Trianglar: likformighet och kongruens

Trianglar: likformighet och kongruens Tomas Malm Det här dokumentet består av två huvuddelar. Den första delen utgör den brödtext som innehåller själva uppsatsen eller artikeln. Den andra delen kan vi kalla för lock/portar. Locket/portarna är i sig ett litet dokument med ett genomtänkt och strukturerat urval av frågor, problem eller uppgifter, ett slags Structured Query Document (SQD) kan man säga. Dessa frågor, problem eller aktiviteter kan användas för att testa sin egen förståelse och nivå av behärskande, eller för repetition av förvärvad kunskap. Metaforen lock passar till det att man genom frågorna just begränsar och ger ett slags lämplig inramning av ett visst kunskapsmoment eller av en viss uppsats/artikel. Metaforen portar påminner en om att frågorna och problemen inte bara är en avgränsning, utan vad man behöver kunna ta sig igenom på vägen till större kunskap. Till locket/portarna hör också möjliga svar/lösningar till frågorna/problemen. En viss uppsättning svar/lösningar ger vad vi kan kalla för en burk/nycklar. Bokförlaget Bärarna

c 2015 Tomas Malm & Bokförlaget Bärarna Version av texten: 1 maj 2016 Redigering/bearbetning av text & bild: Tomas Malm Detta dokument ingår i Bokförlaget Bärarnas distribution av kostnadsfritt material för utbildning och utbyte av tankar och idéer. Det är tillåtet att ladda ned, skriva ut och kopiera materialet. Det får användas privat, i utbildningssyfte eller som underlag för diskussion. Det är inte tillåtet att: bearbeta texten, använda den utan att uppge författaren som referens, ladda upp den på andra webbsidor än Bokförlaget Bärarnas eller författarens egen, distribuera och sälja fysiska utskrifter eller nyutgåvor av texten utan skriftlig överenskommelse med Bokförlaget Bärarna. För detaljer gällande rättigheter med mera vänligen kontakta förlaget via dess hemsida. Om du har förslag på förbättringar av eller kompletteringar till texten, vänligen kontakta bokförlaget via dess hemsida. 1

Innehåll 1 Sammanfattning 2 2 Trianglar: likformighet och kongruens 3 2.1 Begreppen likformighet och kongruens............. 3 2.2 Kongruenta trianglar....................... 5 2.2.1 Karakterisering av kongruenta trianglar: de tre kongruensfallen.......................... 5 2.2.2 Jämförelse mellan kongruensfallen och konstruktion av trianglar.......................... 8 2.3 Likformiga trianglar....................... 11 2.3.1 Karakterisering av likformiga trianglar: de tre likformighetsfallen....................... 11 2.3.2 Topptriangelsatsen.................... 16 2.3.3 Att genomskåda likformighetsfallen........... 19 3 Kommentarer 23 3.1 Mer om kongruensfallen..................... 23 3.2 Mer om likformighetsfallen.................... 23 3.2.1 Olika slags klargöranden................. 24 3.2.2 Mer om traditionell, euklidisk, bevisordning...... 25 4 Lock/portar 28 4.1 Teorifrågor samt frågor till stöd för minnet........... 28 4.2 Ett urval av övningsproblem................... 28 1 Sammanfattning I det här dokumentet påminner vi oss om och går igenom: Begreppen likformighet och kongruens för geometriska figurer. De tre kongruensfallen för trianglar. 2

Grundläggande samband för likformiga trianglar, nämligen topptriangelsatsen och de tre likformighetsfallen. 2 Trianglar: likformighet och kongruens 2.1 Begreppen likformighet och kongruens Att två figurer är likformiga innebär i vid mening att de har samma form, utan att nödvändigtvis ha samma storlek. Uttryckt i termer av begreppet skala är detta liktydigt med att säga att den ena figuren är samma figur som den andra, men eventuellt i annan skala. En byggsatsmodell av en bil och en verklig bil av samma märke och modell förhåller sig till varandra som likformiga figurer eller kroppar, eftersom de ser precis likadana ut, även om storleken skiljer dem åt. Att två föremål eller bilder gestaltar samma form är delvis ett slags subjektiv erfarenhet som inte går att mäta, annat än genom att ställa frågan Tycker du att de har samma form? Ja jo nja... jo, men det tycker jag För att förvandla det här med lika form eller likformighet till någonting matematiskt hanterbart är det nödvändigt att formulera användbara kriterier för likformighet, någonting som i princip är mätbart, som kan jämföras på ett kvantitativt sätt. Man kan också uttrycka det så att man behöver en operationell definition av likformighet, att man behöver operationalisera orden samma form. Det allmänna matematiska kriterium på likformighet som utnyttjas baseras alltså på begreppet skala. Två figurer säges vara likformiga om den ena kan erhållas ur den andra genom en likformig avbildning, vilket innebär en förstoring eller förminskning av alla avstånd i den andra figuren med en konstant skalfaktor f. Om det inte är så, så är figurerna inte likformiga (även om de kan vara jättelika varandra). Notera att vi därmed har att göra med ett 3

