Lådprincipen Följande sats framstår som en fullständig självklarhet: Sats (Lådprincipen (pigeon hole principle)). Låt n > m vara naturliga tal. Fördelar man n föremål i m lådor, så kommer åtminstone en låda att innehålla två föremål. Principen är dock väldigt användbar för att lösa praktiska problem, som i sig kan vara långt i från triviala. Vi börjar med ett enkelt exempel. Exempel 1. Säg att 50 personer kommer på en föreläsning i algebra och kombinatorik. Eftersom 50 > 31 kommer åtminstone två personer ha fördelsedag på samma dag i månaden. Följande exempel är kanske lite mer komplicerat: Exempel 2. Låt P 1,..., P 5 vara fem punkter inskrivna i en kvadrat med sidan 2. Då gäller att avståndet P i P j 2 för åtminstone två av punkterna P i P j. Man ser detta genom att dela in kvadraten i fyra lika stora kvadrater med sidan 1, genom att dela varje sida på den stora kvadraten mitt i tu. Vi ser de små kvadraterna som våra lådor. Enligt lådprincipen kommer minst en av de små kvadraterna att innehålla två punkter. Påståendet följer eftersom det maximala avståndet mellan två punkter i den lilla kvadraten är 2. Mängder, funktioner och naturliga tal Mängden av naturliga tal {1, 2, 3,...} betecknas N. Biggs gör en axiomatisk definition av de naturliga talen i avsnitt 4 i boken. Detta avsnitt ingår inte i kursen, utan vi kommer att nöja oss med att arbeta med en naiv föreställning om vad ett naturligt tal egentligen är. Men läs gärna igenom de första fem avsnitten i boken kursivt. Det mesta är säkert sådant du redan känner till, eller åtminstone har en uppfattning om. Varning. Många författare inkluderar talet 0 bland de naturliga talen. I den här kursen kommer vi dock att följa Biggs, som (tyvärr) inte gör det. Säg att någon har talat om för dig att du har fem fingrar på vänsterhanden. Då kan du räkna antalet fingrar på högerhanden genom att para ihop dessa med fingrarna på vänsterhanden. Eftersom fingrarna går att para ihop precis, måste de ju vara lika många, så du kan dra slutsatsen att du även på högerhanden har fem fingrar. 1
Vi använder denna idé för att göra en matematisk definition av vad som menas med antalet element i en mängd. För varje n N låter vi N n beteckna mängden {1,..., n}. Mängderna N n får vara prototyper för mängder med n element (eller våra vänsterhänder om du så vill). Om vi vill räkna elementen i en godtycklig mängd A behöver vi para ihop elementen med någon mängd N n. För att göra det precist, använder vi oss av begreppet funktion. Vi börjar med att repetera lite terminologi. Definition. Låt A och B vara två mängder. En funktion f : A B är en regel som till varje element a A ordnar precis ett element f(a) B. Mängden A kallas för funktionens definitionsmängd. Mängden B kallas för funktionens värdemängd. Definition. Låt f : A B vara en funktion. Vi säger att f är surjektiv om det för varje element b B finns ett element a A sådant att f(a) = b. Vi säger att f är injektiv om det för varje par av element a, b A sådana att a b gäller att f(a) f(b). En funktion är bijektiv om den är både injektiv och surjektiv. Nu kan vi använda begreppet bijektion för att definiera vad som menas med antalet element i en mängd. Att ge en bijektion mellan två mängder motsvarar ju den intuitiva idén att para ihop elementen. Definition. En mängd A sägs vara ändlig om den är tom eller om det finns en bijektiv avbildning f : A N n för något naturligt tal n N. I det senare fallet säger vi att A har n element, vilket vi skriver A = n. (För tomma mängden skriver vi = 0). Sats (Lådprincipen (mer matematiskt formulerad)). Låt A och B vara ändliga mängder och antag att A > B. Då finns ingen injektiv funktion f : A B. Biggs ger ett bevis på denna sats med hjälp av induktion (eller snarare på det ekvivalenta påståendet i sats 6.2.1). Titta gärna på beviset själva. Det svåraste är kanske att förstå varför satsen inte är så självklar som man tror vid första ögonkastet. Lägg märke till att satsen används för att bevisa 6.2.2, som är fundamental i den mening att den utesluter att en och samma mängd kan ha olika antal element. Oändliga mängder Definition. En mängd A som inte är ändlig sägs vara oändlig. Om det finns en bijektiv avbildning f : A N sägs A vara uppräknerlig. En mängd är högst uppräknerlig om den är ändlig eller uppräknerlig. Varning. Många författare avser med termen uppräknerlig det vi här kallar för högst uppräknerlig. Men åter igen följer vi Biggs. 2
