KOKBOKEN. Håkan Strömberg KTH STH

KOKBOKEN Håkan Strömberg KTH STH Hösten 2010

Håkan Strömberg 2 KTH Syd

Innehåll Olikheter.................................... 7 Uppgift 1................................. 7 Uppgift 2................................. 8 Uppgift 3................................. 9 Uppgift 4................................. 10 Uppgift 5................................. 11 Ekvationer med absolutbelopp........................ 12 Uppgift 1................................. 12 Uppgift 2................................. 13 Uppgift 3................................. 14 Olikheter med absolutbelopp......................... 16 Problem 1................................. 16 Problem 2................................. 17 Avståndet mellan två punkter i rummet................... 18 Uppgift 1................................. 18 Längden (normen av en vektor....................... 19 Uppgift 1................................. 19 Normerad vektor................................ 20 Uppgift 1................................. 20 Bestäm linjens ekvation med hjälp av två punkter............. 21 Uppgift 1................................. 21 Uppgift 2................................. 22 Uppgift 3................................. 23 Visar om två ekvationer anger samma linje................. 24 Uppgift 1................................. 24 Linjens ekvation från parameterfri till parameterform............ 26 3

INNEHÅLL Uppgift 1................................. 26 Bestäm skalärprodukten............................ 27 Uppgift 1................................. 27 Bestäm vinkeln mellan två vektorer..................... 28 Uppgift 1................................. 28 Avståndet från en punkt till en linje..................... 30 Uppgift 1................................. 30 Formel för: Avståndet från en punkt till en linje............... 32 Uppgift 1................................. 32 Bestäm projektionen.............................. 33 Uppgift 1................................. 33 Uppgift 2................................. 34 Uppgift 3................................. 36 Vektorprodukt................................. 37 Uppgift 1................................. 37 Linje genom två punkter skär plan...................... 38 Uppgift 1................................. 38 Planets ekvation för tre givna punkter.................... 40 Uppgift 1................................. 40 Skärningen mellan två linjer.......................... 41 Uppgift 1................................. 41 Planets ekvation................................ 43 Uppgift 1. Normalvektor och punkt givna............... 43 Uppgift 2. På normalform med punkt och två vektorer givna.... 44 Avstånd från punkt till plan.......................... 45 Uppgift 1................................. 45 Uppgift 2. Alternativ........................... 47 Avstånd mellan två linjer............................ 48 Uppgift 1................................. 48 Planets ekvation på parameterform...................... 50 Uppgift 1................................. 50 Ligger punkten på linjen?........................... 51 Håkan Strömberg 4 KTH Syd

INNEHÅLL Uppgift 1................................. 51 Bestäm arean till parallellogram........................ 52 Uppgift 1................................. 52 Bestäm skärningen mellan två plan...................... 53 Uppgift 1................................. 53 Bestäm vinkeln mellan två plan........................ 55 Uppgift 1................................. 55 Bestäm vinkeln mellan en linje och ett plan................. 56 Uppgift 1................................. 56 Matrisalgebra.................................. 57 Uppgift 1................................. 57 Matrisekvationer................................ 58 Uppgift 1................................. 58 Uppgift 2................................. 59 Uppgift 3................................. 60 Uppgift 4................................. 61 Uppgift 5................................. 62 Ekvationssystem................................ 63 Uppgift 1................................. 63 Uppgift 2................................. 65 Uppgift 3................................. 66 Uppgift 4................................. 67 Uppgift 5................................. 68 Inversmatris................................... 70 Uppgift 1................................. 70 Uppgift 2................................. 72 Determinant................................... 73 Uppgift 1................................. 73 Uppgift 2................................. 74 När har ekvationssystemet lösning...................... 75 Uppgift 1................................. 75 Uppgift 2................................. 76 Håkan Strömberg 5 KTH Syd

INNEHÅLL Uppgift 3................................. 77 Håkan Strömberg 6 KTH Syd

INNEHÅLL Olikheter Uppgift 1 Lös olikheten x 2 x 6 < 0 1 Faktorisera polynomet 2 Ställ upp tabell för teckenstudium 3 Utläs svaret ur tabellen Genomförande: 1 Andragradsekvationen har rötterna x 1 = 3 och x 2 = 2 vilket leder fram till faktoriseringen (x 3(x+2 < 0. 2 Svar: 2 < x < 3 x < 2 x = 2 2 < x < 3 x = 3 x > 3 x 3 0 + x+2 0 + + + (x 3(x+2 + 0 0 + Reduce[x^2 - x - 6 < 0] Håkan Strömberg 7 KTH Syd

OLIKHETER Uppgift 2 Lös olikheten 4 x x+2 0 1 Ställ upp tabell för teckenstudium 2 Utläs svaret ur tabellen Genomförande: 1 x < 2 x = 2 2 < x < 4 x = 4 x > 4 4 x + + + 0 x+2 0 + + + 4 x x+2 odef + 0 Svar: 2 < x 4 Reduce[(4 - x/(x + 2 >= 0] Håkan Strömberg 8 KTH Syd

INNEHÅLL Uppgift 3 Lös olikheten x 2 +2x+1 x 1 < 0 1 Faktorisera täljaren 2 Ställ upp tabell för teckenstudium 3 Utläs svaret ur tabellen Genomförande: 1 Vi ser att täljaren kan skrivas om som (x+1 2 (första kvadreringsregeln. 2 Svar: x < 1 eller 1 < x < 1 x < 1 x = 1 1 < x < 1 x = 1 x > 1 x+1 0 + + + x+1 0 + + + x 1 0 + (x+1 2 x 1 0 odef + Reduce[(x^2 + 2 x + 1/(x - 1 < 0] Håkan Strömberg 9 KTH Syd

OLIKHETER Uppgift 4 Lös olikheten x 2 2x 3 x 2 +2x 8 > 0 1 Faktorisera täljaren 2 Faktorisera nämnaren 3 Sortera nollställena i stigande ordning och ställ upp tabell för teckenstudium. 4 Utläs svaret ur tabellen Genomförande: 1 Täljarens motsvarande andragradsekvation har rötterna x 1 = 1 och x 2 = 3 vilket leder fram till faktoriseringen (x + 1(x 3. 2 Nämnarens motsvarande andragradsekvation har rötterna x 1 = 2 och x 2 = 4 vilket leder fram till faktoriseringen (x 2(x + 4. 3 Vi kan nu skriva om olikheten (x+1(x 3 (x 2(x+4 0 x < 4 x = 4 4 < x < 1 x = 1 1 < x < 2 x = 2 2 < x < 3 x = 3 x > 3 x+4 0 + + + + + + + x+1 0 + + + + + x 2 0 + + + x 3 0 + (x+1(x 3 (x 2(x+4 + odef 0 + odef 0 + Svar: x < 4 eller 1 x < 2 eller x 3 (se grafen nedan 10 8 6 4 2-4 -2-2 -4-6 -8-10 2 4 Reduce[(x^2-2 x - 3/(x^2 + 2 x - 8 > 0] Håkan Strömberg 10 KTH Syd

INNEHÅLL Uppgift 5 Lös olikheten x+1 x 3 3 1 Se till att högerledet blir 0 och att det vänstra ledet endast innehåller ett rationellt uttryck (bråk. 2 Ställ upp tabell för teckenstudium 3 Utläs svaret ur tabellen Genomförande: 1 x+1 x 3 3; x+1 x 3 3 0; x+1 x 3 3(x 3 0; x 3 10 2x x 3 0 2 x < 3 x = 3 3 < x < 5 x = 5 x > 5 10 2x + + + 0 x 3 0 + + + 10 2x x 3 odef + 0 Svar: 3 < x 5 Reduce[(x + 1/(x - 3 >= 3] Håkan Strömberg 11 KTH Syd

EKVATIONER MED ABSOLUTBELOPP Ekvationer med absolutbelopp Uppgift 1 Lös ekvationen x+3 = 5 1 Ta reda på x 1, där termen med absolutbeloppet är = 0. 2 Dela upp ekvationen i två ekvationer. En då x < x 1 och en då x > x 1. Ersätt tecknet för absolutbelopp med en parentes. Sätt -tecken framför parentesen om så skall vara! 3 Lös de båda ekvationerna var för sig. Kontrollera att erhållen rot ligger i aktuellt intervall. Genomförande: 1 Då x = 3 är x+3 = 0. 2,3 Vi får två ekvationer Då Ekvation Rot OK x < 3 (x+3 = 5 x = 8 Ja x 3 x+3 = 5 x = 2 Ja Svar: x 1 = 8 och x 2 = 2 Reduce[Abs[x + 3] == 5, x, Reals] Håkan Strömberg 12 KTH Syd