slags definitioner eller axiom, något som i allt väsentligt är absolut sant men per reglering. För en ritad figur på papper kan en likformighetsavbildning utföras genom konstruktion med passare och linjal eller genom beräkningar och användning av graderad linjal. För digitala figurer på en datorskärm utnyttjas koordinatsystem och linjär algebra för likformighetsavbildningen. Något mer formellt: Två figurer F 1 och F 2 säges vara likformiga om F 2 kan erhållas ur F 1 genom likformig avbildning med någon skalfaktor f. Att två figurer F 1 och F 2 är likformiga betecknas i geometrin F 1 F 2 Det står: F 1 är likformig med F 2. Om skalan är 1:1 säges de två figurerna vara kongruenta. Detta innebär då att det enda som eventuellt skiljer dem åt är deras relativa position i (det geometriska) rummet. Man kan också säga att kongruenta figurer är precis likadana, att det är samma figur, men kanske på en annan plats. Kongruens är alltså ett specialfall av likformighet. Varje geometrisk figur eller kropp säges vara kongruent med sig själv. Att två figurer F 1 och F 2 är kongruenta betecknas i geometrin F 1 = F2 Det står: F 1 är kongruent med F 2. Innan vi går vidare till den utförligare beskrivningen av likformighet för trianglar, så ska vi titta närmare på kongruens för trianglar. 4

Figur 1: Två kongruenta trianglar: trianglarna är likadana, men befinner sig på olika positioner i planet/rummet. De har lika långa sidor och lika stora vinklar sinsemellan. 2.2 Kongruenta trianglar 2.2.1 Karakterisering av kongruenta trianglar: de tre kongruensfallen Observera att om trianglarna är kongruenta så är storleksförhållandet mellan sidorna konstant lika med 1. Detta är ett annat sätt att uttrycka den omständighet att skalan är 1:1. I detta specialfall av likformighet förväntar vi oss att följande egenskaper hos trianglarna kommer att vara uppfyllda: (K 1 ) Sidorna är parvis lika långa sinsemellan trianglarna: AB = A B BC = B C AC = A C (K 2 ) Trianglarna överensstämmer i en vinkel och närliggande sidor till respektive vinkel är lika långa sinsemellan trianglarna. Det gäller alltså till exempel att: C = C AC = A C BC = B C (K 3 ) Trianglarna överensstämmer sinsemellan i två vinklar och 5

respektive mellanliggande sida. Det gäller alltså till exempel att A = A B = B AB = A B Vilket som helst av kriterierna K 1, K 2 eller K 3 kan faktiskt med precis lika goda skäl användas som definierande, operationellt, kriterium på kongruens för plana trianglar. 1 Hur som helst gäller, såsom satser i elementär geometri, att två plana trianglar är kongruenta om och endast om vilket som helst av villkoren K 1, K 2 eller K 3 är uppfyllda. Dessa tre geometriska samband kallas för kongruensfallen för trianglar. Låt oss formulera dem på display. Kongruensfallet sida sida sida (SSS): [1] Två plana trianglar är kongruenta om och endast om alla tre sidor är lika långa sinsemellan trianglarna (K 1 är uppfyllt). Motsvarigheten ur Elementa är Bok I, Prop. 8. 2 Kongruensfallet sida vinkel sida (SVS): [2] Två plana trianglar är kongruenta om och endast om två av sidorna och respektive mellanliggande vinkel är sinsemellan lika stora (K 2 är uppfyllt). Motsvarigheten ur Euklides Elementa är Bok I, Prop. 4. Kongruensfallet vinkel sida vinkel (VSV): [3] Två plana trianglar är kongruenta om och endast om två av vinklarna och respektive mellanliggande sidor är sinsemellan lika stora (K 3 uppfyllt). 1 I en del matematiska framställningar tas K 1 och L 1 (se avsnitttet Karakterisering av likformiga trianglar ) tillsammans som definierande kriterier för kongruens mellan trianglar. På liknande sätt definieras kongruens för polygoner generellt. 2 Dock kan man notera att Euklides inte rör sig med termen kongruens, utan säger ungefär att trianglarna är lika i varje avseende, det vill säga, att basen är lika lång för båda trianglarna, och att de överensstämmer i de vinklar som bildas vid basen. är 6

Motsvarigheten ur Euklides är Bok I, Prop. 26. De tre kongruensfallen upplevs gärna som evidenta, som självklara, vilket inte är förvånande. Allesammans kan uppfattas som omformuleringar av en insiktsfull tanke eller geometrisk intuition att en triangels storlek och utseende är helt och hållet bestämt, givet vissa fakta om triangeln. Om exempelvis två sträckor och en vinkel är givna, så kan man med passare och linjal konstruera en triangel med dessa två sträckor till sidor och den givna vinkeln som till sidorna mellanliggande vinkel. I nästa avsnitt kommer vi att titta på de tre geometriska konstruktioner som motsvarar de respektive kongruensfallen. För de flesta av oss behöver man inte säga så mycket mer om kongruensfallen än så. Figur 2: En parallellogram med diagonalerna dragna. Två par av kongruenta trianglar uppstår därvid. Låt oss titta på ett exempel där kongruensfallen ger ett sätt att artikulera det geometriska tänkandet. Problem 1. Om man ritar de två diagonalerna i en parallellogram så bildas fyra trianglar, såsom figur 2 visar. Vilka av trianglarna är kongruenta och hur kan man motivera det? Lösning. (1) Trianglarna AM D och CM B är uppenbart kongruenta. Detta kan man motivera genom att påpeka att trianglarna har lika långa sidor (SSS), om man identifierar A med C, M med M och D med B. Eller genom att påpeka att trianglarna överensstämmer i en vinkel och närliggande sidor (SVS). Om man vrider triangeln CMB ett halvt varv, så sammanfaller den med triangeln AM D. 7

