Bengt Sandell, IFM. Reviderad 2012, Mats Eriksson, IFM

Experimentell problemlösning Bengt Sandell, IFM Reviderad 2012, Mats Eriksson, IFM

Innehåll 1. Introduktion... 1 1.1. Fysik - exakt vetenskap... 1 1.2. Hur erhålls en fysikalisk formel?... 1 1.3. Enhetssystem... 2 2. Experimentell problemlösning... 5 2.1. Dimensionsanalys - enkelt exempel... 5 2.2. Arbetsexempel... 7 2.3. Inledande kvalitativ betraktelse - inverkande variabler... 8 2.4. Ansats... 9 2.5. Dimensionsanalys applicerat på arbetsexemplet... 9 2.6. Experiment... 10 2.7. Linearisering med hjälp av logaritmering... 11 2.8. Slututtryck... 12 2.9. Bestämning av konstanten C och slutkontroll... 12 2.10. Sammanfattning av arbetsgången... 13 3. Feluppskattning... 15 4. Några avslutande kommentarer... 19 Appendix A: Elasticitetsmodul och skjuvmodul... 21 Appendix B: Medelvärde och standardavvikelse... 25 Appendix C: Maximalfelsuppskattning med logaritmisk derivering... 27

1. Introduktion 1.1. Fysik - exakt vetenskap Man ser ibland uttrycket exakt vetenskap och som en god representant för en sådan brukar ämnet fysik framhållas. Vad menas med exakt vetenskap och varför skulle fysik vara mer exakt än t.ex. historia eller nationalekonomi? Ett karakteristikum för fysik och en stor del av all naturvetenskap är att man kan göra experiment, dvs. undersöka förhållanden under bestämda betingelser och sammanfatta resultaten i en formel eller ett numeriskt värde. En viktig komponent vid ett experiment är att det kan upprepas och kontrolleras om och om igen. Ovan sades "en stor del av all naturvetenskap". Går det inte att göra experiment i alla naturvetenskaper? Nej, inte om man med experiment menar mätningar under inställda betingelser, dvs. av experimentatorn själv bestämda förhållanden, t.ex. mätning av tryck i en gas som funktion av dess temperatur, där temperaturen är av människa inställd. I många naturvetenskaper gör man snarare observationer av något, under förhållanden man (åtminstone delvis) har kunskap om men inte kan råda över. Detta är t.ex. astronomernas situation. De kan inte påverka de förhållanden som råder i rymden utan "bara" notera. I "icke exakta vetenskaper" finns naturligtvis exakta och odiskutabla inslag. Det är ingen som helst tvekan om att slaget vid Lützen stod den sjätte november 1632 och att Gustav II Adolf avled där och då. Om vi däremot är intresserade av de politiska och ekonomiska följderna av hans död vid detta tillfälle blir det fråga om bedömanden och spekulationer. Enda möjligheten att få sann kunskap om detta skulle vara att jämfora den utveckling som verkligen följde och den som skulle följt om han inte avlidit. Man skulle alltså behöva vrida klockan tillbaka och starta om historien med Gustav Adolf överlevandes slaget vid Lützen. I "icke exakta" vetenskaper kan man mäta och åskådliggöra förlopp i diagram och formler, t.ex. hur medellivslängden har ökat under 1900-talet. När det gäller orsakerna till medellivslängdens ökning blir det dock spekulationer - man kan ha hypoteser. En hypotes är en idé eller ett antagande om något och om hypotesen kan verifieras eller säkerställas kan den upphöjas till en teori. En teori är naturligtvis inte oantastlig - teorier kan omkullkastas. Man hör ofta uttrycket "min teori är att " där vederbörande i stället borde säga "min hypotes är...". Är då fysiken exakt? Svaret är både Ja och Nej och beror på vad man menar med exakt och om man vill gå ännu längre handlar det om kunskapsfilosofi. Det senare lämnar vi här därhän men skall kommentera exaktheten något. 1.2. Hur erhålls en fysikalisk formel? En formel beskriver en relation mellan fysikaliska storheter. Ett exempel på en välkänd formel är Coulombs lag: F = q 1 q 2 r 2 1

