13. Plana vågors reflektion och brytning [RMC] Nu skall vi använda resultaten för plana vågors fortskridande och speciellt resultaten för gränsvillkor som härleddes i förra kapitlet för att behandla de praktiskt mycket viktiga fallen av hur vågor reflekteras eller bryts mellan två media. Elektrodynamik, vt 2008, Kai Nordlund 13.1
13.1. Reflektion och brytning av vågor mellan icke-ledande media 13.1.1. Rätvinklig infallsvinkel Låt färdriktningen för den inkommande vågen vara bz. Planet vid vilket reglektion och brytning sker är xy-planet vid z = 0. De inkommande, reflekterade och transmitterade vågorna är nu E 1 = bxe 1x e i(ωt κ 1 z) (13.1) E 1 = bxe 1x e i(ωt+κ 1 z) (13.2) Elektrodynamik, vt 2008, Kai Nordlund 13.2
E 2 = bxe 2x e i(ωt κ 2 z) (13.3) med κ 1 = ωn 1 /c (13.4) κ 2 = ωn 2 /c (13.5) Magnetfältet är med bu = bz för vågorna 1 och 2, och bu = bz för vågen 1. Vi får B = n bu E (13.6) c B 1 = n 1 c bye 1xe i(ωt κ 1 z) (13.7) B 1 = n 1 c bye 1x e i(ωt+κ 1 z) (13.8) B 2 = n 2 c bye 2xe i(ωt κ 2 z) (13.9) Elektrodynamik, vt 2008, Kai Nordlund 13.3
De tangentiella komponenterna för E, B är kontinuerliga vid gränsen z = 0. Om permeabiliteten är samma för både medierna: E 1x E 1x = E 2x (13.10) n 1 E 1x + n 1 E 1x = n 2 E 2x (13.11) Detta ger E 1x = n 2 n 1 n 2 + n 1 E 1x (13.12) E 2x = 2n 1 n 2 + n 1 E 1x (13.13) Om n 2 > n 1 så är E 1x och E 1x i fas och har samma tecken. Om n 2 < n 1 så är den inkommande och reflekterade vågorna fasförskjutna, eftersom då gäller med fasvinkeln π = 180. E 1x E 1x = e iπ E 1x (13.14) Elektrodynamik, vt 2008, Kai Nordlund 13.4
Definiera Fresnel-koefficienterna för rätvinklig reflektion och transmission: Tidsmedelvärdet av Poynting-vektorn är r 12 = E 1x E 1x (13.15) t 12 = E 2x E 1x (13.16) S = 1 n 2 µ 0 c (E2 0p + E2 0s ) (13.17) vilket visats i extra materialet 12x, stycke Energitäthet och ström. Nu gäller E 0p = E x och E 0s = 0 så att n 1 S 1 = 1 2 µ 0 c E2 1x (13.18) S 1 = 1 n 1 2 µ 0 c E 2 1x (13.19) n 2 S 2 = 1 2 µ 0 c E2 2x (13.20) Elektrodynamik, vt 2008, Kai Nordlund 13.5
Definiera reflektansen R = S 1 S 1 (13.21) och transmittansen T = S 2 S 1 (13.22) Dessa blir nu för rätvinklig reflektion och transmission Villkoret R n = r 2 12 (13.23) T n = n 2 n 1 t 2 12 (13.24) är satisfierat, vilket innebär att energin bevaras. R + T = 1 (13.25) Elektrodynamik, vt 2008, Kai Nordlund 13.6
Exempel : Luft har n 1 1 och glas n 2 = 1, 5. Detta ger R n = 0, 04 och T n = 0, 96 för en våg i luft som träffar gränsytan luft-glas med en infallsvinkel vinkelrät mot ytan. 13.1.2. Icke-rätvinklig infallsvinkel De inkommande, reflekterade och transmitterade vågorna är nu E 1 = e E 1 e i(ωt κ 1 r) (13.26) E 1 = e E 1 e i(ωt+κ 1 r) (13.27) E 2 = e E 2 e i(ωt κ 2 r) (13.28) Gränsplanets normalvektor betecknas bn, och är med dessa beteckningar lika med bz-vektorn. Planet som bildas av κ 1 och bn kallas infalls-planet (eng. plane of incidence). I detta fall motsvaras det av xz-planet, eftersom κ 1, bn båda bara har komponenter i xz-planet. Infallsplanet motsvarar alltså papperets plan. Elektrodynamik, vt 2008, Kai Nordlund 13.7