(2) På liknande sätt inser vi att trianglarna CMD och AMB är kongruenta. Även detta faktum kan motiveras genom identifikationen C A, M M och D B. Sammanfattning: AMD = CMB och CMD = AMB. Anmärkning. När man antecknar kongruenta eller likformiga trianglar trianglar, och till exempel skriver ABC = A B C, så bör man ordna punkterna i namngivningen av trianglarna så att identifikationen A A, B B och C C är giltig. Vi sammanfattar: [4] K 1, K 2 och K 3 är var för sig tillräckliga och nödvändiga kriterier för kongruens mellan trianglar. Med matematisk notation: ABC = A B C K 1 K 2 K 3 Ekvivalensen ABC = A B C så vidare. K 1 motsvarar kongruensfallet SSS, och 2.2.2 Jämförelse mellan kongruensfallen och konstruktion av trianglar Triangelns konstruktion givet sida vinkel sida Kongruensfallet SVS kan också uppfattas som en omformulering av en insiktsfull tanke att en triangel kan förväntas vara helt och hållet bestämd om två sidor och den vinkel som ska bestå mellan sidorna är givna. Ungefär såhär går det att resonera: Antag att två sträckor AB och AC samt en vinkel A är givna. Denna geometriska konstruktion kommer då att bestämma en triangel. 1. Rita sidan AB. 2. Mät ut vinkeln A mot sträckan AB i punkten A. 3 3 Detta går att göra med gradskiva, men också enbart med passare och linjal. Följande 8

3. Rita sträckan AC i den riktning som anges av vinkeln A. 4. Förbind punkterna B och C med en sträcka. Den resulterande triangeln kan inte se ut på något annat än ett enda sätt. Vi kan kalla den för triangelns konstruktion sida vinkel sida. Det kan verka lite löjligt uppstyltat, men låt oss ändå titta på ett argument för SVS, baserat på konstruktionen: (1) Antag att sidorna AB = A B och AC = A C och att vinklarna A = A. (2) En triangel är via konstruktion helt och hållet bestämd om två sidor och den vinkel som ska bestå mellan sidorna är givna. (3) Med ledning av (1) och (2) drar vi slutsatsen att ABC = A B C. Detta är också ett möjligt sätt att kasta ljus över kongruensfallet SVS. Triangelns konstruktion givet vinkel sida vinkel Detta specifika kongruensfall kan också uppfattas som en omformulering av insikten att en triangel kan förväntas vara bestämd om två vinklar och den sida som ska bestå mellan vinklarna är givna. Ungefär såhär kunde man göra explicit den geometriska intuition som ligger bakom: Antag att två vinklar A och B samt en sträcka AB är givna. Denna geometriska konstruktion kommer då att bestämma en triangel: 1. Rita sidan AB. 2. Mät ut vinkeln A mot sträckan AB vid punkten A. 3. Mät på samma sätt ut vinkeln B mot sträckan AB vid punkten B, och på samma sida som vinkeln A redan blivit markerad. konstruktion vinkel till vinkel kan användas för att flytta en given vinkel DEF så att den står på en sträcka AB på en annan plats på pappret: 1. Ställ in passaren på en liten radie r och rita cirkeln c(e, r). Denna skär strålarna ED och EF i två punkter G och H. 2. Rita cirkeln c(a, r). Denna skär sträckan AB vid punkten I. 3. Mät avståndet GH med passaren och rita cirkeln c(i, GH). Denna skär cirkeln c(a, r) i punkten J. 4. Rita sträckan AJ. Vinkeln JAB är kongruent med DEF. Klart. 9

4. Förläng de sträckor som vinklarna pekar ut tills de skär varandra i en punkt C. Den resulterande triangeln ABC kan inte se ut på något annat än ett enda sätt. Den geometriska konstruktionen kan vi kalla för triangelns konstruktion vinkel sida vinkel: Låt oss återigen titta på hur ett argument för VSV baserat på den geometriska konstruktionen skulle kunna formuleras: (1) Antag A = A samt B = B samt att AB = A B. (2) En triangel är via konstruktion helt och hållet bestämd om två vinklar och den sida som ska bestå mellan vinklarna är givna. (3) Med ledning av (1) och (2) drar vi slutsatsen att ABC = A B C. Triangelns konstruktion givet sida sida sida Detta specifika samband kan likaså uppfattas som en omformulering av insikten att en plan triangel är helt och hållet bestämd om tre sträckor (som överhuvudtaget går att forma till en triangel) är givna. Ett enkelt ljuskast till påståendet: Antag att tre sträckor a, b och c är givna. Fäst sträckorna a och b i punkten A, men håll dem rörliga såsom kring en vridpunkt. Låt gapet mellan sträckorna a och b bestämmas av sträckan c. Resultatet är en triangel som bara kan se ut på ett sätt. Tanken kan benas ut genom följande triangelns konstruktion sida sida sida: Antag att tre sträckor a, b och c är givna, som har sådana längder att det på något sätt går att sätta ihop dem till en triangel. Denna geometriska konstruktion kommer då att bestämma triangeln: 1. Rita sträckan a = AB. 2. Rita cirkeln c 1 med radie b och medelpunkten i A. 3. Rita cirkeln c 2 med radie c och medelpunkten i B. 10