INNEHÅLL Uppgift 2 Lös ekvationen x 6 x = 4 1 Ta reda på x 1, för vilket x 6 = 0 2 Betrakta två intervall. Ett där x < x 1 och ett där x > x 1. Lös upp termen med absolutbelopp och bilda samtidigt två ekvationer. 3 Lös ekvationerna och kontrollera att roten ligger i intervallet. Genomförande: 1 Då x = 6 är x 6 = 0 2 De två ekvationerna me gällande intervall Då Ekvation Rot OK x < 6 (x 6 x = 4 x = 1 Ja x 6 (x 6 x = 4 ingen rot Nej Svar: x = 1 Reduce[Abs[x - 6] - x == 4] Håkan Strömberg 13 KTH Syd

EKVATIONER MED ABSOLUTBELOPP Uppgift 3 Lös ekvationen x+1 2 4 x + 2x 3 = 0 1 Ta reda på de x i för vilka var och en av de tre termerna = 0. 2 Sortera de tre brytpunkterna och skapa fyra intervall, man kan finna utefter x-axeln. 3 Lös upp absolutbeloppen inom varje intervall och bilda på så sätt fyra ekvationer. 4 Lös ekvationerna och kontrollera att roten ligger i aktuellt intervall. Genomförande: 1,2 De tre eftersökta x-värdena är x 1 = 1, x 2 = 3 2 och x 3 = 4 3 Vi har nu att studera följande fyra intervall 4 Detta ger oss följande ekvationer x < 1 1 x < 3 2 3 2 x < 4 x 4 Då Ekvation Rot OK x < 1 (x+1 2(4 x (2x 3 = 0 x = 6 Ja 1 x < 3 2 (x+1 2(4 x (2x 3 = 0 x = 4 Nej 3 x < 4 (x+1 2(4 x+(2x 3 = 0 x = 2 Ja 2 x 4 (x+1+2(4 x+(2x 3 = 0 x = 6 Nej Svar: x 1 = 6 och x 2 = 2 (se grafen nedan 15 10 5-10 -5 5 10-5 Håkan Strömberg 14 KTH Syd

INNEHÅLL Reduce[Abs[x+1]-2 Abs[4-x]+Abs[2x-3]==0,x,Reals] Håkan Strömberg 15 KTH Syd

OLIKHETER MED ABSOLUTBELOPP Olikheter med absolutbelopp Problem 1 Lös olikheten x 2 + x 4 < 8 1 Ta reda på x 1, för vilket x 2 = 0 och det x 2 för vilket x 4 = 0 2 Betrakta tre intervall. Ett där x < x 1, ett då x 1 x x 2 och ett då x > x 2. Lös upp absolutbeloppen och bilda olikheter utan absolutbelopp, ett för varje intervall. 3 Lös olikheterna och kontrollera inom vilken del av intervallet som olikheten gäller. Genomförande: 1 x 1 = 2 och x 2 = 4 2 Intervallen är x < 2, 2 x 4 och x > 4. 3 Då Olikhet Lösning Intervall x < 2 (x 2 (x 4 < 8 x > 1 1 < x < 2 2 x < 4 (x 2 (x 4 < 8 Alltid 2 x < 4 x > 4 (x 2+(x 4 < 8 x < 7 4 x < 7 För en del av första intervallet gäller olikheten, för hela andra intervallet och åter för en del av tredje. Sammantaget fås Svar: 1 < x < 7 Reduce[Abs[x - 2] + Abs[x - 4] < 8, x, Reals] Håkan Strömberg 16 KTH Syd

INNEHÅLL Problem 2 Lös olikheten 2x 4 + x < 5 x 1 Ta reda på de x i, för vilka termerna är = 0 2 Ställ upp fyra intervall inom vilka olikheten ska lösas. Lös upp absolutbeloppen och bilda olikheter utan absolutbelopp, ett för varje intervall. 3 Lös olikheterna och kontrollera att roten ligger i intervallet. Genomförande: 1 x 1 = 0, x 2 = 2 och x 3 = 5 2 De fyra intervallen är 3 x < 0 0 x < 2 2 x < 5 x 5 Då Olikhet Lösning Intervall x < 0 (2x 4 x < (5 x x > 1 2 1 2 < x < 0 0 x < 2 (2x 4+x < (5 x Alltid 0 x < 2 2 x < 5 (2x 4+x < (5 x x < 9 4 2 x < 9 4 x 5 (2x 4+x < (5 x x < 1 2 Inget x Svar: 1 2 < x < 9 4 Reduce[Abs[2x-4]+Abs[x]<Abs[5-x],x,Reals] Håkan Strömberg 17 KTH Syd

AVSTÅNDET MELLAN TVÅ PUNKTER I RUMMET Avståndet mellan två punkter i rummet Endast som en del i ett större problem. Uppgift 1 Bestäm avståndet mellan punkterna P 1 = (5,9,7 och P 2 = (1,2,3 1 Vi använder direkt avståndsformeln Genomförande: 1 P 1 P 2 = (x 1 x 2 2 +(y 1 y 2 2 +(z 1 z 2 2 P 1 P 2 = (5 1 2 +(9 2 2 +(7 3 2 = 16+49+16 = 81 = 9 Svar : Avståndet mellan punkterna är 9 p1 = {5, 9, 7}; p2 = {1, 2, 3}; Norm[p1 - p2] Håkan Strömberg 18 KTH Syd

INNEHÅLL Längden (normen av en vektor Uppgift 1 Bestäm längden av vektorn v = (6,3,2 1 Vi använder följande formel Genomförande: v = v 2 1 +v2 2 +v2 3 1 v = 6 2 +3 2 +2 2 = 36+9+4 = 49 = 7 Norm[{6, 3, 2}] Håkan Strömberg 19 KTH Syd

NORMERAD VEKTOR Normerad vektor Uppgift 1 Bestäm den normerade vektorn r till 1 Bestäm längden av vektorn v v = (4,8,1 2 När vi dividerar varje komposant med v får vi den normerade vektorn r. ( v1 r = v, v 2 v, v 3 v Genomförande: 1 2 Svar: r = ( 4 9, 8 9, 1 9 v = 4 2 +8 2 +1 1 = 16+64+1 = 9 r = ( 4 9, 8 9, 1 9 v = {4, 8, 1}; n = v/norm[v] Håkan Strömberg 20 KTH Syd

INNEHÅLL Bestäm linjens ekvation med hjälp av två punkter Uppgift 1 Bestäm ekvationen, på parameterform, för den linje som går genom punkterna P 1 = (1,4,2 och P 2 = (9,4,3 1 Välj en av de två punkterna 2 Bestäm en riktningsvektor med hjälp av de två givna punkterna. 3 Sammanställ valen till linjens ekvation Genomförande: 1 Vi väljer punkten P 1 2 r väljs till P 1 P 2 3 P1 P 2 = (9,4,3 (1,4,2 = (8,0,1 x = 1+8t y = 4+0t z = 2+1t Det finns fyra närliggande sätt att konstruera linjens ekvation. Två val av punkten och två sätt av bestämma riktningsvektorn. Svar: x = 1+8t y = 4 z = 2+t p1 = {1, 4, 2}; p2 = {9, 4, 3}; linje[t_]:=p1 + t (p2 - p1 linje[3] {25, 4, 5} Håkan Strömberg 21 KTH Syd

BESTÄM LINJENS EKVATION MED HJÄLP AV TVÅ PUNKTER Uppgift 2 Bestäm ekvationen, på vektorform, för den linje som går genom punkterna P 1 = (1,4,2 och P 2 = (9,4,3 1 Välj en av de två punkterna 2 Bestäm en riktningsvektor med hjälp av de två givna punkterna. 3 Sammanställ valen till linjens ekvation Genomförande: 1 Vi väljer punkten P 2 2 r = P 2 P 1 = ( 8,0, 1 3 P 2 + P 2 P 1 t = (9,4,3+( 8,0, 1t Svar: (9,4,3+( 8,0, 1t p1 = {1, 4, 2}; p2 = {9, 4, 3}; linje[t_]:=p1 + t (p2 - p1 linje[3] {25, 4, 5} Håkan Strömberg 22 KTH Syd

INNEHÅLL Uppgift 3 Bestäm ekvationen, på parameterfri form, för den linje, som går genom punkterna P 1 = (6,5,4 och P 2 = (1,2,3. 1 Välj en av de givna punkterna till punkten P 0 1 Bestäm en riktningsvektor r = (r 1,r 2,r 3 2 Följande formel ger direkt ekvationen på parameterfri form Genomförande: x x 0 r 1 = y y 0 r 2 = z z 0 r 3 1 Vi väljer punkten P 1 2 r = (6,5,4 (1,2,3 = (5,3,1 3 Med hjälp av formeln får vi nu x 6 5 = y 5 3 = z 4 1 Svar: x 6 5 = y 5 3 = z 4 p1 = {6, 5, 4}; p2 = {1, 2, 3}; p3 = {x, y, z}; r = p1 - p2 v = p3 - p1 v/r Byt ut kommatecknen mot likhetstecken! Håkan Strömberg 23 KTH Syd

