Lekton 8 Specalfall, del I (SFI) Rev 0080304 MR Produktvalsproblem och cyklsk planerng Ltteratur: Olhager (000) kap. 7.3 och 9. Nedan följer alla uppgfter som hör tll lektonen. De är ndelade fyra nvåer där nvå nnehåller uppgfter som hanterar en specfk problemställnng taget. Nvå nnehåller mer detaljerade räkneuppgfter krng några centrala teman. Nvå 3 nnehåller uppgfter som går på bredden genom flera olka teman och specfka problemställnngar. Nvå 3 lknar tentamensuppgfter. Nvå 4 nnehåller teoruppgfter. Innan lektonen kan uppgfter på nvå studeras. Innehåll Nvå : Produktval (LP-problem) (SFI.) Cyklsk planerng, produkter (SFI.) Nvå : Maxmera täcknngsbdrag (produktval) (SFI.3) Maxmera täcknngsbdrag (optmal produktmx) (SFI.4) Planerngsproblem LP-modell (SFI.5) Cyklsk planerng, 3 produkter (SFI.6) Ekonomsk orderkvanttet med sambeställnng (SFI.7) Nvå 3: Produktval (entamensuppgft 005-05-3) (SFI3.8) Cyklsk planerng, 5 produkter (SFI3.9) Nvå 4: Negatvt B (SFI4.0) Uppgfter som behandlas på lekton
Nvå Uppgft SFI. Ett företag tllverkar två olka produkter, A och B. Kostnaden att tllverka produkterna är 4000kr/st och båda produkterna säljs för 7000kr/st. Produkterna produceras båda två maskner med kapactet om 40h/vecka. Produkt A tar 8 mn maskn och 0 mn maskn. Produkt B tar mn maskn och 5 mn maskn. Efterfrågan per vecka är 50st A och 00st B. ) Formulera produktvalsproblemet (per vecka) så att täcknngsbdraget maxmeras. ) Uppgft SFI. Beräkna antal A och B som bör produceras per vecka, samt vad täcknngsbdraget blr. Ett företag har en bred produktportfölj, som är ndelad flera produktfamljer. För att underlätta planerngen ser företaget tll att hålla hop tllverknngen av olka famljer genom att tllämpa cyklsk planerng. I en av famljerna ngår endast två produkter. Beräkna optmal gemensam cykeltd och motsvarande orderkvantteter för dessa enlgt nedanstående data. Lagerräntan är satt tll 5 % per enhet och år och företaget räknar med månader per år och 60 arbetstmmar per månad. Efterfrågan D 5000 enheter/månad D 000 enheter/månad Ordersärkostnad K 000 kr/ställ K 000 kr/ställ Produktvärde v 40 kr/enhet v 60 kr/enhet Ställtder s tmmar/ställ s 4 tmmar/ställ Stycktder t 0,0 tmmar/enhet t 0,0 tmmar/enhet Nvå Uppgft SFI.3 Ett företag tllverkar två produkter, A och B, med följande standarddata gällande för normalår. Produkt A B Råmateral [kr/st] 45 0 Drekt lön [kr/st] Avd. I (6 kr/h) 3 6 Avd. II (30 kr/h) 5 90 O-pålägg [kr/st] Avd. I ( 5 000 h/år) 4 Avd. II (0 000 h/år) 0 60 AFFO-pålägg [kr/st] 0 3 Försäljnngsprs [kr/st] 6 39 Admnstratons- och försäljnngsomkostnaderna (AFFO) är fasta. Av tllverknngsomkostnaderna (O) är 40 000 kr avdelnng I (Avd. I) och 00 000 kr avdelnng II (Avd. II) fasta. Fördelnngsbas för O-pålägg är baserat på arbetstd respektve avdelnng. Produkterna tllverkas av samma råmateral vlket det för närvarande råder brst på. Företaget räknar med att under det närmaste året kunna köpa 75 ton råmateral tll ett prs av,50 kr/kg. Maxmera täcknngsbdraget genom att göra lämplgaste produktval. Uppgft SFI.4 Företaget H O AB tllverkar varmvattenberedare för sommarstugor. Man har tre olka modeller, A, B och C, för olka surhetsgrader vattnet. Under ett normalår gäller följande kostnader och ntäkter. Produkt A B C Råmateral [kr/st] 36 7 76 Drekt lön [kr/st] Avd. I (4 kr/h) 36 4 48 Avd. II (30 kr/h) 60 60 0 O-pålägg [kr/st] Avd. I ( 9 000 h/år) 30 0 40 Avd. II (4 000 h/år) 48 48 96 AFFO-pålägg [kr/st] 8 0 0 Försäljnngsprs [kr/st] 3 64 335 Av tllverknngsomkostnaderna är 7 000 avd I och 84 000 avd II fasta. 3
