Finita elementmetoden

Finita elementmetoden En kort introduktion till teorin Bertil Nilsson Högskolan i Halmstad

Finita elementmetoden En kort introduktion till teorin Bertil Nilsson Högskolan i Halmstad 5--6

Förord Detta kompendium utgör renskrivna(? föreläsningsanteckningar till en del av kursen Finita elementmetoden (FEM som undertecknad gett vid Högskolan i Halmstad sedan läsåret 99/93. Tanken med materialet är att komplettera en mera praktisk modelleringsinriktad projektdel med något om metodens matematiska bakgrund. I denna version har, som vanligt, en del ändringar och tillägg gjorts. Vidare har några oegentligheter rättats till men det brukar alltid finnas minst ett fel kvar så läsaren bör vara på sin vakt. Inte sällan smyger de sig in i rättelser, s.k. andra ordningens fel. Författaren ser tacksamt fram emot ytterligare varsam kritik samt förslag till förbättringar. Halmstad om hösten Bertil Nilsson

Innehåll Introduktion 5. Terminologi...................................... 5. Historik........................................ 6.3 Elementtyper..................................... 8.4 Laster..........................................5 Randvillkor...................................... 3.6 Matematisk försmak................................. 3.7 Övningar....................................... 5 Interpolation, avbildning 7. Inledning....................................... 7. Interpolation och basfunktioner........................... 7.3 Något om två och tre dimensioner...........................4 Övningar....................................... 3 3 Energimetod, matrisformulering 4 3. Potentiell energi.................................... 4 3. Assemblering..................................... 5 3.3 Triangelelementet CST (Constant Strain Triangle................. 3 3.4 Några andra problemtyper.............................. 34 3.5 Övningar....................................... 37 4 Randvillkor 43 4. Inledning....................................... 43 4. Partionering av systemet............................... 43 4.3 Eliminering...................................... 44 4.4 Straffmetod...................................... 45 4.5 Lagrange multiplikatormetod............................ 53 4.6 Övningar....................................... 54 5 Lösning av ekvationssystem 55 5. Terminologi...................................... 55 5. Direkt metod..................................... 55 5.3 Iterativ metod..................................... 56 5.4 Övningar....................................... 57 6 Approximationsmetoder 58 6. Randvärdesproblem och approximationsmetoder.................. 58 6. Finita differensmetoden................................ 6 6.3 Viktade residualmetoder............................... 64 6.3. Inledning och definition........................... 64 6.3. Minsta kvadratmetoden........................... 65 6.3.3 Kollokationsmetoden............................. 66 6.3.4 Subdomainmetoden.............................. 67 6.3.5 Galerkins metod............................... 68 6.4 Något om andra ordningens problem........................ 7 6.5 Övningar....................................... 7 3

7 Elementanalys 7 7. Element och assemblering.............................. 7 7. Konsistenta nodlaster................................. 74 7.. Inledning................................... 74 7.. Differentialekvation.............................. 74 7..3 Konsistenta nodlaster............................. 78 7.3 Koordinattransformation............................... 8 7.4 Numerisk integration................................. 8 7.5 Övningar....................................... 8 8 Exempel 86 8. ODE och Galerkins metod.............................. 86 8. Endimensionell värmeledning............................ 87 8.3 Reynolds ekvation................................... 9 4

