Matte KONVENT Plugga tillsammans inför de nationella proven i matematik Ma te ma å tik Länktips: Mattecentrum.se Formelsamlingen.se Matteboken.se Pluggakuten.se k9innehåll: Pluggtips Formelsamling Nationella prov från tidigare år I samarbete med arbetsgivarorganisationen
Så lyckas du med det nationella provet För att få ut så mycket som möjligt av kvällens mattekonvent vill vi uppmuntra dig att ställa många frågor till volontärerna. De finns på plats idag för din skull och de vill hjälpa till! Självklart kan du ställa vilka mattefrågor du vill; de behöver inte handla om en specifik uppgift på övningsprovet. Här följer några pluggtips från oss på Mattecentrum: Rita upp problemet: Inget förklarar ett problem så bra som en figur och det mesta går att rita. Ska du räkna ut måtten på en hage? Rita hagen! Ska du lösa en trigonometrisk ekvation? Rita enhetscirkeln! Ta problemet steg för steg: De flesta av oss kan inte hålla massor av steg i huvudet samtidigt så ha för vana att alltid skriva ner alla delar i din uträkning så blir det färre slarvfel och både du, läraren och volontärerna kan lättare följa med i hur du har tänkt. Jobba med grundteknikerna: Inom matematiken bygger de mer avancerade metoderna ofta på grundtekniker som man har lärt sig i tidigare mattekurser eller kapitel så se till att öva lite extra på exempelvis prioriteringsreglerna, ekvationslösning och andra grundtekniker om de mer avancerade metoderna känns knepiga. Prata matte: Hjälp dig själv och andra genom att diskutera problemen tillsammans. Genom att prata matte övar du på allt möjligt: din egen förståelse, hur problem kan attackeras på flera olika sätt, ditt matematiska språk och ditt mattesjälvförtroende. Kan du förklara en metod för en kompis så vet du att du själv behärskar den. Pratar du matte övar och förbereder du dig även inför det muntliga nationella provet! Kvalitet istället för kvantitet: Tänk kvalitet istället för kvantitet. Ägna hellre en hel lektion åt att verkligen försöka förstå Pytaghoras sats än att räkna ut hypotenusan i 30 olika trianglar utan att förstå vad du faktiskt gör.
Tips för att lösa en specifik uppgift 1 Läs uppgiften noggrant! Förstår du uppgiften? Vad frågas det efter egentligen? Det kan vara något som ska räknas ut eller något som ska ställas upp för att sedan räknas ut. Om inte, vad är det du inte förstår? Är det vissa ord i uppgiften eller är det ett räknesätt som uppgiften ber dig att använda? Kolla upp de delar som du inte förstår genom att slå upp orden, bäddra bakåt i boken för att fräscha upp minnet eller fråga en volontär! 2 3 Innan du börjar lösa uppgiften, ställ dig frågan: Förstår jag vilken metod som ska användas för att lösa uppgiften? Om inte, kolla upp liknande uppgifter och titta på hur lösningsmetoderna är där. När du vet vilken metod som ska användas till den uppgift du sitter med kan du ställa dig själv följande frågor: Förstår jag metoden som används? Förstår jag varför just denna metod används till denna typ av problem? Om inte, gå tillbaka till avsnittet med den metoden i boken och frächa upp minnet eller fråga en volontär. Räknat klart och svaret är galet? Då ska du felsöka svaret! Gå noggrant igenom uträkningarna för att se om du gjorde några räknefel och ställ dig än en gång frågorna i de första två punkterna för att försäkra dig om att du verkligen har förstått frågan och använt rätt räkneoperationer. Känns uträkningen och metoden fortfarande rätt, räkna om uppgiften på en helt ny sida utan att tjuvkika på den gamla uträkningen! Fortfarande fel svar och svaret är detsamma som du fick första gången du räknade? Då har du troligtvis inte gjort ett slarvfel, utan använder fel metod. Gå tillbaka och kolla hur liknande uppgifter har lösts. Känner du att du ändå inte kommer vidare på egen hand, fråga en volontär! Läs mer ingående tips på matteboken.se!