Uttrycket beskriver den elektrostatiska kraften, F, mellan två laddningar q 1 och q 2, med avståndet r mellan laddningarnas tyngdpunkter. Är sambandet exakt - är r i nämnaren upphöjt till exakt 2 dvs. 2,0000000000000 i det oändliga, eller blir det efter ett antal nollor decimaler skilda från noll? Svaret är att det vet vi inte. Med de mätmetoder som står till buds idag är vi säkra på 17 nollor, men vad som kommer därefter vet vi inget om. Hur har formeln erhållits? Jo, naturligtvis via experiment - den är alltså en sammanfattning av mätningar. En mätning, dvs. en avläsning av ett numeriskt värde för en fysikalisk storhet på ett instrument, kan bara ge ett begränsat antal siffror. Läser du vikten av något på en våg, så kan du inte få fler siffror än de vågen möjliggör, t.ex. 25,3456 g. De siffror som följer efter de avlästa vet du inget om. I de flesta praktiska situationer behöver man inte bekymra sig om det, men det är viktigt att vara medveten om att alla mätresultat är approximationer av ett ouppnåeligt värde. Går det då inte att härleda Coulombs lag? En härledning eller ett bevis bör ju vara exakt och det är ju vanligt i fysiken att man härleder formler. Vid en härledning behöver man dock utgå från några samband och en härledning innebär inget annat än att plocka fram ett samband genom att kombinera andra. Ett härlett uttryck blir inte exaktare eller sannare än de uttryck man utgår ifrån. Många av fysikens formler är härledda, men i botten på allt ligger några fundamentala samband, som t.ex. Coulombs lag, som inte kan härledas utan är experimentella fakta och som bildar fysikens basaxiom eller "naturlagar". En av fysikens uppgifter är att försöka reducera antalet bassamband och basfenomen till så få som möjligt. 1.3. Enhetssystem För mätning av en fysikalisk storhet krävs en definition av en enhet for storheten. Exempel på storheter är längd, massa och tid. En storhet kan ha olika enheter, t.ex. är meter, tum, sjömil, yard, mile, ångström och ljusår alla enheter för storheten längd. Relationen mellan olika enheter kan vara definierad. Exempel: l ångström = 10-10 m bestämd via mätningar. En mätning kan aldrig ge ett exakt värde, men man har ofta avrundat mätvärdena och definierat relationen som exakt, baserat på de avrundade värdena Så har man t.ex. enats om att 1 yard är exakt 0,9144 m. Omvändningen l m = 1/0,9144 yard är således också exakt men beräkning av 1/0,9144 yard till decimaltal ger närmevärdet 1,0936 yard. Det är ju en stor fördel om antalet enheter för en storhet inte är för många och bekvämast vore om vi kunde enas om endast en enhet för respektive storhet. Inom vetenskap och teknik har detta, med vissa undantag, länge varit fallet och enhetssystemet kallas Système international d'unités med beteckningen SI. Vid uppbygganden av ett enhetssystem kan man gå tillväga på två olika sätt. Det ena är att definiera alla storheter oberoende av varandra och det andra att definiera några, av varandra oberoende grundenheter och de övriga genom samband mellan grundenheterna. 2

Det första alternativet är mycket opraktiskt (varför det?). I det andra alternativet är frågan hur många grundenheter som är nödvändiga för att bygga upp ett enhetssystem. Svaret är att det är godtyckligt. Det räcker faktiskt med en grundenhet ur vilken alla andra kan definieras. Ett system med en grundenhet blir dock opraktiskt. I SI har man valt sju grundstorheter med tillhörande enheter: Storhet Längd Massa Tid Elektrisk ström Temperatur Ljusstyrka Materiemängd Enhet meter (m) kilogram (kg) sekund (s) ampere (A) kelvin (K) candela (cd) mol Ur grundenheterna bildas alla övriga SI-enheter via definitionssamband mellan grundenheterna och de kallas då härledda enheter. Hastighet t.ex. är ju kvoten mellan sträcka och tid, dvs. m/s. Vissa härledda enheter har fått egna namn, t.ex. joule (J) for energi, volt (V) för elektrisk spänning och pascal (Pa) för mekaniskt tryck. De flesta av namnen är personnamn och vedertaget skrivsätt är att första bokstaven i förkortningen skrivs med versal och hela namnet med gemener. Nedan ses en förteckning över härledda enheter med egna namn och dessutom hur de dissekeras i grundenheter. Storhet Härledd enhet (SI-enhet) Uttryckt i Uttryckt i grund- Benämning Beteckning andra SIenheter och supplementenheter Frekvens hertz Hz s -1 Kraft newton N kg m s -2 Tryck, mekanisk spänning pascal Pa N/m 2 kg m -1 s -2 Energi joule J Nm kg m 2 s -2 Effekt watt W J/s kg m 2 s -3 Elmängd, laddning coulomb C A s Elektrisk potential, elektrisk volt V W/A kg m 2 A -1 s -3 spänning Kapacitans farad F C/V kg -1 m -2 A 2 s 4 Resistans ohm Ω V/A kg m 2 A -2 s -3 Konduktans siemens S A/V kg -1 m -2 A 2 s 3 Magnetiskt flöde weber Wb V s kg m 2 A -1 s -2 Magnetisk flödestäthet tesla T Wb/m 2 kg A -1 s -2 Induktans henry H Wb/A kg m 2 A -2 s -2 Ljusflöde lumen lm cd sr Belysning lux lx lm/m 2 cd sr m -2 Aktivitet 1) becquerel Bq s -1 (Absorberad) dos 1) gray Gy J/kg m 2 s -2 1) inom radiologin 3

4

2. Experimentell problemlösning Experimentell problemlösning handlar om att göra empiriska (dvs. grundade på erfarenhet, i detta fall mätningar) modeller av verkligheten. Du kommer att göra detta i form av så kallade Richardslaborationer (efter upphovsmannen), där du använder en kombination av experiment, intuition och teoretiska överväganden. Du ställs då inför en (för dig) okänd uppgift och arbetet ska typiskt resultera i ett (för dig) nytt fysikaliskt uttryck, en formel. Ett viktigt teoretiskt verktyg i detta arbete är dimensionsanalys. Vi börjar med att studera ett väldigt enkelt exempel på detta, innan vi ger oss i kast med den kompletta problemlösningen i ett något mer omfattande arbetsexempel. 2.1. Dimensionsanalys - enkelt exempel En fysikalisk formel är ett samband mellan storheter och ett exempel är kraftekvationen: F = C m a Sambandet är också definitionsekvationen för kraft och i SI har konstanten C satts till ett. I en storhetsekvation är man oberoende av enheternas storlek. Oberoende av enheten för m så är dimensionen alltid massa, och oberoende av enheten for accelerationen a, så är dimensionen längd/tid 2. Högerledet har alltså dimensionen massa längd tid 2 = M L T 2 Det betyder att dimensionen för kraft är ML T 2, vilket i SI-enheter blir kg m s-2. Dimensionen på ömse sidor om likhetstecknet i en fysikalisk formel måste vara densamma, äpplen kan inte vara lika med bananer. Detta kan man ha stor användning av vid kontroll av en formel man är osäker på och ibland kan man via enbart dimensionsanalys plocka fram ett kvalitativt fysikaliskt samband. Låt oss se på ett exempel - den matematiska pendeln som illustreras i figur 1. l m Figur 1. Matematisk pendel. Vi söker ett uttryck för svängningstiden för pendeln (om du från ditt tidigare liv minns uttrycket så glöm det för tillfället snabbt). De storheter som konstituerar pendeln i sig är pendellängden l och massan m. Ytterligare en faktor som påverkar svängningen är tyngdaccelerationen g - utan tyngdacceleration skulle det inte bli någon pendelrörelse. Dessutom kan man tänka sig att utslagets storlek, amplituden, har betydelse. Det har den, men om vi gör ett kontrollexperiment finner vi att för små amplituder är svängningstiden 5