VISAR OM TVÅ EKVATIONER ANGER SAMMA LINJE Visar om två ekvationer anger samma linje Uppgift 1 Är de två linjerna och l 1 = (9,4,3+( 8,0, 1t l 2 = (1,4,2+(16,0,2t identiska? 1 P 1 är den punkt som erhålles då t = 0 i l 1 2 Ta reda på om P 1 är möjlig att erhålla genom lämpligt valt t för l 2. Om så vet vi att P 1 även ligger på l 2. Om inte vet vi redan nu att linjerna inte är identiska. 3 P 2 är den punkt vi erhåller då t = 0 i l 2 4 Ta på samma sätt reda på om P 2 ligger på l 1. Om så är fallet vet vi att P 2 ligger på l 1. 5 Om två linjer har två gemensamma punkter är de identiska. Genomförande: 1 P 1 = (9,4,3 2 Sök t i 3 P 2 = (1,4,2 2 Sök t i (9,4,3 = (1,4,2+(16,0,2t (8,0,1 = (16,0,2t t = 1 2 (1,4,2 = (9,4,3+( 8,0, 1t ( 8,0, 1 = ( 8,0, 1t t = 1 Svar: De två linjerna innehåller båda punkternap 1 ochp 2 vilket betyder att linjerna är identiska. Håkan Strömberg 24 KTH Syd

INNEHÅLL l1[t_] := {9, 4, 3} + {-8, 0, -1} t l2[t_] := {1, 4, 2} + {16, 0, 2} t Solve[l1[t] == l2[s]] Ger lösningen s = 1 2 t 2 l1[t] l2[1/2 - t/2] // Simplify Visar att linjerna är identiska. Håkan Strömberg 25 KTH Syd

LINJENS EKVATION FRÅN PARAMETERFRI TILL PARAMETERFORM Linjens ekvation från parameterfri till parameterform Uppgift 1 Överför linjens ekvation till parameterform x 3 2 = y+2 = z 3 1 Sätt var och en av de tre uttrycken lika med t och lös ut x, y respektive z Genomförande: Svar: 1 x 3 2 = t x = 3+2t y+2 = t y = 2+t z 3 = t z = 0+3t x = 3+2t y = 2+t z = 3t Solve[{t==(x-3, t==y+2, t==z/3}, {x, y, z}] Håkan Strömberg 26 KTH Syd

INNEHÅLL Bestäm skalärprodukten Uppgift 1 Bestäm skalärprodukten till de två vektorerna v = (2, 4, 3 och u = (1, 2, 5 1 Vi använder direkt formeln på de två vektorerna v = (v 1,v 2,v 3 och u = (u 1,u 2,u 3 v u = (v 1,v 2,v 3 (u 1,u 2,u 3 = v 1 u 1 +v 2 u 2 +v 3 u 3 Genomförande: 1 Vi har vektorerna v = (2,4,3 och u = (1, 2,5 och får (2,4,3 (1, 2,5 = 2 1+4 ( 2+3 5 = 2 8+15 = 9 Svar: v u = 9 v = {2, 4, 3}; u = {1, -2, 5}; v.u Håkan Strömberg 27 KTH Syd

BESTÄM VINKELN MELLAN TVÅ VEKTORER Bestäm vinkeln mellan två vektorer Uppgift 1 Bestäm vinkeln mellan vektorerna v = (0, 2, 1 och u = (5, 1, 5 1 Bestäm v och u 2 Bestäm v u 3 Använd sedan formeln för att bestämma cosθ 4 I sista steget har vi att bestämma Genomförande: cosθ = v u v u θ = arccos ( v u v u 1 v = 0 2 +( 2 2 +1 2 = 5 u = 5 2 +( 1 2 +( 5 2 = 51 2 3 4 v u = (0, 2,1 (5, 1, 5 = 0 5+( 2 ( 1+1 ( 5 = 3 cosθ = 3 5 51 ( 3 θ = arccos 5 51 ( 3 Svar: θ = arccos Längre än så kommer vi inte utan räknedosa eller dator. Däremot kan det vara bra att kunna följande samband 5 51 ( 1 arccos = π 2 3 = 60 arccos(0 = π 2 = 90 ( 3 arccos = π ( 1 2 6 = 30 arccos 2 = π 4 = 45 Håkan Strömberg 28 KTH Syd

INNEHÅLL v = {0, -2, 1}; u = {5, -1, -5}; ArcCos[v.u/(Norm[v]*Norm[u]] 180.0/Pi Håkan Strömberg 29 KTH Syd

AVSTÅNDET FRÅN EN PUNKT TILL EN LINJE Avståndet från en punkt till en linje Uppgift 1 Givet punkten P 1 = (3,7,9 och linjen l = (10,5, 1+( 4, 1,1t. Bestäm det kortaste avståndet mellan P 1 och linjen l. 1 Bilda en vektor v, som startar i godtycklig punkt P på linjen och slutar i P 1. 2 Ta fram en riktningsvektor r till linjen l. 3 Vektorerna v och r ska vara vinkelräta mot varandra. Detta betyder att v r = 0. Ställ upp detta uttryck. 4 Eftersom t ingår i uttrycket har vi en ekvation som ska lösas. 5 Rötterna till ekvationen ger punkten P. 6 Då vi har både P 1 och P kan nu det eftersökta avståndet bestämmas Genomförande: 1 P = (10 4t,5 t, 1+t är en godtycklig punkt på linjen. Den eftersökta vektorn blir v = PP1 = (10 4t,5 t, 1+t(3,7,9= ( 7+4t,2+t,10 t 2 För t = 0 och t = 1 får vi bekvämt två punkter på linjen P 2 = (10,5, 1 och P 3 = (6,4,0 och bildar r = (10,5, 1(6,4,0= ( 4, 1,1 3 Vi bestämmer skalärprodukten v r v r = ( 7+4t,2+t,10 t ( 4, 1,1 = ( 4( 7+4t+( 1(2+t+1(10 t = 28 16t 2 t+10 t = 36 18t 4 Vi löser nu i huvudet ekvationen v r = 0, som alltså är 36 18t = 0 med roten t = 2 5 Genom t = 2 får vi punkten P = (10 4 2,5 2, 1+2 = (2,3,1 6 Avståndet mellan P och P1 är (2 32 +(3 7 2 +(1 9 2 = 1+16+64 = 9 Svar: Det sökta avståndet är 9 Håkan Strömberg 30 KTH Syd

INNEHÅLL p1 = {3, 7, 9}; l1[t_] := {10, 5, -1} + {-4, -1, 1} t v = p1 - l1[t]; u = {-4, -1, 1}; Solve[v.u == 0] Vi får t = 2 och genom Norm[l1[2]-p1] får vi svaret 9. Håkan Strömberg 31 KTH Syd

FORMEL FÖR: AVSTÅNDET FRÅN EN PUNKT TILL EN LINJE Formel för: Avståndet från en punkt till en linje Uppgift 1 Givet punkten P 0 = (3,7,9 och linjen l = (10,5, 1+( 4, 1,1t. Bestäm det kortaste avståndet mellan P 1 och linjen l. 1 För den givna punkten P 0 = (x 0,y 0,z 0 och en linje genom punkten P 1 = (x 1,y 1,z 1 med riktningsvektorn r = (a,b,c får vi direkt avståndet genom formeln y 2 0 y 1 z 0 z 1 b c + z 2 0 z 1 x 0 x 1 c a + x 2 0 x 1 y 0 y 1 a b a 2 +b 2 +c 2 Genomförande: 1 Vi sätter in talen för r = ( 4, 1,1, P 1 = (10,5, 1 och P 0 = (3,7,9 2 2 7 5 9 ( 1 1 1 + 9 ( 1 3 10 1 4 + 3 10 7 5 4 1 ( 4 2 +( 1 2 +1 2 2 10 1 1 Svar: Det sökta avståndet är 9 2 + 10 7 1 4 2 + 7 2 4 1 ( 4 2 +( 1 2 +1 2 12 2 +33 2 +15 2 = 81 = 9 18 I planet är motsvarande formel betydligt enklare. Givet linjen ax + by + c = 0 och P 0 = (x 0,y 0 vars avstånd d till linjen ska bestämmas. Formeln nedan ger svaret d = ax 0 +by 0 +c a2 +b 2 2 2 Håkan Strömberg 32 KTH Syd