Varmvattenberedarna består uteslutande av en blandnng bestående av en korrosonsbeständg legerng och järn. För tllfället är prset för respektve materal 8 kr/kg för legerngen och 4 kr/kg för järn. Sammansättnngen hos respektve produkt framgår av nedanstående tabell. A B C Andel legerng 50% 80% 90% Andel järn 50% 0% 0% Av legerngen kan man endast köpa 48 ton under det kommande året, medan järn fnns tllgänglg obegränsad mängd. Inget spll förekommer under bearbetnngen. ) H O AB vll få reda på om nuvarande produktmx är optmal eller ej. Välj därför ut den produkt/de produkter som ska tllverkas, genom att maxmera täcknngsbdraget och bestäm också detta bdrag. ) Följande deluppgft ngår nte PPE08 M. Eftersom man nte ser någon som helst begränsnng på avsättnngsmöjlgheterna för sna produkter, vll man på något sätt utöka verksamheten. En småföretagare är vllg att åta sg legoarbete motsvarande avd II. Vad är den övre gräns som H O kan betala per tmme, om man håller småföretagaren med råmateral och transporter? Uppgft SFI.5 Ett företag nom lvsmedelsbranschen, HEMSAF AB, skall snart börja med sn produkton av saft nför sommaren. De har för närvarande fyra saftsorter stt sortment - Apelsn, Ctron, Äpple och Päron. Apelsn och Ctron ger båda 5 SEK täcknngsbdrag per såld lter medan täcknngsbdraget för Äpple och Päron bara är SEK per såld lter. Företaget har efter tjugo års erfarenheter av saftbranschen först nylgen börjat nse att efterfrågan på saft är korrelerat med vädret. Företaget ämnar därför producera så mycket saft de klarar av nför den förväntat varma sommaren. Dock har företaget problem med att htta tllräcklgt kvalfcerad personal tll sna två produktonsavdelnngar - blandnngsavdelnngen och upptappnngsavdelnngen. Detta medför att företaget bara kan köra dagtd blandnngsavdelnngen och tvåskft upptappnngsavdelnngen. Varje saftsort passerar ett tllverknngssteg varje avdelnng produktonsprocessen. Kapacteten dessa tllverknngssteg uttryckt produktonstd per dag är: Process Antal tmmar. Blandnng av ngredenser 8. Upptappnng på flaskor om lter 6 den (h) som krävs varje tllverknngssteg för att tllverka 000 flaskor av varje saftsort är: Saftsort Blandnng Upptappnng Apelsn 5/3 Ctron 5/3 Äpple /3 Päron / Ställtden för produktonsväxlng mellan de olka saftsorterna antas vara obefntlg. ) Formulera planerngsproblemet för HEMSAF AB en LP-modell om täcknngsbdraget skall maxmeras under antagandet att allt som tllverkas också kan säljas. Glöm ej att defnera alla nförda betecknngar. ) Följande deluppgft ngår nte PPE08 M. Lös problemet, d v s bestäm optmal produktmx samt vlket totalt täcknngsbdrag denna produktmx genererar tll företaget. ) Följande deluppgft ngår nte PPE08 M. Hur mycket är HEMSAF AB vllga att maxmalt betala extra för att få tllgång tll ytterlgare produktonstmma per dag blandnngsavdelnngen resp. upptappnngsavdelnngen? Uppgft SFI.6 Ett företag använder cyklsk planerng för att styra tllverknngen en maskn som är flaskhals flödet. Masknen