oberoende av amplituden och vi inskränker problemet till att gälla små amplituder. Vi ansätter då t = Cl x m y g z där x, y och z är okända exponenter och C är en dimensionslös konstant (ett tal). Vi söker nu värdena på C, x, y och z. Det måste gälla att dimensionen i högerledet är tid, T, eftersom vänsterledet är tid. Det ger en dimensionsekvation enligt: T 1 = L x M y L T 2 z Man kan på motsvarande sätt skriva en enhetsekvation: s = m x kg y (ms 2 ) z Exponenterna i högerledet skall vara sådana, att massa och längd försvinner och att tiden blir upphöjd till ett. Det betyder att: T (s): 1 = -2z M (kg): L (m): 0 = y 0 = x + z (m har två betydelser: dels beteckning för massa, m, och dels för enheten får längd, m). Ekvationssystemet ger x = 1/2, y = 0 och z = -1/2, vilket ger svängningstiden: t = Cl 1/2 m 0 g 1/2 = C l g Konstanten C går inte att komma åt via dimensionsanalys men det övriga beroendet ramlar ut. Ett tjusigt inslag är att massan, m, försvinner. Vi drog med den i listningen av storheter som inverkar på svängningstiden, eftersom den första intuitionen säger det. (En opretentiös undersökning av författaren har visat, att 90 % av ett representativt urval av Sveriges befolkning anser att massan, m, inverkar på svängningstiden för en pendel, vilket alltså inte är sant). Konstanten C kan erhållas via experiment och kan även härledas ur några fysikaliska samband. Den minnesgode memorerar kanske från gymnasielitteraturen uttrycket t = 2π l g Det är ett teoretiskt uttryck vilket framgår av faktorn 2π. Ett experiment kan inte ge 2π utan enbart ett numeriskt värde. t ex 6,3 eller 6,28, beroende på noggrannheten vid aktuella mätningar. 6

Vi ansatte utan motivering att det sökta uttrycket är en produkt av storheterna. Det är ofta fallet men det finns situationer där ett uttryck inte är en produkt; det kan t.ex. innehålla en summa av termer. Man bör först försöka övertyga sig om att det uttryck man söker är en produkt innan man ansätter en sådan. I pendelfallet gick det att finna alla exponenterna i uttrycket, eftersom antalet dimensioner är lika stort som antalet okända exponenter. Om det inte är fallet kan man dock reducera antalet okända exponenter och därmed minska antalet nödvändiga mätningar. Vi ser närmare på detta i följande arbetsexempel, som kommer att användas i större delen av resten av kompendiet. 2.2. Arbetsexempel Antag att du har en rektangulär balk som vilar på två rullar enligt figur 2. d m Figur 2. En rektangulär balk böjs ned en sträcka d från ett initialt läge (streckad) till ett finalläge då en massa, m, hängs mitt på balken. Vi vill nu bestämma nedböjningen, d, som uppträder när en vikt med massan m hängs mitt på balken (vi bortser från eventuell egennedböjning pga. balkens egen tyngd och tittar bara på den förändring som beror på att massan m adderas). Vi är intresserade av ett uttryck som ger sambandet mellan nedböjningen d och de storheter som inverkar på nedböjningen. Uttrycket skall vara generellt, dvs. gälla för rektangulära balkar av godtyckliga dimensioner och material. Detta samband går att härleda och det är elementärt för en hållfasthetstekniker. Vi har nu inte kunskaper för att härleda uttrycket utan skall med fantasi, intuition, självförtroende, dimensionsanalys och några experimentella resultat (som du för tillfället får tro på) plocka fram ett gott uttryck. 7