INNEHÅLL Bestäm projektionen Uppgift 1 Bestäm den vinkelräta projektionen av u = (14, 21, 7 i riktningen v = (2, 6, 3 1 Bestäm en enhetsvektor r i samma riktning som v 2 Beräkna u r 3 Beräkna ( u r r Genomförande: 1a v = 2 2 +6 2 +3 2 = 49 = 7 1b Svar: 2 Beräkna 3 Beräkna ( u r r ( 38 7, 114 7, 57 7 r = u r = (14,21, 7 ( 2 7, 6 7, 3 7 ( 2 7, 6 7, 3 = 4+18 3 = 19 7 ( 2 19 7, 6 7, 3 ( 38 = 7 7, 114 7, 57 7 v = {2, 6, 3}; r = v/norm[v] u.r*r Håkan Strömberg 33 KTH Syd

BESTÄM PROJEKTIONEN Uppgift 2 Sök projektionen av vektorn v = (1, 4, 3 på vektorn u = (2, 1, 1. Lösning 1 w har samma riktning som u, men är troligtvis inte lika lång. Teckna därför w som en faktor k gånger u, alltså som w = k u. 2 w+ p = v leder till p = v w. Vi kan alltså uttrycka p med hjälp av w och v. 3 p ska vara vinkelrät mot w och då är p w = 0. En ekvation med k som obekant. En av de erhållna rötterna ger oss det tal man ska multiplicera u med för att få w Genomförande: 1 w = k u = k(2,1,1 = (2k,k,k 2 p = v w = (1,4, 3 (2k,k,k = (1 2k,4 k, 3 k 3 w p = 0 ger nu (1 2k,4 k, 3 k (2k,k,k = 0 2k(1 2k+k(4 k+k( 3 k = 0 3k(1 2k = 0 k 1 = 1 2 k 1 = 0 Nu har vi k och kan skriva w = ( 1, 1 2, 1 2 Vi kommer alltid att få k = 0 som en rot till ekvationen ovan därför att vektorn (0,0,0 (nollvektorn är vinkelrät mot alla vektorer (även till sig själv! Håkan Strömberg 34 KTH Syd

INNEHÅLL v = {2, 6, 3}; u = {14, 21, -7}; r = t*v; Solve[r.(u - r == 0] ger t = 0 respektive t = 19/7. Svaret får vi genom 19v/7 Håkan Strömberg 35 KTH Syd

BESTÄM PROJEKTIONEN Uppgift 3 Sök projektionen av vektorn v = (1, 4, 3 på vektorn u = (2, 1, 1. Använd direkt formeln w = v u u 2 u w = (1,4, 3 (2,1,1 2 1 +1 2 +1 2 (2,1,1 w = 1 2+4 1+( 31 6 w = 3 6 (2,1,1 w = ( 1, 1 2, 1 2 (2,1,1 v={1,4,-3}; u={2,1,1}; v=v.u/norm[u]^2*u Håkan Strömberg 36 KTH Syd

INNEHÅLL Vektorprodukt Uppgift 1 Bestäm vektorprodukten av vektorerna v = (1, 2, 3 och u = (1, 1, 0 1 Ställ upp determinanten 2 Beräkna determinanten Genomförande: 1 Vi har de tre enhetsvektorerna e x = (1,0,0 e y = (0,1,0 e x = (0,0,1 och får determinanten v u = (1,0,0 (0,1,0 (0,0,1 1 2 3 1 1 0 Svar: ( 3, 3, 1 (1,0,0 2 0 (0,1,0 1 0 + (0,0,1 1 1 (0,0,1 2 1 + (0,1,0 3 1 (1,0,0 3 1 = (0,0,1 (0,0,2 + (0,3,0 (3,0,0 = (0 0+0 3, 0 0+3 0, 1 2+0 0 = ( 3,3, 1 e = {ex, ey, ez}; v = {1, 2, 3}; u = {1, 1, 0}; d = Det[{e, v, u}] ex = {1, 0, 0}; ey = {0, 1, 0}; ez = {0, 0, 1}; d Men enklare är förstås Cross[{1,2,3},{1,1,0}] Håkan Strömberg 37 KTH Syd

LINJE GENOM TVÅ PUNKTER SKÄR PLAN Linje genom två punkter skär plan Uppgift 1 Givet två punkter P 1 = (1,2,3 och P 2 = (4, 1,6. Var skär linjen, genom dessa punkter, planet 2x+3y+4z = 5? 1 Ta fram linjens ekvation på parameterform. 2 Ersätt x, y och z i planets ekvation med motsvarande uttryck i t. 3 Lös den uppkomna ekvationen med avseende på t. 4 Sätt in detta t-värde i linjens ekvation Genomförande: 1 På vektorform får vi l = (1,2,3+t (4, 1,6(1,2,3 som i parameterform ger x = 1 3t y = 2+3t z = 3 3t 2 3 2(1 3t+3(2+3t+4(3 3t = 5 2(1 3t+3(2+3t+4(3 3t = 5 2 6t+6+9t+12 12t = 5 20 9t = 5 t = 5 3 4 x = 1 3 5 3 = 4 y = 2+3 5 3 = 7 z = 3 3 5 3 2 Svar: Den eftersökta punkten är ( 4,7, 2 Håkan Strömberg 38 KTH Syd

INNEHÅLL p1 = {1, 2, 3}; p2 = {4, -1, 6}; linje[t_] := p1 + t (p1 - p2 plan = {2, 3, 4} Solve[linje[t].plan == 5] som ger t = 5. Svaret ges genom 3 linje[5/3] Håkan Strömberg 39 KTH Syd

PLANETS EKVATION FÖR TRE GIVNA PUNKTER Planets ekvation för tre givna punkter Uppgift 1 Tre punkter P 1 = (1,3,0, P 2 = (3,2,1 och P 3 = (3,3,2 är givna. Bestäm planets ekvation på normalform. 1 Bilda två vektorer v och u med hjälp av de tre punkterna. 2 Eftersom de bildade vektorerna v och u är parallella med planet är v u en normalvektor till planet. Ta fram denna normalvektor n. 3 Vi kan nu skriva planets ekvation för allt utom den konstanta koefficienten. Denna får vi fram genom att sätta in en av de tre punkterna. Genomförande: 1 v = P 2 P 1 = (1,3,0 (3,2,1 = ( 2,1, 1 och u = P 3 P 1 = (1,3,0 (3,3,2 = ( 2,0, 2 2 3 e x e y e z n = u v = 2 1 1 2 0 2 = 2 e x 2 e y +2 e z = ( 2, 2,2 2x 2y+2z+d = 0 när vi till exempel sätter in punkten P 1 = (1,3,0 får vi får vi d = 8 2 1 2 3+2 0+d = 0 Svar: 2x 2y+2z+8 = 0 eller varför inte 2x+2y 2z = 8 p1 = {1, 3, 0}; p2 = {3, 2, 1}; p3 = {3, 3, 2}; v = p1 - p2; u = p1 - p3; n = Cross[v, u] Solve[n.p1 + d == 0] Vi får ( 2, 2,2 och d = 8. Av detta kan vi pussla ihop 2x 2y+2z+8 = 0. Håkan Strömberg 40 KTH Syd

INNEHÅLL Skärningen mellan två linjer Uppgift 1 Bestäm skärningspunkten mellan de två linjerna l 1 = (1,2,3+(4,5,6t och l 2 = ( 1,4,4+(2,7,7t 1 Konvertera linjernas ekvationer till parameterform 2 Byt ut t mot s i en av ekvationerna! 3 Ställ upp ett ekvationssystem med tre ekvationer och två obekanta 4 Använd de två första ekvationerna för att få s och t 5 Sätt in erhållna värden på s och t i den tredje ekvationen. Om likhet erhålles skär verkligen ekvationerna varandra. 6 Använd antingen t-värdet i den första ekvationen eller s-värdet i den andra för att erhålla skärningspunkten. Genomförande: 1 (x,y,z = (1+4t,2+5t,3+6t och (x,y,z = ( 1+2t,4+7t,4+7t 2 (x,y,z = (1+4t,2+5t,3+6t och (x,y,z = ( 1+2s,4+7s,4+7s 3 1+4t = 1+2s 2+5t = 4+7s 3+6t = 4+7s 4 { 1+4t = 1+2s 2+5t = 4+7s 5 ger = 1 och t = 1 (behöver förstås inte vara lika 3+6( 1 = 4+7( 1 Likhet råder, alltså har vi funnit en skärningspunkt. 6 Vi använder t = 1 i l 1 och får 3 = 3 (x,y,z = (1+4( 1,2+5( 1,3+6( 1 = ( 3, 3, 3 Svar: Skärningspunkten ( 3, 3, 3 Håkan Strömberg 41 KTH Syd

SKÄRNINGEN MELLAN TVÅ LINJER linje1[t_] := {1, 2, 3} + {4, 5, 6} t linje2[t_] := {-1, 4, 4} + {2, 7, 7} t Solve[linje1[t] == linje2[s]] ger s = t = 1 som i sin tur på två sätt ger linje1[-1] linje2[-1] ( 3, 3, 3 Håkan Strömberg 42 KTH Syd