Formler m.m. till ämnesprovet i matematik, årskurs 9 PREFIX Beteckning T G M k h d c m µ n Namn tera giga mega kilo hekto deci centi milli mikro nano Tiopotens 10 12 10 9 10 6 10 3 10 2 10 1 10 2 10 3 10 6 10 9 GEOMETRI Parallellogram area = b h h b Romb area = d 1 d 2 2 d 1 och d 2 är diagonaler d 1 d 2 Parallelltrapets area = h ( a + b ) 2 h b a Triangel area = b h 2 vinkelsumma = x + y + z = 180 x z h b y Pythagoras sats a 2 + b 2 = c 2 a c b Cirkel area = π r 2 omkrets = π d = 2 π r d r Cirkelsektor bågen b = v 360 2 π r area = v 360 π r2 = b r 2 v r b Skolverket oktober 2014 Var god vänd!
Rätblock volym = B h h B Prisma volym = B h B h Cylinder Rak cirkulär cylinder volym = B h mantelarea = 2 π r h B r h Pyramid volym = B h 3 B h Kon Rak cirkulär kon volym = B h 3 mantelarea = π r s B h s r Klot 4 π r3 volym = 3 area = 4 π r 2 r Skala areaskala = (längdskala) 2 volymskala = (längdskala) 3 SAMBAND Räta linjen y = kx + m om y = kx är y proportionell mot x POTENSER För alla tal x och y och positiva tal a gäller a x a y = a x+ y a x a y = ax y ( a ) x y = a xy a x = 1 a x a 0 = 1 Skolverket oktober 2014
Miniräknare ej tillåten 1. Beräkna 2,35 0,5 Svar: (1/0/0) 2. Beräkna 8!0,3 Svar: (1/0/0) 3. Beräkna 6 + 4!3 Svar: (1/0/0) 4. Robin har fem kort som visar olika former. Han blandar korten och tar slumpvis ett kort. Hur stor är sannolikheten att han tar ett kort med en fyrhörning? Svar: (1/0/0) 5. Beräkna 102 Svar: (1/0/0) 2 5 6. Vilket av följande tal är det bästa närmevärdet till 25,6!0,45? Ringa in ditt svar. 0,115 1,15 11,5 115 1150 (1/0/0) 7. Parallellogrammen är likformiga. Hur lång är sidan a? Svar: dm (1/0/0) Äp9Ma13 (B) 3
Miniräknare ej tillåten 8. Vad är hälften av 1? Skriv svaret i bråkform. Svar: (1/0/0) 3 9. Lös ekvationen x 2 + 1 = 5 Svar: x = (1/0/0) 10. Hur många grader ska ringen vridas runt mittpunkten P för att mönstret ska sammanfalla med det ursprungliga mönstret? Ange minsta möjliga gradtal. Svar: (0/2/0) 11. Vilket tal är minst? Ringa in ditt svar. 3 2 5! 3 10 3 8 (0/1/0) 12. Hur många grader är vinkeln a? Svar: (0/2/0) Äp9Ma13 (B) 4
Miniräknare ej tillåten 13. Skriv de tal som saknas i rutorna så att likheterna stämmer. a) (0/1/0) b) (0/0/1) 14. Du vet hur stor medelåldern är för tre vuxna personer. Vilka två av följande frågor kan man då besvara korrekt? Ringa in de två korrekta svarsalternativen. (0/1/1) Hur gammal är var och en av personerna? Hur stor var medelåldern för dessa personer för exakt två år sedan? Hur stor är medelåldern för två av dessa personer? Hur stor är personernas sammanlagda ålder? 15. Förenkla så långt som möjligt 3x + x x Svar: (0/0/1) Äp9Ma13 (B) 5
Miniräknare ej tillåten 16. Beräkna värdet av uttrycket a b! c då a = 8!10 7, b = 2!10 4, c = 8!10 2 Redovisa dina beräkningar i rutan. Svar: (0/2/1) 17. Lös ekvationen 2(x + 1) = 5! 2x Redovisa din lösning i rutan. Svar: x = (0/2/1) Äp9Ma13 (B) 6