2.3. Inledande kvalitativ betraktelse - inverkande variabler Tänk dig att du har tillgång till ett antal balkar och en anordning där du, som i figur 2, kan utsätta dem för belastning samt möjlighet att mäta nedböjningen d. Det första steget är att avgöra vilka storheter som har inverkan på nedböjningen eftersom de skall ingå i den formel som söks. Närmast till hands är naturligtvis massan, m. Det är ju jordens dragningskraft på massan som orsakar nedböjningen. Massan m och tyngdaccelerationen g skall alltså vara med. Tyngdaccelerationen kan inte varieras på samma sätt som andra storheter, även om man ibland kan simulera variation av tyngdaccelerationen (t.ex. genom att studera effekten i tyngdkraftsfältets riktning och i en riktning vinkelrätt däremot). Men tyngdaccelerationen har fysikalisk betydelse; utan tyngdacceleration ingen nedböjande kraft. Vidare bör inses, att balkens längd, l, bredd, b, och tjocklek, t, måste inverka. Slutligen måste ingå något som beskriver balkmaterialets "styvhet", dvs. balkens elastiska egenskaper. Den fysikaliska storhet som skall in i uttrycket är balkens elasticitetsmodul, E (se Appendix A). Med hopp om att ingen variabel är missad, kan nu nedböjningen tecknas: d = f(m, g, l, t, b, E) där f är en, för tillfället, okänd funktion av de olika variablerna. Hur skall man gå vidare? Det går inte att ge några entydiga regler, det beror på aktuellt problem, tidigare kunskaper och personlig läggning. Man kan jämfora det med orientering, där det gäller att ta sig från en kontroll till en annan. Vägvalet kan göras på många sätt och bestäms av erfarenhet, löpkondition (lång säker väg kontra kort men svårare), benägenhet att chansa och kanske ytterligare faktorer. Likadant är det vid experimentell problemlösning - metoden får avgöras från fall till fall och en förmåga att finna den "bästa" metoden kan man bara få genom träning. Ett mycket lämpligt nästa steg är dock att försöka få en uppfattning om det kvalitativa utseendet av det uttryck man söker, speciellt om det är ett produktuttryck eller inte. Det gör man genom att i fantasin (eller via mycket kvalitativa experiment) låta en variabel i taget gå från små till stora värden. Ur detta avgörs återigen kvalitativt hur de inverkar på den beroende variabeln. Låt oss exemplifiera med massan m. Då m är noll är nedböjningen noll och en ökning av m ger en ökning av nedböjningen. I ett diagram blir sambandet mellan nedböjningen d och massan m kvalitativt en kurva som startar i origo och ökar med ökande m. Observera att det bara är massan m som varieras. Alla andra storheter är konstanta. Hur ökningen sker, linjärt, snabbare eller långsammare än linjärt kan vi inte uttala oss om och det är nu heller inte nödvändigt. Det viktiga är att avgöra, om kurvan startar i origo och stiger med ökande m. Med mycket stor sannolikhet kan denna kurva beskrivas av d = C m m x där index m på konstanten C m indikerar att det är massan som varieras och att alla andra variabler hålls konstanta. Värdet på C m beror på de övriga konstanta storheterna och 8

exponenten x avgör hur kurvan kröker. Observera att x i detta uttryck är ett tal, inte en variabel. Det är massan m som är variabeln. Om x = l (ett) är sambandet linjärt; för x > l stiger det snabbare än linjärt och för 0 < x < 1 långsammare än linjärt. Fortsätter vi med samma överväganden för de övriga variablerna finner vi att även de rimligen bildar ett produktuttryck där dock exponenterna i några fall blir negativa. T.ex. bör d minska med ökande tjocklek, t, hos balken. 2.4. Ansats Vi är nu redo att göra en ansats som i grova drag beskriver hur uttrycket bör se ut. I arbetsexemplet ovan är det rimligt att göra en produktansats: d = Cm x g y l z t u b v E w där x, y, z, u, v och w är okända exponenter som kan vara positiva eller negativa. Någon exponent kan också vara noll om vi råkat få med en variabel som visar sig inte påverka nedböjningen. Det är alltså ingen fara att ta med någon variabel för mycket. Det är återigen viktigt att påpeka att produktuttrycksansatsen inte fungerar för alla problem. Ofta bildar några variabler ett summauttryck. En kombination av summa- och produktuttryck kan alltså vara en lämpligare ansats för vissa problem. 2.5. Dimensionsanalys applicerat på arbetsexemplet Vi undersöker nu vilken hjälp vi kan få av en dimensionsanalys. I uttrycket d = Cm x g y l z t u b v E w (1) är dimensionen för vänsterledet längd. Alltså måste även högerledet ha dimensionen längd (dvs. enheten m). Storheterna i högerledet har dimensionerna (enheterna) [m] = M (kg) [g] = LT -2 (m/s 2 ) [l] = [b] = [t] = L (m) [E] = MT -2 L -1 (kg/(s 2 m)) där [ ] betyder "dimensionen av". [m] betyder alltså dimensionen av massan m. Detta ger dimensionsekvationen eller, om man så föredrar, enhetsekvationen L = M x (LT 2 ) y L z L u L v (MT 2 L 1 ) w m = kg x (ms 2 ) y m z m u m v (kgs 2 m 1 ) w Det här betyder att i högerledet ska exponenterna för längd (m) summera sig till ett, medan exponenterna för massa (kg) och tid (s) ska summera sig till noll. Det ger upphov till följande ekvationssystem: 9

