Det allmänna måttproblemet & Hausdorffs paradox

U.U.D.M. Project Report 2015:30 Det allmänna måttproblemet & Hausdorffs paradox Johan Lakso Examensarbete i matematik, 15 hp Handledare och examinator: Gunnar Berg September 2015 Department of Mathematics Uppsala University

Johan Lakso Examensarbete C i matematik Vt- 15 Det allmänna måttproblemet & Hausdorffs paradox Ett verk av Johan Lakso C- uppsats inom matematik(g2e), 15 Hp. Ämneslärarprogrammet 7-9 270 hp Vårterminen 2015 Handledare: Gunnar Berg

Innehållsförteckning 1. Den historiska introduktionen av måttproblemet... 3 2. Det allmänna måttproblemet... 7 2.1. Vitalis motexempel... 7 2.2. Hausdorffs paradox i korta drag... 9 2.3. Tekniska detaljerna i paradoxen... 10 3. Kortare sammanfattning av Banach Tarskis paradox... 15 4. Diskussion om urvalsaxiomet... 17 Litteraturförteckning:... 20 Internetadresser... 21 2

1. Den historiska introduktionen av måttproblemet Tidigt förstod människan nyttan med matematiken och det var viktigt att kunna räkna ut konkreta areor eller volymer av enkla geometriska figurer för till exempel byggnadskonsten. De gamla egyptierna är ett bra exempel på detta i och med Rhindpapyren, daterat 1600 år före vår tidräkning, som innehöll 85 matematiska problem, varav ett problem med areaberäkning utifrån ett ursprungligt geometriskt problem. Problemet var hur man skulle beräkna arean av en cirkel, detta gjorde man genom att man skulle dra bort en 1/9 av cirkelns diameter. Det som återstår av diameterns längd, 8/9, kvadreras. Det erhållna värdet tas som approximation av cirkelns area 1. Detta helt utan att använda sig av π som är standard idag när man räknar ut cirkelns area. Men det var antikens Grekland där vår matematiska resa börjar, där en viktig person var Eudoxos (408-355 f.v.t.) och hans exhaustationsmetod 2 som användes för att beräkna areor och volymer. Arkimedes från Syrakusa (287-212 f.v.t) var en annan viktig person, som gjorde storslagna insatser inom matematiken och mekaniken. Man kan bland annat nämna Arkimedes bestämning av en cirkels area, hans berömda approximation av det talet som vi benämner som π, hans bestämning av sfärens volym, förhållandet mellan volymen av en sfär och dess omskrivna cylinder och slutligen hans bestämning av en sfärs area 3. Men Arkimedes kanske största bedrift och kortfattat sagt, starten på den matematiska analysen var när Arkimedes bestämde arean av ett parabelsegment genom att successivt fylla ut segmentet med trianglar, vars areor han kunde bestämma. De areorna bildade en geometrisk serie 4. Efter grekiska rikets fall kom en period i Europa som kom frambringa väldigt lite nytt inom naturvetenskapen och matematiken, en mörk nästan tusenårig period. Detta bryts i och med renässansens och boktryckarkonsten kan man kort säga. Viktiga matematiker som bidrog till att utveckla den matematiska analysen, var 1Thompson, Jan s.40-41 2 Uttömningsmetoden 3Thompson, Jan s.279 4 Analysen och kalkylens historia. Axling, Olle. LU. 2008 3