bearbetar 3 olka produkter och ställs om mellan varje gång en ny partstorlek av en ny produkt skall tllverkas. Kostnaden att ställa om masknen är 700 kr per tmme (ordersärkostnaden). Lagerräntan är 0 % per enhet och år. Företaget räknar med 50 veckor på ett år och 40 tmmar på en arbetsvecka. Produkt Prognos [st/vecka] Produktvärde [kr/st] 500 000 300 00 3 50 800 Ställtder och stycktder är enlgt tabellen nedan. Produkt Ställtder [tmme/ställ] Stycktder [tmme/enhet] 0,03 3 0,05 3 5 0,03 Bestäm cykeltden och de tre produkternas partstorlekar! Uppgft SFI.7 Ett företag har en konstant efterfrågan av två råvaror; D 6 000 kg/år, D 5 000 l/år. Prset på dessa är; p 50 kr/kg, p 0 kr/l Lagerhållnngsräntan är 5 %/år. 4 5
Nu beställer man dessa orderkvantteter som beräknats med Wlson-formeln. Leverantören har meddelat att han kommer att nföra ett nytt system och han kräver att bägge råvarorna ska beställas samtdgt med jämna ntervall. dgare var ordersärkostnaden 500 kr för varje leverans av en produkt, nu kommer ordersärkostnaden att bl 500 kr för varje leverans av båda produkterna. a) Hur stora kvantteter ska företaget beställa av råvarorna och hur ofta ska man beställa? b) Hur mycket tjänar eller förlorar företaget på förändrngen? ) Formulera produktvalsproblemet med målet att maxmera det totala täcknngsbdraget. Förklara alla nförda varabler och parametrar utförlgt. (6p) ) Lös produktvalsproblemet. (p) Man har på företaget tdgare dskuterat att utblda tllverknngspersonalen monterng och monterngspersonalen komponenttllverknng. Man tror att detta skulle kunna leda tll en högre produktmxflexbltet. Nvå 3 ) Om företaget fck möjlghet att anställa ytterlgare en person tll produktonen, tll vlken avdelnng skulle då personen anställas och hur mycket förändras det maxmala totala täcknngsbdraget? Antag samma lönevllkor som för övrga anställda. (p) Uppgft SFI3.8 (entamen 005-05-3, Uppgft 6, 0p) Mekano Maskn är en tllverkare av sktmaskner som under de senaste åren haft en kraftg tllväxt och de känner att de börjar närma sg taket för hur mycket deras nuvarande produktonsanläggnng klarar av. Företaget har dag 3 huvudprodukter, den gamla A30:an och de nyare modellerna B90 och C303. Efterfrågan för det kommande kvartalet fnns tabellen nedan. Alla tre produkterna har en lknande uppbyggnad. De byggs på samma chasskonstrukton som köps n av en underleverantör. Denna underleverantör är förhållandevs lten och kan endast leverera 30 st chasser per kvartal. På chasset monteras sedan ett antal egentllverkade och nköpta komponenter. Kostnaderna för dessa framgår av tabellen nedan. Utöver dessa kostnader tllkommer vssa omkostnader. Produkt A30 B90 C303 Efterfrågan per kvartal 8 7 6 Kostnader för materal och komponenter 455 000 485 000 640 000 Komponenttllverknngen sker ena halvan av produktonslokalen och med detta arbetar utbldade svetsare. Monterngen sker den andra halvan av lokalen och monterngspersonalen har kunskaper om hydraulk och elektronk. Idag jobbar det 5 personer med monterng och 5 personer med tllverknng. Lönekostnaderna är helt rörlga då företaget hyr all personal från Powerman och behöver därför endast betala för den td som arbetas. Lönekostnaderna för monterngspersonalen är 00 kr/h och för tllverknngspersonalen 50 