Introduktion. Terminologi Finita elementmetoden (FEM är en generell matematisk och numerisk metod för att söka approximativa lösningar till vissa klasser av problem, s.k. (partiella differentialekvationer, som är så komplicerade att de inte går att lösa med klassiska metoder vi känner från analyskursen. Den bakomliggande matematiska idén är egentligen ganska enkel och består av två gamla begrepp nämligen interpolation och minimering av en funktion, dvs. söka nollställe till derivatan. Vanligtvis hittar man tillämpningar för metoden vid s.k. fältproblem, t.ex. hållfasthetsberäkning. Bäst kommer den till sin rätt vid komplicerade geometrier och randvillkor. På grund av sin generalitet är den i dag, tillsammans med några närbesläktade metoder, det helt dominerande datorredskapet för hållfasthetsanalys. I Sverige kallas metoden vanligen FEM (Finita ElementMetoden, men i sammansättningar använder man allt oftare FE i stället för FEM, t.ex. FE-beräkning (uttalas finita elementberäkning. På engelska förkortas den också FEM (Finite Element Method eller FEA (Finite Element Analysis och i sammansättningar nästan alltid FE, t.ex. FE model (Finite Element model. Karakteristiskt för metoden är att den verkliga geometrin delas upp, diskretiseras, i små stycken med enkel geometri, s.k. finita element. Till vardags helt enkelt element. Typiskt för FEM är att elementen endast är förbundna med varann i speciella punkter, noder (eng. nodes. Dessa är placerade i hörnen eller på kanterna av elementen. I praktiken används mycket enkla element, för det mesta trianglar och fyrhörningar när det gäller två dimensioner eller skalstrukturer. Vid solider används prismor med fyra eller sex sidor. Idén är att man ska klara av att beskriva beteendet i varje element på ett förhållandevis enkelt sätt enbart genom att känna tillståndet i noderna. Ett enkelt exempel är vanliga balkar där kraft-deformationssambandet (elementarfall beskrivs av förskjutningar och rotationer enbart i balkens båda ändpunkter, noderna. Balkar utgör för övrigt ett vanligt finita element i dagligt arbete. Element tillsammans med noder kallas för nät, (eng. mesh och på god svengelska hörs därför ofta att man meshar geometrin i sin CAD-modell. Hos äldre svenska FE-användare kan man ibland istället för noder höra benämningen knutar, vilket ju passar bra ihop med nät. I vårt grannland Tyskland är det däremot mycket vanligt att man fortfarande säger knoten. I varje element görs därefter en lokal interpolation av så kallade väsentliga storheter. Antalet väsentliga storheter som behövs i varje nod, frihetsgrader per nod, beror på det problem som skall lösas och är alltså de nödvändiga storheter som behövs för att beskriva systemets tillstånd vid godtycklig tid under godtyckliga laster, t.ex. förskjutning, temperatur, tryck eller tid. Vid interpolationen används polynom med stöd i elementets noder. Polynomens gradtal är låga, oftast linjära eller kvadratiska, s.k. h-metod, högre gradtal är sällsynt, s.k. p-metod. Vanligast är h-metoden, och innebär att ökad noggrannhet i beräkningen erhålles genom en allt finare elementindelning i de områden av modellen som har kraftiga gradienter, dvs. där det händer mycket. Vid p-metoden däremot behåller man elementstorleken och ökar gradtalet inom varje element för att fånga modellens beteende. Detta angreppssätt är, ur flera aspekter, mera vanskligt. Vid interpolationen gäller sedan vanligtvis samma ansats, dvs. samma gradtal på interpolationspolynomet, för alla storheter såsom geometri, förskjutning, material, yttre laster osv. Detta kallas för isoparametrisk formulering. Anledningen till användandet av polynom är att de av flera orsaker kan betraktas som de enklaste funktionerna vi har i matematiken. Operationer såsom addition, subtraktion, multiplikation, derivation samt integration av polynom är ju odramatiska och ger som resultat ett nytt polynom. Dessutom är de enkla att beräkna. Till det behövs bara vanlig addition, subtraktion och multiplikation. 5