Francois Viete (1540-1603) som utvecklade det matematiska språket (symboliken) och som kom att förfinas med tiden. Under detta århundrade började de flesta matematiker betrakta areor och kroppar som uppbyggda av oändligt många delar. Begreppet indivisibler (från engelskan =odelbar) förekom och betydde att en geometrisk figur menades bestå av objekt med lägre dimension, en yta kunde sammansättas av sträckor 5. Under denna period (~1600- talet) arbetade matematikerna John Kepler, Galileo Galileo, Bonaventura Cavalieri, Evangelista Torricelli, G. P Roberval med geometriska kroppar, infinitesimaler och indivisibler och bidrog därmed till matematiska analysen. Rene Descartes utvecklade Vietes symbolik, Pierre de Fermat beräknade många areor under kurvor och Isaac Barrow visade geometriskt att fanns ett samband mellan tangent- areaproblemet (derivering antiderrivering) 6. Isaac Newton tillsammans med den samtida Gottfried W Leibniz kom oberoende av varandra fram till var sin version av infinitesimalkalkylen (integral- och differentialkalkylen) mellan åren 1660-1680. De gjorde vad Isaac Barrow hade gjort geometriskt, fast nu helt analytiskt, nämligen att bestämma sambandet mellan en kurvas tangent och arean under en graf. En förkortad förklaring av hur de uppfann kalkylen var genom problem- reduktion, beräkning av arean under kurvan genom inversion av processen för att beräkna tangenten och skapandet av en algoritm. En annan skillnad mellan dem var att Newton tänkte sig hastigheter (fluxioner) och sträckor medan Leibniz tänkte sig differenser och summor. Leibniz var den som införde de beteckningar som vi använder i dagens analys, bland annat introducerade Leibniz integral- tecknet den 29 oktober 1657. Deras infinitesimalkalkyl kunde förstås tillämpas på många olika sätt men ingen av dem gav någon striktare definition av en bestämd integral eller de såg snarare inte behovet av det än, sådana betänkligheter kom först senare 8. Under 1700- talet arbetade bland annat Leonhard Euler med att studera funktioner som begrepp och inte kurvor som tidigare matematiker hade gjort, 5 Axling, Olle. s.8. 6 Lund. s.68-69 7 Axling, Olle. s.12-14. 8 The Evolution of Integration. A. Shenitzer and J. Steprans. The American Mathematical Monthly, Vol. 101, No. 1 (Jan., 1994), s.69 4

för Euler var integration det inversa till derivering (inte att räkna ut en area) 9. Men det var under 1800- talet som matematiker tog itu med de lösa trådar och ouppklarade problem rörande bevis och begrepp i matematiska analysen som uppstått genom historien. Det matematikerna framförallt var tvungna att fokusera på, var själva konceptet av vad en funktion var. Till exempel hade användningen av serier beträffande konvergens och divergens gjort att paradoxer och motsättningar inom professionen uppkommit. Kontroversen handlade om representationen av funktioner med trigonometriska serier som hade skapat mer förvirring och berodde också på att de fundamentala idéerna om derivatan och integralen aldrig blivit ordentligt definierade 10. Tanken bakom den area som är bunden till en kurva, längd av en kurva, volymen bunden till en yta och arean av en yta hade blivit instinktivt förstådda och därmed accepterade. Detta framstod länge som en av de stora upptäckterna i analysen men Augustine Cauchy hade som målsättning att aritmetisera analysen, definierade dessa geometriska kvantiteter med hjälp av integralen som hade blivit formulerad för att kunna analysera dem 11. Den första stränga definitionen av en integral beskrevs av Cauchy på 1820- talet 12. Cauchy betraktade och bearbetade kontinuerliga funktioner. Men med den snabba utvecklingen av analysen var man tvungen att försöka tygla och beskriva oregelbundheten av integralers funktioner. Ämnet integrerbarhet togs upp av Bernhard Riemann år 1854 och Riemann generaliserade integralen 13 (dock hade Riemannsintegral för bestämda funk4oner. Area Riemannintegralen vissa brister, då den enbart fungerar för bestämda funktioner) men är faktiskt än idag väldigt användbar framför allt bland fysiker och ingenjörer. Riemannintegralen bygger på Jordanmåttet 14 och är definierad utifrån gränsvärdet av Riemannsummor. 9 Axling, Olle. s.15 10 Kline, Morris. s.947 11 Kline, Morris. s.958. 12 A. Shenitzer and J. Steprans s.69 13 Kline, Morris. s.958-959 14 http://mathworld.wolfram.com/jordanmeasure.html 5