4. Eftersom sträckorna kan bilda en triangel, så skär cirklarna c 1 och c 2 varandra i två punkter. Välj en av dessa punkter C och förbind denna med A respektive B. Den resulterande triangeln ABC kan inte se ut på något annat än ett enda sätt. Av situationens symmetri kommer den andra skärningspunkten mellan cirklarna ge upphov till en cirkel som bara är en spegling av triangeln ABC i sträckan AB. Ett argument för kongruensfallet SSS baserat på konstruktionen lyder som följer: (1) Antag att villkoret K 3 är uppfyllt, så att AB = A B, BC = B C och AC = A C. (2) En triangel är genom konstruktion bestämd med passare och linjal om triangelns tre sidor är givna. (3) Med ledning av (1) och (2) drar vi slutsatsen att ABC = A B C. 2.3 Likformiga trianglar 2.3.1 Karakterisering av likformiga trianglar: de tre likformighetsfallen Om två trianglar ABC och A B C är likformiga enligt det operationellt definierande kriteriet att den ena kan erhållas ur den andra genom multiplikation med en skalfaktor så noterar vi att följande egenskaper (naturligtvis) kan förväntas vara uppfyllda: (L 1 ) Det går att para ihop trianglarnas vinklar sinsemellan så att man får tre par av lika stora vinklar: A = A B = B C = C (L 2 ) Det går att para ihop sidorna sinsemellan trianglarna så att man får tre par av sidor med samma storleksförhållande mellan 11

sig: AB/A B = BC/B C = AC/A C Likhet mellan storleksförhållanden inom trianglarna kommer även att gälla vid likformighet, så att exempelvis förhållandet mellan basen och höjden i den ena triangeln är lika med förhållandet mellan basen och höjden i den andra triangeln. På samma sätt får vi att AB BC = A B B C AB AC = A B A C etc. etc. I en del framställningar av elementär geometri för universitetet tar man L 1 som det operationellt definierande kriteriet på likformighet för trianglar. I andra framställningar tar man L 1 och L 2 tillsammans som kriterium, och på liknande sätt definieras likformighet för polygoner generellt. Man skulle också, faktiskt med lika goda skäl, kunna ta L 2 för sig självt som definierande kriterium. Antag att man till exempel väljer L 1 som definierande kriterium för en viss analys av likformighetsbegreppet i geometrin. Andra sätt att uttrycka den här omständigheten, av vilka läsaren säkert känner igen någon, vore att säga att vi tar satsen Två trianglar är likformiga om och endast om L 1 som: definitionen av den matematiskt exakta definitionen av den operationella definitionen av operationaliseringen av termen ett axiom för termen likformig. Alla dessa är lika många olika sätt att säga att vi rör oss med något som är sant per reglering av ett ords användning. Hur som helst gäller såsom matematiskt giltiga satser ur elementär geometri att en triangel är likformig om och endast om vilket som helst av villkoren L 1 12

eller L 2 är uppfyllt. Lägg nu märke till att enligt satsen om vinkelsumman i en triangel är vinklarna i en triangel i sin tur helt bestämda om åtminstone två vinklar redan är det. Det räcker därför med kännedom om att två par av vinklar är inbördes lika stora, till exempel att A = A och B = B, för att man ska kunna konstatera att två trianglar är likformiga. Därav följer att villkoret L 1 faktiskt kan förenklas till villkoret (L 1) Två par av vinklar ur trianglarna är sinsemellan lika. Man finner till exempel att A = A B = B Låt oss formulera de geometriska sambanden på två displayer. Dessa utgör de två första utav de tre befintliga likformighetsfallen för trianglar. Likformighetsfallet vinkel vinkel (VV): [5] Två trianglar är likformiga om och endast om två par av vinklar är sinsemellan lika stora (L 1 är uppfyllt). Likformighetsfallet sida sida sida (SSS): [6] Två trianglar är likformiga om och endast om storleksförhållandet är konstant för alla tre par av sidor sinsemellan trianglarna (L 2 är uppfyllt). Det tredje likformighetsfallet fastslår att två trianglar är likformiga om och endast om följande egenskap är uppfylld: (L 3 ) Åtminstone en vinkel är gemensam för trianglarna och storleksförhållandet mellan de två paren av närliggande sidor är detsamma sinsemellan trianglarna. Man finner till exempel att A = A AB/A B = AC/A C Detta geometriska samband kallas för likformighetsfallet sida vinkel sida (SVS): 13

[7] Två trianglar är likformiga om och endast om ett par av vinklar är sinsemellan lika stora och storleksförhållandet är detsamma för båda paren av till vinklarna närliggande sidor (L 3 är uppfyllt). Låt oss titta på ett exempel. Figur 3: Två likformiga trianglar. Sidorna står i samma storleksförhållande vid jämförelse mellan den mindre och den större triangeln och vinklarna är oförändrade. Den mindre triangeln kan likformigt avbildas på den större genom skalfaktorn 1,5. Exempel 1. Trianglarna ABC och A B C i figur 3 är likformiga. Vilket som helst av villkoren L 1, L 2 eller L 3 kan utnyttjas för att konstatera likformigheten. Vi har ju exempelvis att vinklarna A och A respektive B och B är lika stora, och alltså är trianglarna likformiga. Vinklarna A = A = 45 B = B = 55 C = C = 80 Triangel ABC har sidlängderna (cirka) 6, 4,3 respektive 5 cm. Triangel A B C har sidlängderna (cirka) 9, 6,45 respektive 7,5 cm. Det gäller att A B AB = 9 6 = 1, 5 A C AC = 7, 5 5 = 1, 5 B C BC = 6, 5 4, 3 = 1, 5 Den större triangeln är en förstoring av den mindre med en skalfaktor 1,5. Skalan mellan trianglarna är 1:1,5. Problem 2. Ett ljus placeras framför en konvex lins. En bild av ljuset fångas 14