18. Simhallen Du kan välja mellan tre olika betalningsmodeller A, B och C när du besöker simhallen under ett år. Diagrammet visar de tre betalningsmodellerna. a) Axel har valt att betala enligt modell A, Beatrice enligt modell B och Charlie enligt modell C. Under 2012 besökte alla tre simhallen 20 gånger var. Hur mycket fick var och en betala? b) Tänk dig att du ska börja simma i simhallen och ska välja betalningsmodell. Redogör för de för- och nackdelar som finns med de tre olika betalningsmodellerna. c) Visar någon/några av modellerna en kostnad som är proportionell mot antal besök i simhallen? Förklara för var och en av betalningsmodellerna varför de är proportionella eller inte. d) Ange för varje betalningsmodell en formel som du kan använda för att beräkna vad det skulle kosta oavsett hur många gånger du tänker besöka simhallen under ett år. Vid bedömningen av ditt arbete kommer läraren att ta hänsyn till vilka matematiska kunskaper du har visat och hur väl du har genomfört uppgiften hur väl du har redovisat ditt arbete hur väl du har motiverat dina slutsatser.! Äp9Ma13 (C) 3 (4/4/4)
En resa till Sydafrika Kevin och Veronica reser från Stockholm till Kapstaden. Kapstaden ligger i södra delen av Sydafrika. I Kapstaden finns Taffelberget som 2012 utnämndes till ett av de sju nya naturunderverken. I norra delen av Sydafrika finns många gruvor där man bryter guld och diamanter. I Sydafrika finns det också möjlighet att se många vilda djur. Äp9Ma13 (D) 4
19. Stockholm och Kapstaden ligger i samma tidszon, vilket betyder att klockan är lika mycket i de båda städerna. Kevin och Veronica reser från Stockholm till Kapstaden. Resan startar kl. 17.25. De är framme kl. 12.55 dagen efter. Hur lång tid tar resan? Endast svar krävs. (2/0/0) 20. År 2010 hade Sydafrika nästan 50 miljoner invånare. 7,5 % av dessa bodde i Kapstaden. Hur många bodde i Kapstaden? (2/0/0) 21. En av de största diamanterna som hittats i Sydafrika vägde 3 106 carat. En carat motsvarar 200 mg. Enheten carat anger vikten av diamant. a) Hur många gram vägde diamanten? (2/0/0) b) Innan diamanten slipades delades den upp i 11 olika stora diamanter. Den största diamanten fick namnet Afrikas stora stjärna. Den vägde 106 gram. Hur många carat motsvarar det? (1/1/0) Äp9Ma13 (D) 5
22. Kevin hade 5 500 kr med sig i reskassa. Efter 12 dygn har han 1 900 kr kvar. Kevin räknar med att använda sina pengar i samma takt som hittills. Hur många dagar räcker då det som Kevin har kvar av reskassan? (3/0/0) 23. En noshörning kan få mycket långa horn. Ett horn växer cirka 0,5 cm i månaden. Noshörningens horn kan bli 1,55 m. Ungefär hur lång tid tar det för ett horn att bli så långt? (2/1/0) 24 Veronica och Kevin står på en utsiktsplats cirka 200 m över havsnivån och tittar på solen som går ner vid horisonten. Veronica påstår att horisonten ligger cirka 100 km bort. Kevin känner till en formel som man kan använda för att beräkna avståndet till horisonten. Om man befinner sig h meter över havsnivån är det S kilometer till horisonten, S = 13h. Stämmer Veronicas påstående? Motivera ditt svar med beräkningar. (0/3/0) Äp9Ma13 (D) 6