Den franske matematikern Camille Jordan tillsammans med den italienske matematikern Giuseppe Peano tog analysen och måttet ett steg vidare, när de skapade sitt eget mått, Peano- Jordanmåttet 15. Det bakomliggande missnöjet med Riemannintegralen var motivationen och drivkraften bakom arbetet, Riemannintegralens främsta syfte var att definiera arean av område av R!, som avgränsas mellan en av axlarna och funktionens graf, enklare vore om begreppet area kunde ses direkt från starten. Problem med Riemannintegralen uppstår i de högre dimensionerna, då man ofta vill integrera i begränsade områden, exemplevis i R! eller R!, till och med funktionen lika med ett över sådana områden leder till problem med att definiera areor och volymer 16. Brister hos Riemannintegralen/ Jordanmåttet gjorde att Henri Lebesgue (1875- Lebesgueintegral för begränsade funk4oner Area 1941) förändrade och förbättrade måtteorin med Lebesgueintegralen som var baserad på hans eget mått, Lebesgue- måttet. Hans mått standardiserade sättet som mått tilldelas till delmängder av det euklidiska rummet R!. Detta gällande för n = 1, 2 och 3 och det sammanfaller med det vardagliga sätt som vi mäter längd, area och volym. Mängder som kan tilldelas Lebesguemåttet tillhör klassen av Lebesgue- mätbara mängder 17. Detta ökade antal mätbara delmängder och ledde till att integrerbarheten blev mer omfattande och matematiskt flexibel än vad Rimannintegralen hade varit. 15 G. Peano, "Applicazioni geometriche del calcolo infinitesimale", Fratelli Bocca, Torino, 1887 16 http://www.math.ucla.edu/~biskup/245a.1.14f/pdfs/peano- Jordan- content.pdf 17 En populärvetenskaplig introduktion till urvalsaxiomet och dess konsekvenser. 17 maj 2012. 6

2. Det allmänna måttproblemet Henri Lebesgue frågade sig om det är möjligt att till varje begränsad delmängd E av de reella talen ordna ett icke- negativt tal måttet m(e), som uppfyller kriterierna 18 : 1) Kongruenta mängder har samma mått 19. 2) Måttet av föreningsmängden av en ändlig eller uppräkneligt oändlig samling disjunkta mängder är summan av måtten av mängderna. 3) m[0,1] = 1 2.1. Vitalis motexempel Den italienske matematikern Giuseppe Vitali bevisade år 1906 att problemet är olösbart. Detta gjorde han genom att konstruera ett motexemepel på följande sätt: Låt x vara en punkt i intervallet (0,1) och definiera en relation R på intervallet genom xry om x y Q Då är R en ekvivalensrelation: xrx gäller ty x x = 0 Q [Reflexivitet]. Om x y Q så har vi y x Q. [Symmetri] Om x y Q och y z Q så gäller x y + y z = x z Q. [Transitivitet] 18Lebesgue, Henri. Sur L'Integation. 1904. Paris. Gauthier- Villars, Imprimeur- Libraire. S.103. 19 Hausdorffs definition: två mängder är kongurenta om det finns en bijektion mellan dem som bevarar avstånd. 7

Det som följer då är en uppdelning av (0,1) i ekvivalensklasser där Rx betecknar den klass x tillhör. Vi väljer nu (här används urvalsaxiomet som vi ska redogöra för senare i arbetet) ett tal ur var och en av dessa klasser och får mängden S av alla dessa. Låt nu (r! )!!!! vara en uppräkning av alla rationella tal i intervallet (- 1,2) och låt S! vara mängden S translaterad sträckan r!. Detta backas upp med att S! S! = om m n eftersom, om α S! S! så har vi α = x + r! = y + r! med x och y i S det vill säga x + r! = y + r! x y Q xry så x och y ligger i samma klass vilket strider mot konstruktionen av S. Alltså har vi S! 1,3 för alla n och bildar mängden E = S! S! osv. Som också uppfyller E 1,3. Antag nu att vi har en en måttfunktion enligt ovan. Då har vi 1 m E 4 (axiom 2) och m S = m(s! ) (axiom 1). Dessutom gäller:! 4 m E = m!!! S! 20 = m S! + m S! + + m S! +... n m S för alla n, dvs. m(s) 4/n för alla n så m(s) måste vara 0 dvs. m(e) =0. Detta strider mot m E 1 ovan! Slutsats: Mängden E kan inte vara mätbar. I beviset använde Vitali sig av det så kallade urvalsaxiomet som kan formuleras på följande sätt: Låt π vara en mängd av icke- tomma mängder π = π!!!. Då gäller det att det finns en mängd U så att U = f: π!! π! f(π! ) π! med U > 0. Om f U så kallas f en urvalsfunktion för ϖ 21. 20 Axiom IV 21 E. Zermelo: Beweis, dass jede Menge wohlgeordnet werden kann. Mathematische Annalen 59, s. 514-516, 1904 8