Figur : Lite kantigt. Utga ende fra n detta kan sedan elementets egenskaper uttryckas som samband enbart mellan dess noder. Eftersom elementen ha nger ihop med varandra i noderna, med krav pa kontinuitet fo r de va sentliga storheterna, kopplas sa strukturen samman till en enhet, assemblering. Tillsammans med givna randvillkor, laster och inspa nningar, bildas till slut ett stort ekvationssystem ur vilket va ra va sentliga storheter kan lo sas. Begreppet frihetsgrader fo r modellen sta mmer till antalet o verens med antalet obekanta i ekvationssystemet. Efter att detta lo sts kan man sedan besta mma t.ex. spa nningar och to jningar i element och noder, s.k. ha rledda storheter. Na t tillsammans med laster och randvillkor kallas fo r FE-modell. Man kan alltsa sa ga att FEM a r en tilla mpning pa att so ndra och ha rska. LEGO kan tja na som ett utma rkt exempel pa hur man bygger komplicerade strukturer utifra n sma enkla (finita element. Man ser ocksa att man fa r ha lla tillgodo med en idealisering av verkligheten, t.ex. en viss kantighet i geometrin, Fig.. Historik Begreppet finita element uppstod i USA a r 956, men finita elementbera kningar utfo rdes tidigare. Pa 4-talet hade flygindustrin stora bera kningsavdelningar, som fo r hand bera knade ha llfastheten pa balksystem. Detta gjordes pa ett systematiserat sa tt som pa minner om det moderna spra ket inom FE-teori, matrisalgebra. Grunderna i dagens FE-teknik utvecklades under 5- och 6-talen (Turner, Zienkiewicz, Argyris, m.fl.. Till deras hja lp fanns redan de matematiska ho rnpelarna (Rayleigh 87, Ritz, Galerkin 9. Utvecklingen var pa denna tid helt inriktad mot ha llfasthetsproblem. Indata till programmen levererades pa ha lkort och resultaten kom ut i form av printade listor. FEM a r mycket bera kningsintensiv och har utvecklats i takt med att datorerna blivit kraftfullare. Man kan sa ga att datorerna varit en absolut fo rutsa ttning fo r utvecklingen. De sto rsta datorerna har alltid anva nts till FE-bera kningar och ofta varit anledningen till att de byggts! Under 6- och 7-talen anva ndes i stort sett enbart stordatorer till FE-bera kningar och det var da bara stora fo retag i flyg-, bil- och ka rnkraftsindustrin som anva nde FEM. Mot slutet av 7-talet bo rjade man anva nda minidatorer som da blivit tillra ckligt kraftfulla. Vidare bo rjade den matematiska grunden fo r FEM att sa ttas pa plats och generaliseras, vilket resulterade i att man fick upp o gonen fo r metoden som ett redskap fo r att lo sa ma nga andra typer av ingenjo rsproblem. 6

Under 8-talet kom färggrafiken på bred front och FE-programmen hakade naturligtvis på. Grafiska terminaler kopplades till datorerna och programmen gjordes interaktiva för att underlätta uppbyggnaden av geometrin. Noder och element genererades sedan mer eller mindre automatiskt. Resultaten redovisas nu med snygga färgbilder i stället för printade listor och kurvplottar som var vanligt tidigare. Utvecklingen under 9-talet har varit mycket snabb på datorsidan så idag är det mest arbetsstationer och kraftfulla PC-datorer som används, även om det alltid kommer att finnas problem som sysselsätter superdatorerna. Kopplingen till CAD intensifieras och idag har de flesta moderna systemen ett FE-program tätt knutet till sig, varför kopplingen dem emellan är mindre dramatisk. Man kan nu enkelt generera FE-modeller, administrera beräkningen och slutligen studera resultaten direkt i CAD-systemet. Ett utmärkt exempel på detta är SolidWorks med FE-programmet COSMOS/Works. Ett annat är Catia med Catia/Elfini eller COSMOS/DesignStar. I annat fall måste geometrier överföras till lämpligt format för att passa aktuellt FE-program. Detta är inte helt okomplicerat och utgör naturligtvis en extra belastning i processen. Från att först ha utvecklats för linjära hållfasthetsberäkningar har tekniken sedan förfinats till att omfatta allt fler typer av beräkningar. Man kan nu t.ex. utföra detaljerade krockanalyser av bilar, eller studera luftfödet kring ett flygplan. Exempel på användningsområdet idag kan göras lång -linjär och ickelinjär elastisk analys -temperatur -kompositmaterial -krypning -harmoniska och påtvingade svängningar -stabilitetsanalys -optimering, t.ex.minimera vikt med bibehållen funktion -kontaktproblem -utmattning -brottmekanik -luft och vätskeflöde -elektricitet, magnetism -akustik -biomekanik, medicin De stora FE-programmen har alltså utvecklats till generella verktyg för fältanalyser. De ledande kommersiella programmen, t.ex. COSMOS, NASTRAN, ANSYS och ABAQUS, är alla amerikanska och man kan därför kanske säga att FEM är en amerikansk teknik, även om det görs banbrytande teoretiska insatser och programutveckling på andra ställen, t.ex. är svensken Bengt Karlsson en av grundarna till ABAQUS. Den senaste megastjärnan på FE-himlen är det mycket kraftfulla och lättanvända COMSOL Multiphysics. Det är helt svenskutvecklat av COMSOL AB med säte i Stockholm. Sagan började med att Svante Littmarck och Farhad Saeidi som examensarbete på KTH skrev PDE Toolbox till matematikprogrammet Matlab. Idag är det en världsomspännande koncern med 5 personer anställda och flera tusen sålda licenser. Kostnaderna för FE-program och kraftfulla datorer sjunker snabbt och idag skaffar sig även många mindre företag egen kompetens och utrustning. FEM blir för varje dag allt lättare att använda, men kräver fortfarande mycket kunnande hos användaren. Så kommer det alltid att vara. Förutom själva hanterandet av programmet krävs kunnande och förståelse för hållfasthetslära och FE-teknik för att kunna skapa bra modeller och avgöra om resultaten är tillförlitliga. Utvecklingen pekar dock mot alltmer automatik. Programmen avgör själva vad som är bra modeller och fokuserar själva mot problemområden i modellen, s.k. adaptiva metoder. Gårdagens konstruktörer överlämnade alla FE-analyser åt beräkningsingenjören. Den moderne konstruktören däremot förväntas kunna göra enkla FE-analyser i sitt CAD-system samt kommunicera kring avancerade problemställningar och tillhörande resultat med en beräkningsingenjör. 7