Figur 4: Figuren illustrerar problem 2. Ett litet ljus avbildas genom en positiv glaslins, varvid en upp och nedvänd bild kan fångas upp på en skärm stående på andra sidan om linsen. Bilden av ljuset blir skarp när avståndet är 30 cm. Uppgiften är att bestämma bildstorleken. I geometrisk optik (en gren av klassisk fysik) kan ljus behandlas som räta strålar utgående från olika ljuskällor. Därmed blir det möjligt att behandla optiska problem såsom geometriska problem: med trianglar, vinklar, etc. därmed upp på en skärm placerad på andra sidan linsen. Bilden blir förstorad och vänd upp och ned. Ljuset är 5 cm högt och avståndet mellan ljuset och linsen är 15 cm. Avståndet mellan linsen och bildskärmen är 30 cm. Hur hög är bilden av ljuset? Lösning. (1)Vi gör oss en bild av situationen i figur 4. I den geometriska optiken (en gren av klassisk fysik) får det fysikaliska ljusets beteende analyseras i formen av räta strålar utgående från en ljuskälla. Om vi drar en ljusstråle från stearinljusets låga vid punkten B i rät linje genom mittpunkten M på linsen, så kommer punkten B avbildas på B på skärmen. Stearinljusets botten A kommer att avbildas på punkten A. Därmed uppstår i analysen två trianglar AMB respektive A MB. Den sökta sträckan är betecknad x. (2) Trianglarna AMB A MB eftersom de har två vinklar gemensamma: vinklarna vid M är lika stora och de har båda två varsin rät vinkel. Likfor- 15

mighetsfallet VV är uppfyllt. (3) Ur (2) följer att storleksförhållandet mellan sidorna är konstant sinsemellan trianglarna. Detta ger oss ekvationen x 30 = 5 15 = 1 3 (4) Ekvationen (3) har den enda lösningen x = 10 cm. Enligt våra beräkningar är bilden av stearinljuset 10 cm lång. Låt oss sammanfatta likformighetsgeometrins grundläggande karakterisering av likformiga trianglar: [8] L 1, L 2 och L 3 är var för sig tillräckliga och nödvändiga kriterier för likformighet mellan trianglar. Med matematisk notation: ABC A B C L 1 L 2 L 3 Ekvivalensen ABC A B C och så vidare. L 1 motsvarar likformighetsfallet VV, 2.3.2 Topptriangelsatsen En linje som dras genom en given triangel parallellt med basen kallas för en parallelltransversal. Den mindre triangel som därvid uppstår kallas för en topptriangel. Se figur 5 för ett exempel. Topptrianglar som bildas genom att dra parallelltransversaler till basen i en given triangel är likformiga med hela triangeln. Sidan A B är parallell med sidan AB i figur 5, och därför är topptriangeln A B C likformig med ABC. Triangeln A B C är väsentligen samma triangel som ABC, bara i en mindre skala. I figur 6 visas en följd av topptrianglar. Alla dessa är likformiga med varandra. Det geometriska sambandet brukar kallas för topptriangelsatsen: 16

Figur 5: Triangeln A B C är en topptriangel till triangeln ABC, och dessa två är likformiga. [9] En topptriangel i en given triangel, som bildats genom en parallelltransversal, är likformig med hela triangeln. Såhär skulle till exempel en härledning av topptriangelsatsen baserat på likformighetsfallet VV kunna se ut: (1) Låt A B C vara en topptriangel till triangeln ABC bildad genom parallelltransversalen A B. (2) Eftersom sidorna AB och A B är parallella (AB A B ), så är vinklarna A = A och B = B. (3) Ur (2) och likformighetsfallet VV följer att ABC A B C, vilket skulle bevisas. Låt oss titta på hur problemlösning med utnyttjande av topptriangelsatsen kan se ut. Problem 3. Sidan DE är parallelltransversal i triangeln ABC. I figur 7 visas kända mått på sträckorna. Beräkna den obekanta sträckan y. Lösning. Vi har tillgång till mycket information i den här uppgiften. Det finns flera olika sätt att lösa problemet. Här tittar vi på en lösning, och så 17

Figur 6: En följd av topptrianglar som allesammans är likformiga med den största triangeln och med varandra. jag lämnar jag till läsaren att fundera över andra lösningar. (1) Eftersom DE AB så är DEC ABC. (2) Storleksförhållandet är alltså konstant. Detta ger oss en ekvation som vi omedelbart löser: 7 5 = y + 7 7 7 5 = y 7 + 1 7 5 1 = y 7 2 5 = y 7 y = 7 2 5 (3) Sträckan y = 2, 8 längdenheter. = 14 5 = 24 5 = 2, 8 Likformighetsfallet VV står i ett naturligt samband med topptriangelsatsen, eftersom det ena påståendet på ett ganska så uppenbart sätt följer ur det andra, och vice versa. (1) Låt ABC och A B C vara två plana trianglar med inbördes lika stora vinklar. 18