Mängder som inte är ändliga uppför sig lite annorlunda än ändliga mängder. Exempel 3. Mängden J av positiva jämna tal är uppräknerlig och har alltså lika många element som mängden av alla naturliga tal. Vi ser att funktionen f : N J som ges av n 2n är bijektiv. Exempel 4. På Hilberts hotell i Göttingen finns oändligt många rum. Ett rum för varje naturligt tal (förutom 13 så klart). Vid den stora årliga matematikkonferensen, som vi vill besöka, råkar hotellet vara fullbelagt. Alla rum är upptagna. Men den rådiga portiern ber helt enkelt varje gäst att flytta till rummet med närmast högre nummer (personen som bor i rum 12 får flytta till rum 14). Vips blir rum 1 ledigt, och vi kan checka in. Ekvivalensrelationer Du har redan stött på en uppsjö av relationer i dina tidigare matematikstudier. Exempel på relationer på mängden N av naturliga tal är mindre eller lika med, d.v.s. a b. delar, d.v.s. a b. Exempel på en relation på heltalen är kongruens moduli ett naturligt tal n, d.v.s. a n b. Vi gör följande definition: Definition. En relation R på en mängd X är en mängd av ordnade par (x, y) där x, y X. Om paret (x, y) tillhör mängden R skriver vi xry. Exempel 5. Låt X vara mängden {1, 2, 3} och låt R vara mängden {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (2, 2), (2, 3), (3, 3)}. Då är relationen R den samma som relationen. Vi är för tillfället mest intresserade av en typ av relation som kallas ekvivalensrelation. Definition. Låt R vara en relation på en mängd X. Vi kallar relationen reflexiv, om xrx för alla x X, symmetrisk, om xry yrx för alla par x, y X, transistiv, om xry och yrz medför xrz för alla triplar x, y, z X. En relation som är reflexiv, symmetrisk och transitiv kallas för en ekvivalensrelation. Exempel 6. Betrakta relationen på mängden X = {1, 2, 3}. Den är reflexiv eftersom a a för alla a X. Den är transitiv eftersom a b och b c medför att a c. Men den är inte symmetrisk eftersom t.ex. 1 2 men inte 2 1. 3
Exempel 7. För ett givet naturligt tal n är relationen n en ekvivalensrelation på mängden Z av heltal. Reflexiv: a n a för alla a Z, Symmetrisk: a n b b n a för alla par a, b Z, Transistiv: a n b och b n c medför a n c för alla triplar a, b, c Z. Exempel 8. Låt X = {1, 2, 3} och R = {(1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 2), (3, 3)}. Detta är en ekvivalensrelation. Exempel 9. Vi tar några geometriska exempel. Relationen är kongruent med på mängden av trianglar i planet är en ekvivalensrelation. Likaså relationen är likformig med. Relationen är parallell med är en ekvivalensrelation på mängden linjer i planet. Övning (Otroligt nyttig sådan.). Lista alla möjliga kombinationer av begreppen symmetrisk, reflexiv och transitiv. Det finns 8 kombinationer, vilket vi snart ska lära oss att räkna ut. Hitta på en relation för varje kombination som har precis de egenskaper som listas i kombinationen. Ekvivalensklasser Definition. Om R är en ekvivalensrelation på X och x X, så kallas mängden för ekvivalensklassen till x. [x] = {y X xry} Exempel 10. Låt R och X vara som i exempel 8. Då är [1] = {1, 2} [2] = {1, 2} [3] = {3} I exemplet ser vi att varje par av mängder [x] och [y] antingen är lika eller disjunkta. Detta är ingen slump utan en fundamental egenskap hos ekvivalensrelationer. Vi sammanfattar det som en sats: Sats. Låt R vara en ekvivalensrelation på mängden X. Då gäller det att varje element x X ligger i precis en ekvivalensklass [x]. Bevis. Vi har x [x] eftersom xrx på grund av relationen är reflexiv. Varje element x ligger alltså i minst en ekvivalensklass. Antag att x [y] för något y X. Då gäller yrx enligt definitionen av [y]. Eftersom R är symmetriskt 4
gäller även xry. Låt nu z [y] vara ett godtyckligt element. Då gäller yrz enligt definitionen av [y]. P.g.a. transiviteten gäller då xrz, så z [x]. Sammanfattningsvis gäller [y] [x]. Byter vi roll på x och y ser vi att även [x] [y], så [x] = [y]. Detta visar att x inte ligger i två olika ekvivalensklasser. Ekvivalensklasser används ofta för att definiera nya matematiska begrepp. Vi tar ett klassiskt exempel från geometrin. Exempel 11. Låt X vara mängden av riktade sträckor AB i planet. Vi inför relationen R där vi säger att AB R CD om sträckorna AB och CD har samma längd och riktning (detta kan också uttryckas som att fyrhörningen ABDC är en, möjligen degenererad, parallellogram). Detta ger en ekvivalensrelation. Ekvivalensklasserna för denna relation kallas för vektorer. Huvudexemplet som ges i boken är konstruktion av mängden av heltal utifrån mängden av naturliga tal. Vi kommer inte att gå igenom detta, men försök gärna förstå konstruktionen ändå. Vi kommer att använda motsvarande metod för att definiera de rationella talen. 5