LIKHETSTECKNETS INNEBÖRD

LIKHETSTECKNETS INNEBÖRD om introduktion och förståelsen i år 1 och 4 Ingrid Bäckström-Öhman Margaretha Jonsson VT 2007 Rapport Matematikdidaktisk verksamhetsutveckling Institutionen för matematik, teknik och naturvetenskap

Sammanfattning Rapporten beskriver en undersökning av hur likhetstecknet introduceras, benämns och förstås i år 1, samt hur förståelsen för dess innebörd är i år 4. Utifrån ovanstående frågeställningar har vi också analyserat läromedel som används i dessa åldersgrupper. Vi har observerat lektioner och intervjuat lärare och elever i år 1. Aktioner har genomförts vid 3 tillfällen. De äldre eleverna har först testats skriftligt och efter genomgångar och laborationer gjort nya test. Introduktion sker genom vägning, samt lika antal på var sin sida om likhetstecknet. De flesta elever benämner likhetstecknet med lika mycket och har träffat på det i skolan. Öppna utsagor anses som problematiska. Av de äldre eleverna vet de flesta innebörden men kan inte förklara hur de tänkt. Efter aktionerna har de den kunskapen. Introduktionen ser olika ut i olika läromedel. Likhetstecknets behandlas inte alls i läromedel för de äldre. Laborativ introduktion sker men inte i tillräcklig omfattning. Kunskapen befästs inte.

Innehållsförteckning Bakgrund/Inledning 1 Syfte 2 Frågeställningar 2 Metod 3 Aktioner 3 Resultat 4 Analys av läromedel 5 Likheter/olikheter mellan dessa tre böcker 7 Diskussion 8 Slutsats 11 Referenser 13 Bilagor

Bakgrund/inledning Den mål-och resultatstyrning som är rådande i dagens skola kan vara ett hinder för förståelseinriktat lärande genom att det blir ett så ensidigt fokuserat på resultat och görande. Det blir svaren/målen i sig och inte vägen dit som tyngdpunkten läggs på. Det är den fördjupade förståelsen om vad som ligger bakom såväl lösningar som problem som är viktig Utan att läraren får återkoppling på sitt sätt att arbeta saknas mycket av förutsättningar för ett medvetet erfarenhetslärande. (sid.39-40) Dialogen är grundläggande för förståelsefördjupande och meningsskapande processer. (sid. 44). (Berg, Scherp, 2003) Olika synsätt på lärmiljöer och elevers roll samt olika styrsystems kontrollbehov och dess inverkan på skolutveckling är intressant. Hur ser vår egen skolmiljö ser ut och vilka arbetsformer använder vi? Det är troligt att skolorna hamnar mer och mer i utvecklingens bakvatten, om de inte själva har mod och uppmuntras av omvärlden att bygga lärande arbetslag och ta tag i sin egen erfarenhet som grundval för nytt lärande. Den ensamma läraren i ett överfullt klassrum bör inte vara den dominerande arbetsformen i ett samhälle som skriker efter samarbetskompetens och relationskultur. Man tänker och lär sig bäst när man tänker och lär tillsammans med andra tänkande människor. (Tiller, 1999, sid. 192) Enligt undersökningar på nationell nivå visas från början av 1990-talet en nedåtgående tendens i kunskapsutveckling i matematik. Skolutveckling i matematik behövs för att öka förståelsen för vilken betydelse sätten att lära ut/in har. Genom ökad medvetenhet och reflektion, lärande samtal och ett undersökande arbetssätt höjs kompetensen i matematik hos våra lärare. Detta i sig ökar möjligheterna till måluppfyllelse i matematikämnet. Innehåll och uppläggning av matematikundervisningen i skolan bestäms i sista hand av läraren. Uppdraget formuleras i dels strävansmål där man kan utläsa vad skolans arbete ska inriktas mot, dels uppnåendemål som anger vad eleverna minst ska ha uppnått när de lämnar skolan. Målen formuleras i läroplanerna för förskolan (Lpfö 98), grundskolan (Lpo 94) och gymnasieskolan (Lpf 94) samt kursplanerna i matematik för grund- och gymnasieskolan år 2000. Under mål att sträva mot framgår vilket kunnande skolan ska inrikta sig mot. Elevernas intresse för matematik och förmåga att argumentera och kommunicera med matematiska 1