Figur : Stångelement..3 Elementtyper Figur 3: Balkelement. Det finns ett stort antal elementtyper, de mest generella programmen har kanske fler än olika element. Vi skall här se på de vanligaste problemtyperna vid hållfasthetsberäkningar och vilka elementtyper som brukar användas. Plant fackverk (D: Ett fackverk (kallas också stångbärverk består av ledade stänger. Stängerna, elementen, kopplas ihop i sina noder, som i detta fall sammanfaller med stängernas leder. Stångelementen tar belastning endast i sin egen riktning. De kan inte böja sig utan förblir raka. För att beskriva fackverkets deformation räcker det att ange förskjutningarna u x och u y i noderna, se Fig. Dessa förskjutningar är de obekanta vid en FE-analys med flera stångelement och utgör alltså modellens frihetsgrader. Stångelementet har alltså två noder och varje nod har frihetsgraderna u x och u y. Plan ram (D: En ram består av balkar som är fast förbundna med varandra (t.ex. svetsade. Ramen delas in i balkelement, Fig 3. Balkelementet kan överföra dragkrafter, tvärkrafter och moment och kommer därför att böja sig. För att beskriva balkelementets deformation krävs därför de tre frihetsgraderna u x, u y och ϕ z i varje nod. Rotationssymmetriskt skal: Exempel på rotationssymmetriska skal är tankar och flaskor. Strukturen delas upp i ett antal koniska skalelement, som har frihetsgraderna u x, u y och ϕ z i varje nod, Fig 4. Plan skiva (D: En skiva karakteriseras av att belastningar och förskjutningar är i skivans eget plan. Det finns flera olika element. Gemensamt för alla är att elementets deformation bestäms av frihetsgraderna u x och u y i noderna. I Fig 5 visas triangulärt skivelement, 6-noders triangulärt skivelement, fyrsidigt skivelement samt 8-noders fyrsidigt skivelement. Element med Figur 4: Rotationssymmetriskt skalelement. 8