L (m): 1 = y + z + u + v - w (2) M (kg): 0 = x + w (3) T (s): 0 = -2y -2w (4) Vi har här tre ekvationer och sex obekanta. I princip hjälper oss alltså dimensionsanalysen att reducera antalet okända exponenter med tre. Av de sex obekanta exponenterna behöver vi alltså bara bestämma tre experimentellt. 2.6. Experiment Ett första experiment kan t.ex. vara att variera massan, m, för att bestämma exponenten x. Därefter ges exponenterna y och w av ekvationerna (3) och (4). Dessutom kommer de okända exponenterna i ekvation (2) att reduceras från fem till tre stycken varav en kan bestämmas av ekvationen när de två andra bestämts experimentellt. Vi gör alltså en mätserie av samhörande värden på d och m med allt annat konstant. Mätdata noteras snyggt i en tabell. Därefter ritas sambandet i ett diagram. Det kan för en viss balk se ut enligt figur 3. Genom att rita mätvärdena i ett diagram kan man dels kontrollera att den tidigare intuitiva uppfattning man hade stämmer med verkligheten, dvs. att ansatsen är korrekt, och dels får man en kontroll av att mätvärdena verkar vettiga. De skall ju då ligga så att det går att rita en jämn graf. Om någon punkt hamnar helt snett är något tokigt. T.ex. kan mätningen vara fel utförd, mätvärdet felnoterat eller punkten felritad i diagrammet. Mätvärdena ger alltså i detta fall en rät linje från origo, vilket beskrivs av d = C m m, dvs. x = 1. Ekvation (3) ger nu direkt att w = -1 och ekvation (4) ger därefter att y = 1. Detta gör att ekvation (1) reduceras till d = Cmgl z t u b v E 1 d (mm) 50 45 40 35 30 25 20 15 10 5 0 0 1 2 3 4 5 m (kg) Figur 3. Experimentella data när nedböjningen d mäts för olika värden på massan m, samtidigt som alla andra variabler hålls konstanta. Ett linjärt samband noteras. 10

Dessutom reduceras ekvation (2) till z + u + v = -1 (5) Med bara ett experiment har vi alltså tack vare dimensionsanalysen lyckats bestämma exponenterna för både massan, tyngdaccelerationen och elasticitetsmodulen. Vi behöver nu utföra två experiment till för att bestämma två av exponenterna z, u och v. Nu tar vi fram några balkar av samma material och tjocklek men med olika bredder, b, och mäter nedböjning som funktion av bredd för konstant massa och balklängd for att finna exponenten v. Mätresultaten i ett diagram kan se ut enligt figur 4a. Vi ser att d avtar olinjärt med ökande b. Exponenten för b är alltså negativ. Här är det inte lika enkelt att säga vad exponenten har för värde. Vi behöver ta till ett trick för att komma vidare. 2.7. Linearisering med hjälp av logaritmering Vi har nu ett uttryck d = C b b v där vi vill bestämma exponenten v. Tricket vi tar till är att logaritmera båda sidor: Detta kan med logaritmreglerna tecknas log (d) = log (C b b v ) log(d) = log(c b ) + vlog(b) Om vi alltså ritar ett nytt diagram med log(d) som funktion av log(b) ska vi få en rät linje med riktningskoefficienten v. Detta är gjort i figur 4b och i detta fall visar det sig att riktningskoefficienten är -1 och därför är v = -1. Det vi har gjort är att linearisera ett olinjärt samband, vilket alltså hjälper oss att bestämma den okända exponenten. a) 20 18 b) -1.7-1.8 d (mm) 16 14 12 10 8 6 4 2 log(d) -1.9-2 -2.1-2.2-2.3-2.4-2.5 0 0 10 20 30 40 50 60 b (mm) -2.6-2 -1.8-1.6-1.4-1.2 log(b) Figur 4. a) Experimentella data när nedböjningen d mäts för olika värden på balkbredden b. Ett olinjärt samband noteras. b) En graf med log (d) som funktion av log(b) ger däremot ett linjärt samband med en riktningskoefficient nära -1. 11

2.8. Slututtryck Vi behöver nu bara göra ett experiment till för att bestämma samtliga exponenter. Vi väljer nu ut balkar med olika längd, men samma parametrar för övrigt. Mätningar på dessa ger upphov till mätdata i figur 5a. Sambandet är återigen olinjärt och därför tar vi åter till tricket med logaritmering. Resultatet av lineariseringen ger en rät linje med en riktningskoefficient nära tre (figur 5b). Vi drar därför slutsatsen att z = 3. Den sista exponenten, u, kan nu bestämmas från ekv. (5). Resultatet blir att u = -3. Vi har nu bestämt alla exponenter och slututtrycket blir d = C mgl3 bt 3 E vilket var svårt att gissa när vi började studera arbetsexemplet. a) 35 b) -1.4 30-1.6 25-1.8-2 d (mm) 20 15 log(d) -2.2-2.4 10-2.6-2.8 5-3 0 0 0.5 1 1.5 l (m) -3.2-0.4-0.2 0 0.2 Figur 5. a) Experimentella data när nedböjningen d mäts för olika värden på balklängden l. Ett olinjärt samband noteras. b) Efter logaritmering erhålls ett linjärt samband med en riktningskoefficient nära 3. log(l) 2.9. Bestämning av konstanten C och slutkontroll Med en direkt mätning menas mätning av en storhet som kan avläsas på något sätt, t.ex. en spänning med en voltmeter, temperatur med en termometer, längd med ett skjutmått. Det kan naturligtvis vara ett antal fysikaliska steg mellan instorheten och visningen men det kallas i alla fall en direkt mätning. Med en indirekt mätning menas en beräkning av en storhet, baserat på separata mätningar av två eller flera andra storheter. Beräkningen av konstanten C i sambandet d = C mgl3 bt 3 E där d, m, g, l, b, t och E är experimentellt mätta värden, är en typisk indirekt mätning. 12