Alltså är det alltid möjligt att ur elementen π!, π!, π! (som i sin tur är mängder) av ϖ med hjälp av en urvalsfunktion välja exakt ett element och av dessa bilda en ny mängd ϒ. 22 Henri Lebesgue var en av de matematiker som var skeptiska till användningen av urvalsaxiomet. Ett tecken på det var att han fortsatte att fundera på sitt problem. Den tyske matematikern Felix Hausdorff ställde 1914 sig frågan om det är möjligt att till varje begränsad delmängd A av de reella talen eller av R!, R! R! ordna ett icke- negativt tal ( inhalt ) m(a) som uppfyller: 23 I. Kongruenta mängder har samma mått. II. m(e) =1 (E. Enhetskvadrat, enhetskub) III. m A B = m A + m B om A B = Felix Hausdorff, vars arbete byggde på insatser av matematikerna Émile Borel och Henri- Léon Lebesgue, gav en klar introduktion till måtteorin. Hausdorff ställde sig alltså frågan om ett mått som uppfyller villkoren I), II) och III) existerar. Genom sin paradoxala konstruktion, som vi skall behandla nedan, visar Hausdorff att ett mått med de önskade egenskaperna inte existerar. Liksom Vitali använder han sig av urvalsaxiomet, ett axiom han antog att alla likasinnade inom den matematiska sfären accepterade 24. Detta resultat erhöll Hausdorff genom att skapa sin paradox, nedan kommer en kortare genomgång av paradoxen från Grundzüge der Mengenlehre, 1914. 2.2. Hausdorffs paradox i korta drag Paradoxen säger, om man tar bort en uppräknelig delmängd av enhetssfären som vi betecknade S 2, kan den återstående delen bli uppdelade i 3 disjunkta delmängder A, B och C så att A, B, C och B C är alla kongruenta. 22 En populärvetenskaplig konsekvenser. 17 Maj 2012. 23Hausdorff, Felix, Grundzüge der Mengenlehre, 1914, Leipzig 24 http://www.encyclopedia.com/topic/felix_hausdorff.aspx 2015-05- 23 9

Om vi nu har ett m som uppfyller I), II) och III) av Hausdorffs kriterier så att m A = m B = m C = m(b C) 25 och m B C = m B + m(c) 26 skulle stämma, vilket det inte gör eftersom det är motsägelsefullt. 2.3. Tekniska detaljerna i paradoxen Av detta väljer vi nu att betrakta två transformationer av enhetsfären S i R!, dels som ψ som är rotationen 2π/3 kring z- axeln och dels som φ som är rotationen π kring en axel i xz- planet som bildar vinkeln! med z- axeln:! ψ =!!!! 0!!!! 0 0 0 1, φ = cosθ 0 sinθ 0 1 0 sinθ 0 cosθ Vidare gäller att vi har ψ 3 = Id, φ 2 = Id (identitetsavbildningen)(*). Vi låter nu G vara mängden av alla matriser, man får genom att multiplicera ihop ändligt många av dessa matriser. Man inser då att G blir en grupp. Som leder till: Slutenheten följer av att produkten av två uppsättningar av ändligt många matriser är en produkt av ändligt många matriser. Associativiteten följer av att den gäller för matrisprodukten. Enhetselement är enhetsmatrisen. Existerar av inversen således är slutenheten klar, associativiteten följer av att den gäller för matrisprodukten och att vi har inverser följerna ur relationerna ovan: φ är sin egen invers, ψ 2 är invers till ψ och t.ex. φψφ har inversen φψ 2 φ. 25 Enligt punkt I) 26 Enligt punkt III) 10