25. Sydafrika består av 9 provinser. I tabellen ser du folkmängd och area för varje provins. Folkmängd och area för Sydafrikas provinser och för Sverige. Folkmängd (miljoner) Area (1 000 km2) Eastern Cape 6,6 169 Free State 2,8 129 Gauteng 10,5 17 KwaZulu-Natal 10,3 92 Limpopo 5,2 123 Mpumalanga 3,7 79 North West 3,3 116 Northern Cape 1,1 362 Western Cape 5,3 129 Folkmängd (miljoner) Area (1 000 km2) 9,2 450 Provinser Land Sverige a) Kevin och Veronica diskuterar vilken provins som är störst. Kevin påstår att det är Gauteng medan Veronica anser att det är Northern Cape. Hur tolkar de tabellen när de ger så olika svar? (1/0/0) b) Nedan visas tre olika förslag på diagram över provinsernas folkmängd. Vilket diagram visar de tre provinser som har störst folkmängd? Motivera ditt svar. c) Gauteng är den provins som är folktätast. Ungefär hur många personer skulle bo i Sverige om vi hade samma folktäthet som Gauteng? Äp9Ma13 (D) 7 (2/0/0) (0/3/0)
26. Från Taffelberget i Kapstaden är det en fantastisk utsikt. För att komma upp på bergets topp kan man åka linbana från dalstationen till toppstationen. På bilden ser du en skiss på linbanan. a) Linbanan är 1 200 m lång och resan till toppstationen tar 5 minuter. Vilken medelfart håller linbanan? Svara i m/s. (2/0/0) b) Linbanans kabin är cylinderformad och rymmer högst 65 personer. En person behöver minst 0,20 m 2 golvyta. Vilken diameter måste bottenytan på kabinen minst ha för att 65 personer ska få plats? (1/1/1) c) Dalstationen ligger 363 m över havsnivån. På vilken höjd över havsnivån ligger toppstationen? (0/1/3) Äp9Ma13 (D) 8
27. Robben Island är en känd fängelseö utanför Kapstaden. Formen på ön kan liknas vid en parallelltrapets. Mät på kartan och beräkna ungefär hur stor area Robben Island har i verkligheten. (1/2/1) Äp9Ma13 (D) 9
28. När olja från fartyg läcker ut i havet bildas en tunn hinna på vattnet som i genomsnitt har tjockleken 0,002 mm. Ett fartyg läcker ut 6 m 3 olja. Hur många kvadratkilometer täcker oljan? (0/2/2) 29. Den svarta noshörningen har länge varit utrotningshotad på grund av tjuvjakt. Man har på olika sätt försökt att stoppa tjuvjakten och antalet svarta noshörningar har därför ökat med 60 % från år 1995 till år 2005. År 2005 fanns det cirka 4 000 svarta noshörningar. a) Hur många svarta noshörningar fanns det år 1995? (0/3/0) b) Utgå från att den procentuella ökningen fortsätter på samma sätt. Hur många svarta noshörningar kan man då räkna med att det finns år 2035? (0/2/1) Äp9Ma13 (D) 10
Bedömningsanvisningar Delprov B 1. 1,85 (1/0/0) +E M 2. 2,4 (1/0/0) +E M 3. 18 (1/0/0) +E M 4. 2 ; 0,4; 40 % 5 5. 4 (1/0/0) +E P (1/0/0) +E B 6. 11,5 Korrekt svar inringat. (1/0/0) +E B 7. 2 dm (1/0/0) +E B 8. 1 6 9. x = 8 (1/0/0) +E B (1/0/0) +E M 10. 120 (0/2/0) +C P +C B 11. 8 Korrekt svar inringat. (0/1/0) +C B Äp9Ma13 (B och C) 5
12. 35 (0/2/0) +C B +C M 13. a) 6 (0/1/0) +C B b) 12 (0/0/1) +A B 14. Hur stor var medelåldern för dessa personer för exakt två år sedan? Hur stor är personernas sammanlagda ålder? 15. 4 Ett svarsalternativ korrekt inringat och maximalt ett felaktigt. Båda svarsalternativen korrekt inringade och inget felaktigt svar inringat. (0/1/1) +C P +A P (0/0/1) +A B 16. 3 200 Påbörjad lösning, t.ex. bytt ut variablerna mot motsvarande värden eller skrivit talen utan potenser. Genomfört divisionen korrekt. Tydlig redovisning som visar korrekt potensberäkning och korrekt svar. (0/2/1) +C K +C M +A K 17. x = 3 4 Till uppgiften finns bedömda elevarbeten. Visar korrekt multiplikation med parentes. Korrekt användning av likhetstecknet vid ekvationslösning. Tydlig redovisning med korrekt matematiskt språk och korrekt svar. Till uppgiften finns bedömda elevarbeten. (0/2/1) +C M +C M +A K Äp9Ma13 (B och C) 6