För att kontrollera vårt uttryck gör vi nu mätningar av d som funktion av mgl3 där både d och bt 3 E alla variabler varieras så mycket som möjligt. Antag att vi får följande resultat: m (kg) l (m) b (mm) t (mm) E (10 10 N/m 2 ) Material mgl 3 /bt 3 E (mm) d (mm) 0,500 0,500 20,0 5,0 19,5 Stål 1,26 0,5 1,500 1,500 40,0 8,0 10,5 Mässing 23,09 6 2,000 1,000 50,0 5,0 7,0 Aluminium 44,85 11 3,000 1,000 50,0 5,0 7,0 Aluminium 67,27 18 1,500 1,500 10,0 8,0 10,5 Mässing 92,38 22 Vi ritar nu en graf med d som funktion av mgl3, se figur 6. Eftersom beroendet är linjärt bt 3 E verkar vårt uttryck stämma. C är riktningskoefficienten i grafen, vilken bestäms till 0,25. 25 20 d (mm) 15 10 5 0 0 20 40 60 80 100 3 mgl (mm) 3 bt E Figur 6. Bestämning av konstanten C. 2.10. Sammanfattning av arbetsgången En kort sammanfattning av arbetsgången ser ut så här: Lista de inverkande variablerna (brainstorming) Analysera variablerna noggrannare en i taget och försök få en uppfattning om utseendet av det sökta uttrycket. Produktuttryck eller inte? Gör en dimensionsanalys och reducera antalet okända exponenter Gör experiment och finn de återstående okända exponenterna Gör en slutkontroll och bestäm samtidigt den dimensionslösa konstanten. 13

I arbetsexemplet ansatte vi att nedböjningen är en produkt av de ingående variablerna. Sådana produktuttryck är vanliga, men inte de enda som förekommer. Ett annat vanligt uttryck är, som nämnts ovan, en summa av några variabler och ett produktuttryck mellan denna summa och övriga variabler. Exponentialfunktioner och harmoniska funktioner m.m. förekommer naturligtvis också. 14

3. Feluppskattning Om vi antar att vi bestämt exponenterna i arbetsexemplet exakt, kan vi göra en feluppskattning av konstanten C. Det finns flera sätt att göra en feluppskattning. Det enklaste sättet att göra det är en grafisk uppskattning av den minimala respektive maximala lutningen hos den räta linjen som passar med data i figur 6. Detta illustreras i figur 7: 25 20 C max d (mm) 15 10 C min 5 0 0 20 40 60 80 100 3 mgl (mm) 3 bt E Figur 7. Grafisk uppskattning av osäkerheten hos konstanten C. Ett annat sätt att uppskatta osäkerheten hos konstanten C är att helt enkelt beräkna dess värde för de fem mätpunkter vi har: d (mm) mgl 3 /bt 3 E (mm) C = d/( mgl 3 /bt 3 E) 0,5 1,26 0,397 6 23,09 0,260 11 44,85 0,245 18 67,27 0,268 22 92,38 0,238 15

(Om vi jämför med figur 7 ser vi att C min = 0,238 och C max = 0,268). Från dessa värden på C kan medelvärde och standardavvikelse beräknas (se Appendix B) och konstanten kan anges som C = medelvärde ± standardavvikelse I vårt arbetsexempel verkar osäkerheten vara för stor för det minsta värdet på nedböjningen och det värdet blir inte representativt. Vi tar därför inte med det mätvärdet i vår beräkning av medelvärde och standardavvikelse och får då: C = 0,25 ± 0,01 En tumregel är att man anger lika många decimaler i värdet som i felangivelsen. Allmänt gäller att för att göra en bra feluppskattning, bör man göra så många mätningar som möjligt. Det kan gälla både antalet mätpunkter och antalet upprepade mätningar i samma mätpunkt. De fyra mätvärden vi använt här kan anses vara i minsta laget. Ett sätt att uppskatta det största fel vi riskerar att göra är att göra en maximalfelsuppskattning. Enklast är att göra detta grafiskt genom att omge varje datapunkt med ett osäkerhetsintervall (onoggrannhetsintervall) baserat på de fel vi riskerar att göra utifrån de variabler som används vid bestämningen av konstanten C. I vårt arbetsexempel är det t.ex. rimligt att de ingående variablerna har följande onoggrannheter (beror dock på hur de mäts): Variabel Onoggrannhet d m g l b 0,5 mm 0,0005 kg 0 (exakt) 0,5 mm 0,05 mm t 0,05 mm E 0,5 10 10 N/m 2 Detta ger upphov till onoggrannheterna som illustreras i figur 8, där varje mätpunkt har individuellt beräknade maximalavvikelser i både horisontell och vertikal led. Dessa är beräknade så att onoggrannheterna används för att finna minimalt respektive maximalt möjliga värden på d och mgl3. Det är viktigt att göra väl avvägda bedömningar av bt 3 E onogrannheterna hos variablerna, så att felstaplarna på ett rimligt sätt gafflar in den möjliga lutningen i diagrammet. Genom att dra räta linjer genom onoggrannhetsområdena kan vi uppskatta det maximala respektive minimala värdet på konstanten C. 16

25 20 d (mm) 15 10 C max Cmin 5 0 0 20 40 60 80 100 3 mgl (mm) 3 bt Figur 8. Grafisk maximalfelsuppskattning av konstanten C. Maximalavvikelser, individuellt beräknade för varje mätpunkt, är inritade både i horisontell och vertikal led E Det går också att göra en maximalfelsuppskattning på mer teoretisk väg. Genom att logaritmera och differentiera uttrycket för konstanten C = dbt3 E mgl 3 kan man visa (se Appendix C) att (den relativa) onoggrannheten hos C ges av C C = d d + b b + 3 t t + E E + m m + g g + 3 l l Maximalfelet hos C beror alltså av onoggrannheterna hos de ingående variablerna multiplicerade med tillhörande exponenter. Detta uttryck kan vara intressant att använda för att ta reda på vilka variabler som ger det största bidraget till maximalfelet hos konstanten C. Normalt görs denna uppskattning bara i en mätpunkt. Om vi t.ex. väljer mätpunkten med maximal nedböjning får vi följande maximalfel, C, för konstanten C: 0,5 C = 0.25 + 22 = 0.25 0,05 10,0 + 3 0,05 8,0 + 0,5 10,5 0,0005 1,500 0 9,81 0.0005 + 3 = 1.500 ( 0.022 + 0.005 + 0.019 + 0.048 + 0.00033 + 0 + 0.00033) = 0. 02 + + I detta fall är det onoggrannheterna i E följt av d och t som ger de största bidragen till maximalfelet och som man alltså bör lägga mest krut på att mäta noggrannare. 17