INNEHÅLL Planets ekvation Uppgift 1. Normalvektor och punkt givna Bestäm planets ekvation då vi känner en normalvektor n = (1,2,3 till planet och en punkt P 0 = (4,5,6 som ligger i planet 1 Använd formeln med normalvektorn n = (A,B,C och P 0 = (x 0,y 0,z 0 2 Förenkla uttrycket för att nå fram till Genomförande: 1 Insatt i formeln får vi A(x x 0 +B(y y 0 +C(z z 0 = 0 Ax+By+CZ = D 1(x 4+2(y 5+3(z 6 = 0 2 Förenkling 1(x 4+2(y 5+3(z 6 = 0 x 4+2y 10+3z 18 = 0 x+2y+3z = 32 Svar: Planets ekvation kan skrivas x + 2y + 3z = 32 n = {1, 2, 3}; p0 = {4, 5, 6}; d = n.p0; n.({x, y, z} - p0 // Simplify Håkan Strömberg 43 KTH Syd

PLANETS EKVATION Uppgift 2. På normalform med punkt och två vektorer givna Bestäm planets ekvation på normalform då punkten P = (1, 2, 2 och riktningsvektorerna v = (3,1,2 och u = (2,6,4 är givna. 1 Med punkten P 0 = (x 0,y 0,z 0 och riktningsvektorerna r 1 = (a 1,b 1,c 1 och r 2 = (a 2,b 2,c 2 får man ekvationen med hjälp av följande determinant x x 0 y y 0 z z 0 a 1 b 1 c 1 a 2 b 2 c 2 Genomförande: 1 x 1 y 2 z 2 3 1 2 2 6 4 = (x 1 1 4+(y 2 2 2+(z 2 3 6 (x 1 2 6 (y 2 3 4 (z 2 1 2 = 8(x 1 8(y 2+16(z 2 = 8x+8 8y+16+16z 32 = 8x 8y+16z 8 Svar: Ekvationen kan skrivas x y+2z = 1 Den här metoden kan användas även för 3 punkter givna, genom att bilda två riktningsvektorer 2 punkter och en riktningsvektor givna, genom att bilda ytterligare en riktningsvektor med hjälp av de två punkterna. p = {1, 2, 2}; v = {3, 1, 2}; u = {2, 6, 4}; Det[{{x, y, z} - p, v, u}] Håkan Strömberg 44 KTH Syd

INNEHÅLL Avstånd från punkt till plan Uppgift 1 Bestäm avståndet från punkten P 1 = (1,2,4 till planet med ekvationen 2x+3y+ 4z+5 = 0. 1 Bestäm normalvektorn n till planet 2 Bestäm ekvationen för den linje l, som går genom P 1 och har riktning n 3 Bestäm linjens skärningspunkt P 2 med planet genom att ersätta x,y och z med motsvarande uttryck i t. 4 Sätt in t-värdet i linjens ekvation och erhåll skärningspunkten 5 Bestäm avståndet mellan P 1 och P 2 Genomförande: 1 Normalvektorn är n = (2,3,4 2 Den sökta linjen l har ekvationen Vi skriver den på parameterform (x,y,z = (1,2,4+(2,3,4t x = 1+2t y = 2+3t z = 4+4t 3 2(1+2t+3(2+3t+4(4+4t+5 = 0 2+4t+6+9t+16+16t+5 = 0 29t+29 = 0 t = 1 4 Skärningspunkten P 2 = ( 1, 1,0 5 Avståndet mellan P 1 och P 2 är x = 1+2( 1 = 1 y = 2+3( 1 = 1 z = 4+4( 1 = 0 d = (1 ( 1 2 +(2 ( 1 2 +(4 0 2 = 4+9+16 = 29 Svar: Avståndet är 29 Håkan Strömberg 45 KTH Syd

AVSTÅND FRÅN PUNKT TILL PLAN n = {2, 3, 4}; p = {1, 2, 4}; linje[t_] := p + t n Solve[linje[t].n + 5 == 0] Vi får t = 1 och avslutar med Norm[linje[-1]-p] Håkan Strömberg 46 KTH Syd

INNEHÅLL Uppgift 2. Alternativ Bestäm avståndet från punkten P 1 = (1,2,4 till planet med ekvationen 2x+3y+ 4z+5 = 0. 1 Med punkten P 0 = (x 0,y 0,z 0 och planets ekvation Ax + By + Cz + d = 0 kan avståndet direkt bestämmas med hjälp av följande formel: d = Ax 0 +By 0 +Cz 0 +D A2 +B 2 +C 2 Genomförande: 1 d = 2 1+3 2+4 4+5 = 29 22 +3 2 +4 2 = 29 29 Svar: 29 n = {2, 3, 4}; p = {1, 2, 4}; Abs[(n.p + 5/Norm[n]] Håkan Strömberg 47 KTH Syd

AVSTÅND MELLAN TVÅ LINJER Avstånd mellan två linjer Uppgift 1 Bestäm avståndet mellan linjerna x = 1+3t l 1 = y = 2t z = 3 t x = 2+4t l 2 = y = 1 2t z = 3+t 1 Ta ut riktningsvektorer till de två linjerna och kalla dem u och v. 2 Låt punkten P 1 vara en punkt på den första linjen, som vi får får genom l 1 (t. Låt punkten P 2 vara en punkt på den andra linjen, som vi får genom l 2 (s. Bilda vektorn w = P 1 P 2. 3 Vi inser att w varierar i längd och riktning beroende på hur vi väljer s och t. Vi ska finna de värden på s och t då w är så kort som möjligt. Då är samtidigt u w och v w (Påstår vi utan bevis 4 Då kan vi ställa upp ekvationssystemet { u w = 0 v w = 0 Lösningen till detta system ger oss det s och t vi söker. Insatt i l 1 (t och l 2 (s får vi två punkter. Det är avståndet mellan dessa punkter vi söker och som är svaret på uppgiften. Genomförande: 1 v = (3,2, 1 och u = (4, 2,1. 2 Vi får vektorn w = (2, 1,3+s(4, 2,1 ((1,0,3+t(3,2, 1= (1+4s 3t, 1 2s 2t,s+t Håkan Strömberg 48 KTH Syd

INNEHÅLL 3 Ekvationssystemet får följande utseende { (4, 2,1 (1+4s 3t, 1 2s 2t,s+t = 0 (3,2, 1 (1+4s 3t, 1 2s 2t,s+t = 0 När vi räknat en stund får vi { 6+21s 7t = 0 1+7s 14t = 0 Systemet har lösningen s = 11 35,t = 3 35 4 Dessa värden insatt i l 1 ( 3 35 och l 2( 11 35 P 3 = ( 26 35, 6 35, 108 35 ger punkterna P 4 = ( 26 35, 13 35, 94 35 5 Avståndet mellan dessa punkter beräknas genom (26 35 26 2 +( 6 35 35 + 13 2 ( 108 + 35 35 94 2 = 1 35 5 p1 = {1, 0, 3}; v = {3, 2, -1}; p2 = {2, -1, 3}; u = {4, -2, 1}; linje1[t_] := p1 + t v linje2[t_] := p2 + t u w = linje1[s] - linje2[t]; Solve[{w.v == 0, w.u == 0}] Som ger s = 3,t = 11 35 35 Norm[linje1[-3/35] - linje2[-11/35]] och vi har svaret 1 5 Håkan Strömberg 49 KTH Syd

PLANETS EKVATION PÅ PARAMETERFORM Planets ekvation på parameterform Uppgift 1 Tre punkter är givna P 1 = (1,2,3, P 2 = (4,5,6 och P 3 = (7,7,7; Skriv planets ekvation på parameterform. 1 Bilda två vektorer, r 1 och r 2, med hjälp av de tre punkterna. 2 Välj ut en av de tre punkterna 3 Ställ upp planets ekvation Genomförande: 1 r 1 = P 1 P 3 = (7,7,7 (1,2,3 = (6,5,4 r 2 = P 1 P 2 = (7,7,7 (4,5,6 = (3,2,1 2 Vi väljer punkten P 2 3 x = 4+6t+3s y = 5+5t+2s z = 6+4t+1s För varje val av s och t får vi en punkt i planet. p1 = {1, 2, 3}; p2 = {4, 5, 6}; p3 = {7, 7, 7}; plan[s_, t_] := p1 + s (p1 - p2 + t (p1 - p3 plan[2, -1] {1, 1, 1} Håkan Strömberg 50 KTH Syd