Elfältens bp-komponenter är per definition de komponenter som är parallella med infallsplanet. Detta gör att bs-komponenterna är vinkelräta (ty. senkrecht) mot infallsplanet. De tangentiella komponenterna av E, H-fälten är kontinuerliga vid randytan r 0 = (x, y, 0). Detta ger att faserna och speciellt vågvektor-komponenterna måste vara kontinuerliga där: Detta medför att alla vågvektorer ligger i ett plan. κ 1 r 0 = κ 1 r 0 = κ 2 r 0 (13.29) Bevis: Använd identiteten bn (bn F) = bn(bn F) F(bn bn) = bn(bn F) F (13.30) Med r 0 = F och bn = bz (planets ytnormal) fås bn (bn r 0 ) = bn(bz (x, y, 0)) r 0 = r 0 (13.31) Multiplicera nu med t.ex. κ 1. Vi får: κ 1 (bn (bn r 0 )) = (κ 1 bn) (bn r 0 ) = κ 1 r 0 (13.32) Elektrodynamik, vt 2008, Kai Nordlund 13.8
Gör samma sak med κ 2 och κ 3, och använd ekv. (13.29). Vi får: Detta ger (κ 1 bn) (bn r 0 ) = (κ 1 bn) (bn r 0) = (κ 2 bn) (bn r 0 ) (13.33) Multiplikation med t.ex. κ 1 ger κ 1 bn = κ 1 bn = κ 2 bn (13.34) 0 = (κ 1 κ 1 ) bn (13.35) som indikerar att κ 1, κ 1, bn alla ligger i samma plan. Motsvarande för κ 2. (i) Eftersom bn = bz får vi nu att bz κ 1 = κ 1 sin θ 1 (13.36) = bz κ 1 = κ 1 sin θ 1 (13.37) = bz κ 2 = κ 2 sin θ 2 (13.38) Men κ = ω/(c/n) så att κ 1 = κ 1 och Elektrodynamik, vt 2008, Kai Nordlund 13.9
sin θ 1 = sin θ 1 (13.39) Infalls- och reflektionsvinklarna är samma! Elektrodynamik, vt 2008, Kai Nordlund 13.10
(ii) Vi har också från ovan κ 1 sin θ 1 = κ 2 sin θ 2 och dä detta jämförs med definitionen på κ (ekvationerna 13.4 och 13.5), som är Snells lag. n 1 sin θ 1 = n 2 sin θ 2 (13.40) För att komma vidare måste randvillkoren tillämpas på de olika fälten. I detta fall räcker det med att fokusera på de tangentiella komponenterna. Villkoren för normalkomponenterna ger inga extra villkor. Normalkomponenten av t.ex. elfältet vid gränsytan är Vilken är den tangentiella komponenten E t? E n = (bn E)bn (13.41) Vi vet att fältet är en summa av normala och tangentiella komponenter, så att En titt på vektoridentiteterna ger oss att E = E n + E t = (bn E)bn + E t E(bn bn) (13.42) Elektrodynamik, vt 2008, Kai Nordlund 13.11
bn (bn E) = (bn E)bn E(bn bn) (13.43) Jämförelse av dessa två uttryck ger oss genast att den tangentiella komponenten måste vara E t = bn (bn E) (13.44) Kontinuitetsvillkoret tillämpat på randen (x, y, 0) ger nu Plocka bort den gemensamma faktorn bn : bn (bn ( e E 1 + e E 1 )) = bn (bn e E 2 ) (13.45) Motsvarande villkor har vi för magnetfältet: bn ( e E 1 + e E 1 ) = bn e E 2 (13.46) Detta kan skrivas om med hjälp av bn ( e B 1 + e B 1 ) = bn e B 2 (13.47) B = n bu E (13.48) c Elektrodynamik, vt 2008, Kai Nordlund 13.12