Av detta följer nu att vi kan indela elementen i G i fyra klasser: α = ψ!! φψ!! φ ψ!! φ β = φψ!!φ ψ!! γ = φψ!!φ ψ!!φ δ = ψ!!φψ!! φψ!! Där Pi = 1 eller 2, och av de två på varandra följande symboler är alltid exakt en lika med φ. Vi säger då att elementen är i reducerad form. Vi skall nu visa att man kan välja vinkeln θ så att elementen kan skrivas på en reducerad form på exakt ett sätt! Idén bakom beviset är följande. Vi studerar effekten av ett element i gruppen G på vektorn (0,0,1) och det som sker om man antar att elementet har formen α ovan är att resultatet kommer bli en vektor vars tredje komponent har formen F(cosθ) där F är ett polynom med rationella koefficienter och med den ledande koefficienten på formen (3/2) n för något positivt heltal n. Fortsätter vi att anta att det finns ett element av typ α som är identiteten så skulle det innebära att det sker en avbildning (0,0,1) på sig själv, nämligen att vi har F(cosθ) =1. Dock medför detta att cosθ är en rot till en polynomekvation med rationella koefficienter, vilket betyder att cosθ är ett algebraiskt tal. Eftersom de algebraiska talen är uppräkneliga medan cosθ antar överuppräkneligt många värden, om 0 < θ < π/2, så finns det gott om värden på θ för vilka cosθ inte är algebraiskt utan är transcendent 27. Vi väljer alltså ett sådant, θ i fortsättningen. Det är sedan inte svårt att visa att inte heller element på formen β, γ eller δ kan vara identiteten. Om exempelvis: φψ!" φψ!! ψ!! = Id fås φ φψ!!... ψ!! φ = φidφ ψ!!φ ψ!! = Id vilket ju, som är tidigare visat, är omöjligt! 27 Transcendent tal = ett tal som inte har en lösning till någon algebraiskekvation med heltalskoefficienter. Exempel på transcendenta tal är e och π. I det här fallet går det t.ex. bra om θ är algebraiskt och inte lika med 0. 11

Lemma: Det existerar en uppdelning av G i de tre delmängderna GA, GB och GC så att: g G A φg G B G C g G A ψg G B g G A ψ 2 g G C Bevis: Grunden ligger i startvärdena: Id G A φ G B, ψ G B ψ 2 G C Vi antar sedan att uppdelningen är gjord för ett element av längden n (alltså med n symboler) och för element av längden n + 1 så gäller då: Om g börjar med ψ eller ψ 2 sätter vi in φg i GB om g ligger i GA och vi sätter in φg i GA om g ligger i GB eller GC. Om g börjar med φ sätter vi in ψg i GB och ψ 2 g i GC om g GA, ψg i GC och ψ 2 g i GA om g GB och ψg i GA och ψ 2 g i GB om g GC. Vi visar hur det fungerar med några exempel. Var ligger φψ? Om φψ G! G! så måste ψ G!, motsägelse. Alltså gäller φψ G! 12

Var ligger ψφ? Om ψφ G! så måste ψ! ψφ =. ψ! φ = φ G! Vilket inte gäller. Om ψφ G! måste φ G! vilket inte heller är sant. Alltså har vi ψφ G!. Var ligger φψφ? Att φψφ ligger i G! är ekvivalent med att φ φψφ = φ! ψφ = ψφ G! G!, vilket är sant. Således gäller φψφ G!. Beviset för att uppdelningen fungerar som det påstås i lemmat sker via en induktion i längden av uttrycket 28. V.S.B. Nästa steg är att använda sig av den uppdelningen vi gjorde av gruppen G till att skapa en paradoxal uppdelning av sfären. Till att börja med observerar vi elementen i G är rotationer av sfären och det betyder att varje rotation har två punkter som inte ändras (rotationsaxelns pol). Dessutom är G uppräknelig, alltså finns det bara uppräkneligt många poler, låt mängden av dessa vara P. Betrakta nu G och låt G verka på S P och konstatera först att om x S P så gäller gx S P för alla g G. (Obs. om gx P så finns h G med h gx = gx g!! hg x = x alltså x P). Givet x S P kan vi nu definiera banan som mängden G x = gx; g G. Detta leder nu till att man har två banor, antingen identiska eller disjunkta. [Ty: x G y x = gy alltså g G g!! x = y y G(x)]. 28 Se Stromberg s.155 13

Då kan vi konstatera att vi får en uppdelning av S P i banor. Nu använder vi oss urvalsaxiomet och väljer en punkt i varje bana och låter dessa punkter bilda en mängd, M. Då gäller S P = g x ; x M, g G och det leder till: I) M S P II) x y i M G x G y = III) y S P y G x för något x M. Genom att från det tidigare lemmat använda sig av GA, GB och GC kan vi nu beskriva den paradoxala uppdelningen av S som är målet med det hela, nämligen: A = G! M, B = G! M och C = G! (M) Nu ska det bevisas att S = P A B C är en uppdelning av S i disjunkta delar. Till att börja med gäller att: Varje punkt kan skrivas på exakt ett sätt som gx med g G och x M. Alltså finns det ett sådant g och x följer av III) ovan och av II) att x är entydigt bestämt. Slutligen är g entydigt bestämt eftersom gx = hx h!! x = x så att x är en fixpunkt men alla sådana ligger i P och M = S P enligt I). Om vi nu sätter A = G! M, B = G! M och C = G! (M) så följer att A, B och C är disjunkta och A B C = S P 14