kr/h. Operatonstd [h] llgänglg kap. [tm/kvartal] Produkt A30 B90 C303 - llverknng 80 50 00 3000 (600 tmmar per anställd) Monterng 300 350 400 3000 (600 tmmar per anställd) Försäljnngsprset är marknadsprssatt och bygger på många års erfarenhet av hur mycket marknaden är vllg att betala för företagets produkter. På prslstan nedan ges alltd en rabatt på 0 % (för att kunderna ska känna att de gjort en bra affär). Uppgft SFI3.9 AB Bulten tllverkar fem olka sorters bultar en och samma maskn. Följande data gäller: Produkt Årsbehov [st] Fsg/dag [st/dag] Prod/dag [st/dag] Lagerkostn [kr/st år] Ställkostn [kr] 8 000 3 800 9 080 5 000 60 500 4 90 3 7 000 8 700 90 4 000 4 00 6 40 5 3 000 300 6 30 a) Bestäm orderkvantteterna för dessa fem produkter med cyklsk planerng, där alla fem produkterna tllverkas varje produktonscykel. Beräkna dessutom total lager- och ordersärkostnad. b) Jämför denna lösnng med alternatvet att v använder Wlson-formeln för varje enskld produkt. (Detta nnebär att v släpper på begränsnngen att de fem produkterna "konkurrerar" om samma produktonsapparat, vlket kan tolkas som att produkterna tllverkas olka produktonsgrupper). Nvå 4 Uppgft SFI4.0 Kan det vara försvarbart att tllverka produkter med negatvt täcknngsbdrag för ett företag? Motvera varför/varför nte. Produkt A30 B90 C303 Lstprs 700 000 650 000 000 000 6 7
Lösnngsförslag Uppgft SFI. Lösnng: ) Max 3000x + 3000x Då 8x + x 400 mn 0x x, x + 5x x 50 x 00 0 400 mn x antal tllverkade enheter av produkt, där {A, B} ) Skssa fgur lknande den på sd. 0 Olhager. Max B fås vd skärnngen av bvllkor och, alltså 8x + x 0x + 5x x 7x Detta medför att 8x + x 8x + x 400. Alltså är x 60. På samma sätt erhålls att x 0. Resultatet blr alltså att producera 0 A och 60 B med ett täcknngsbdrag på 80 000 kr. Uppgft SFI. Lösnng: D CO K + H ( td ) ; produktndex dc( ) Dervera m.a.p. och sätt 0 d Detta ger: K H D ( t D ) Var noggrann med enheterna. 3,3 tmmar esta bvllkoret så att man hnner med både ställtd och operatonstd under cykeln. Bvllkor: s mn 4 tmmar t D Var noggrann med enheterna. Välj max{, } max{3,3 ; 4} 3,3 tmmar opt mn Partstorlekar ges av: Q D opt Q 6667 Q 667 Uppgft SFI.3 Lösnng: äcknngsbdragen blr 30 respektve 57 kr/enhet för produkt A och B. B A FSG A (DM A +DL A +O AR ) 6 (45+(3+5)+(8+5)) 30 kr. B B FSG B (DM B +DL B +O BR ) 39 (0+(6+90)+(6+30)) 57 kr. För att få fram rörlga tllverknngsomkostnader (O R ) för avd. I beräknas först totala O. O 5000[h/år] [kr/st] [st/h] 5000[h/år] 4[kr/st] [st/h] 0000 [kr/år]. För att få O R dras de fasta O (O F ) bort från O: O R 0000 40000 80000 [kr/år]. Detta ger att v har 80000[kr/år] / 5000 [h/år] 6 kr/h O R för avd. I. A tar 0,5 h avd I (8 kr) och B tar h (6 kr). Beräkna O R för avd. II på motsvarande sätt. Problemformulerng: max B 30x A + 57x B, då: 0,5xA + xb 5000 0,5xA + 3xB 0000 8xA + 8xB 75000 x, x 0 A B Max. td avd. I Max. td avd. II Max. tllgång på materal Icke-negatvtet Materalåtgång, samt tllverknngstder de respektve avdelnngarna erhålls ur standardtabellen som är gven uppgften. Grafsk lösnng ger optmum 900 x 49450kr 850 B Uppgft SFI.4 Lösnng: ) Låt: x Antal tllverkade av produkt x [ x x x ] A B C där x C 0 ty B C < 0 8 9