så att vi får ett nytt villkor för elfältet: n 1 bn (bu 1 e E 1 + bu 1 e E 1 ) = n 2bn (bu 2 e E 2 ) (13.49) Å andra sidan gäller så att Expandera trippelprodukten med regeln 1 E = c bu B (13.50) n n 1 bn (bu 1 e B 1 + bu 1 e B 1 ) = 1 n 2 bn (bu 2 e B 2 ) (13.51) så att F (G H) = G(F H) H(F G) (13.52) Elektrodynamik, vt 2008, Kai Nordlund 13.13
bn (bu e E) = bu(bn ee) e E(bn bu) (13.53) = e E(bn bu) (13.54) för elfälten i bs-riktningen och motsvarande för magnetfälten e B p i bs-riktningen. Observera att p.g.a. så ligger B p i bs-riktningen. B p = n c bu E p (13.55) Detta ger n 1 ( e E 1s (bn bu 1 ) + e E 1s (bn bu 1 )) = n 2 e E 2s (bn bu 2 ) (13.56) 1 n 1 ( e B 1p (bn bu 1 ) + e B 1p (bn bu 1 )) = 1 n 2 e B2p (bn bu 2 ) (13.57) Elektrodynamik, vt 2008, Kai Nordlund 13.14
Obs: bn bu 1 = bz bu 1 = cos θ 1 (13.58) bn bu 1 = bz bu 1 = cos(θ 1 π) = cos θ 1 (13.59) bn bu 2 = bz bu 2 = cos θ 2 (13.60) Detta ger n 1 ( e E 1s cos θ 1 e E 1s cos θ 1 ) = n 2 e E 2s cos θ 2 (13.61) 1 n 1 ( e B 1p cos θ 1 e B 1p cos θ 1 ) = 1 n 2 e B2p cos θ 2 (13.62) Vi bestämmer nu Fresnel-koefficienterna för reflektionen och brytningen. Vi betraktar skilt p- och s-komponenterna. Elektrodynamik, vt 2008, Kai Nordlund 13.15
p-polarisering För p-komponenterna som är per definition riktade i planets riktning bs kan vi skriva bn ( B e 1p + B e 1p ) = bn ( B e 1p bs + B e 1pbs) (13.63) bn e B 2p = bn e B 2p bs (13.64) Enligt det tidigare villkoret 13.47 bör dessa vara lika, så de högra ledena ger eb 1p + e B 1p = e B 2p (13.65) Ur ekvation 13.62 fås 1 ( B e 1p cos θ 1 B e 1p n cos θ 1 ) = 1 B2p e cos θ 2 1 n 2 (13.66) Definitionerna för Fresnel-koeffiecienterna och ekvation 13.50 ger nu Elektrodynamik, vt 2008, Kai Nordlund 13.16
r 12p = E 1p = c/n 1B1p = B 1p (13.67) E 1p c/n 1 B 1p B 1p t 12p = E 2p E 1p = c/n 2B 2p c/n 1 B 1p = n 1B 2p n 2 B 1p (13.68) varur fås r 12p = n 2 cos θ 1 n 1 cos θ 2 n 2 cos θ 1 + n 1 cos θ 2 (13.69) = tan(θ 1 θ 2 ) tan(θ 1 + θ 2 ) (13.70) t 12p = 2n 1 cos θ 1 n 2 cos θ 1 + n 1 cos θ 2 (13.71) = 2 cos θ 1 sin θ 2 sin(θ 1 + θ 2 ) cos(θ 1 θ 2 ) (13.72) De sista leden följer med hjälp av Snells lag och några trigonometriska identiteter. Elektrodynamik, vt 2008, Kai Nordlund 13.17
s-polarisering Nu fås bn ( E e 1s + E e 1s ) = bn ( E e 1s bs + E e 1sbs) (13.73) bn e E 2s = bn e E 2s bs (13.74) Enligt det tidigare villkoret 13.46 bör dessa vara lika, så de högra ledena ger Ur ekvation 13.61 fås ee 1s + e E 1s = e E 2s (13.75) n 1 ( e E 1s cos θ 1 e E 1s cos θ 1 ) = n 2 e E 2s cos θ 2 (13.76) Notera att ekv. (13.75) och (13.76) också gäller för fälten i vektoriell form. Detta betyder att ee 1s = r 12s e E1s (13.77) ee 2s = t 12s e E1s (13.78) Elektrodynamik, vt 2008, Kai Nordlund 13.18
