Föreläsning 6 Amplituder Kvanttillstånd Fermioner och bosoner Mer om spinn Frågor Tentan Fk3002 Kvantfysikens grunder 1
Betrakta ett experiment med opolariserade elektroner dvs 50% är spinn-upp och 50% är spinn-ner Sannolikheterna för olika processer: Andel av antalet processer Elektron 1 spinn Elektron2 - spinn Spinn vid D 1 Spinn vid D 2 Sannolikheten 1/4 upp upp upp upp f(θ)-f(π θ) 2 1/4 ner ner ner ner f(θ)-f(π θ) 2 1/4 upp ner upp ner f(θ)) 2 ner upp f(π θ) 2 1/4 ner upp upp ner f(π θ) 2 ner upp f(θ)) 2 Den totala sannolikheten 1 2 1 2 1 2 P= f ( θ ) f ( π θ ) + f ( θ ) + f ( π θ ) (5.19) 2 2 2 Fk3002 Kvantfysikens grunder 2
1000 opolorisade elektroner träffar 1000 opolarisade elektroner! 250 upp + upp reaktioner antalet reaktioner som leder till att partiklarna träffar detektorna: ( θ ) ( π θ ) 2 N = 250P = 250 f f uu uu uu 250 ner + ner reaktioner antalet reaktioner som leder till att partiklarna träffar detektorna:: ( θ ) ( π θ ) 2 N = 250P = 250 f f nn nn nn 250 upp + ner-reaktioner antalet reaktioner som leder till att partiklarna träffar detektorna: [ ] ( θ ) ( π θ ) 2 2 Nun = 250 Pun un + Pun nu = 250 f + f 250 ner + upp-reaktioner antalet reaktioner som leder till att partiklarna träffar detektorna:: ( θ ) ( π θ ) 2 2 Nnu = 250 Pnu un Pnu nu 250 f f + = + Det totala antalet reaktioner som leder till att partiklarna träffar detektorna:: 2 2 π π Ntot = 250 f f + f f + f + f + f + f 2 2 = 500 ( θ ) θ ( θ ) θ ( θ ) ( π θ ) ( θ ) ( π θ ) 2 π f f f f 2 ( θ ) θ + ( θ ) + ( π θ ) 500 Den totala sannolikheten = 2 2 π f f f f 2 2 2 2 2 2 ( θ ) θ + ( θ ) + ( π θ ) 1000 2 2 2 1 π 2 2 = f ( θ ) f θ f ( θ ) f ( π θ ) 2 Fk3002 Kvantfysikens + + 2 grunder 3
Att skjuta en liten stavmagnet genom ett magnetiskt fält N Det magnetiska fältet blir starkare S N Det magnetiska fältet blir starkare S Skjut en stavmagnet in i ett område med ett icke-uniformt magnetiskt fält. Magneten får inte rotera en restriktion hos experimentet. Magneten ska gå upp eller ner! Fk3002 Kvantfysikens grunder 4
Att skjuta en elektronstråle genom ett magnetiskt fält N Elektron Det magnetiska fältet blir starkare S N Elektron Det magnetiska fältet blir starkare 50% of elektroner gå upp och 50% gå ner. Elektroner beter sig som små stavmagneter! S Fk3002 Kvantfysikens grunder 5 Detta experiment kallas för Stern-Gerlachexperimentet (föreläsning 7)
Kvanttillstånd Varje partikel är i ett kvanttillstånd Kvanttillståndet föreskriver partikelns egenskaper. T.ex. att säga att en elektron i en väteatom är i tillståndet X innebär att elektronen har en viss energi, rörelsemängd ( p), spinnriktning (upp/ner) osv. p x e - e - spinn up energi Fk3002 Kvantfysikens grunder 6
Fermioner och bosoner Två identiska partiklar a och b sprids i tyngdpunktssystemet. Partiklarna mäts i detektorna 1 och 2. f ( θ ) =Amplituden att a sprids med vinkeln θ Två möjligheter om någonting observeras: (a) a sprids me d θ och träffar 1 ; b sprids med π -θ och träffar 2. (b) a sprids med π - θ och träffar 2 ; b sprids med θ och träffar 1. Man kan inte skilja mellan de två möjligheterna Om partiklarna är fermioner: ( θ ) ( π θ ) P = f f ( θ ) ( π θ ) P = f + f 2 2 (6.1) ("-" för fermioner) Fk3002 Kvantfysikens grunder 7 (6.2) ("+" för bosoner)