INNEHÅLL Ligger punkten på linjen? Uppgift 1 Ta reda på om punkten P = (1,2,4 ligger på linjen x = 5+8t y = 5+6t z = 6+4t 1 Bestäm t så att punktens x-koordinat hamnar på linjen. 2 Då ska också för samma t-värde både y- och z-koordinaten ligga på linjen Genomförande: 1 1 = 5+8t ger t = 1 2 2 5 +6( 1 = 2 vilket visar att y-koordinaten hamnar rätt. 6 + 2 4( 1 = 4, så 2 även z-koordinaten. Punkten ligger alltså på linjen. Så fort en av dessa två undersökningarna leder till motsägelse, ligger punkten utanför linjen. Svar: Punkten ligger på linjen p = {1, 2, 4} linje[t_] := {5, 5, 6} + t {8, 6, 4} Solve[linje[t] == p] Om det finns lösning till det överbestämda ekvationssystemet får vi ett värde på t. Håkan Strömberg 51 KTH Syd

BESTÄM AREAN TILL PARALLELLOGRAM Bestäm arean till parallellogram Uppgift 1 Bestäm arean till det parallellogram som spänns upp av vektorerna v = (8,2,7 och u = (7,8,3. 1 Denna area A = v u. Bestäm först w = v u 2 och därefter w Genomförande: 1 Uppställningen av v u ger e x e y e z w = v u = 8 2 7 7 8 3 = = 2 3 e x +7 7 e y +8 8 e z 7 8 e x 8 3 e y 2 7 e z = (6 56 e x +(49 24 e y +(64 14 e z = ( 50,25,50 2 A = ( 50 2 +25 2 +50 2 = 5625 = 75 Svar: Arean av det uppspända parallellogrammet är 75 a.e. Norm[Cross[{8, 2, 7}, {7, 8, 3}]] Håkan Strömberg 52 KTH Syd

INNEHÅLL Bestäm skärningen mellan två plan Uppgift 1 Bestäm skärningen mellan planen 4y x z = 3 och 3x 11y+3z = 6. 1 Sätt z = t och lös det uppkomna ekvationssystemet med avseende på x och y. { A1 x+b 1 y+c 1 t = D 1 A 2 x+b 2 y+c 2 t = D 2 2 Svaret ger oss direkt ekvationen för den linje som beskriver skärningen mellan planen Genomförande: 1 { x+4y t = 3 3x 11y+3t = 6 2 Vi löser först ut x ur den första ekvationen och får x = 4y 3 t. Detta resultat sätter vi in i den andra ekvationen, som vi löser med avseende på y 3(4y 3 t 11y+3t = 6 12y 9 3t 11y+3t = 6 y = 15 y = 15 insatt i x = 4y 3 t ger x = 57 t. Vi har nu x,y och z uttryckta i t och kan skriva linjens ekvation x = 57 1 t = 57 t y = 15+0 t = 15 z = 0+1 t = t Svar: x = 57 t y = 15 z = t Håkan Strömberg 53 KTH Syd

BESTÄM SKÄRNINGEN MELLAN TVÅ PLAN ekv1 = 4 y - x - z - 3 == 0; ekv2 = 3 x - 11 y + 3 z - 6 == 0; ekv3 = z == t; Solve[{ekv1, ekv2, ekv3}, {x, y, z}] {{x -> 57 - t, y -> 15, z -> t}} Svaret kan användas för att definiera linjen genom linje[t_]:={57,15,0}+t{-1,0,1} Håkan Strömberg 54 KTH Syd

INNEHÅLL Bestäm vinkeln mellan två plan Uppgift 1 Bestäm vinkeln θ, mellan planen 5x+3y 8z = 3 och 9x+4y+z = 8. 1 Ta fram normalvektorerna n 1 och n 2 2 Beräkna normalvektorernas norm, n 1 och n 2. 3 Använd definitionen för skalärprodukt för att bestämma vinkeln. ( n1 n 2 θ = arccos n 1 n 2 Genomförande: 1 n 1 = (5,3, 8 och n 1 = (9,4,1. 2 n 1 = 5 2 +3 2 +( 8 2 = 98 och n 2 = 9 2 +4 2 +1 2 = 98 3 θ = arccos (5,3, 8 (9,4,1 = arccos 45+12 8 = arccos 1 98 98 98 2 = π 3 Svar: Vinkeln mellan planen är 60 n1 = {5, 3, -8}; n2 = {9, 4, 1}; ArcCos[n1.n2/(Norm[n1]*Norm[n2]] 180.0/Pi Håkan Strömberg 55 KTH Syd

BESTÄM VINKELN MELLAN EN LINJE OCH ETT PLAN Bestäm vinkeln mellan en linje och ett plan Uppgift 1 Bestäm vinkeln mellan planet 5x + 3y + 8z = 10 linjen x = 3+2t y = 4+t z = 9+t 1 Ta fram en normalvektor n till planet 2 Bestäm längden hos n 3 Ta fram en riktningsvektor r till linjen 4 Bestäm längden hos r 5 Använd definitionen för skalärprodukt för att bestämma vinkeln α mellan r och n. ( n r α = arccos n r 6 Vinkeln θ, mellan planet och linjen är då θ = π/2 α Genomförande: 1 n = (5,3,8 2 n = 5 2 +3 2 +8 2 = 98 = 7 2 3 r = (2,1,1 4 r = 2 2 +1 2 +1 2 = 6 5 ( (5,3,8 (2,1,1 21 α = arccos = arccos 98 6 14 3 = arccos 3 3 2 3 = arccos 2 = π 6 6 θ = π 2 π 6 = π 3 Svar: Vinkeln mellan planet och linjen är 60 n = {5, 3, 8}; v = {2, 1, 1}; 90 - ArcCos[n.v/(Norm[n]*Norm[v]] 180.0/Pi Håkan Strömberg 56 KTH Syd

INNEHÅLL Matrisalgebra Uppgift 1 Beräkna uttrycket ( 3 2 1 1 2 0 2 1 1 3 1 2 ( 1 3 0 2 1 Utför först matrismultiplikationen av (3 2-matrisen och (2 3-matrisen, som resulterar i en (2 2-matris 2 Avsluta med att subtrahera de två (2 2-matriserna Steg 1. ( 3 2 1 1 2 0 2 1 1 3 1 2 = ( 3 2+2 1+1 1 3 ( 1+2 3+1 2 ( 1 2+2 1+0 1 ( 1 ( 1+2 3+0 2 ( 9 5 0 7 = Steg 2. ( 9 5 0 7 ( 1 3 0 2 = ( 8 2 0 5 a = {{3, 2, 1}, {-1, 2, 0}}; b = {{2, -1}, {1, 3}, {1, 2}}; c = {{1, 3}, {0, 2}}; a.b - c // TableForm Håkan Strömberg 57 KTH Syd

MATRISEKVATIONER Matrisekvationer Uppgift 1 Lös följande matrisekvation med avseende på X. ( ( ( 3 4 2 21 X+ = 2 2 3 13 1 Bestäm först vilken typ matrisen X tillhör och sätt in en sådan i uttrycket. 2 Utför alla beräkningar i vänsterledet 3 När vi jämför vänster och höger led uppstår ett ekvationssystem. 4 Lös detta ekvationssystem Vi kommer fram till att X måste tillhöra typen (2 1. ( x1 X = Detta leder nu till ( 3x1 +4x 2 2x 1 +2x 2 och vi får ekvationssystemet + ( 3x1 +4x 2 +2 2x 1 +2x 2 +3 x 2 ( 2 3 = = { 3x1 +4x 2 = 19 2x 1 +2x 2 = 10 ( 21 13 ( 21 13 som vi kan lösa med Gausselimination och få lösningen Svar: x 1 = 1 och x 2 = 4 a = {{3, 4}, {2, 2}}; b = {2, 3}; c = {21, 13}; Inverse[a].(b - c Håkan Strömberg 58 KTH Syd

INNEHÅLL Uppgift 2 Lös matrisekvationen AX = A B då A = ( 3 2 2 1 B = ( 2 0 1 2 1 Lös först ut X symboliskt 2 Beräkna sedan högerledet i ekvationen Genom att först bestämma A 1 kan vi genom A 1 AX = A 1 (A B EX = A 1 (A B X = A 1 (A B Först bestämmer vi A B till A B = ( 1 2 3 3 Sedan kommer turen till A 1. Först bestämmer vi determinanten det(a = 3 ( 1 ( 2 2 = 1, Med hjälp av den kan vi så bestämma A 1 A 1 = 1 1 Till sist beräknar vi A 1 (A B och får X ( ( 1 2 1 2 2 3 3 3 ( 1 2 2 3 = ( 5 4 7 5 Svar: X = ( 5 4 7 5 a = {{3, -2}, {2, -1}}; b = {{2, 0}, {-1, 2}}; Inverse[a].(a - b // TableForm Håkan Strömberg 59 KTH Syd