så att Fresnelkoefficienternas tecken berättar om fälten har samma riktning eller är motsatt riktade. Elektrodynamik, vt 2008, Kai Nordlund 13.19
De skalära uttrycken ovan är samma som ovan för magnetfältet, men med n 1 och n 2 på ombytta platser. Lösningen av ekvationssystemet ger, med beteckningarna E 1s = r 12sE 1s och E 2s = t 12s E 1s att r 12s = n 1 cos θ 1 n 2 cos θ 2 n 1 cos θ 1 + n 2 cos θ 2 (13.79) = sin(θ 2 θ 1 ) sin(θ 2 + θ 1 ) (13.80) t 12s = 2n 1 cos θ 1 n 1 cos θ 1 + n 2 cos θ 2 (13.81) = 2 cos θ 1 sin θ 2 sin(θ 2 + θ 1 ) (13.82) Elektrodynamik, vt 2008, Kai Nordlund 13.20
Reflektanserna och transmittanserna definieras nu som projektionen av Poynting-vektorns tidsmedelvärde på gränsytans normal: R s = bn S 1s bn S 1s = r2 12s (13.83) T s = bn S 2s bn S 1s = n 2 cos θ 2 R p = bn D E S 1p n 1 cos θ 1 t 2 12s (13.84) bn S 1p = r2 12p (13.85) T p = bn S 2p bn S 1p = n 2 cos θ 2 n 1 cos θ 1 t 2 12p (13.86) Elektrodynamik, vt 2008, Kai Nordlund 13.21
Exempel 1: Ljusstråle i luft som träffar en gränsyta mot glas, n 1 = 1 och n 2 = 1, 5. 1.0 0.9 0.8 R s R p 0.7 Reflektans 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0.0 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 Infallsvinkel, 1 (deg) Elektrodynamik, vt 2008, Kai Nordlund 13.22
Exempel 2: Ljusstråle i glas som träffar en gränsyta mot luften, n 1 = 1, 5 och n 2 = 1. 1.0 0.9 0.8 R s R p 0.7 Reflektans 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0.0 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 Infallsvinkel, 1 (deg) Elektrodynamik, vt 2008, Kai Nordlund 13.23
Exempel 3: En gul ljusstråle i luft som träffar en gränsyta mot diamant, n 1 = 1 och n 2 = 2, 4. 1.0 0.9 0.8 R s R p 0.7 Reflektans 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0.0 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 Infallsvinkel, 1 (deg) 13.1.3. Speciella vinklar Elektrodynamik, vt 2008, Kai Nordlund 13.24
Tangentiellt inkommande våg θ 1 = π/2 ger sin θ 2 = n 1 /n 2. Om n 1 < n 2 så existerar en reell brytningsvinkel. Från uttrycken för reflektansen och transmittansen ser vi dock att R s = R p = 1 för θ 1 = π/2, d.v.s. allt ljus reflekteras medan inget bryts. Detta kan iakttas i de föregående exemplens grafer. Brewsters vinkel Det finns en vinkel θ B kallad Brewsters vinkel, vid vilken den ena av polarisationskomponenterna inte alls reflekteras, men nog den andra. Genom att kräva t.ex. R p = 0 för n 1 n 2 fås att θ 1 + θ 2 = π/2 ger R s 0. Den motsvarande infallsvinkeln θ 1 fås med hjälp av Snells lag: n 1 sin θ 1 = n 2 sin(π/2 θ 1 ) = n 2 cos θ 1 (13.87) Elektrodynamik, vt 2008, Kai Nordlund 13.25