18

4. Några avslutande kommentarer Sunt förnuft Vi har berört några regler för angivande av mätresultat. Inom detta område liksom många andra finns inga eviga sanningar. Det är en orsak till att gott omdöme och sunt förnuft kan vara nog så viktiga egenskaper för en ingenjör, som aldrig så många inpluggade faktakunskaper. Gott omdöme i detta fall är bl.a. att inte ange fler siffror än vad som är motiverat av osäkerheten i mätningen och att själv reflektera över de sifferangivelser man träffar på. Signifikanta siffror Generellt bör man alltid bifoga felgränser vid angivande av ett mätresultat och dessutom tala om vilken typ av fel man menar. Ibland kanske kraven ej motiverar en felangivelse, utan man kan använda vad som kallas signifikanta siffror. Man anger då de siffror man vet är säkra och underförstår, att felet är högst en halv enhet i den sista siffran. Om man anger en spänning till 15 V innebär det, att spänningen ligger närmare 15 V än 14 respektive 16 V, dvs i intervallet 15,0 ± 0,5 V. Man skärper noggrannheten om man anger 15,0 V. Det betyder intervallet 14,95 till 15,05 V. Vad betyder det att en sträcka anges till 22500 m? Är osäkerheten 0,5 m eller 50 m? För att klargöra vad man menar i detta fall bör man skriva 2,2500 10 4 m i det första fallet och 2,25 10 4 m i det andra. Tabeller och diagram Vid laborationerna kommer du att mäta diverse storheter och du ska då anteckna mätresultaten i en protokollsbok. Det underlättar mycket om dessa anteckningar görs snyggt och överskådligt. Ofta är man tvungen att gå tillbaka till tidigare mätningar och det är då synnerligen irriterande om man inte kan dechiffrera sina egna kråkfötter. Anteckningarna skall också föras på ett sådant sätt att en utomstående kan använda dem. De avlästa mätvärdena är vad som kallas primärvärden och skall antecknas i boken. Glöm inte att bifoga enhet. Handlar det om flera mätningar bör de samlas i en tabell med ett tabellhuvud, där det är lämpligt att ange den mätta storheten, både i klartext och med eventuell beteckning. Man har lätt en övertro på sin förmåga att komma ihåg sådana här saker. Du är vid ett antal tillfällen tvungen att rita diagram. Det underlättar då om du lyder följande råd: Välj enheterna på axlarna till l, 2 eller 5 enheter av lämplig tiopotens om du ritar diagrammet på papper, eftersom det underlättar inplaceringen av mätdata i diagrammet och även avläsning ur diagrammet. Detta är inte lika viktigt om diagrammet ritas i datorn. Origo och gradering väljes så att en kurva som skall visa ett samband lutar ungefär lika mycket mot båda axlarna Detta är mycket väsentligt om kurvan skall användas for att grafiskt bestämma en riktningskoefficient. Noggrannheten blir nämligen störst om kurvan lutar c:a 45. 19

Då mätpunkter är inplacerade i ett diagram kan man fråga sig hur väl en kurva skall ansluta sig till punkterna. De fysikaliska förlopp du kommer i kontakt med på laborationerna är kontinuerliga och ofta "vet" du hur förloppet skall vara. Ibland kan punkter hamna irriterande ojämnt så att det inte går att rita en jämn kurva som ansluter sig till punkterna. Orsaken till detta är ofta spridning i mätdata. Man kan ibland få en hjälp om man i diagrammet lägger in onoggrannheten i mätvärdena (som t.ex. i figur 8) och kring varje punkt får en felrektangel. Den kurva man ritar skall då ansluta sig till dessa rektanglar i stället för till punkterna och det underlättar kurvdragningen. 20

Appendix A: Elasticitetsmodul och skjuvmodul Då ett material påverkas av en kraft deformeras det och det blir ett samband mellan deformerande kraft och deformationens storlek, vilket förutom dimensioner beror på det aktuella materialets elastiska egenskaper. Man skiljer på två typer av deformation - töjning och skjuvning. Töjning - elasticitetsmodul Fig. A1 illustrerar töjning. Ett material i form av en stav med vilolängden l 0 och tvärsnittsarean A är inspänt i ena änden och påverkas av en kraft F i den andra änden. Stavens längd förändras då med sträckan l. Hur beror förändringen l av de inverkande storheterna? Ju större F desto större l, alltså l F ( betyder "proportionell mot"). Ju större area A, desto "kraftigare" blir staven och desto mindre l, således l 1/A och ju större vilolängden är, desto större blir l vilket ger l l 0. Detta ger l l 0 F A Figur A1. Ett materials elasticitetsmodul relaterar dess längdförändring pga. töjning till den kraft som påverkar materialet. 21