Vidare ser vi att rotationerna φ och ψ avbildar A på en kongruent mängd, eller mer exakt: φ A = φδ x ; δ G!, x M = g x ; g G! G! ; x M = B C ψ A = ψδ x ; ψδ G!, x M = g x ; g G! ; x M = B ψ! A = ψ! δ x ; ψ! δ G!, x M = g x ; δ G! ; x M = C [Obs! I alla tre fallen används lemmat som tidigare presenterats.] Detta leder oss till A B, A C, A B C och om m är ett mått på S som är ändligt additiv så får vi: m A = m B och m A = m B + m(c) vilket medför att m A = m B = m C = 0 och alltså m(s P) och eftersom P är uppräknelig blir m P = 0, så m S = 0, och alltså finns det inget mått på S. Slutsats: Måttproblemet förblir olösbart. Hausdorffs motexempel visar att det allmänna måttproblemt är olösbart om dimensionen är 3. I lägre dimensioner är situationen en annan, det skulle Stefan Banach visa. År 1923 bevisar Stefan Banach att det existerar ett ändligt additiv mått m i R! som förlänger Lebesgues mått, så att m är definierat för alla delmängder i R!. 29 Stefan Banach visade också att det fungerar i R!. 30 3. Kortare sammanfattning av Banach Tarskis paradox Som slutkläm på detta arbete så kommer Banach- Tarskis paradox beröras. Stefan Banach och Alfred Tarski var två av en större grupp polska matematiker som träffades regelbundet i början av 1920- talet. År 1924 ställde de upp sin 29 Halbeisen, Lorenz J.Combinatorial Set Theory. Springer- Verlag London Limited 2012 30 Stefan Banach, "Sur le problème de la mesure", Fundamenta Mathematica 4, pp. 7 33, 1923 15

berömda paradox i sin artikel Sur la décomposition des ensembles de points en parties respectivement congruentes 31 som i sin tur motiverades av Felix Hausdorffs paradox. Urvalsaxiomet har en central roll i Banach- Tarskis paradox och den har kallats det mest häpnadsväckande resultatet inom teoretisk matematik av matematikern Jan Mycielski 32. Paradoxen säger, om J och K är begränsade delmängder av R! med icke- tomma inre så existerar ett tal w W och partitioner J! 1 i w och K! 1 i w av J resp. K så att Ji är kongruent med Ki för alla i 33. Teorem för sfären: Enhetsfären S! i R! kan bli uppdelad i ändligt antal bitar, vilka kan roteras och translateras så att de passar tillsammans och så att de kan bilda två disjunkta sfärer av radie 1 34. Teorem för klotet: Enhetsklotet i R! kan bli uppdelad i ändligt antal bitar, vilka kan roteras och translateras så att de passar tillsammans och så att de kan bilda två klot av radie 1 35. [För beviset av Banach- Tarskis paradoxen hänvisas till Karl Stromberg eller Stan Wagon.] 31 S. Banach, A. Tarski: Sur la décomposition des ensembles de points en parties respectivement congruentes. Fundamenta Mathematicae 6, s. 244-277 32 Blackadar, Bruce. The Banach- Tarski pdf. s.1 33 En populärvetenskaplig introduktion till urvalsaxiomet och dess konsekvenser. pdf. 34 Blackadar, Bruce. The Banach- Tarski pdf. s.1 35 Blackadar, Bruce. The Banach- Tarski pdf. s.1 16