språk och uttrycksformer både med och utan tekniska hjälpmedel ska utvecklas. De ska kunna tolka och formulera ett problem i matematiska termer samt välja metod för att lösa problemet. Idéer och lösningsförslag ska kunna presenteras både skriftligt och muntligt. Undervisningssituationer som är varierande både till innehåll och arbetsformer och i vilka läraren haft ett medvetet och genomtänkt agerande är kännetecknande för engagemang och lust att lära. Vi gjorde denna undersökning därför att ett tidigt problem verkar uppstå när man börjar med öppna utsagor. Enligt de lärare vi frågat är det svårare för eleverna att förstå hur man ska beräkna när likhetstecknet står först i uppställningen. Allra svårast är när summan inte finns angiven på någondera sidan. Ex. + 5= +7. Det kan bero på att förståelse för likhetstecknets innebörd saknas. Man har lärt sig ett mekaniskt sätt att räkna. När man börjar med svaret ex. (9= +4) uppstår problem. Det kan också bero på att man säger att det blir något, inte att det är lika med något. Gudrun Malmer (1999) skriver att troligen är likhetstecknet den mest missbrukade symbolen inom matematiken. Syfte att undersöka om eleverna förstår likhetstecknets innebörd. - att öka lärares medvetenhet om: - hur likhetstecknet introduceras - hur det benämns - hur innebörden befästs Frågeställningar Hur introduceras likhetstecknet i de lägre åldrarna och hur uppfattar eleverna det? -Vilka läromedel används i de åldrar vi undersökt och hur behandlas likhetstecknet i aktuella matematikböcker? Hur ser elevernas förståelse av likhetstecknets innebörd ut i år 4? 2

Metod Vi har valt elever i år 1 och år 4 på Centralskolan. De elever som medverkat i undersökningen var tio st. från år 1 som tillhörde en särskild undervisningsgrupp där läraren bedömt att eleverna behövde mer hjälp än de övriga. I år 4 deltog 11 elever. De var redan från terminsstart gruppindelade vid två matematiklektioner per vecka. I år 1 gör vi intervjuer med elever om deras uppfattning av likhetstecknet. (Bil.1) Vi intervjuar också läraren angående hur likhetstecknet introduceras. Vi ska också observera några (2-3) lektioner med laborativa övningar. I år 4 delas 5 uppgifter med öppna utsagor ut 3 gånger under terminen. (Bil.2) Mellan första och andra tillfället genomförs en undervisningsaktion. Mellan andra och tredje tillfället undervisas inte specifikt om likhetstecknet. Aktionerna Själva aktionerna innebar att vi efter observation av en lektion eller analys av ett testresultat reflekterade angående detta tillsammans med läraren och sedan genomfördes ett nytt undervisningstillfälle med den nyvunna kunskapen som grund. I år 1 inleddes undersökningen med intervjufrågor till läraren. Efter observation av en lektion, som handlade om likhetstecknet tillsammans med plustecknet på papperet, och utifrån resultaten där, analyserade vi tillsammans med läraren möjliga förklaringar och sätt att förändra undervisningen. En ny aktion gjordes och tillsammans med läraren analyserade och reflekterade vi igen. Ett tredje lektionstillfälle observerades. Efter detta ställdes intervjufrågorna till eleverna. Undersökningen i år 4 inleddes med att eleverna gjorde diagnoser med 5 uppgifter bestående av öppna utsagor. Efter första testtillfället ägnades ett lektionstillfälle till att prata med varje elev enskilt om likhetstecknet och dess innebörd. Nästa lektion ägnades åt att förtydliga begreppet lika med. Balansvåg, klossar och sifferkort användes och eleverna fick forma och väga så att de såg och upplevde att det var lika mycket på båda sidorna. Vi följde sedan upp detta med att tillsammans, för att alla skulle få se samma exempel samtidigt, jobba teoretiskt med tal på tavlan. Därefter genomfördes ett nytt testtillfälle med samma uppgifter som första gången. Ett tredje testtillfälle gjordes i slutet av terminen för att få en uppföljning av hur förståelsen då var. 3