B A FSG A (DM A +DL A +O AR ) 3 (36+(36+60)+(8+36) ) 45 kr. B B FSG B (DM B +DL B +O BR ) 64 (7+(4+60)+(+36)) 60 kr. För att få fram rörlga tllverknngsomkostnader (O R ) för avd. I beräknas först totala O. O 9000[h/år] 30[kr/st] /,5[st/h] 9000[h/år] 0[kr/st] [st/h] 80000 [kr/år]. För att få O R dras de fasta O (O F ) bort från O: O R 80000 7000 08000 [kr/år]. Detta ger att v har 08000[kr/år] / 9000 [h/år] kr/h O R för avd. I. A tar 0,5 h avd I (8 kr) och B tar h ( kr). Beräkna O R för avd. II på motsvarande sätt. 48 Rörlg del av O-pålägg Avd. II: 4000 84000 5000 kr ( 60 / 30) Rörlg kostnad per tmme som andel av O-pålägg: 5000 8 kr/h 4000 ^ Drekt kostnad Avd. II per tmme: 30 kr /h (enlgt tabell) Skuggprset Avd. II (alltså den den förändrng av målfunktonsvärdet som ytterlgare en resurstmme skulle medföra): 8 kr/h (enlgt y ovan) Formulera produktvalsproblemet (för de två produkterna med postvt täcknngsbdrag A och B): [ ] max z 45 60 x.5 9000 Max. tmmar avd I då 4000 x Max. tmmar avd II 3 8 48000 Max. tllgänglg legerng [kg] x 0 Lös därefter problemet grafskt, där den grafska lösnngen ger 600 x B 396000 kr 5400 ) Dualvarablerna y fås ur komplementvllkoren 9000 7800 y( b-ax ) y 4000 4000 0 48000 48000 ger y 0 ( ) 0 y b-ax x ( A y-c) 0 0.5 3 45 600 5400 0 8 60 y 3 ( ) [ ] y x A y-c 3 y 45 8 y3 60 y 8 y3 3 Maxprs (8 + 30^ + 8 ) 66 kr för en extra maskntmme (exkl. ev. transport). 0
Uppgft SFI.5 Lösnng: ) Formulera målfunktonen som täcknngsbdrag per antal 000 lter saft: Max [ 5000 5000 000 000] x 5/3 / då 5/3 /3 8 x 6 x 0 där: x Antal producerade 000 lter (flaskor) av saftsort. x (Apelsn, Ctron, Äpple, Päron). ) För att enkelt kunna lösa problemet krävs det att v utgår från den duala lösnngen. Gå därför från prmal tll dual enlgt: Prmal: Dual: max c x mn b y då: Ax b då: A y c x 0 y 0 Detta gör att v nu kan formulera det duala problemet enlgt: mn [8 6]y 5 / 3 5000 5 / 3 5000 då y / 3 000 / 000 y 0 y 5000 Detta problem ger en optmal lösnng: y 0 Utnyttja sedan komplementartetsvllkoren för att bestämma x x (A y - c) 0 () y (b - Ax ) 0 () 5 x y + y 5000 0 3 5 x y + y 5000 0 x 0 3 () ger: x3 y + y 000 0 x3 0 3 x4 y + y 000 0 x4 0 () ger med x x 3 x 4 0: ( ) y 8 x 0 x 8. Detta ger det totala täcknngsbdraget: 5000x 40 000 kronor ) Betrakta dualvarablerna y resp y där y hör tll blandnngsavdelnngen och y hör tll upptappnngsavdelnngen: (): y 5 000 5 000 kronor är företaget vllgt att betala för en extra produktonstmme (skuggprs) blandnngsavdelnngen, som är begränsande för optmum (flaskhalsen problemet). (): y 0 0 kronor är företaget vllgt att betala för en extra produktonstmme. Upptappnngsavd. utnyttjas nte fullt ut, varför v nte vll utöka kapacteten här. Uppgft SFI.6 Lösnng: För att bestämma cykeltden skall följande uttryck mnmeras: D CO K + H ( td ) ; produktndex dc( ) Dervera m.a.p. och sätt 0 d Detta ger: K H D ( t D ) Var noggrann med enheterna. 89,44 tmmar esta bvllkoret så att man hnner med både ställtd och operatonstd under cykeln. Bvllkor: s mn 60 tmmar t D Var noggrann med enheterna. Välj max{, } max{89,44 ; 60} 60 tmmar opt mn 3