Figur 7: Figuren illustrerar problem 3. Uppgiften är att visa att trianglarna är likformiga under detta antagande. (2) Vi kan utan förlust i resonemangets allmängiltighet anta att sträckan A C är mindre än eller lika lång som sträckan AC. Flytta triangeln A B C så att hörnen C och C sammanfaller och så att sträckan A C ligger på AC och är riktad åt samma håll. (3) Eftersom A = A så är sträckorna AB och A B parallella. Alltså är den flyttade triangeln A B C topptriangel i ABC. (4) Ur (3) och topptriangelsatsen har vi att A B C ABC. Givet topptriangelsatsen som utgångspunkt kan man i den mening som resonemang (1) (4) uppvisar omvänt säga att VV följer. 2.3.3 Att genomskåda likformighetsfallen Den fråga som jag tänker att vi ska relatera litegrann till i det här avsnittet, men fortsätta spinna vidare på i kommentarerna, kan ställas såhär: Fråga 1. Hur kan man kasta ljus över likformighetsfallen? 19

Först och främst behöver man påminna sig om att begreppet likformighet för trianglar är matematiskt operationellt definierat i termer av skala. En vanlig definition av likformiga trianglar i gymnasieböcker och framställningar för universitetet baseras på villkoren L 1 förstnämnda villkoret. och L 2, ibland enbart på det Ett sätt att uppfatta frågan om hur man kan förklara eller kasta ljus över likformighetsfallen, vore därför såsom frågan Fråga 2. Hur kan man överblicka relationerna mellan kriterierna L 1, L 2 och L 3? Samband mellan villkoren L 1 och L 2 kan man få insikt i genom att betrakta en triangel och låta den genomgå olika förstoringar av skalan med varierande skalfaktor f. I figur 8 får en triangel ABC genomgå likformiga transformationer för skalfaktorerna f = 2, 3, 4 respektive 4.33. Dessa ger paradigmexempel som uppvisar det generella mönstret: nämligen att vinklarna lämnas oförändrade under varje transformation med en skalfaktor f. Genom att överlagra den ena triangeln på den andra, inser man hur villkoren L 1, L 2 och L 3 ger varandra liksom i krets. Själva idéen med att forma topptrianglar är ett sätt att i sin tur närma sig fråga 2 (utan att omedelbart blanda in eller förutsätta topptriangelsatsen som ett resultat vill säga). Såhär kan man tänka sig ett slags belysande resonemang som visar hur skalenligheten mellan trianglarna kan förväntas ur antagandet att vinklarna uppfyller villkoret VV (och utan att blanda in termen likformighet ): (1) Antag att två trianglar överensstämmer i två vinklar. Det vi vill visa är att storleksförhållandet sinsemellan trianglarnas sidor är detsamma överallt. (2) Vi kan för resonemangets skull också anta att sidan A C är kortare än (eller lika lång som) sidan AC. Placera triangeln A B C ovanpå ABC, så att punkterna C och C sammanfaller och så att sidan A C ligger på AC och har samma riktning. (3) Eftersom A = A så är den flyttade sidan A B parallell med AB. A B C är alltså en topptriangel till ABC. (4) Beteckna storleksförhållandet AC/A C med f. Detta är vår skalfaktor, som 20

Figur 8: En följd av topptrianglar uppstår genom att variera skalfaktorn f. Här är f = 2, 3, 4 respektive 4, 33. Det vi noterar är att varje gång sidorna AC och BC mångfaldigas med en hel sida, så sker samma sak med basen AB. Den resulterande basen är hela tiden parallell med AB. Med ledning av grundläggande egenskaper för parallella linjer inser vi att vinklarna alltid förblir orörda. 21

vi kommer att se. Låt oss som ett exempel anta att f = 3. (5) Multiplicera, mångfaldiga, alla sidor i triangeln A B C med f och vi får en triangel DEC. Storleksförhållandet mellan sidorna i DEC och motsvarande sidor ur A B C är förstås f. (6) Sidan DC = AC, enligt definitionen av talet f. (7) Men, såsom vi konstaterade med stöd av figur 8, förändras inte vinklarna vid förstoring med faktorn f = 3. Alltså är D = A = A och C = C. (8) Med ledning av (6) och (7) samt kongruensfallet VSV drar vi slutsatsen att triangeln DEC är kongruent med ABC: DEC = ABC. (9) Ur (5) och (8) följer att storleksförhållandet mellan sidorna i ABC och motsvarande sidor ur A B C är konstant lika med f, vilket var vad vi ville komma fram till. Ett analogt resonemang kunde upprepas för vilket som helst storleksförhållande f mellan sidorna AC och A C, vare sig f är 2, 3, 4 eller 4,33 eller något annat. Härmed likartade resonemang kan formuleras för de andra implikationerna mellan villkoren L 1, L 2 och L 3. 22