Resultat År 1 Läraren beskrev att hon vid introduktionen av likhetstecknet hade den här arbetsgången: Först hängde de saker på varje sida av en balansvåg och satte likhetstecknet i mitten. Här handlade det om vikt och det skulle alltså väga lika mycket på varje arm. Sedan använde de sig av olika figurer. Läraren visade först på tavlan med magneter och hade likhetstecknet i mitten. Här handlade det om att antalet skulle vara lika. Barnen fick sedan ett plastat A-4 papper med ett likhetstecken i mitten och ett plustecken till vänster. De skulle sedan lägga lika många klossar på varje sida om likhetstecknet men nu också dela upp dem på +sidan. Vid det tillfället infördes också siffror. Man arbetade inom talområdet 0-5. Det handlade fortfarande om antalet. Det som läraren upplever som problem med likhetstecknet är när svaret kommer först. Alltså 8= 2+_. Allra svårast är : 8=_+6. Frågor till eleverna lyder så här: 1. Vet du vad det här tecknet betyder? (får se en bild) 2. Var har du sett det? 3. När använder man det? 4. När såg du det första gången? De svarade att det betyder lika mycket som eller lika med. Alla eleverna hade sett tecknet i matematikboken eller på tavlan. Några nämnde också en matteplatta. De menade det plastpapper de jobbar på. Likhetstecknet användes i matte då man jobbade med det. Alla hade kommit i kontakt med det i skolan utom en som sett det tidigare hos äldre syskon. Exempel på enskilt elevsvar på fråga 3 redovisas i bilaga 3. År 4 Efter enskilda samtal med eleverna framkom att av de åtta elever som klarat uppgifterna vid första testet kunde bara en med egna ord förklara hur han löst uppgifterna. De övriga menade på att det bara blir så. Någon djupkunskap om betydelsen gick inte att få fram vid detta tillfälle. De tre elever som inte hade kunnat lösa uppgifterna var fortfarande okunniga om betydelsen. Sedan vi genomfört det andra testtillfället kunde vi se att de flesta eleverna nu klarat uppgifterna både snabbt och rätt. De kunde också med egna ord förklara hur de löst problemen och varför de gjort så. 4

Det tredje test som sedan gjordes i slutet av vårterminen visade också gott resultat och bland de flesta av dessa elva elever fanns också kunskapen kvar om hur de gjort och varför. En elev hade fortfarande inte förstått innebörden eller kunde inte lösa uppgifterna. Analys av läromedel År 1 Under läsåret 05/06 när undersökningen inleddes, användes Matteboken 1A författad av Rockström och Lantz.. Talområdet 0-10 behandlas i form av geometriska figurer, uppdelning av tal och ordningstal. Siffror kommer in mycket snabbt. Siffra och antal kopplas ihop. Även om man jobbar med antalet 1 och siffran 1 så finns siffrorna 1-10 parallellt i många övningar. T.ex. dra streck från 1 10. Man delar tal genom att måla talbilder. Enligt lärarhandledningen gör man detta för att komma ifrån fingerräkningen. Det är också många övningar där man ska ringa in tal som tillsammans blir.ordet summa används. På slutet kommer också udda och jämna tal, mätning av längd samt pengar in och även början på division, men inget minustecken. Det kommer i början av bok 1B. Likhetstecknet introduceras genom att man ska rita och måla en talbild samt skriva likhetstecken och siffra. Det finns även här bilder, men ej så tydligt uttryckt vad man ska göra med dem. Därefter kommer plustecknet, som introduceras med att man frågar: Hur många är det tillsammans? Man kommer snabbt till öppna utsagor med givet svar. Varje kapitel inleds med en pratbild och en sång eller vers. I läroboken finns det inget skrivet om vad man benämner likhetstecknet. Angående likhetstecknets innebörd skriver författarna i lärarhandledningen (sid. 8) att det är mycket viktigt att eleverna förstår likhetstecknets innebörd, att det som står på den ena sidan om likhetstecknet är lika med lika mycket värt som det som står på den andra sidan. Man betonar också att det är viktigt att eleven vid skrivandet börjar med det övre strecket. Däremot kan man få börja från vilket håll man vill. Det finns bilder i boken och eleven ska först skriva antalet innan likhetstecknet sätts ut. Om det inte är lika lämnas mittrutan tom eller också skrivs. Det tecknet har jag bara sett i särskolans matematik samt i de högsta årskurserna på grundskolan. 5

