Tillämpningar av integraler: Area, skivformeln för volymberäkning, båglängd, rotationsarea, integraler och summor

Tillämpningar av integraler: Area, skivformeln för volymberäkning, båglängd, rotationsarea, integraler och summor

Areaberäkningar En av huvudtillämpningar av integraler är areaberäkning. Nedan följer ett exempel på hur man kan beräkna areor av mer komplicerade områden:

Man bestämmer skärningspunkterna mellan kurvorna genom att finna icke-negativa lösningar till ekvationen x 2 = x 4, och dessa lösningar är uppenbart x = 0 och x = 1. Den sökta arean är lika med skillnaden mellan den area som ligger mellan x-axeln och kurvan y = x 2 och den area som ligger mellan x-axeln och kurvan y = x 4.

Så arean A = 1 0 x 2 dx 1 0 x 4 dx = 1 3 1 5 = 2 15. I allmänhet, om f g för a x b, så är den area som ligger mellan graferna till f och g lika med b f dx b g dx. a a Obs! Det är inte nödvändigt att f, g 0.

Volymberäkningar Vi vill beräkna volymen av den kropp som uppstår då området mellan x-axeln och kurvan y = f (x), a x b, roterar kring x-axeln. Delar man in intervallet [a, b] så att a = x 0 < x 1 < < x n = b och alla delintervall [x k 1, x k ] blir små, så är den del av volymen som ligger mellan x k 1 och x k ungefär lika med πf (x k ) 2 (x k x k 1 ) (kroppen mellan x k 1 och x k approximeras med en cylinder med radien f (x k ) och höjden x k x k 1.

Så volymen V n πf (x k ) 2 (x k x k 1 ). k=1 Om vi gör alla delintervall mindre och mindre, så kommer summan ovan att approximera integralen av πf (x) 2 över [a, b] bättre och bättre. Så b V = π f (x) 2 dx a Exempel. Beräkna volymen av den kropp som alstras då kurvan y = x 2, 1 x 2, roterar kring x-axeln. V = π 2 1 x 4 dx = π [ x 5 /5 ] 2 1 = π(25 1 5 )/5 = 31π/5.

Låt f (x) 0 för x [a, b], där a 0. Nu vill vi beräkna volymen av den kropp som alstras då området mellan x-axeln och kurvan y = f (x), a x b, roterar kring y-axeln. Den del av kroppen som svarar mot x approximeras med ett cylinderskal med inre radien x, höjden f (x) och tjockleken x. Är x litet, så är volymen V inre cylinderns area gånger tjockleken = 2πxf (x) x.

Gör vi en indelning av [a, b] i små delintervall som vi gjorde tidigare, leder detta till integralen av 2πxf (x) över [a, b]. Så den här gången är volymen b V = 2π xf (x) dx a Exempel. Beräkna volymen av den kropp som alstras då området mellan x-axeln och kurvan y = x 2, 1 x 2, roterar kring y-axeln. V = 2π 2 1 x 3 dx = 2π [ x 4 /4 ] 2 1 = 15π/2.

Exempel. Beräkna volymen av den kropp som alstras då skivan x 4 y x 2, x 0 roterar kring y-axeln. Kurvorna y = x 2 och y = x 4, x 0 har två skärningspunkter som svarar mot x = 0 och x = 1 (se ett tidigare exempel). Så skivan ser ut så här:

Volymen blir alltså skillnaden mellan den volym som svarar mot 0 y x 2 och den som svarar mot 0 y x 4. Så V = 2π 1 0 x(x 2 x 4 ) dx = π/6. Uppgiften kan även lösas på ett annat sätt. För x 0 är funktionerna y = x 2 och y = x 4 inverterbara med inverserna x = y 1/2 resp. x = y 1/4, och y = 0 då x = 0 samt y = 1 då x = 1. Volymsformeln då området mellan y-axeln och kurvan x = f 1 (y), c y d är V = π d c f 1 (y) 2 dy (tänk efter varför). Så 1 ( V = π (y 1/4 ) 2 (y 1/2 ) 2) 1 dy = π (y 1/2 y) dy = π/6. 0 0

Båglängd En kurva på parameterform ges av uttrycket r(t) = (x(t), y(t)), α t β. Man kan se det t.ex. som en beskrivning av vårt läge i planet (eller på kartan) vid tiden t. Om x(t), y(t) är (kontiuerligt) deriverbara funktioner, så är det naturligt att definiera r (t) = (x (t), y (t)) och man kan inse att r (t) anger tangentriktningen till kurvan i punkten r(t) förutsatt att r (t) (0, 0).