3 Kommentarer 3.1 Mer om kongruensfallen Euklides demonstration av fallet SVS bärs av idéen att överlagra, superimpose, den ena triangeln på den andra: (1) Antag att sidorna AB = A B och AC = A C och att vinklarna A = A. (2) Lägg den ena triangeln på den andra, så att hörnen A och A och respektive närliggande sidor sammanfaller. Låt oss till exempel flytta A B C och lägga den på ABC. (3) Eftersom enligt antagande (hypotes) AB = A B och AC = A C, så kommer hörnen B och B respektive C och C också att sammanfalla, varför sidan BC och den flyttade sidan B C är en och samma sträcka. (4) De två trianglarna är alltså lika i varje avseende. Samma sorts överlagring fungerar också bra som förklaring till eller belysande av kongruensfallet VSV. 3.2 Mer om likformighetsfallen Till frågorna 1 och 2 kan vi lägga den här: Fråga 3. Hur kan man bevisa topptriangelsatsen och likformighetsfallen? När det gäller den här sortens mycket grundläggande och som man ofta kan uppleva det evidenta eller självklara geometriska samband, är det inte alltid självklart hur man ska närma sig frågor såsom dessa. Som ofta när det gäller frågor om grundläggande eller elementära matematiska samband är det lätt att tanken så att säga börjar slinta och halka omkring. Tänkandet har en tendens att här ledas in på frågor av filosofisk karaktär: om geometrins natur och väsen, om vad ett matematiskt bevis är, eller vad det inte är, och så vidare. Svaren på frågorna kommer (delvis) att bero på hur man är beredd att möta frågor såsom de här: 23

Vad skulle man räkna som ett bevis? Vad menar man med ett bevis? Vad är du ute efter? Vad menar man med att det och det följer eller inte följer? Om man inte är beredd att acceptera det här resonemanget, varför då det där egentligen? Varför skulle den där satsen vara mer evident och passande som axiom än den där? Varför måste man framställa geometrin axiomatiskt vad är det för ett måste? Och så vidare. 3.2.1 Olika slags klargöranden Det finns olika sorters resonemang som kan användas för att klargöra likformighetsgeometrins samband. I avsnittet Genomskådande av likformighetsfallen tittade vi på en sorts resonemang som syftade till att belysa hur skalenligheten mellan trianglarna kan förväntas ur antagandet att vinklarna uppfyller villkoret VV: På liknande sätt kan man formulera ett resonemang som syftar till att åskådliggöra hur vinklarnas överensstämmelse följer ur antagandet att villkoret L 2 är uppfyllt: Antag att villkoret L 2 är uppfyllt, så att AB/A B = BC/B C = AC/A C. Låt oss beteckna det här konstanta storleksförhållandet (skalfaktorn) med f. Multiplicera nu alla sträckorna A B, B C och A C med skalfaktorn f. Detta ger de tre sträckorna AB, BC och AC. En triangel är helt bestämd om de tre sidorna är givna, enligt kongruensfallet SSS, så triangeln ABC kan bara se ut på ett enda sätt. Läraren låter tankegången sjunka in. 24

Multiplikation med en skalfaktor förändrar inte vinklarna i en plan triangel. Det spelar ingen roll om man tar sidorna 2 eller 3 eller 120,4 gånger. Alltså är vinklarna i ABC desamma som vinklarna i A B C. Håller ni med om det? Läraren ritar en bild på tavlan där han förstorar en triangel först två och sedan tre gånger. På samma gång som L. förklarar visar han med händerna i rytmisk rörelse. I den här speciella figuren ser vi att f är ungefär lika med 3. Tar vi nu alla sidorna i den mindre triangeln f gånger i en och samma rörelse, så kommer vi få den större triangeln, enligt antagandet att storleksförhållandet var likadant för samtliga par av sidor. Och i samband med en förstoring förändras inte vinklarna. Under den här rörelsen, säger han och visar återigen med händerna, kommer inte vinklarna att påverkas. Ett liknande resonemang kan formuleras för likformighetsfallet SVS. 3.2.2 Mer om traditionell, euklidisk, bevisordning Den typ av, som matematiker ibland säger intuitiva, resonemang som exemplifierades i ovanstående samt i avsnittet Att genomskåda likformighetsfallen är inte vad man skulle räkna som bevis i en traditionell, euklidiskt orienterad, framställning. Att bevisa innebär här att visa att någon fixerad definition av likformighet är uppfylld, utifrån andra redan etablerade resultat eller definitioner och axiom. Om själva definitionen av likformighet i framställningen är att de två trianglarna uppfyller likformighetsfallet VV (alltså kriteriet L 1 ), så är det ganska så rakt på sak att bevisa topptriangelsatsen, ja närmast trivialt. Ett sådant bevis har vi faktiskt redan återgivit i avsnittet om topptriangelsatsen. Den ålderdomliga bevisordningen börjar tvärtom med att visa topptriangelsatsen, för att därefter ge sig in på likformighetsfallen. Att topptriangeln och den stora triangeln överensstämmer i vinklar är enkelt att visa. Den kne- 25