Detta ger I och med detta fenomen har man en enkel metod att polarisera ljus! tan θ B = n 2 n 1 (13.88) Exempel : För en ljusstråle som rör sig i luft och träffar en glasyta gäller n 1 = 1 och n 2 = 1, 5, så att Brewsters vinkel är θ B = 56 (jämför bilden i exempel 1 ovan). Om ljusstrålen istället rör sig i glas och träffar en yta mot luften fås θ B = 34. Elektrodynamik, vt 2008, Kai Nordlund 13.26
Total intern reflektion Ytterligare en speciell vinkel (förutom θ 1 = π/2) satisfierar villkoret att allt ljus reflekteras och inget bryts, d.v.s. R = 1 och T = 0. Detta ger att brytningsvinkeln måste uppfylla villkoret cos θ 2 = 0, vilket ger θ 2 = π/2. Den motsvarande infallsvinkeln kallas kritisk vinkel och betecknas θ c. Snells lag ger Den kritiska vinkeln existerar om n 2 < n 1! sin θ c = n 2 n 1 (13.89) Fenomenet total intern reflektion utnyttjas t.ex. för att sända ljussignaler genom en optisk fiber. Exempel : För en ljusstråle som rör sig i glas och träffar en gränsyta mot luften gäller n 1 = 1, 5 och n 2 = 1, så att θ c = 42. För en stråle i luft som träffar en glasyta existerar ingen dylik vinkel, eftersom det då gäller att n 2 > n 1. Dock har vi fortfarande vinkeln θ 1 = π/2 som gör att allt ljus reflekteras. Elektrodynamik, vt 2008, Kai Nordlund 13.27
13.2. Reflektion och brytning av vågor mellan icke-ledande och ledande media Vi betraktar nu ett genomskinligt medium 1 och en bra ledare 2. Då medium 2 är ledande har vi Elektrodynamik, vt 2008, Kai Nordlund 13.28
eκ 2 = κ 2r + iκ 2i (13.90) Elektrodynamik, vt 2008, Kai Nordlund 13.29
Detta ger bn κ 1 = bn eκ 2 = bn κ 2r + ibn κ 2i (13.91) Vänstra ledet är i by-riktningen, så högra ledets första term måste också vara det. Vänstra ledet innehåller ingen imaginär term, så vi måste ha bn κ 2i = 0, d.v.s. κ 2i är parallell med bn. Vi har nu bn κ 2r = κ 2r cos θ 2 (13.92) bn κ 2i = κ 2i cos 0 = κ 2i (13.93) så att bn eκ 2 = κ 2r cos θ 2 + iκ 2i eκ 2 cos e θ 2 (13.94) Detta definierar den komplexa vinkeln e θ 2 med hjälp av de reella storheterna θ 2, κ 2r och κ 2i. Elektrodynamik, vt 2008, Kai Nordlund 13.30
Ekvationen bn κ 1 = bn κ 2r (13.95) ger p κ 1 sin θ 1 = κ 2r sin θ 2 = κ 2r 1 cos2 θ 2 (13.96) 2! 2 31/2 = κ 2r = = 41 eκ 2 cos e θ 2 iκ 2i κ 2r h κ 2 2r (eκ2 2 cos2 θ2 e κ 2 2i 2ieκ 2 cos θ e i 1/2 2 κ 2i ) h κ 2 2r + κ2 2i eκ2 2 cos2 e θ2 + 2ieκ 2 κ 2i cos e θ 2 i 1/2 (13.97) 5 Observera: eκ 2 2 = (κ 2r + iκ 2i ) 2 = κ 2 2r κ2 2i + 2iκ 2r κ 2i = κ 2 2r κ2 2i + 2iκ 2rκ 2i cos θ 2 Elektrodynamik, vt 2008, Kai Nordlund 13.31
= κ 2 2r κ2 2i + 2iκ 2rκ 2i eκ 2 cos e θ 2 iκ 2i κ 2r = κ 2 2r κ2 2i + 2iκ 2ieκ 2 cos e θ 2 + 2κ 2 2i = κ 2 2r + κ2 2i + 2iκ 2ieκ 2 cos e θ 2 (13.98) Vi får nu κ 1 sin θ 1 = κ 2r sin θ 2 (13.99) = heκ 2 2 eκ2 2 cos θ e i 1/2 2 = eκ 2 sin θ e 2 (13.100) Resultatet av detta är likheten κ 1 sin θ 1 = κ 2r sin θ 2 = eκ 2 sin e θ 2 (13.101) Vi kan nu skriva om uttrycken för r 12 och t 12 för ett ledande medium 2. (1) Först ersätter vi n 2 med en 2 = n 2 + ik 2. (2) Sedan noterar vi att med Elektrodynamik, vt 2008, Kai Nordlund 13.32