Bedömningsanvisningar Delprov C Bedömningsmatris till uppgift 18, (4/4/4) Bedömningen avser Lägre Kvalitativa nivåer Högre Problemlösning och Metod Kvaliteten på de metoder och strategier som eleven använder. Anger korrekt kostnad för 20 simhallsbesök för minst två av betalningsmodellerna. Tecknar uttryck/formler med värden eller variabler till minst två av betalningsmodellerna. Tecknar uttryck/formler med variabler till minst två av betalningsmodellerna. Hur väl eleven genomför procedurer och beräkningar. Hur väl eleven tolkar resultat och drar slutsatser. +E M +C P +A P Begrepp I vilken grad eleven visar kunskap om matematiska begrepp och samband mellan dessa. Anger modell C som en proportionalitet med någon enkel motivering och/eller kan ge någon beskrivning till varför en modell är eller inte är en proportionalitet. Förklarar godtagbart för varje modell varför de är proportionella eller inte. Tolkar grafer och skriver korrekta formler för alla tre modellerna. +E B +C B +A B Resonemang Kvaliteten på elevens analyser, slutsatser och reflektioner och andra former av matematiska resonemang. För ett enkelt resonemang om någon modell, t.ex. modell A är bra när man ska simma ofta. För ett godtagbart matematiskt resonemang om fördelar eller nackdelar med de olika modellerna, t.ex. A är bra när man simmar 50 gånger, C är bra när man bara simmar få gånger och B är bra när man simmar 20 25 gånger. För ett matematiskt resonemang som bygger på kunskap om att grafernas skärningspunkter avgör fördelar och nackdelar med de olika modellerna. +E R +C R +A R Kommunikation Kvaliteten på elevens redovisning. Hur väl eleven använder matematiska uttrycksformer (språk och representation). Redovisningen omfattar en mindre del av uppgiften men är begriplig och möjlig att följa. +E K Redovisningen omfattar större delen av uppgiften, är lätt att följa och det matematiska språket är acceptabelt. +C K Redovisningen omfattar hela uppgiften, är välstrukturerad och tydlig med relevant matematiskt språk och terminologi. +A K Äp9Ma13 (B och C) 9
19. 19 h 30 min; 19,5 h (2/0/0) +E B +E M 20. 3 750 000; 3,75 miljoner; ca 3,8 miljoner Redovisar godtagbar metod vid beräkning av procentuell andel med godtagbart svar. 21. a) 621,2 (g); 621 (g) Påbörjad lösning, t.ex. beräknar vikten i mg. Redovisning med korrekt svar. b) 530 (carat) Påbörjad lösning, t.ex. korrekt enhetsbyte. Lösning med lämplig metod och korrekt svar. (2/0/0) +E M +E K (2/0/0) +E M +E K (1/1/0) +E B +C P 22. 6 dagar; 6 1 3 dagar; 6,3 dagar (3/0/0) Påbörjad lösning, t.ex. beräknar utgifter per dag. Använder godtagbar metod för att bestämma antalet dagar. Redovisning med godtagbart svar. 23. 26 år; 25 år och 10 månader Använder godtagbar metod för att bestämma tiden, t.ex. tecknar ett divisionsuttryck. Tolkar resultat och anger en godtagbar tid, t.ex. 310 månader. Tydlig redovisning med godtagbart svar angivet med rimlig enhet. +E P +E M +E K (2/1/0) +E M +E P +C K Till uppgiften finns bedömda elevarbeten. Äp9Ma13 (D) 5