För närvarande används i år 1 Matematikboken 1A av författarna Andersson, Bengtsson och Johansson.. Här behandlas först talområdet 0 4 utan tecken. Redan i första kapitlet introduceras likhetstecknet och därefter minustecknet och sist plustecknet. Det görs alldeles efter varandra. Författarna använde uttrycket är lika med. Uppgifterna bygger på att man ska måla lika många på varje sida om likhetstecknet. I lärarhandledningen ges förslaget att dela tavlan med ett streck i mitten och rita olika figurer (lika många) på varje sida av strecket. Med siffror arbetas på samma sätt. Sedan byts strecket ut mot likhetstecknet. Därefter visas med våg att det ska väga lika mycket på varje sida. Det behandlas allt inom talområdet 0-8 i form av geometriska figurer, lika många, fler och färre, diagram, mönster, symmetri, räknesagor, ordningsstal, uppdelning av tal, klockan (hela timmar), talkamrater och att plus och minus hör ihop. Matematikspråket är rikt och illustrationerna är fenomenala. Det syns precis vad som händer. I lärarhandledningen sägs också att det i början av boken är rörelse i bilderna. Man vill visa att det verkligen händer något. Att det blir fler eller färre. Varje kapitel har tydliga mål och man har i handledningen till varje kapitel en särskild rubrik, språk och begrepp. Laborativa övningar och samtal betonas. Med hjälp av konkret material laborerar man tillsammans för att förstå och få ett gemensamt språk. Bl.a. samlar man på matematikord. Angående utvärdering av elevens kunnande skriver författarna att många elever tror att man mäter kunnandet efter hur långt man hunnit i matematikboken. Det är viktigt att du som lärare redan från början motarbetar ett sådant synsätt. (Lärarhandledningen,sid.8) Vi har även undersökt Tänk och räkna 1A.( Häggblom och Hartikainen, 2001).. Som en del av instruktionen på sid. 3 i läroboken kan man läsa att detta läromedel har vuxit fram under ett projekt, där forskning och teorier om barns matematikinlärning prövats i praktiskt skolarbete både i Sverige och Finland, liksom att I sin forskning har Lisen Häggblom funnit att nybörjarna kan en hel del matematik redan vid skolstarten samtidigt som de individuella skillnaderna eleverna emellan är stora. Tänk och räkna utgår ifrån arbetsformer och uppgifter som tar tillvara elevernas erfarenheter, ser till deras behov och hjälper dem att utvecklas till självständiga individer. Språket intar en central plats i tänk och räkna. Ett aktivt språk är särskilt viktigt när det gäller att befästa matematiska begrepp, redogöra för tankegångar och utveckla logiskt tänkande. Till läromedlet hör ett klossmaterial, Multilink, som köps separat. 6