eκ 2 = ω c en 2 = ω c (n 2 + ik 2 ) (13.102) fås sin e θ 2 = c ω κ 2r sin θ 2 n 2 + ik 2 (13.103) = n 2 sin θ 2 n 2 + ik 2 = c κ 1 sin θ 1 ω n 2 + ik 2 = n 1 sin θ 1 n 2 + ik 2 = n 1n 2 sin θ 1 in 1 k 2 sin θ 1 n 2 2 + k2 2 (13.104) cos e θ 2 = c ω κ 2r cos θ 2 + iκ 2i n 2 + ik 2 (13.105) = n 2 cos θ 2 + ik 2 n 2 + ik 2 = n2 2 cos θ 2 + k 2 2 + in 2k 2 (1 cos θ 2 ) n 2 2 + k2 2 (13.106) Elektrodynamik, vt 2008, Kai Nordlund 13.33
Dessa ersätter sin θ 2 och cos θ 2 i uttrycken för r 12 och t 12. Dessa blir nu komplexa, så att er 12s er 12s e iα s er 12p er 12p e iα p (13.107) (13.108) och ee 12s = er 12s E 1s (13.109) ee 12p = er 12s E 1p (13.110) Reflektanserna blir R s = er 12s 2 och R p = er 12p 2. Observera: För ledande media talar man inte om transmittans utan kallar samma storhet för absorptans: A = 1 R (13.111) Uttrycken för absorptanserna blir mera komplicerade. Istället för att ta reda på dessa konstaterar vi att A = 1 R, så att det räcker med att bestämma R, vilket vi gjort. Elektrodynamik, vt 2008, Kai Nordlund 13.34
Användbara identiteter är nu er 12 = er 21 (13.112) er 2 12 + et 12 et 21 = 1 (13.113) för både s och p. Vi får för reflektanserna er 12p = en 2 cos θ 1 n 1 cos e θ 2 en 2 cos θ 1 + n 1 cos e θ 2 (13.114) er 12s = n 1 cos θ 1 en 2 cos e θ 2 n 1 cos θ 1 + en 2 cos e θ 2 (13.115) Bilden visar reflektansen för synligt ljus från silver med n 0.05 och k 3 samt nickel med n 2 och k 3 Detta resultat förklara varför metaller är glänsande! Bilden innebär ju att s.g.s allt synligt ljus Elektrodynamik, vt 2008, Kai Nordlund 13.35
reflekteras från silver, och en stor del också från nickel. Elektrodynamik, vt 2008, Kai Nordlund 13.36
Vågen som går genom gränsytan in i medium 2 beskrivs av ee 2p = et 12p e E1p = e E 2p,0 e κ 2i r e i(ωt κ 2r r) (13.116) Denna våg har konstant fas i κ 2r - riktningen, och konstant amplitud i κ 2i - riktningen (bz-riktningen). Elektrodynamik, vt 2008, Kai Nordlund 13.37
Rätvinklig infallsvinkel: θ 1 = 0 Det gäller nu att sin θ 1 = 0, cos θ 1 = 1, θ 2 = 0 p.g.a. Snells lag, sin θ 2 = 0, cos θ 2 = 1. Detta ger cos e θ 2 = 1, så att och sin e θ 2 = 0. Reflektansen blir eκ 2 cos e θ 2 = eκ 2 = κ 2r + iκ 2i = ω c (n 2 + ik 2 ) (13.117) R n = 1 (n 2 + ik 2 ) 1 + (n 2 + ik 2 ) 2 = (1 n 2) 2 + k 2 2 (1 + n 2 ) 2 + k 2 2 (13.118) Absorptansen är nu A n = 4n 2 (1 + n 2 ) 2 + k 2 2 (13.119) Elektrodynamik, vt 2008, Kai Nordlund 13.38