24. Nej, det stämmer inte Påbörjad lösning, ersätter h med 200 m. Lösning med korrekt beräkning (avståndet är cirka 50 km). Tydlig redovisning med lämpligt matematiskt språk och korrekt slutsats. (0/3/0) +C P +C M +C K Till uppgiften finns bedömda elevarbeten. 25. a) Kevin syftar på folkmängden medan Veronica syftar på arean Godtagbar motivering. b) Diagram 2 Korrekt svar med någon motivering, t.ex. diagram 2, eftersom stapel A (10,5) och B (10,3) är nästan lika höga. c) Svar i intervallet 275 280 miljoner med lämpligt antal värdesiffror Påbörjad lösning, t.ex. beräknar/tecknar kvoten för folktätheten i Gauteng. Lösningen visar en godtagbar metod för att lösa hela uppgiften. Tydlig redovisning med godtagbart svar med lämpligt antal värdesiffror. (1/0/0) +E R (2/0/0) +E P +E R (0/3/0) +C P +C M +C K Till uppgiften finns bedömda elevarbeten. 26. a) 4 (m/s) Påbörjad lösning, t.ex. gör enhetsbyte från minuter till sekunder eller beräknar medelfart i m/min. Redovisning med korrekt svar. b) 4,1 m; 4,07 m Påbörjad lösning som visar beräkning av bottenytans area. Använder lämplig formel vid beräkning av radien/diametern. Löser hela problemet och ger ett godtagbart svar med högst tre värdesiffror. (2/0/0) E B E K (1/1/1) +E P +C M +A P Till uppgiften finns bedömda elevarbeten. Äp9Ma13 (D) 6
c) 1 086 meter över havet; 1 085,7 meter över havet Påbörjad lösning där Pythagoras sats tecknas korrekt. Beräknar efterfrågad katet korrekt med hjälp av Pythagoras sats. Tydlig och välstrukturerad redovisning med korrekt matematiskt språk. Löser hela problemet med godtagbart svar. (0/1/3) +C B +A M +A K +A P Till uppgiften finns bedömda elevarbeten. 27. Svar i intervallet 4,5 km 2 5,1 km 2 eller (1/2/1) i intervallet 4,5!10 6 m 2 5,1!10 6 m 2 Mäter relevanta sträckor på kartan. Beräknar arean av parallelltrapetsen genom att använda formel eller beräkna delareor. Använder längdskalan/areaskalan korrekt för att beräkna sträckor/areor i verkligheten. Tydlig och välstrukturerad redovisning med korrekt matematiskt språk och godtagbart svar med högst tre värdesiffror. +E M +C M +C B +A K Till uppgiften finns bedömda elevarbeten. 28. 3 (km 2 ) Lösning som visar hur basytans area kan bestämmas genom att använda sambandet mellan volym och höjd. Bestämmer arean i någon areaenhet, t.ex. m 2. Löser hela problemet med korrekt svar i km 2. Lösningen visar dessutom en ändamålsenlig metod med korrekta enhetsbyten. (0/2/2) +C P +C B +A P +A M Till uppgiften finns bedömda elevarbeten. Äp9Ma13 (D) 7
29. a) 2 500 (svarta noshörningar) Lösning där ökningen relaterar till antalet noshörningar år 1995. Redovisar ändamålsenlig metod. Tydlig redovisning med lämpligt matematiskt språk och korrekt svar. (0/3/0) +C B +C M +C K Till uppgiften finns bedömda elevarbeten. b) 16 000; 16 400; 16 384 (noshörningar) Lösning som visar förståelse för upprepad procentuell ökning. Tydlig redovisning med lämpligt matematiskt språk och godtagbart svar. Lösningen visar dessutom en effektiv metod genom användandet av förändringsfaktor. Följdfel från 29a, där lösningen baseras på fel antal noshörningar 1995, ger samma bedömning som om antalet var korrekt. (0/2/1) +C B +C K +A M Till uppgiften finns bedömda elevarbeten. Äp9Ma13 (D) 8