Tillstånd med två bosoner Två bosoner a och b (icke-identiska partiklar) sprider i ett material. - de växelverkar med materialet och inte med varandra. Partikel a får tillstånd 1 och partikeln b får tillstånd 2. Tillstånd e n viss riktning och energi. Amplituden för partikel a : a = 1 a (6.3) Amplituden för partikel b ; b = 2 b (6.4) Den totala amplituden = 1 a 2 b (6.5) 1 2 2 2 2 2 2 Sannolikheten; P = 1 a 2 b = 1 a 2 b = a b (6.6) Om partikel a får tillstånd 2 och partikeln b får tillstånd 1. 2 2 2 2 Sannolikheten; P = 2 a 1 b = a b (6.7) a2= 2 a (6.8) ; b1 = 1 b (6.9) 2 1 1 2 2 2 2 2 Sannolikheten att en av dessa processer observeras: P = a b + a b (6.10) 2 2 1 2 n 1 2 1 2 2 1 Om tillstånden 1 och 2 är identiska: a = a = a (6.11) b = b = b (6.12) Sannolikheten: P = 2 a b (6. 13) n n n Fk3002 Kvantfysikens grunder 8
Tillstånd med två identiska bosoner Betrakta två identiska bosoner a och b Sluttillstånd kan inte skiljas från varandra Amplituderna kan interfera. Amplituden att få en partikel i tillstånd 1 och den andra partikeln i tillstånd 2. Amplitud = 1 a 2 b + 2 a 1 b (6.14) 1 2 n 1 2 2 2 2 2 Sannolikheten P = 1 a 2 b + 2 a 1 b = a b + b a (6.15) Om 1 och 2 är samma tillstånd a = a = a (6.11) ; b = b = b (6.12) P = 4 a b n n (6.16) n 1 2 1 2 I jämförelse är sannolikheten för icke-identiska bosoner Sannolikheten för identiska bosoner är dubbel så stor! 2 2 P = 2 a b n n ( 6. 17) Fk3002 Kvantfysikens grunder 9
Tillstånd med två identiska fermioner Betrakta två identiska fermioner. Sluttillstånden kan inte skiljas från varandra. Amplituderna kan interfera. Amplituden att få en partikel i varje detektor. Amplituden= 1 a 2 b 2 a 1 b (6.18) Sannolikheten P = a b b a = 0 2 2 P = 1 a 2 b 2 a 1 b = a b b a Om 1 och 2 är samma tillstånd n n n n (6.20) 1 2 1 2 (6.19) Två identiska fermioner kan aldrig existera i samma tillstånd!! Paulis uteslutningsprincip!!! Fk3002 Kvantfysikens grunder 10
Innebörder av Paulis uteslutningsprincip E n=2 n=1 Energinivåer i en atom Elektroner i högre nivåer befinner sig längre bort från kärnan. Hur fyllas nivåerna? Betrakta hypotesen att elektroner är bosoner de följer inte uteslutningsprincipen. Alla elektroner i en atom skulle finnas i den lägste energinivån dvs de skulle befinna sig nära kärnan. Utan uteslutningsprincipen H He Li Men elektroner är fermioner och därför följer de uteslutningsprincipen. Endast icke-identiska elektroner (spinn upp och ner) kan befinna sig i samma energitillstånd. Den tredje elektron ligger längre bort från kärnan. Med uteslutningsprincipen Fk3002 Kvantfysikens grunder 11 H He Li
Litiums och Heliums kemiska egenskaper är annorlunda. Helium är en stabil ädelsgas - alla elektroner är fastbundna. Det är lätt att ta bort den tredje elektronen från litium - den ligger lång ifrån kärnan. Grundämnet är väldigt reaktiv. Fk3002 Kvantfysikens grunder 12
Materialets stabilitet Flera innebörder Atomer kan inte komma för nära varandra annars skulle elektroner ha samma tillstånd Det förklarar varför vi inte kan gå genom en vägg. Fk3002 Kvantfysikens grunder 13
Fermioner och bosoner Använd en enkel regel för att bestämma om en partikel som består av fermioner (t.ex. en atom, jon osv) är en fermion eller en boson. Electron, protons and neutrons är fermioner. Beräkna antalet fermioner: N. N=jämn boson (6.21) ; N=udda fermion (6.22) T.ex. 4-P4 (kompendium) 238 Är en U atom en fermion eller en boson? A=antalet protoner + antalet neutroner =238 antalet protoner=92 antalet neutroner= 146 antalet elektroner=92 Antalet fermion = 238+92=330 (6.23) (jämn) 238 U-atom är en boson. Fk3002 Kvantfysikens grunder 14