pigare biten handlar om att fastställa att storleksförhållandena sinsemellan trianglarna är konstant. I den euklidiska bevisordningen står man inför detta problem, oavsett vilken definition av likformighet man väljer, eftersom den konstanta skalan är en egenskap man vill kunna utnyttja för ytterligare bevis i framställningen och vid geometrisk problemlösning. Det traditionella beviset för påståendet om storleksförhållandena går vägen genom den så kallade transversalsatsen, vars bevis i sin tur baseras på areageometrin. Transversalsatsen (också kallad Thales proportionalitetssats ) motsvarar Elementa, Bok VI, Prop. 2. Satsen är en konsekvens av topptriangelsatsen (se problem P12), men kan också omvänt användas för ett slags bevis av topptriangelsatsen. Jag överlåter till den intresserade läsaren att fördjupa sig i dessa argument på egen hand, eftersom det här snabbt blir en aning invecklat. Det finns ett antal resurser att tillgå på internet eller så kan man läsa något kompendium i traditionell euklidisk geometri för universitetskurserna i matematik. Vad det innebär att säga att något följer eller inte följer i en gammaldags euklidisk framställning formgiven i traditionen efter Euklides ursprungsverk är inte alls särskilt klart. Den gängse ståndpunkten är att betraktad såsom försök till axiomatisering lyckas Elementa inte leva upp till de moderna kraven på ett formellt logiskt system. Det som brukar räknas som den första modernt acceptabla axiomatiseringen av elementär geometri är den som framställs i Hilberts bok Geometrins grundvalar från år 1899. Hilberts bok är mycket mer detaljerad än Euklides, och även om den behandlar elementärt stoff, hade den på ett alldeles övertydligt sätt aldrig varit lämplig som lärobok i geometri för högstadiet, gymnasiet eller ingenjörsutbildningar. Att Euklides lider av dessa brister ur den moderna formella logikens synvinkel, innebär förstås inte att man inte kan uppskatta skönheten i den strävan och de klassiska ideal som verket genomsyras av. Inte heller innebär det att denna axiomatisk deduktiva läsart är den enda möjliga vad gäller Euklides verk. Man kan jämföra anmärkningen med en annan verklig klassiker ur tänkandets historia, nämligen Spinozas Etiken. Det är med detta verk ännu 26

desto tydligare att läsarten axiomatisk deduktiv framställning inte är den enda möjliga eller ens den mest intressanta läsarten för den som vill närma sig Spinozas skrift. Tvärtom skulle jag tro att många filosofiskt intresserade människor upplever att Spinozas verk är mer givande att läsa på ett helt annat sätt, så att säga med ett mjukare, mer ömsint grepp, i vilket man förmår se genom fingrarna med logiska brister, se skogen för inte bara en massa träd. 27

4 Lock/portar 4.1 Teorifrågor samt frågor till stöd för minnet F1. Ge exempel på två figurer som är: (a) likformiga (b) kongruenta F2. (a) Hur ser den allmänna matematiska, operationella, definitionen av likformighet respektive kongruens för figurer ut? (b) Vilka beteckningssätt används för likformighet respektive kongruens i geometrin? F3. Vilka är de tre kongruensfallen för trianglar? F4. Vilka geometriska konstruktioner motsvarar de respektive kongruensfallen? F5. Vilka egenskaper utmärker likformiga trianglar? F6. Vilka är de tre likformighetsfallen för trianglar? F7. Hur lyder topptriangelsatsen? F8. Hur kan man förklara/genomskåda likformighetsfallen? 4.2 Ett urval av övningsproblem P4. Är dessa trianglar kongruenta? (a) I ABC är sidorna 3 m, 9 m och 15 m. I triangeln DEF är sidorna 14,5 m, 3 m och 8,8 m. (b) I ABC är C = 45, sidan CA = 196 cm och CB = 267 cm. I DEF är D = 45, sidan DE = 267 cm och DF = 196 cm. (c) I ABC är A = 60, B = 40 och sidan AB = 12 cm. I DEF är F = 80, E = 40 och sidan DE = 12 cm. P5. Konstruera en triangel: 28

(a) med sidorna 4 cm, 5 cm och 7 cm. (b) med sidorna 5,5 cm respektive 8,4 cm och med den mellanliggande vinkeln 35. (c) med en sida 9 cm och vinklarna 20 respektive 55 till den givna sidan. P6. I triangeln ABC är A = 30 och B = 45. I triangeln DEF är D = 30 och F = 105. Är trianglarna likformiga? P7. Rita med linjal och gradskiva en liten triangel som har basen 5 cm och basvinklarna 30 respektive 65. Konstruera nu en triangel som har tre gånger så stor bas och som är likformig med den först ritade triangeln. [Tips: utnyttja topptriangelsatsen.] P8. Beräkna de obekanta sträckorna x och y i figur 9. Figur 9: Illustration till problem 8. P9. Skuggan av ett träd är 5,6 m lång. Samtidigt är skuggan av en 1,7 m hög käpp 0,75 m. Hur högt är trädet? [Tips: rita en bild av situationen och fundera över de trianglar som trädet skuggan respektive käppen skuggan bildar.] P10. Räcker det med att motsvarande vinklar är lika stora i två fyrhörningar för att dessa fyrhörningar ska vara likformiga? 29

P11. Visa att om diagonalerna i en fyrhörning delar varandra mitt itu, så är fyrhörningen en parallellogram. [Tips: visa att motstående sidor i fyrhörningen är lika långa.] P12. Det finns ett falskt kongruensfall som brukar betecknas SSV, vilket då innebär att två sidor och en vinkel, som dock inte är vinkeln mellan de två sidorna, är givna. Som det visar sig finns det två möjliga situationer: (i) SSV bestämmer två möjliga trianglar, eller (ii) SSV bestämmer en rätvinklig triangel. Finn en förklaring till påståendet. [Tips: Rita sidan a och drag en cirkel med den andra sidan b till radie och medelpunkten i ena ändpunkten till sträckan a. Experimentera med några olika sidlängder.] P13. Visa med utgångspunkt från topptriangelsatsen transversalsatsen: [10] Antag att DEC är en topptriangel till triangeln ABC bildad genom parallelltransversalen DE. Låt a = DC, b = AD, c = EC och d = BE. Då är a b = c d 30