MATRISEKVATIONER Uppgift 3 Lös matrisekvationen AXA = 2B då ( 1 2 A = 1 2 B = ( 1 0 3 4 1 Lös först ut X symboliskt 2 Beräkna sedan högerledet i ekvationen A 1 AXAA 1 = 2A 1 BA 1 X = 2A 1 BA 1 Dags att ta reda på A 1. Determinanten är det(a = 1 2 2 ( 1 = 4 Som hjälper oss att få A 1 A 1 = 1 ( 2 2 4 1 1 Högerledet leder nu fram till följande matrismultiplikationer och till svaret X 2A 1 BA 1 = 2 1 4 1 ( ( ( 2 2 1 0 2 2 = 4 1 1 3 4 1 1 Svar: ( 1 8 8 8 2 4 ( 2 2 1 1 X = ( 3 1 1 0 = ( 3 1 1 0 a = {{1, 2}, {-1, 2}}; b = {{-1, 0}, {3, 4}}; 2 Inverse[a].b.Inverse[a] // TableForm Håkan Strömberg 60 KTH Syd

INNEHÅLL Uppgift 4 Lös matrisekvationen XB = XA C med avseende på X då ( ( ( 1 2 4 3 3 1 A = B = C = 2 3 0 1 2 2 1 Lös först ut X symboliskt 2 Beräkna sedan högerledet i ekvationen Vi skriver om ekvationen XB = XA C XB XA = C X(B A = C X(B A(B A 1 = C(B A 1 XE = C(B A 1 X = C(B A 1 Vi beräknar först B A ( 4 3 0 1 ( 1 2 2 3 = ( 3 1 2 2 Sedan beräknar vi (B A 1. det(b A = 8 (B A 1 = 1 ( 2 1 8 2 3 Återstår för att beräkna C(B A 1 för att få X. C(B A 1 = 1 ( ( 3 1 2 1 = 1 8 2 2 2 3 8 Svar: X = ( 1 0 0 1 ( 8 0 0 8 = ( 1 0 0 1 a = {{1, 2}, {-2, 3}}; b = {{4, 3}, {0, 1}}; c = {{3, 1}, {-2, 2}}; -c.inverse[b - a] // TableForm Håkan Strömberg 61 KTH Syd

MATRISEKVATIONER Uppgift 5 Lös matrisekvationen där A = ( 1 1 3 4 1 Lös först ut X symboliskt XA = 2A+B 2 Beräkna sedan högerledet i ekvationen B = ( 0 1 2 0 Vi löser ut X symboliskt XA = 2A+B XAA 1 = (2A+BA 1 XE = (2A+BA 1 X = (2A+BA 1 Först bestämmer vi 2A + B 2A+B = ( 2 2 6 8 Därefter A 1. Dess determinant är och inversen blir då ( 0 1 2 0 det A = 4 3 = 1 A 1 = ( 4 1 3 1 = Vi kan nu bestämma X genom att beräkna (2A+BA 1 X = ( 2 3 8 8 ( 4 1 3 1 = ( 2 3 8 8 ( 1 1 8 0 a = {{1, 1}, {3, 4}}; b = {{0, 1}, {2, 0}}; (2 a + b.inverse[a] // TableForm Håkan Strömberg 62 KTH Syd

INNEHÅLL Ekvationssystem Uppgift 1 Lös ekvationssystemet x+y+2z+w = 14 3y+x+2w = 16 z+2x+2y+2w = 19 w+4x+2y+z = 19 1 Ställ upp totalmatrisen. 2 Använd Gausselimination för att få enbart 0:or under huvuddiagonalen. 3 Med bakåtsubstitution får man så till slut lösningen Gausselimination ger oss möjlighet till följande åtgärder i totalmatrisen. Multiplicera en ekvation med en konstant 0. Byta plats på två ekvationer Addera en multipel av en ekvation till en annan Addera 1 gånger rad 1 till rad 2 Addera 2 gånger rad 1 till rad 3 Addera 4 gånger rad 1 till rad 4 1 1 2 1 14 1 3 0 2 16 2 2 1 2 19 4 2 1 1 19 1 1 2 1 14 0 2 2 1 2 0 0 3 0 9 0 2 7 3 37 Rad 3 har redan värdet 0 på aktuell plats. Addera 1 gånger rad 2 till rad 4. Håkan Strömberg 63 KTH Syd

EKVATIONSSYSTEM Addera 3 gånger rad 3 till rad 4 Bakåtsubstitution ger nu: Svar: x = 2,y = 2,x = 3,w = 4 1 1 2 1 14 0 2 2 1 2 0 0 3 0 9 0 0 9 2 35 1 1 2 1 14 0 2 2 1 2 0 0 3 0 9 0 0 0 2 8 2w = 8 w = 4 3z +0 4 = 9 z = 3 2y 2 3 +1 4 = 2 y = 2 x +1 2 +2 3 +1 4 = 14 x = 2 e1 = x + y + 2 z + w == 14; e2 = 3 y + x + 2 w == 16; e3 = z + 2 x + 2 y + 2 w == 19; e4 = w + 4 x + 2 y + z == 19; Solve[{e1, e2, e3, e4}] Håkan Strömberg 64 KTH Syd

INNEHÅLL Uppgift 2 Lös ekvationssystemet 3x 11y+2z = 4 x 4y+z = 2 x 6y+3z = 2 2 Ställ upp totalmatrisen. 2 Använd Gausselimination för att få enbart 0:or under huvuddiagonalen. 3 11 2 4 1 4 1 2 1 6 3 2 Addera 1/3 gånger rad1 till rad3 och rad3 3 11 2 4 0 1/3 1/3 2/3 0 7/3 7/3 10/3 Addera 7 gånger rad2 till rad3 3 11 2 4 0 1/3 1/3 2/3 0 0 0 8 Systemet saknar lösning. 0x+0y+0z 8. De tre planen har alltså ingen gemensam punkt. a = {{3, -11, 2}, {1, -4, 1}, {1, -6, 3}}; b = {4, 2, -2}; Inverse[a].b Det[a] Då det(a = 0 finns ingen entydig lösning tm = {{3, -11, 2, 4}, {1, -4, 1, 2}, {1, -6, 3, -2}}; RowReduce[tm] // TableForm Vi får 1 0 3 0 0 1 1 0 0 0 0 1 Nu vet vi att systemet helt saknar lösningar Håkan Strömberg 65 KTH Syd

EKVATIONSSYSTEM Uppgift 3 Lös ekvationssystemet x+y+z = 2 x y z = 4 2x+4y+4z = 10 2 Ställ upp totalmatrisen. 2 Använd Jacobis metod. Addera 1 gånger rad1 till rad2. Addera 2 gånger rad1 till rad3. Addera rad2 till rad3 1 1 1 2 1 1 1 4 2 4 4 10 1 1 1 2 0 2 2 6 0 2 2 6 1 1 1 2 0 2 2 6 0 0 0 0 Systemet har oändligt många lösningar. Sätt z = t. Bakåtsubstitution ger nu 2y 2t = 6 y = 3 t x +1 (3 t +1 t = 2 x = 1 De tre planen skär varandra utefter linjen x = 1 y = 3 t z = t a = {{1, 1, 1}, {1, -1, -1}, {2, 4, 4}}; Det[a] tm = {{1, 1, 1, 2}, {1, -1, -1, -4}, {2, 4, 4, 10}}; RowReduce[tm] // TableForm Visar att det finns en en-parametrig lösning. Vi sätter z = 1 och utför bakåtsubstitution och får linjen linje[t_]:={-1,3,0}+t{0,-1,1} Håkan Strömberg 66 KTH Syd

INNEHÅLL Uppgift 4 Lös ekvationssystemet 3x+2y+z = 2 6x 4y 2z = 4 15x+10y+5z = 10 2 Ställ upp totalmatrisen. 2 Använd Gausselimination för att få enbart 0:or under huvuddiagonalen. Addera 2 gånger rad1 till rad2. Addera 5 gånger rad1 till rad3. 3 2 1 2 6 4 2 4 15 10 5 10 3 2 1 2 0 0 0 0 0 0 0 0 Systemet har oändligt många lösningar. Här räcker det inte med att sätta z = t. Vi måste ta till ännu en parameter och sätter y = s. Detta ger x = 2 3 1 3 t 2 3 s Lösningen är ett plan x = 2 3 1 3 t 2 3 s y = s z = t a = {{3, 2, 1}, {-6, -4, -2}, {15, 10, 5}}; Det[a] tm = {{3, 2, 1, 2}, {-6, -4, -2, -4}, {15, 10, 5, 10}}; RowReduce[tm] // TableForm Visar att systemet har en två-parametrig lösning. Sätt z = t och y = s och utför bakåtsubstitution Vi får planet plan[s_,t_]:={2/3,0,0}+t{-1/3,0,1}+s{-2/3,1,0} Håkan Strömberg 67 KTH Syd