I Lärarhandledningen ger man förslag på att begreppet lika många kan illustreras med hjälp av en matematikvåg. Man kan visa att fem myror är fler än fyra elefanter. Detta görs i kapitel 1 tillsammans med att siffrorna introduceras med kort, som följer med elevernas matematikbok. Även tecknen för plus, minus och lika med ingår i bilagan med talkorten och ska introduceras med hjälp av räknesagor. I kapitel 2 kommer så additions- och subtraktionsövningar. Talområdet 0 10 behandlas. Benämningen addition och subtraktion, tecknen för större än och mindre än, dubbelt och hälften, tiokamrater samt division genom att dela saker introduceras. Lästal kommer in tidigt, och pengar får exemplifiera. Från och med talet 4 ska man undersöka talet genom att dela det i en spalt med additionsövningar och en spalt med subtraktionsövningar Likheter/Olikheter mellan dessa tre böcker I Matteboken 1A och Tänk och räkna 1A kopplas siffror och antal ihop direkt. Tänk och räkna 1A samt Matematikboken 1A är rikare illustrerade. Bilder visar vad man ska göra men Matematikboken 1A är mycket mer varierad. Begreppen lika många fler färre finns endast i Matematikboken 1A. År 4 De läromedel som används i år 4 är: Matteborgen 4 A och B (Andersson, Picetti. 2006) Flex 7 och 8 (Andréasson, Måsbäck. 2005) Mattestegen A och B, Höst samt Vår. (Rosenlund, Backström. 2004). Räkneresan. (Skoogh, Nilsson, Johansson. 1986) Alma A. (Undvall, Olofsson, Forsberg, Wallin, Bjarneskans, Johansson. 1998) I ingen av böckerna finns arbetet med likhetstecknet specifikt beskrivet. Däremot finns i alla läromedlen öppna utsagor i varierande svårighetsgrader. Vid studier av lärarhandledningar framgår inte hellre att man ska arbeta med likhetstecknet separat utan man utgår ifrån att eleverna vid dessa år har begreppet klart för sig. På detta stadium beskrivs bara tekniken hur man kommer fram till det tal som saknas. 7

Diskussion Angående lärobokens roll i undervisningen skrivs i Lusten att lära: det är frapperande vilken dominerande roll läroboken har i undervisningen, både i positiva och negativa termer, och dess roll för elevernas lust eller olust inför matematiklärandet. (Skolverket, 2003, sid. 39). Det blir enligt den granskning som gjorts vanligare ju högre upp i åldrarna man kommer. Vi märker att det också bland de yngre eleverna finns en definition att matematik är när man räknar i en bok. Vid laborativa övningar frågas ofta efter när man ska börja räkna. Det kan för läraren vara frestande att använda böcker alldeles för snabbt och innan olika begrepp befästs med laborativa övningar. Det går för fort fram och kunskapen befästs inte. Förståelsen saknas. Vikten att gå från det konkreta till det abstrakta kan inte nog betonas. Det allt övergripande målet är att eleverna ska få möjlighet att erhålla matematiska begrepp, grundade på förståelse. Detta måste ske innan de övergår till den abstrakta symbolframställningen. Men för många är matematik just siffror och andra symboler. Det gäller att räkna i boken och vända blad. (Malmer, 1999, sid.30) Vi observerar att vid introduktion av likhetstecknet i år 1 på arbetsblad används bara klossar eftersom en av eleverna blir störd om man använder olika material. Hon har alltså inte förstått att det är enbart antalet man menar. Kan inte tänka att 3 bilar är lika många som 3 björnar. Angående laborativt material skriver Ljungblad (2001) att det inte verkar vara den allena saliggörande lösningen. Bara för att eleven kan lösa problemet laborativt eller konkret så innebär det inte med automatik att den formellt kan lösa ett liknande matematiskt problem. Eleven kanske bara arbetar mekaniskt. Hon skriver också om skillnaden mellan vuxenperspektiv och barns tankar. Den vuxne ser redan helheten och kan låta delarna representeras av pärlor, pengar och stavar. Men för barnet är kanske staven bara just en stav. Vid de undervisningstillfällen vi observerade används också både +-tecken och siffror på samma gång som introduktionen av likhetstecknet. Man har inte pratat om plustecknet men det används för att lära ut =. En elev visar också att hon inte vet om det är ett likhetstecken eller ett minustecken. En orsak kan vara att det blir för många tecken samtidigt och att övningarna går för snabbt fram. Enligt Anthony Furness (1998) bör barnen kunna ramsräkna till minst 20 och kunna knyta räknandet till antal och siffror innan likhets- och plustecknen introduceras. Han ger exempel på ett fyndigt sätt att dela t.ex. talet 8 via ett additionsunderlag. Helt klart användbart men vi 8

