en terasspunkt för x a =. Det sista är bara nästan sant. I de flesta fall har funktionen en terasspunkt, men det finns även andra möjligheter som dock ligger utanför ramen för denna kurs. Vill man vara helt på den säkra sidan bör man göra teckenstudium för detta fall. Största och minsta värde. I de flesta tillämpningar kan inte variablerna anta vilka värden som helst, utan det finns praktiska begränsningar. Vi har tidigare sagt att de värden den oberoende variabeln x kan anta, kallas funktionens definitionsmängd eller definitionsområde. Annorlunda uttryckt; en funktion är ofta bara definierad för vissa värden på x, och definitionsmängden är ett intervall, t.ex 0< x 5. Många gånger är man intresserad av det största och/eller minsta värde funktionen kan anta inom definitionsmängden. Förutom maximi- och minimipunkterna, måste man då även bestämma funktionsvärdena i intervallets ändpunkter. Detta beskriv i exemplet nedan. När ett definitionsområde anges kan man också fråga efter funktionens största och minsta värde. Exempel: En funktion ges av f(x) = x + x 1x + (samma funktion som i exemplet ovan). Funktionen är definierad för x. Bestäm funktionens största och minsta värde med två decimaler. 5

Om vi tittar på grafen ovan kan vi inse att de punkter som kan ge oss ett största eller minsta värde är de lokala extrempunkterna eller funktionens intervallgränser. Därför kan man vid en algebraisk lösning först bestämma de lokala extrempunkternas funktionsvärden. Extrempunkterna är (1, -4) och (-, ) Sedan bestämmer man funktionsvärdena vid intervallgränserna, dvs. här x = - och x =. f(-) = (-) + (-) 1 (-) + = 1 f() = () + () 1 () + = 40 Intervallgränserna är (-, 1) och (, 40) Nu plockar vi ut det största och det minsta värdet av dessa fyra funktionsvärden ( y-värden ). Dessa har markerats med fet stil ovan. Detta leder till Svar: Inom definitionsområdet är funktionens största värde 40 och dess minsta värde är 4. När du kommit så här långt, har du förhoppningsvis fått hyfsad koll på vad derivata är, och hur man kan utnyttja derivatan för att bestämma en funktions egenskaper. Då är det dags att börja lösa den typ av problem som kräver kunskaper om derivata. (Vi får ju inte glömma bort att all matematik syftar till lösa problem). Det finns en hel mängd uppgifter inom olika områden, där man är intresserad av när någon storhet antar sitt största eller minsta värde. Ofta vill man maximera någonting, t.ex vinst, eller minimera någonting, t.ex materialåtgång vid en tillverkningsprocess. Den typen av problem kan vi nu lösa, genom att utnyttja det faktum att derivatan är noll i en funktions maximi- och minimipunkter. Ibland kallas den här typen av problem för optimering. Många gånger är det svåraste momentet vid problemlösning att överhuvudtaget få till en funktion, och lyckas man inte med det, har man ju ingenting att jobba vidare med...!!! Svårigheten består ofta i att kunna eliminera en eller flera variabler, så att det bara blir en kvar, eftersom en funktion inte kan innehålla mer än en variabel. När man väl har lyckats skapa en funktion, är faktiskt de flesta uppgifter ganska likartade. Man deriverar funktionen, och bestämmer därefter derivatans nollställen, för att komma åt extrempunkterna. Ibland måste man även bestämma funktionsvärdena i intervallgränserna (för definitionsmängden), eftersom man kan hitta funktionens största eller minsta värdet där Ta för vana, i den här typen av uppgifter, att redan på ett tidigt stadium bestämma funktionens definitionsmängd, för att inte riskera att hamna fel. Ibland ligger kanske något av derivatans nollställen utanför definitionsmängden, och är alltså inte av intresse. Det är bara genom att lösa många uppgifter, som du kan skaffa dig säkerhet vid problemlösning. (Hur skulle det kunna vara på annat sätt?) Det är fråga om en process, som du successivt växer in i, men du måste acceptera, att det processen framförallt kräver är tid. 6