Partstorlekar ges av: Q D opt Q 000 Q 00 Q 000 3 Uppgft SFI.7 Lösnng: Inför betecknngarna,: Q orderkvanttet råvara K ordersärkostnad råvara 500 kr K ordersärkostnad samleverans 500 kr beställnngsntervall för råvarorna (gemensam cykeltd) r lagerhållnngsränta 0.5 /år a) Bestäm Q och otal kostnad utgörs av lagerhållnngs- och ordersärkostnader. Med Q D Q D nsatt C : D K Q K D C + rp C + rp Q Mnmera m.a.p. dc K 0 d rp D 0.år 600 Q år 500 0 000kr C b) Separat optmerng med Wlson ger Q [693 000] samt C 366 kr otalt mnskar alltså kostnaderna med 366 000 366 kr Uppgft SFI3.8 Lösnng: Uppgften är att maxmera det totala täcknngsbdraget, B. ) Beräkna täcknngsbdraget för de olka produkterna. Produkt A30 B90 C303 Försäljnngsprs 0,9700 000 630 000 0,9650 000 585 000 0,9000 000 900 000 Materalkostnad 455 000 485 000 640 000 Arbetskostnad 8050+30000 05 000 5050+35000 07 500 0050+40000 30 000 äcknngsbdrag 70 000-7 500 30 000 Produktvalsproblemet: Maxmera det totala täcknngsbdraget, B; Låt x, x, x beteckna antal sålda enheter av A30, B90 och C303. A B C max B 70000 xa 7500 xb + 30000 xc då : 80 xa + 50 xb + 00 xc 3000 () llgänglg kapactet tllverknngen 300 xa + 350 xb + 400 xc 3000 () llgänglg kapactet monterngen xa + xb + xc 30 (3) Materalbegränsnng gällande antal chass xa 8 (4) Maxmal effterfrågan av xa xb 7 (5) Maxmal effterfrågan av xb xc 6 (6) Maxmal effterfrågan av xc x, x, x 0 (7) Icke-negatvtet A B C ) B90 har negatvt täcknngsbdrag varvd problemet reduceras tll ett LP-problem två varabler vlket enkelt löses grafskt. Lösnngen (x A, x C ) (,6) ger B 90 000 kr med bvllkor () och (6) bndande. ) Om företaget får möjlghet att öka kapacteten någon avdelnng bör det vara monterngsavdelnngen då motsvarande bvllkor var bndande b). Med ökad kapactet monterngsavdelnngen ökas högerledet bvllkor () tll 3600 och ny lösnng blr (x A, x C ) (4,6) ger B 060 000 kr med bvllkor () och (6) bndande. Det totala täcknngsbdraget ökar således med 40 000 kronor. Uppgft SFI3.9 Lösnng: Inför för..5 D årsefterfrågan produkt d dagsefterfrågan produkt p dagskapactet produkt K ställkostnad produkt h lagerkostnad produkt Q orderkvanttet produkt C totalkostnad a) Cyklsk planerng: Låt varje produkt ha samma cykeltd, dvs samma antal uppsättnngar per år. n antal uppställnngar per år av respektve produkt. 4 5
D n Q D Q n nsatt C : C D K 5 5 + h C nk + h Q n Q ( d p ) D ( d p ) Mnmera m.a.p. n dc 0 dn n h D ( d K p ) 5,37 men n skall vara heltal. Heltalsprövnng av n 5 och n 6 ger n 5, C 6 88 kr (n 6, C 6 0 kr) Q C [ 600 3000 400 00 600] 6 88kr b) Jämfört med Wlson formeln (successva nleveranser/ ändlg påfyllnadshastghet, se Olhager (000) s. 4): Produktonstakt per dag är gven. K D Q Q [ 973 336 057 63 78] h ( d p ) C 5 K D h ( d p ) 56 97kr Under förutsättnng att produkterna tllverkas separat ger Wlson formeln lägre totalkostnad Uppgft SFI4.0 Lösnng: Ett företag bör aldrg på lång skt producera/sälja produkter med förlust, eftersom ett företags mål är att tjäna pengar; nu och framtden. Dock kan undantag göras för att tllfredsställa en stor/vktg kund och få behålla denna, eftersom kunden genererar vnst tll företaget totalt sett. Ett annat fall då det kan vara okej är om produkten nylgen börjat vara förlustbrngande (t.ex. om prset på råmateral stgt höjden). Då är det rmlgt att slutföra de planerade och mottagna order för att göra kunderna nöjda, även om det skulle nnebära en förlust. Vnsten med att behålla kunden är förmodlgen större än om man förlorat den och undvkt förlusten på ordern. 6