Då g 2 ε 0 ω gäller så att n 2 k 2 r K2i 2 = r g2 2ε 0 ω 1 (13.120) A n = 4n 2 (1 + n 2 ) 2 + k 2 2 s 4n n 2 + n = 2 2 n 2 k = 2 2ε 0 ω (13.121) g 2 Detta kallas Hagen-Rubens-relationen. Denna håller för goda ledare utsatta för mikrovågor och vågor med lägre frekvenser, och metaller utsatta för vågor med frekvenser upp till infrarött, förutsatt att g tas som likströms-konduktiviteten, d.v.s. g(ω = 0). Exempel 1:: Silver, mikrovågor: ν = 10 10 Hz. Hagens-Rubens-ekvationen ger R n = 0, 9996 och A n = 3, 9 10 4. Exempel 2:: Sjövatten, långa radiovågor: ν = 6 10 4 R n = 0, 9975 och A n = 25 10 4. Hz. Hagens-Rubens-ekvationen ger Elektrodynamik, vt 2008, Kai Nordlund 13.39
Om vi inte känner g 2 men nog har tillgång till en lista med inträngningsdjup δ har vi nytta av den alternativa formeln s 2ε 0 ω A n = 2 g 2 = δ r s µ0 ωg 2 2 2ε 0 ω g 2 = 2δ µ 0 ε 0 ω = 2δ 2πν c = 4π δ λ 0 (13.122) där λ 0 är våglängden i vakuum. Elektrodynamik, vt 2008, Kai Nordlund 13.40
13.3. Vågledare 13.3.1. Vågors fortskridande mellan parallella ledande plan Vi kommer nu att se hur elektromagnetiska vågor kan transporteras genom ihåliga ledare. Detta är ett alternativ till att skicka ut och ta emot dem via antenner. Elektrodynamik, vt 2008, Kai Nordlund 13.41
V agledare ar ocks a mycket aktuella nu f or att man nyligen kommit p a att s.k. fotoniska kristaller har egenskapen att de helt hindrar ljusets framfart i dem vid n agon viss frekvens. Tack vare detta kan man (analogt med ledare) anv anda fotoniska kristaller f or att styra ljus. Fotoniska kristaller kan tillverkas av halvledare p a kiselchips, vilket inneb ar att detta ger en potential f or att integrerar konventionell och optoelektronik p a samma kiselchips. Amnet behandlas inte mer ing aende p a denna kurs, f or den kr aver Opaler ar naturliga fotoniska kristaller. De hindrar insikter i halvledarfysik, men framfart av ljus vid vissa best amda v agl angder, en l attfattlig introduktion ges i vilket ger dem vackra f arger. [wikipedia] http://en.wikipedia.org/wiki/photonic crystal Vi antar att det ledande materialet har en o andlig konduktivitet s a att v agen inte attenueras vid reflektion. D a g = g aller att Ki = och δ = 0, s a att exp[ u/δ] = exp[ ] = 0 och brytning in i ledaren f orekommer d arf or inte. Vi granskar f orst fallet att v agorna reflekteras mellan tv a parallella plan. Senare inkluderas ytterligare Elektrodynamik, vt 2008, Kai Nordlund JJ J I II 13.42
ett par av plan, så att vi får en rektangulär vågledare. Låt transportriktningen vara bz. Situationen ser nu ut som i figuren. Elektrodynamik, vt 2008, Kai Nordlund 13.43
Man definierar två sorters transportmoder: (1) transversell elektrisk (TE) mod, och (2) transversell magnetisk (TM) mod. För TE-moden gäller det att elfältet är parallellt med de reflekterande ytorna (bx-riktningen) och vinkelrätt mot fortskridningsriktningen (bz-riktningen). För TM-moden gäller motsvarande villkor, men för magnetfältet. I det följande behandlar vi bara TE-moder. Låt den infallande vågen alternativt vågen som reflekteras från väggen vid y = 0 ha fasen ωt + κ r = ωt + κy cos θ + κz sin θ (13.123) Vågen som reflekteras från planet vid y = b har då fasen Vågens elfält är ωt + κ r = ωt κy cos θ + κz sin θ (13.124) ee(y, z, t) = bx ee1 e i( ωt+κ(y cos θ+z sin θ)) + f E 1e i( ωt+κ( y cos θ+z sin θ)) (13.125) Elektrodynamik, vt 2008, Kai Nordlund 13.44