EKVATIONSSYSTEM Uppgift 5 Lös detta underbestämda ekvationssystem { 2x+3y z = 5 4x+6y+z = 8 1 Vi vet att vi inte kan få någon entydig lösning då antalet obekanta är större än antalet ekvationer. 2 Ställ upp totalmatrisen 3 Använd Gausselimination för att lösa systemet Vi får totalmatrisen [ 2 3 1 5 4 6 1 8 Addera 2 gånger rad1 till rad2 [ 2 3 1 5 0 0 3 2 Ur detta får vi att z = 2. Men sedan? Vi substituerar z i första ekvationen och får 3 ] ] 2x+3y+ 2 3 = 5 2x+3y = 13 3 Sätt y = t och lös ekvationen med avseende på x 2x+3t = 13 3 x = 13 6 3t 2 Lösningen är som väntat en linje Svar: x = 13 9t 6 y = t z = 2 3 Håkan Strömberg 68 KTH Syd

INNEHÅLL tm = {{2, 3, -1, 5}, {4, 6, 1, 8}}; RowReduce[tm] // TableForm Vi får ( 1 3 13 0 2 6 0 0 1 2 3 Här ska man tänka sig en sista rad med idel 0:or. Om vi som vanligt skulle sätta z = t skulle vi få en motsägelse på rad 2, eftersom den ger z = 2. Istället får vi 3 sätta y = t och sedan lösa x = 13 9t och vi har linjens ekvation. 6 6 Håkan Strömberg 69 KTH Syd

INVERSMATRIS Inversmatris Uppgift 1 Bestäm inversen till matrisen C = 1 2 0 0 1 1 1 1 2 2 Ställ upp totalmatrisen. 2 Använd Gausselimination tills den högra delen av totalmatrisen är en enhetsmatris. Addera rad1 till rad3. Multiplicera rad2 med 1 1 2 0 1 0 0 0 1 1 0 1 0 1 1 2 0 0 1 1 2 0 1 0 0 0 1 1 0 1 0 0 3 2 1 0 1 1 2 0 1 0 0 0 1 1 0 1 0 0 3 2 1 0 1 Addera 3 gånger rad2 till rad3. 1 2 0 1 0 0 0 1 1 0 1 0 0 0 1 1 3 1 Multiplicera rad3 med 1 1 2 0 1 0 0 0 1 1 0 1 0 0 0 1 1 3 1 Håkan Strömberg 70 KTH Syd

INNEHÅLL Addera rad3 till rad2 Addera 2 gånger rad2 till rad1 1 2 0 1 0 0 0 1 0 1 2 1 0 0 1 1 3 1 1 0 0 1 4 2 0 1 0 1 2 1 0 0 1 1 3 1 Den sökta inversen är C 1 = 1 4 2 1 2 1 1 3 1 c = {{1, -2, 0}, {0, -1, 1}, {-1, -1, 2}}; Inverse[c] // TableForm Håkan Strömberg 71 KTH Syd

INVERSMATRIS Uppgift 2 Bestäm inversen till A = ( 1 2 3 8 1 När det gäller inversen till en (2 2-matris kan den direkt bestämmas med hjälp av följande formel ( 1 A 1 a11 a = 12 = a 21 a 22 1 ( a22 a 12 det(a a 21 a 11 A 1 = ( 1 2 3 8 1 = 1 ( 8 2 8 6 3 1 ( 4 1 = 3 2 1 2 a = {{1, 2}, {3, 8}}; Inverse[a] // TableForm Håkan Strömberg 72 KTH Syd

INNEHÅLL Determinant Uppgift 1 Bestäm determinanten det(a = 1 3 1 1 2 1 2 2 3 1 Använd någon av de minnesregler du lärt dig 2 a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 = = a 11 a 22 a 33 +a 12 a 23 a 31 +a 13 a 21 a 32 a 13 a 22 a 31 a 12 a 21 a 33 a 11 a 23 a 32 det(a = 6+6+2 4+9+2 = 21 a = {{1, 3, 1}, {-1, 2, 1}, {2, -2, 3}}; Det[a] Håkan Strömberg 73 KTH Syd

DETERMINANT Uppgift 2 Lös ekvationen x 1 2 2x 0 5 9 3x 3 = 0 1 Använd någon av de minnesregler du lärt dig för att bestämma determinanten 2 a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 = = a 11 a 22 a 33 +a 12 a 23 a 31 +a 13 a 21 a 32 a 13 a 22 a 31 a 12 a 21 a 33 a 11 a 23 a 32 3 Lös ekvationen Från determinanten får vi Som har rötterna x 1 = 5 och x 2 = 3 12x 2 +45 15x 2 6x = 0 3x 2 +45 6x = 0 x 2 +2x 15 = 0 a = {{x, 1, 2}, {2 x, 0, 5}, {9, 3 x, 3}}; Solve[Det[a] == 0] Håkan Strömberg 74 KTH Syd

INNEHÅLL När har ekvationssystemet lösning Uppgift 1 För vilket eller vilka a saknar ekvationssystemet entydig lösning? 2x+3ay+2z = 7 x+2z = 3 2y+z = 4 2 Ställ upp determinanten för koefficientmatrisen. 2 Bestäm determinanten. 3 Lös den uppkomna ekvationen. 4 Rötterna till ekvationen anger för vilka värden på a systemet saknar entydig lösning. Koefficientmatrisen är När vi bestämmer det(a A = A = 2 3a 2 1 0 2 0 2 1 2 3a 2 1 0 2 0 2 1 = 4+3a 8 deta = 0 då 4+3a 8 = 0, alltså a = 4. Svar: Då a = 4 har ekvationen ingen entydig lösning. m = {{2, 3 a, 2}, {-1, 0, 2}, {0, 2, 1}}; Solve[Det[m] == 0] Håkan Strömberg 75 KTH Syd

NÄR HAR EKVATIONSSYSTEMET LÖSNING Uppgift 2 För vilket eller vilka a saknar ekvationssystemet entydig lösning? ax+y+3z = 4 x+2y+5z = 7 3x+y+az = 2 2 Ställ upp determinanten för koefficientmatrisen. 2 Bestäm determinanten. 3 Lös den uppkomna ekvationen. 4 Rötterna till ekvationen anger för vilka värden på a systemet saknar entydig lösning. Koefficientmatrisen är A = a 1 3 1 2 5 3 1 a A = a 1 3 1 2 5 3 1 a = 2a2 +15 3 18 5a+a = 2a 2 4a 6 Ekvationen 2a 2 4a 6 = 0 har rötterna a 1 = 1 och a 2 = 3. Svar: Systemet saknar entydig lösning då a = 1 eller a = 3. m = {{a, 1, 3}, {-1, 2, 5}, {3, 1, a}}; Solve[Det[m] == 0] Håkan Strömberg 76 KTH Syd

INNEHÅLL Uppgift 3 Undersök hur många lösningar ekvationssystemet har för olika värden på a. Ange dessutom lösningarna 2 Ställ upp determinanten för koefficientmatrisen. 2 Bestäm determinanten. 3 Lös den uppkomna ekvationen. 4 Rötterna till ekvationen anger för vilka värden på a systemet saknar entydig lösning. 5 Undersök med hjälp av Gausselimination om det för aktuella a finns en, ingen eller oändligt många lösningar { x+ay+2 a = 0 (2 ax 3y+1 = 0 Vi börjar med att hyfsa till systemet, så att vi kan hitta koefficientmatris och högerled. { x+ay = a 2 (2 ax 3y = 1 Determinanten för koefficientmatrisen är det(a = 1 a 2 a 3 det(a = 3 a(2 a. det(a = 0 då a 2 2a 3 = 0, som har rötterna a 1 = 1 och a 2 = 3. Systemet har entydig lösning då a 1 1 och a 2 3. Först sätter vi upp totalmatrisen då a = 1 och löser den. [ ] 1 1 3 3 3 1 Addera 3 gånger rad1 till rad 2 [ 1 1 3 0 0 8 Vilket visar att lösning saknas. Men hur är det då a = 3? Totalmatrisen ser då ut så här [ ] 1 3 1 1 3 1 Addera rad1 till rad2. [ 1 3 1 0 0 0 Vilket betyder oändligt många lösningar. Svar: Då a = 3 finns oändligt många lösningar. Då a = 1 finns ingen lösning. För övriga värden på a finns en entydig lösning. ] ] Håkan Strömberg 77 KTH Syd

NÄR HAR EKVATIONSSYSTEMET LÖSNING m = {{1, a}, {2 - a, -3}}; Solve[Det[m] == 0] ger att det finns unika lösningar för a 1 och a 3. Vi bildar totalmatrisen för a = 1 och får tm = {{1, -1, -3}, {3, -3, -1}}; RowReduce[tm] // TableForm ( 1 1 0 0 0 1 som innebär ingen lösning. Vi bildar totalmatrisen för a = 3 och får tm = {{1, 3, 1}, {-1, -3, -1}} RowReduce[tm] // TableForm som innebär oändligt många lösningar. ( 1 3 1 0 0 0 Håkan Strömberg 78 KTH Syd