Rörelsemängdsmoment Betrakta ett föremål som cirkulerar i xy-planet. massa = m ; hastighet = v rörelsemängd = p = mv (6.24) Rörelsemängdsmoment: L = r p (6.25) L är en vektor: L = L zˆ ( 6.26) Fk3002 Kvantfysikens grunder 15
Om planet lutas förändras rörelsemängsmomentet. Samma storlek men riktningen är annorlunda. L kan ha x, y och z-komponenter. L = L xˆ + L yˆ + L zˆ (6.27) x y z Fk3002 Kvantfysikens grunder 16
Betrakta rörelsemängdsmomentet som uppstår på grund av en elektrons spinn. Obs! Naiv bild av spinn!! En elektron kan ha olika spinnriktningar S = S xˆ + S yˆ + S zˆ (6.28) x y z : Fk3002 Kvantfysikens grunder 17
Kan vi mäta (eller känna till) rörelsemängdsdmoments riktning? Obs! Naiv bild av spinn!! Nej!! Vi får bara känna till en komponent Sz. Fk3002 Kvantfysikens grunder 18
Att mäta S Z Elektronstråle B z Detektor Ett ökande magnetiskt fält längs z-riktnignen.. Detektor x Kraften på elektronerna uppstår för att elektronerna är F z,s N S F z,n "små stavmagneter". FZ, N, FZ, S beror på Sz zˆ F F (6.30) rörelse längs z Z, N Z, S Två stråler två möjliga S z. -riktningen! Fk3002 Kvantfysikens grunder 19
En partikels spinnrörelsemängdsmoment : S = S xˆ + S yˆ + S zˆ (6.28) x y z h 2π S = mħ (6.32) m = s, s + 1, s + 2,.. s (6.33) 2 2 Det total spinnet: S = s( s + 1) ħ (6.31) ħ = (4.3) s = spinnkvanttal z s s Antalet spinntillstånd: n = 2s + 1 (6.34) 1 1 3 Spin- partiklar (t.ex. en elektron) : s = (6.35); S = ħ (6.36) 2 2 2 1 1 m s = ± (6.37) Sz = ± ħ (6.38) 2 2 Naturen tillåter två olika spinnstillstånd. Spin- 1 partiklar (t.ex. m s = 1,0,1 (6.41) S = ħ,0, ħ en foton) : s = 1 (6.39) ; S = 2ħ (6.40) (6.42) Naturen tillåter tre olika spinnstillstånd. z Fk3002 Kvantfysikens grunder 20
Två bisarra koncept Vi får samtidigt känna till en partikels totala spinnrörelsemängdsmoment samt komponenten längs en axel. Naturen föreskriver att elektron har endast två möjliga spinntillstånd längs en axel (upp och ner). En spinn-1 partikel kan ha 3 sådana spinntillstånd. Fk3002 Kvantfysikens grunder 21
Några frågor från Daniel På webbsidan. Yes. På webbsidan Fk3002 Kvantfysikens grunder 22
Fk3002 Kvantfysikens grunder 23
Det är i princip omöjligt att göra en mätning med x p<h Detta betyder att vi inte kan hitta på ett experiment för att göra detta. Vi tror att det inte finns inte ett sådant experiment. Om vi kunde få x p<h skulle det betyda att våg-partikeldualitet inte skulle hålla. Endimensionell rörelse 2 2 2 1 ψ = sannolikhetstäthet ψ dx = 1 ψ har enheten längd Tredimensionella rörelse 2 2 2 2 3 ψ = sannolikhetstäthet ψ dv = ψ dxdydz = 1 ψ har enheten längd Fk3002 Kvantfysikens grunder 24
De betyder samma sak. Ibland säger man att diffraktion är ett specifikt fall av interferens och vi tenderar att använda ordet diffraktion när vi diskuterar t.ex. dubbelspaltexperiment. Ordet interferens används mer när vi diskuterar mer abstrakta fall t.ex. två alfapartiklar som växelverkar med varandra. Däremot använder vi ibland ordet diffraktion för att beskriva växelverkan mellan två partiklar. Kort sagt uppstår interferens/diffraktion om P P φ + 2 2 1 2 = φ + φ 1 2 φ 2 Fk3002 Kvantfysikens grunder 25
Tentan Tentan motsvarar bara materialet i föreläsningarna. Om det inte dyker upp här kommer det inte att dyka upp på tentan. Det är bra att lösa gamla frågor men glöm inte att kursinnehållet har förändrats. Fk3002 Kvantfysikens grunder 26
Formelsamling Fk3002 Kvantfysikens grunder 27
2006-01-21 Fk3002 Kvantfysikens grunder 28
000119 Fk3002 Kvantfysikens grunder 29
Fk3002 Kvantfysikens grunder 30
2006-01-21 Fk3002 Kvantfysikens grunder 31