Figur 5: Skivelement. Figur 6: Plattelement. noder på kanterna brukar ofta kallas kvadratiska, anledningen återkommer vi till. I figuren har vi alltså bl.a. ett kvadratiskt triangelelement. Plan platta (D: En platta har krafter och belastningar vinkelrät mot plattans plan. Plattan delas in triangulära eller fyrsidiga plattelement. Frihetsgraderna i varje nod är u z, ϕ x och ϕ y. I Fig 6 ses ett triangulärt plattelement och ett fyrsidigt plattelement. Rotationssymmetrisk volym (D: En rotationssymmetrisk volym delas upp i ringelement. Det räcker att rita elementen i ett plan, Fig 7. Problemet blir då tvådimensionellt och mycket likt ett plant skivproblem. Ringelementets deformation beskrivs alltså med samma frihetsgrader i noderna u x och u y. I figuren ses triangulärt ringelement, sexnodigt triangulärt ringelement, fyrsidigt ringelement samt 8-noders fyrsidigt ringelement. Skal (3D: En tunnväggig konstruktion i tre dimensioner (3D med godtyckligt riktad belastning kallas skal och delas in i skalelement. Här måste alla frihetsgraderna u x, u y, u z, ϕ x, ϕ y och ϕ z vara med. Ibland slopas en eller flera rotationsfrihetsgrader i noderna. I Fig 8 visas plant triangulärt skalelement, plant fyrsidigt skalelement samt dubbelkrökt fyrsidigt skalelement. Volym (3D: En tjockväggig konstruktion i 3D, s.k. solid, behandlas som en volym och delas in i volymselement. Volymens deformation beskrivs med frihetsgraderna u x, u y och u z. I Fig 9 visas några exempel på solidelement: tetraederelement, -nodigt tetraederelement, pentaederelement, 5-nodigt pentaederelement, hexaederelement samt -nodigt hexaederelement. Temperaturelement: För temperaturberäkningar finns många olika element. Obekanta är temperaturerna i noderna, se fyrsidigt ytelement i Fig. Varje nod har alltså en frihetsgrad, temperaturen. De flesta av de element som redovisats ovan har en temperaturmotsvarighet, ett element med samma geometri och noder. Detta för att det skall vara möjligt att först 9

Figur 7: Rotationssymmetriskt ringelement. Figur 8: Skalelement. göra en temperaturberäkning och sedan, direkt utan att ändra elementindelningen, göra en spänningsanalys med nodtemperaturerna som indata. Element med samma utseende som ovan används för nästan alla andra typer av analyser, det är bara antalet frihetsgrader per nod som varierar och ges innebörd alltefter problemområde: superelastiska, plastiska, viskoelastiska material, strömning, akustik, elektriska, magnetiska fält, osv. Ibland har man också användning för lite mer speciella element. Masselement används för att ge massa och masströghetsmoment. Elementen ovan brukar kunna ta hänsyn till egentyngd och t.ex. centrifugallaster, men vid dynamisk analys kan detta element ibland vara användbart, Fig. Kontaktelement används vid kontaktytor, Fig. Friktion kan ges. Enkelverkande stångelement med enbart dragstyvhet eller tryckstyvhet, Fig 3. Används för att simulera linor respektive stöttor. En variant är helt stelt, dvs. oändligt styvt. Rörelement finns flera, Fig 4. De tar hänsyn till att tvärsnittet blir ovalt vid böjning och att inre övertryck styvar upp elementet. Segelelement är ett speciellt skalelement med låg eller ingen böjstyvhet, Fig 5. Namnet kommer av att det uppför sig ungefär som en segelduk eller en såphinna..4 Laster Laster beror naturligtvis på vilken typ av analys som görs, men vid vanlig linjär statisk analys är de vanligtvis Punktlaster är punktkrafter och punktmoment. Linjelaster är utbredda krafter som kraft per längdenhet.

Figur 9: Volymelement. Figur : Temperaturelement. Figur : Masselement.

Figur : Kontaktelement. Figur 3: Enkelverkande stångelement. Figur 4: Rörelement. Figur 5: Segelelement.