håller inte med om att man måste kunna siffrorna innan. Han använder alltså metoden med introduktion av dessa två tecken samtidigt. Vi anser att innan likhetstecknet introduceras ska man först undersöka på hur många sätt man kan dela ett tal genom delning av tal i två lika delar, men utan plustecknet. Att utgå från helheten och att det är bättre att arbeta utifrån den aspekten eftersom det då finns en mängd olika lösningar håller vi däremot med om. Även Ljungblad (2001) anser att man ibland måste arbeta med helheten för att se de mindre beståndsdelarna. Mycket av matematikundervisningen har för eleverna inneburit att man arbetat från de små delarna och sökt efter helheten - syntes. Om man istället tillsammans utgår från helheten och bestämmer delarna analys ger det barnet delvis andra tankeprocesser. (sid.32) Enligt läraren i vår undersökning sker den allra första introduktionen av likhetstecknet genom att man hänger upp saker (Vilka saker?) på balansvågens bägge sidor och sätter likhetstecknet i mitten. Det tror vi är en bra introduktion och att balansjämförelse ska börjas långt ner i åldrarna. Det är också väldigt konkret och känns igen av alla barn. Man förenar begreppen balans och symmetri med balansvågen. Begreppet balans är förenat med symmetri. I sin enklaste form tänker man på spegelsymmetri. En form kan delas mitt itu och de två halvorna på var sin sida av symmetriaxeln är lika fast spegelvända. På ett symboliskt sätt är likhetstecknet en slags symmetriaxel eller pivå. Meningen 4 = 3 +1 handlar om balans. (Furness, 1998, sid.36) I Matteboken 1A (Rockström, Lantz. 2002) delar man tal genom att måla talbilder. Enligt lärarhandledningen gör man detta för att komma ifrån fingerräkningen. Vi tycker att använda fingrarna kan vara en metod och ett medel att arbeta med som man alltid kan ha med sig. Framförallt när barn börjar laborera med antal. Eftersom vi har 10 fingrar och matematik bygger på ett 10-bas system är det väl ett sammanträffande som man bara inte kan låta bli att använda! Det är förstås viktigt att inte fastna i den metoden, t.ex. att inte försöka räkna uppåt och neråt på stora tal. Om man använder dem som just talbilder och använder dem som både ental, tiotal, hundratal osv. är det ett av många sätt att tydliggöra en talbild. Ljungblad (2001) skriver angående att se mönster i matematiken om hur viktigt det är att kunna tänka med sina händer inom talområdet 1-10 fram till dess att man kan tänka helt abstrakt. Att kunna dela talen till och med 10 är dock inte tillräckligt. 9