Vi approximerar kurvan med ett polygontåg. Om t är litet, så är x(t + t) x(t) = [enl. medelvärdessatsen] = x (ξ) t x (t) t och på samma sätt är y(t + t) y(t) y (t) t. Så båglängden från r(t) to r(t + t) är, enl. Pythagoras sats, ungefär lika med (x (t) 2 + y (t) 2 t = r (t) t, där r (t) betecknar längden av vektorn r (t). Detta leder till formeln för båglängden av en kurva:

β β L = (x (t) 2 + y (t) 2 dt = r (t) dt α α Fysikaliskt är r (t) hastighetsvektorn och r (t) farten. Så båglängden är lika med integralen av farten över tidsperioden. Slutligen noterar vi att kurvan y = f (x), a x b (där f har kontinuerlig derivata) kan parametriseras genom x = t, y = f (t), så dess längd är b L = 1 + f (t) 2 dt, och ersätter vi t med den mer a naturliga variabeln x, så får vi L = b a 1 + f (x) 2 dx

Rotationsarea Låt kurvan y = f (x), a x b rotera kring x axeln. Vi antar att f har kontinuerlig derivata och vill beräkna arean av den yta som uppstår vid rotationen.

Vi ersätter kurvan mellan x och x + x, där x är litet, med ett linjestycke. När den så erhållna skivan (markerad med rött på bilden) roterar, bildas en stympad kon vars mantelyta har area som är ungefär lika med omkretsen 2πf (x) gånger längden av linjestycket.

Linjestyckets längd är ungefär 1 + f (x) 2 x (jfr. avsnittet om båglängden). Så den del av mantelytan som ligger mellan x och x + x har, för x litet, arean ungefär lika med 2πf (x) 1 + f (x) 2 x. Detta leder till areaformeln b A = 2π f (x) 1 + f (x) 2 dx a

Integraler och summor (läses översiktligt) Betrakta serien a k. Seriens summa definieras som k=1 k=1 n a k = lim a k n k=1 }{{} =s n (se PB1, avsnitt 2.5.4). Serien kallas konvergent om följden {s n } har ett gränsvärde, annars kallas serien divergent. I fortsättningen antar vi att a k 0 för alla k. Då är följden {s n } växande, så serien konvergerar om och endast om {s n } är uppåt begränsad. Seriens konvergens kan i vissa fall avgöras med hjälp av en generaliserad integral.

Sats (Cauchys integralkriterium). Låt y = f (x), x 1, vara en avtagande och icke-negativ funktion. Sätt a k = f (k). Då är serien a k konvergent om och endast om den k=1 generaliserade integralen 1 f (x) dx är konvergent. Bevis. Vi uppskattar s n både uppifrån och nerifrån med hjälp av integralen av f.

Det är klart att summan av de röda rektanglarnas areor understiger n 1 f (x) dx. Rektanglarna har längden 1 och deras höjd är respektive f (2) = a 2, f (3) = a 3,..., f (n) = a n. n n Så a k a 1 + f (x) dx (vi har lagt till a 1 i båda led). k=1 1 Tar vi de större rektanglarna (med blåa toppar), får vi i stället n n a k a n + f (x) dx (här har vi lagt till a n i båda led; k=1 1 notera att den sista rektangeln har höjden f (n 1) = a n 1 ).

Detta kan vi sammanfatta i en dubbelolikhet: a n + n 1 f (x) dx n k=1 a k }{{} =s n a 1 + n 1 f (x) dx Om integralen konvergerar, går högerledet mot ett ändligt gränsvärde då n och är därmed begränsat. Alltså är den växande följden {s n } begränsad, och därför konvergent. Så serien konvergerar. Divergerar integralen, går vänsterledet mot oändligheten då n. Men då är följden {s n } obegränsad. Därmed är den divergent, och det är också serien.

Exempel. Vi påstår att serien endast om α > 1. k=1 1 konvergerar om och k α Om α( 0, så är a k = k α, där α 0. Så k α 1 och n ) s n 1 = n då n. Alltså divergerar serien. k=1 Låt nu α > 0 och sätt f (x) = x α. Då är f (k) = k α och f är avtagande och positiv. Enligt satsen konvergerar den givna serien om och endast om 1 x α dx konvergerar. Men det har visats tidigare i kursen att integralen är konvergent om och endast om α > 1. Därmed är påståendet visat. Observera att för α < 0 kan inte satsen användas eftersom f inte är avtagande då.