(a Fast inspänd u x = u y = ϕ z = (b Glidinspänd u y = ϕ z = (c Fritt upplagd u x = u y = (d Glidupplagd u y = Figur 6: Exempel på randvillkor. Ytlaster är tryck, dvs. kraft per ytenhet. Volymslaster är exempelvis egentyngd och accelerationskrafter. Temperaturlaster ger upphov till påkänningar, exempelvis töjning ε = α T. För samtliga laster gäller att de skall ges i noderna. Oftast är indataformatet skonsamt för användaren, t.ex. utbredda laster på en kant eller yttryck matas in som sådana, men programmet räknar om lasten till punktkrafter i noderna, s.k. konsistenta nodlaster. Vi återkommer till detta senare i kursen..5 Randvillkor För att modellen inte ska ge sig iväg under pålagda krafter, s.k. stelkroppsrörelse, måste den låsas fast tillräckligt mycket. Naturligtvis ska man eftersträva att låsa modellen på ett sådant sätt som bäst återspeglar den verklighet man simulerar. Detta görs genom att en eller flera frihetsgrader ges ett föreskrivet värde, s.k. enkla randvillkor (eng. single-freedom constraints, SFC. Ibland behöver man specificera hur frihetsgrader förhåller sig relativt varandra, utan att veta någon absolut referens. Detta brukar kallas kopplade randvillkor (eng. multifreedom constraints, MFC. Just randvillkor brukar vara avgörande för hur bra man lyckas med sin analys. Inte sällan låser man för mycket, med en för styv modell och för höga spänningar som resultat. Här kommer erfarenheten in. Ett inte helt vanligt fel är att man låser modellen för lite och därigenom tillåter någon form av stelkroppsrörelse, t.ex. rotation kring en punkt eller axel. Detta fel resulterar i ett singulärt ekvationssystem, vilket brukar signaleras från aktuellt FE-program att determinanten är noll, nollor på huvuddiagonalen i ekvationssystemet eller att det just är singulärt. Fler låsningar krävs alltså. I Fig 6 ges exempel som torde vara kända från kurs i hållfasthetslära..6 Matematisk försmak Inledningsvis nämndes det, och det är viktigt att komma ihåg, att FEM är en metod som levererar en approximativ lösning. Lösningsansatsen är alltid på förhand bestämd till sin struktur, dvs. det ankommer på FEM att på bästa sätt fixera ett antal konstanter. Naturligtvis vill vi att denna lösning ska avvika så lite som möjligt ifrån den sanna lösningen i det intervall Ω som vi är intresserade av. Det är naturligt att denna avvikelse får bilda den funktion som ska minimeras. Problemet kompliceras av att vi inte enkelt kan teckna avvikelsen som en skillnad mellan två funktioner eftersom vi bara känner den ena funktionen via en differentialekvation. Men som sinnebild kan man tänka sig följande situation, Fig 7, där v är den sanna lösningen och u vår approximativa lösning. Vi vill minimera arean mellan funktionerna, s.k. kontinuerlig minsta kvadratmetod, min (u v dx Ω 3

Figur 7: Kontinuerlig minsta kvadratmetod. Figur 8: Linjär interpolation och kontinuerlig minsta kvadratmetod. Här är u beskriven explicit i hela Ω. Detta är en mycket opraktisk (dålig formulering ur många aspekter och passar dåligt dagens datorer. En bättre metod är att diskretisera Ω i ett ändligt antal element och därmed ett ändligt antal obekanta u, u,..., u n i de n st noderna. Värdet av u i elementen fås sedan genom interpolation. Med t.ex. linjär interpolation har vi alltså nu situationen, Fig 8. FEM går nu ut på att i någon mening bestämma de n nodvärdena u, u,..., u n så att integralen ovan antar minimum. Hur minimeringsproblemet verkligen formuleras återkommer vi till i kapitlet om approximationsmetoder. Först ska vi lära oss att interpolera i elementen så att integralformuleringen blir enkel att handskas med. 4

.7 Övningar. Låt a = (,, 3 T, b = (,, 8 T och c = (, 3, 5 T. Bestäm a b, c a, (b, c, a b, b a, a b c, I cc T samt volymen av den parallellepiped som bestäms av vektorerna 6 a, b och c. Svar: a b = 7, c a = 7, (b, c = arccos( 6 437 4T, 3 6 b a = (,, 4 T, a b c = 33, I cc T = 6 8 5, a b c = 33. 5 4 ( ( ( 6 8. Låt A =, B = och C =. Bestäm A + B, B C, 3 4 7 ( 7 3 A(B + C, (B + CA, ABC, A T A, B, C och C. Svar: A + B =, B C = ( ( ( 3 ( 9 37 97 43, A(B + C =, (B + CA =, ABC =, 5 ( 6 ( 5 5 ( 3 8 3 4 3 A T A =, B 3 =, C =, C 5 53 =. 8 3. Räknelagarna A + B = B + A A(B + C = AB + AC (A + B T = A T +B T (A + B + C = A + (B + C (ABC = A(BC (AB T = B T A T är allmängiltiga ( för matriser ( i den mån operationerna ( får utföras. Verifiera dem i specialfallet A =, B = och C =. 3 3 5 4 4 ( 4. Lös matrisekvationen A X = AX + C då A = och C T = (4, 8. Svar: X T = (,. 5. Lös matrisekvationen XB AXB = C då A = och C =. Svar: X = 39 5. 5 3 (, B = 3 6. Uttryck 5x + x + x ( + x + x x ( på kvadratisk form xt Qx c T x, där Q är 4 5 symmetrisk. Svar: Q =, c =. 4 7. Bestäm determinanten, inversen, egenvärden och normerade egenvektorer till A = ( ( 7 Svar: det A = 4, A =, λ 4 6 = 5, e = 5 (. ( 6 7, λ = 8, e =. 5