4. Diskussion om urvalsaxiomet Att välja en socka från var och en av oändligt många par sockor kräver urvalsaxiomet, men för skorna krävs ej axiomet. - Bertrand Russell (engelsk matematiker/filosof) Ända sedan skapelsen eller upptäckten av urvalsaxiomet, av tysken Ernst Zermelo år 1904, så har matematiker haft delade meningar angående urvalsaxiomet, då man antingen godtagit axiomet för vad det är eller förnekat dess betydelse som en byggsten inom den moderna matematiken 36. Så snart det blev känt att Hausdorffs paradox använde sig av urvalsaxiomet, så blev det en kritikerstorm och en av de starkaste kritikerna var den franske matematikern Émile Borel, som försökte med hjälp av sannolikhetslära, klargöra sin negativa ståndpunkt till urvalsaxiomet, hans argument var: härav drar vi en slutsats att användning av urvalsaxiomet och standardtillämpning av kalkylen av sannolikheterna till mängderna A, B, C 37, vilket detta axiom tillåter bli definierad, leder till en motsägelse. Därför måste urvalsaxiomet förkastats 38, men senare visar det sig att urvalsaxiomet är nödvändigt för Hausdorff paradox såväl som för Banach- Tarskis dito 39. En av urvalsaxiomets mest häpnadsväckande egenskaper är att det kan användas för att skapa icke- mätbara mängder. Efter den insikten så har matematiker funderat på om det är möjligt att konstruera en icke- mätbar mängd utan att använda sig av axiomet. Alla kända konstruktioner hade använts sig av urvalsaxiomet och år 1964 bevisade Robert Solovay att (sånär som på vissa tekniska komplikationer) man utan urvalsaxiomet inte kan konstruera icke- mätbara mängder. Av detta följer att både Hausdorffs och Banach- Tarskis resultat kräver axiomet. Robert Solovay använde sig av en metod kallad forcing 36Wagon, Stan. s.207 37 Mängderna A, B & C anger att mängderna samtidigt är en ½ och 1/3 av sfär, som är, bitarna av Hausdorff uppdelning av S 2. Wagon, Stan. s.217. 38 Wagon, Stan s.217 39 Wagon, Stan. s.207. 17

(uppfunnen året innan av Paul Cohen) och visade att, förutsatt att Zermelo- Fraenkels axiomsystem(zf) är fritt från motsägelser så gäller detsamma för ZF + det finns ingen Banach- Tarski paradox ty Banach Tarskis paradox inte är ett teorem i ZF 40. Banach och Tarski poängterade att en uppdelning av detta slag är fysikaliskt omöjligt, ty bitarna är omätbara i den mening som de definierades tidigare. De ville visa övriga matematiker vad användandet av urvalsaxiomet ledde till för absurda konsekvenser, men reaktion blev i princip den motsatta, då det verkar som intresset kring urvalsaxiomet utökats eftersom att det leder till en mängd spännande icke- intuitiva resultat 41, så varför inte ta del av det. Ett stort antal fundamentala resultat kan bevisas med hjälp av urvalsaxiomet och bland annat krävs axiomet för att bevisa att varje vektorrum har en bas och tvärtom, dvs. urvalsaxiomet är ekvivalent med detta resultat. Andra exempel på ekvivalenta resultat är Ernst Zermelos kända teorem inom mängdteorin, välordningssatsen, som också är ekvivalent med urvalsaxiomet 42, detta inom den axiomatiska mängdteorin som heter Zermelo- Fraenkels mängdteori med urval (ZFC), och som skapades efter att Abraham Fraenkels påpekade att Zermelos första axiomatiska mängdteori (ZF) inte var fullständig. Detta skedde i början på 1920- talet 43. När det gäller urvalsaxiomets förhållande till de andra axiomen i ZF så är situationen den att om det inte finns någon motsägelse i ZF så gör det inte heller det om vi lägger till urvalsaxiomet. Detta bevisade av Kurt Gödel år 1939. Att axiomet är oberoende av axiomen i ZF, alltså inte kan bevisas ur dessa, visades av Paul Cohen år 1964. Mer exakt visade han att om ZF är motsägelsefritt så gäller detta även om vi lägger till negationen av urvalsaxiomet. 40 Wagon, Stan. s.208 41 Karlqvist, Anders.. Århundradets matematik s.81 42 En populärvetenskaplig introduktion till urvalsaxiomet och dess konsekvenser. s.8. 17 maj 2012. pdf. 43 http://en.wikipedia.or.g/wiki/zermelo%e2%80%93fraenkel_set_theory 18