Dessa tio tal måste också uppfattas som ett begreppsligt nätverk, där man lätt kan gå från varje talkombination till varje annan kombination (Andersson, Bengtsson och Johansson. 2003, sid. 179). Matematikboken 1Ar den bästa vi funnit därför att det finns en klar och tydlig tanke bakom introduktionen av likhetstecknet. Det introduceras redan i första kapitlet. Detsamma gäller minus- och plustecknet, i nu nämnd ordning. Man använder begreppet är lika med och har en klar arbetsgång med att visa ett antal olika figurer och att det är lika många, först via en skiljelinje och sedan via likhetstecknet. Inför alla kapitel finns tydliga mål och förslag på arbetsgång och arbetsövningar. Författarna betonar hur viktigt det är med ett matematiskt språk. De många olika arbetssätten gör att eleverna får möjligheter att se struktur och samband i matematiken samtidigt som man befäster grundläggande färdigheter. Vi upplevde att förståelsen för likhetstecknet i år 4 var god hos hälften av eleverna medan den andra hälften inte riktigt ville eller kunde ta till sig undervisningen. Att beskriva sitt tänkesätt upplevdes av flertalet som svårt och här bör vi kanske kritiskt granska våra lektioner och fundera om vi pratar tillräckligt mycket matte. En elev uttryckte väldigt tydligt att: Vafför är hä sä noga? Många läromedel innehåller olika spår, kanaler och nivåer som rätt hanterade kan ge läraren möjlighet att följa elevers utveckling och gå in och samtala om hur eleven tänkt.. (Skolverket, 2003, sid. 40). Tydligt är att vi här måste tänka om och ägna mer tid till att föra samtal med eleverna, att våga lägga böcker åt sidan och strunta i om vi har hunnit till sidan 100 eller 200. Det viktiga måste få vara att eleverna har förstått och befäst men även omsatt i praktisk handling sina kunskaper. Då har vi något stadigt att bygga vidare på och lärandet för stunden kommer bort. En tanke som också dök upp väldigt tidigt var att vi har för bråttom att gå vidare, vi ger inte eleverna tid att befästa kunskapen och träna tillräckligt. Har vi inte sambandet helt klart så är det svårt att se rimligheten i ett svar. Kanske är det här som krutet och tiden ska läggas, att traggla räknesätten kors och tvärs om varandra och tydligt visa sambanden mellan dem. Gudrun Malmer skriver om hur undervisningen planeras och utformas att laborativa och undersökande moment förekommer i alltför liten utsträckning, framför allt om vi tänker på vad som sker efter de första skolåren. På grund av detta blir framställningen alltför abstrakt och otillgänglig för en stor grupp elever. De upplever 10

inte att de är delaktiga. De försöker att memorera och kopiera, men rätt snart räcker detta inte och de tappar taget. (Malmer, 1999, sid.27) Även i läroböckerna överges likhetstecknets innebörd för snabbt. Det kan för den som är bunden till läromedel betyda att innebörden ej befästs. Struntar man i läromedel så har det ju ingen betydelse. Uppgifter på rätt nivå som utmanar elevernas förmåga optimalt främjar deras motivation och strävan efter att lära sig i riktning mot lärandemål. Optimalt innebär att uppgifterna ska vara av en sådan svårighetsgrad att de kan lösas med rimlig ansträngning. Lusten att lära, Skolverket rapport 221 sid. 26. Om inte de viktiga grunderna i matematik inhämtas i de tidiga skolåren kommer uppgifterna att bli svåra och omöjliga att lösa med rimlig ansträngning. Detta medför i sin tur att matematik blir tråkig och någonting man väljer bort och i förlängningen kan det också innebära att viktig baskunskap som krävs för fortsatta studier går förlorad och måste inhämtas i vuxen ålder. Hopkins menar också att det kan vara viktigt att dra tillbaka eventuell utbildningsinspektion för att ge skolan och lärarna utvecklingsutrymme. (Berg, Scherp.2003, sid. 127). Samtidigt som det är viktigt att alla elever får likartad undervisning och kunskap från grundskolan medför regler, timplaner och liknande åligganden från Skolverket att lärare inte vågar och kan avvika från välkända och prövade mönster. Det bildas en trygghet i de färdiga läromedel som är granskade och väl kända. För många klasslärare i de lägre skolåren har också klasstorlekarna ökat de senaste åren och mindre tid och utrymme finns till att individanpassa undervisningen och att arbeta i små grupper vilket krävs om man ska jobba mycket laborativt. Slutsats Vår medvetenhet angående betydelsen av hur introduktionen av likhetstecknet går till har ökat. Även upp i de högre åldrarna är det viktigt att gå tillbaka och repetera någon gång då och då, framför allt vid införande av nya moment såsom räknesagor och öppna utsagor. Vi har genom analys av olika läromedel insett hur viktigt det är att med omsorg välja både läromedel och hur man arbetar med olika moment. Vi måste låta processen fram till målet ta den tid som behövs. Att reflektera över barnens lärande och sitt eget lärande liksom att göra barnen 11