8. Bestäm med hjälp av Gauss eliminationsmetod lösningentill ekvationssystemet Kx = F 3 3 5 då K = 6 5 och F =. Svar: x =. 4 4 3 6 8 9. Bestäm den matris, som genom förmultiplikation byter plats på raderna och 3 i en 4x4-matris. Svar:.. Bestäm den matris, som genom eftermultiplikation byter plats på kolumnerna och 3 i en 4x4-matris. Svar:.. Bestäm den matris, som genom eftermultiplikation adderar 3 gånger kolumn 3 och gånger kolumn 4 till kolumn i en 4x4-matris. Svar: 3. ( x + cos x + sin x. Låt M = dm dy dx xe x ( x sin x + cos x = dx d y ( + xe x dx. Bestäm dm och M dx. Svar: dx ( x 3 + x sin x cos x 3 y(x ( + x + C. 4 ex, M dx = 3. Bestäm π 6 sin xdx. Svar: 4 π 4. Beräkna AT B dξ då A =. ξ 3 + ξ + ξ 3ξ 3 + ξ ξ och B T = ( 3ξ +, ξ +,. Svar: 43 5. 5. Skriv på matrisform ( x xt Ax x T P = då x T = (x, x, x 3, ( x T = ( 3 A =, P =. Svar: Ax = P. 3 x, x, x 3, 6. Låt f(x, y = (4x y(3x+5y+. Bestäm f, f, f, f, f, f, f dxdy samt x y x y x y y x de x och y för vilka f antar extremvärde. Svar: f f = 8 + 4x + 4y, = 4 + 4x y, f x = 4, f y =, f x y = 4, f y x = 4, x f dxdy = 8 3 y, sadelpunkt i ( 3, 4 3. 7. Visa att i= k i(x i+ x i kan skrivas på formen xt Kx x T F. Visa sedan att detta uttryck antar minvärde i den punkt som bestäms av ekvationssystemet Kx = F. 6

Interpolation, avbildning. Inledning Figur 9: Linjär interpolation i ett element. Antag att vi känner en funktion u i ett antal diskreta punkter x, x,..., x n, s.k. stödpunkter. Motsvarande funktionsvärden kallar vi för u, u,..., u n. Om vi söker u mellan stödpunkterna måste vi göra en interpolation. Detta kan göras på flera sätt, men speciellt måste u i = u(x i. I många sammanhang, bl.a. vid FEM, gör man en s.k. lokal anpassning i varje intervall I k = [x k, x k+ ] med ett polynom ũ k av lågt gradtal, linjärt eller kvadratiskt. Vi säger sedan att u är styckvis definierad av ũ k i intervallen I k. Jämför t.ex. absolutbeloppsfunktionen x som har olika beskrivning beroende på vilket av intervallen x < och x vi befinner oss. När man talar om intervall i allmänhet brukar det inte leda till någon förvirring om man istället för det lite pyntade ũ k säger u istället. Vi slopar därför tilde och subindex i fortsättningen.. Interpolation och basfunktioner Vid linjär interpolation måste vi bestämma koefficienterna i polynomet u(x = kx + m för varje intervall (element ovan, t.ex. I = [x, x ], Fig 9. Funktionsvärdena i stödpunkterna är kända och är tillräckliga villkor för att kunna bestämma k och m. Vi får ekvationssystemet { u = kx + m varav k = u u x x och m = u kx, dvs. u = kx + m u(x = u u x x x + u u u x x x Detta uttryck kan omskrivas till mer passande form (gör det! u(x = x x x x } {{ } N (x u + x x x x } {{ } N (x u = N (xu + N (xu = N i (xu i = N u i= Vi kan alltså uttrycka u som en linjärkombination av u:s värde i stödpunkterna. I FEsammanhang väljer vi att kalla dessa stödpunkter för noder. Funktionerna N och N kallas för basfunktioner (eng. shape functions, Fig, och är grundläggande för elementanalysen. 7