Trots Banach- Tarskis paradox och andra invändningar till urvalsaxiomet, ligger ofta fokus på dess icke- konstruktiva natur, men ändå accepterar majoriteten av alla dagens matematiker användning av urvalsaxiomet till fullo. Det är underförstått att icke- mätbara mängder leder till förunderliga situationer som motsäger den fysiska verkligheten, men det spelar nog en mindre roll då matematiken i sig nästan alltid utspelar sig i en domän av mätbara mängder. Även i restriktiva domäner av mängder, gäller att ZF tillsammans med AC är en bättre grund för mängdläran än enbart ZF 44. Redan i Banach- Tarskis originalpapper, förstod författarna att denna upptäckt (paradoxen) skulle skapa kontroverser på grund av sin icke- intuitiva natur. De analyserade användningen av urvalsaxiomet genom att studera påståendena 45 : α) Vilka som helst två polyhedra 46 är ekvivalenta via ändliga sönderdelningar. β)två olika polygoner, med den ena innehållandes den andra, är aldrig ekvivalenta via ändlig sönderdelning. Man har inte kunnat bevisa något av dessa påståenden utan urvalsaxiomet, varken det första, mer paradoxala, som gäller i det tredimensionella rummet, eller det andra, som stämmer överens med intuitionen (och gäller i det tvådimensionella planet). Slutsatsen blir att om man förkastar axiomet så förlorar man inte bara paradoxen utan också resultatet att ingen paradox existerar i planet. Man har dock senare bevisat detta utan hjälp av axiomet. Paradoxerna som kom i början av 1900- talet har en signifikant roll rent historisk sett för matematiken genom att vara oberoende av de grundläggande frågorna inom mängdteorin 47. 44 Wagon, Stan. s.218 45 Wagon, Stan. s. 217 46 a solid figure with many plane faces, typically more than six 47 Wagon, Stan. s.220 19

Litteraturförteckning: Altvall, Hampus. Cramsky, Eli. Davidson, Alexander. Magnusson, Tobias Handledare: Strandmark, Petter. En populärvetenskaplig introduktion till urvalsaxiomet och dess konsekvenser. Lunds universitet. 2012-05- 17. Axling, Olle. Analysen och kalkylens historia. LU. 2008 Brower, Donald. Notes on the Banach- Tarski Paradox. 2006-05- 06 Banach, Stefan. Sur le probléme de la measure. Fundamenta Mathematica 4(1923). s.7-33. S. Banach, A. Tarski: Sur la décomposition des ensembles de points en parties respectivement congruentes. Fundamenta Mathematicae 6, s. 244-277 Halbeisen, J Lorenz. Combinatorial Set Theory - With a Gentle Introduction to Forcing. Springer- Verlag London Limited 2012 Karlqvist, Anders. Århundrates matematik. Eslöv : B. Östlings bokförl. Symposion, 2003 Kline, Morris. Mathematical thought from ancient to modern times, volume I- III. Oxford University press. 1972. Lebesgue, Henri. Sur L'Integation. 1904. Paris. Gauthie- Villars, Imprimeur- Libraire. S.103. Lund, Jens. Från kvadratur till integral en historisk betrakelse. Bokförlaget KUB, 2004 Hausdorff, Felix, Grundzüge der Mengenlehre. Verlag.1914, Leipzig. Stromberg, Karl. The Banach- Tarski Paradox. The American Mathematical Monthly, Vol. 86, No. 3 (Mar., 1979), pp. 151-161 Shenitzer, A och Steprans, J. The Evolution of Integration. The American Mathematical Monthly, Vol. 101, No. 1 (Jan,1994), Thompsson, Jan. Matematiken i historien. Studentlitteratur AB Lund, 1996. Tambour, Torbjörn. Euklidisk geometri. SU. 2002. 20

Zermelo, Ernst. Beweis, dass jede Menge wohlgeordnet werden kann. Mathematische Annalen 59, s. 514-516, 1904 Wagon, Stan. The Banach- Tarskis Paradox. Cambridge University Press. 1985. Internetadresser http://en.wikipedia.org/wiki/zermelo%e2%80%93fraenkel_set_theory. 2015-05- 31. http://www.encyclopedia.com/topic/felix_hausdorff.aspx 2015-05- 23 http://www.math.ucla.edu/~biskup/245a.1.14f/pdfs/peano- Jordan- content.pdf. 2015-06- 02. http://wolfweb.unr.edu/homepage/alex/coll/btarnotes.pdf - Blackadar, Bruce. The Banach Tarski Paradox. 2015-09- 02. 21