Vi har nu satt exponenterna till ett för de på l inverkande storheterna. Experiment visar att det är sant. I uttrycket saknas dock något, nämligen en storhet som anger hur "styvt" materialet är. Förlängningen kommer inte att bli densamma för gummi och stål. Denna materialegenskap kallas elasticitetsmodul och den är sådan, att dess värde är stort för styvt material, dvs. för liten förlängning. Elasticitetsmodulen, med beteckningen E, ska då placeras i nämnaren i högerledet ovan, vilket efter omskrivning ger F l = E A l 0 Detta samband kallas Hooke s lag och är ett av hållfasthetslärans fundamentala samband. Löser du ut E och sätter in enheter finner du att enheten för E blir N/m 2 vilket dissekerat i dimensioner blir ML -1 T -2. N/m 2 är kraft per yta vilket är detsamma som tryck och elasticitetsmodulen anges också i tryckenheten pascal (Pa). Elasticitetsmodul kallas i engelsk litteratur Young s modulus. Den är given i Physics Handbook för fasta grundämnen och några legeringar i tabellerna T-1.1 och T-1.2. Skjuvning - skjuvmodul Betrakta figur A2. En parallellepiped av ett material är fast i underlaget och påverkas av en kraft F, utbredd över och parallell med den övre ytan (med arean A) i figuren. Kraften orsakar en deformation från den övre till den nedre formen. Deformationens storlek beskrivs av vinkeln γ. Sambandet mellan storheterna blir F A = G γ Figur A2. Ett materials skjuvmodul relaterar vinkelförändring, γ, till den kraft som påverkar materialet. 22

där G är materialets skjuvmodul. För en viss kraft och yta ses att vinkeln γ minskar för ökande skjuvmodul. Skjuvmodulen G ökar alltså med ökande "styvhet" hos materialet precis som elasticitetsmodulen E. Vinkel har ingen dimension, varför enheten för G blir N/m 2 = Pa. Skjuv- eller torsionsmodul kallas på engelska shear modulus och även denna återfinns i Physics handbook i tabellerna T-1.1 och T-1.2. Vid någon laboration kommer det att handla om deformation av material och du skall då avgöra om det företrädesvis handlar om töjning eller skjuvning och därmed om det är elasticitetsmodulen E eller skjuvmodulen G som skall in i sambandet du söker. Ur dimensionssynpunkt är de likvärdiga men för ett värde på den dimensionslösa konstanten är det väsentligt. 23

24

Appendix B: Medelvärde och standardavvikelse När en noggrann mätning av en storhet upprepas många gånger får man vanligen en spridning i data. Ett vanligt mått för att beskriva denna spridning är standardavvikelsen. Många gånger är spridningen i mätdata (åtminstone approximativt) normalfördelad enligt figur B1 nedan. Normalfördelningen beskrivs av fördelningsfunktionen f ( x µ ) 1 2 ( ) 2σ x = e σ 2π 2 där µ är medelvärdet och σ standardavvikelsen. Om man gör väldigt många mätningar av en normalfördelad storhet kommer fördelningen av data alltmer börja likna normalfördelningen (även om den kanske inte gör det för ett fåtal mätningar). 68 % av mätningarna kommer då att ligga i intervallet µ ± σ. Vill man använda ett spridningsmått som innehåller större andel av mätningarna kan man t.ex. välja µ ± 2σ som innehåller 95 % av mätningarna, µ ± 3σ som innehåller 99.7 % av mätningarna o.s.v. Ofta kan man inte göra "väldigt många mätningar" utan får nöja sig med en skattning av medelvärdet, µˆ, och en skattning av standardavvikelsen, σˆ. Detta görs då (oberoende av om data är normalfördelat eller ej) på följande vis: N 1 1 ˆ µ = xi ˆ σ = ( xi ˆ) µ N N 1 i= 1 där N är antalet mätningar och x i är de individuella mätvärdena. Många miniräknare och mjukvaror för dataanalys innehåller färdiga funktioner för dessa beräkningar. N i= 1 2 0.4 0.35 0.3 µ= 5 σ = 1 0.25 0.2 0.15 0.1 0.05 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 µ-3σ µ-2σ µ-σ µ µ+σ µ+2σ µ+3σ Figur B1. Normalfördelning med medelvärdet 5 (µ = 5) och standardavvikelsen 1 (σ = 1). 25

26

Appendix C: Maximalfelsuppskattning med logaritmisk derivering Betrakta uttrycket Q = a b x y c z Q beror av storheteterna x, y och z som är behäftade med mätfel. Exponenterna a, b och c är konstanter, dvs. vi antar att vi känner deras exakta värden. Vi börjar med att logaritmera uttrycket (ln är den naturliga logaritmen): Nästa steg är att differentiera uttrycket: ln Q = a ln x + bln y c ln z lnq lnq lnq 1 1 1 d lnq = dx + dy dz = a dx + b dy c dz x y z x y z Dessutom gäller för differentialer: Vi får alltså att: dq Q = dq d ln Q = Q dx a x + b Om vi nu identifierar differentialerna som respektive storheters mätosäkerheter, samt utnyttjar att mätosäkerheten är ett "±"-värde, får vi till sist att det relativa maximalfelet, Q/Q, för storheten Q ges av: dy y c dz z Q x y z = a + b + c Q x y z där plustecknet framför c alltså beror på att z både kan vara positiv och negativ. I vårt arbetsexempel är det maximalfelet i konstanten C vi ska uppskatta. Vi har att: 3 mgl d d = C C = 3 bt E Det relativa maximalfelet hos C ges alltså av 3 bt E mgl 3 C C d = d b t E m g l + + 3 + + + + 3 b t E m g l 27