Randvillkoret vid ytan mot det oändligt ledande materialet är e E = 0. (i) För randen y = 0 fås 0 = e E 1 e i( ωt+κz sin θ) + f E 1e i( ωt+κz sin θ) (13.126) Detta skall gälla för alla t och z, så att vi måste ha E 1 = E 1. (ii) För randen y = b fås som ger 0 = e E 1 e i( ωt+κ(b cos θ+z sin θ)) e E 1 e i( ωt+κ( b cos θ+z sin θ)) (13.127) så att vi måste ha e iκb cos θ = e iκb cos θ (13.128) eller sin(κb cos θ) = 0 (13.129) där m är ett heltal. κb cos θ = mπ (13.130) Elektrodynamik, vt 2008, Kai Nordlund 13.45
Detta ger κ = mπ b cos θ = ω c = 2πν c där λ 0 är den motsvarande våglängden i vakuum. = 2π λ 0 (13.131) Vi kan också definiera κ y = κ cos θ 2π λ c (13.132) κ z = κ sin θ 2π λ g (13.133) Elfältet blir nu ee(y, z, t) = bx e E 1 (e iκy cos θ e iκy cos θ )e iωt+iκz sin θ (13.134) = bx E e iωt+iκz sin θ 1 2i sin(κy cos θ)e «bx E e 2πy 0 sin λ c e i2πz/λ g iωt (13.135) Elektrodynamik, vt 2008, Kai Nordlund 13.46
Observera: ger κb cos θ = mπ = 2πb λ c (13.136) Men: b λ c = m 2 (13.137) κ 2 = κ 2 y + κ2 z (13.138) Detta ger 1 λ 2 0 = 1 λ 2 c + 1 λ 2 g (13.139) så att λ 2 g = λ2 0 λ2 c λ 2 c λ2 0 (13.140) Om λ c λ 0 blir λ g och κ z noll eller imaginär, d.v.s. vågen existerar inte eller attenueras istället för att fortskrida. Elektrodynamik, vt 2008, Kai Nordlund 13.47
Vi måste alltså kräva att λ 0 < 2b m = λ c (13.141) λ c kan kallas bryt-våglängd (eng. cutoff wavelength) och motsvarar den längsta vågländ som kan skickas mellan de parallella planen. Denna våglängd motsvarar ett bestämt värde på m, och kallas för mod. Alternativt, med ν 0 = c/λ 0, fås Elfältet blir nu i x-riktningen, där ν 0 > mc 2b «ee(y, z, t) = E e mπy 0 sin b e i2πz/λ g iωt (13.142) (13.143) λ g = λ 0 q1 (mλ 0 /(2b)) 2 (13.144) Elektrodynamik, vt 2008, Kai Nordlund 13.48
Exempel 1:: Om m = 0 fås λ c = så att alla vågor med godtycklig våglängd borde kunna fortskrida. Men å andra sidan, m = 0 ger e E 0, så att inga vågor förekommer. Exempel 2:: Om m = 1 fås ν 0 > c/(2b). Om mikrovågor (ν 0 = 10 10 Hz) ska fortskrida så måste vi ha b > c/(2ν 0 ) = λ 0 /2 1, 5 cm. Elektrodynamik, vt 2008, Kai Nordlund 13.49
Hastigheter Behandlas ej, men ges som referens på kursens webbsidor. Materialet krävs inte i mellanförhören. 13.3.2. Rektangulära vågledare Behandlas ej, men ges som referens på kursens webbsidor. Materialet krävs inte i mellanförhören. Elektrodynamik, vt 2008, Kai Nordlund 13.50
13.4. Kavitetsresonatorer Behandlas ej, men ges som referens på kursens webbsidor. Materialet krävs inte i mellanförhören. Elektrodynamik, vt 2008, Kai Nordlund 13.51