medvetna om hur de tänker om lärande är en grund för verksamhetsutveckling. Vi letar också efter nyutkommet matematikmaterial med nya ögon. Eftersom det var en liten grupp elever som deltog i undersökningen kan resultatet vara missvisande men i och med att frågorna blev satta i fokus så har det uppmärksammats även i andra undervisningsgrupper. Det har då framkommit att det inte är självklart hos alla elever vad likhetstecknet betyder. Möjligheterna till verksamhetsutveckling ligger helt klart inom aktionsforskning och samarbete mellan högskolor och fotfolket. Det gäller ju också att verkligen få ut alla forskningsresultat och använda sig av dem. Hinder finns i form av traditionsbunden undervisning, stora elevgrupper, nedskärningar och den fokusering som finns på att nå målen i de olika årskurserna. Det är kanske detta som är den främsta orsaken till forcering och dåligt befästande av kunskaperna. Vi anser att likhetstecknet först ska introduceras genom att man hänger upp saker (Vilka?) på balansvågens bägge sidor och sätter likhetstecknet i mitten. Det tror vi är en bra introduktion och att balansjämförelse ska börjas långt ner i åldrarna. Det är också väldigt konkret och känns igen av alla barn. Därefter utgår man från helheten och undersöker på hur många olika sätt man kan dela ett tal. Ofta börjar man i stället foga samman delar till en helhet. T.ex. 2+2=4 Matematikboken 1A av Andersson, Bengtsson och Johansson är den bästa matematikbok vi funnit med att det finns en klar och en tydlig tanke bakomintroduktionen av likhetstecknet. Man använder begreppet är lika med och har en klar arbetsgång med att visa ett antal olika figurer och att det är lika många, först via en skiljelinje och sedan med likhetstecknet. 12

Referenser Andersson, Bengtsson, Johansson. (2003). Matematikboken 1A. Almqvist&Wiksell Andersson, Picetti. (2006). Matteborgen 4 A och 4 B. Bonniers Andréasson, Måsbäck. (2005). Flex 7 och 8. Gleerups Berg, Scherp. (2003). Skolutvecklingens många ansikten. Liber. Furness, Anthony. (1998). Vägar till matematiken. Ekelunds Förlag AB. Häggblom, Hartikainen. (2001). Tänk och Räkna 1A. Majemaförlaget Ljungblad, Ann-Louise. (2001). Matematisk Medvetenhet. Argument Malmer, Gudrun. (1999). Bra matematik för alla. Studentlitteratur Rockström, Lantz. (2002). Matteboken 1A. Bonniers Rosenlund, Backström. (2004). Mattestegen A och B Höst samt Vår. Natur och Kultur Skoogh, Nilsson, Johansson. (1986). Räkneresan. Almqvist & Wiksell Skolverket. (2005). Ämnesrapport till Rapport 251 Skolverket. (2003). Lusten att lära. Skolverkets rapport 221 Tiller, Tom. (2002). Aktionslärande. Runa Förlag Undvall, Olofsson, Forsberg, Wallin, Bjarneskans, Johansson. (1998). Alma A. Almqvist&Wiksell 13

Intervjufrågor till eleverna: 5. Vet du vad det här tecknet betyder? (får se en bild) 6. Var har du sett det? 7. När använder man det? 8. När såg du det första gången? Bil.1

Bil. 2 Diagnosuppgifter för år 4. 13 + 6 = 12 + _ 16 5 = 20 - _ 32 = 15 + _ 46 = 98 - _ 35 + _ = 40 + 30 10 4 = 50 - _

Bil.3 Exempel på elevsvar på frågan när man använder likhetstecknet. A. När vi jobbar med matte B. Där det är +2 är lika mycket som 3. Då det är + nånting och lika med. 4+4 är lika med 8 C. I matte. Vi hade klossar och la mattetal. Kan du ge exempel på mattetal? Neej. Efter lite mera prat så kommer exemplet. 5 plus 5 är lika mycket som 10. D. När man ska räkna. Om man har 2 plus 2 då he man dit det. Då blir det 4. E. När vi räknar F. När man jobbar med det. Då hade vi nallar. Vi byggde tal. 3=3. 4=4. 5=5.