Figur : Linjära basfunktioner i ett element i verkliga rummet. Figur : Koordinater i parameterrummet och verkliga rummet för ett element. Dessa brukar av praktiska skäl paketeras i en radvektor N = (N, N. Av någon anledning har vi som praxis att en vektor av funktioner lagras som en radvektor, medan en vektor med variabler får bilda en kolonnvektor. I FEM används ofta dimensionslösa koordinater, Fig. Inför ξ [, ] enligt x = x + x + ξ x x så kan basfunktionerna skrivas (genomför kalkylen!, Fig. { N (ξ = ( ξ N (ξ = ( + ξ Vi ser att de har den viktiga egenskapen att vara ett i sin nod och noll i övriga { om i = j N i (ξ j = om i j Den linjära kombinationen u = N u = i= N i(ξu i ovan kan ses som en avbildning(funktion från parameterrummet ξ till det verkliga rummet u. Anledningen till att man inför dimensionslösa koordinater är att det är enklare att arbeta i parameterrummet än i det verkliga rummet. Man får bl.a. ett enhetligt och enklare sätt att behandla derivator och integraler, Figur : Linjära basfunktioner i parameterrummet, N (ξ = ( ξ, N (ξ = ( + ξ. 8

som ju differentialekvationer består av, samt ett lokalt koordinatsystem i varje element som underlättar elementanalysen. Vi behöver alltså samband mellan derivator i de två rummen. Vi får du dx = d dx ( N i u i = dn i dx u i Kopplingen mellan derivator i de två rummen tas om hand av kedjeregeln dn i dξ = dn i dx dx dξ = dn i dx J dn i dx = dn J i dξ där dx kallas Jacobianen, J. Skrivs fet eftersom den egentligen är en matris. Man kan tolka dξ denna som skalfaktorn mellan karta och verklighet, och är alltså en rent geometrisk storhet. Eftersom speciellt x självt interpoleras isoparametriskt fås J = dx dξ = {x = N i x i } = dn i dξ x i = dn dξ x där x är en punkt i elementet och x en kolonnvektor med nodernas koordinater. Exempel.: Avbildningen u = N u = i= N i(ξu i från parameterrummet till det verkliga rummet är mycket viktig. Som nämndes i inledningen används nästan alltid s.k. isoparametrisk formulering, dvs. allt interpoleras på samma sätt, t.ex. geometri x = N x, elasticitetsmodul E = N E, area A = N A och väsentliga storheter u = N u. Avbildningen utgör den enda vägen mellan rummen! Enklast är naturligtvis att gå från parameterrummet, eftersom kalkylen blir rättfram. Som exempel kan vi bestämma det x som motsvarar ξ = för ett linjärt 4 element med noderna i x = och x = 3 och basfunktionerna N = ( ( ξ, ( + ξ. x = N x = ( ( x N N = ( x ( ( + ( = 9 4 4 3 8 Att gå från verkliga rummet till parameterrummet innebär däremot att vi alltid måste lösa en ekvation. Vilket ξ motsvarar x = i elementet ovan? Vi får = N x = ( ( x N N = ( x ( ξ ( + ξ ( 3 = ( ξ ( + ( + ξ 3 = (5ξ + ξ = 3 5 Alltså motsvarar ξ = 3 i parameterrummet x = i verkliga rummet. 5 Eftersom basfunktionerna är polynom och vi ofta kommer att integrera dem kan det vara bra att ha en lathund för detta. Fördelen med parameterrummet är bl.a. att integrationsgränserna alltid är och, varför ξ n dξ = [ ξn+ n + ] = ( n+ n + = + ( n n + = { n+ om n är jämn om n är udda Exempel.: Bestäm 3ξ4 5ξ + 7dξ med hjälp av lathund. Vi får direkt 3ξ 4 5ξ + 7 dξ = 3ξ 4 5ξ + 7ξ dξ = 3 4 + 5 + 7 + = 76 5 9

(a N = ξ( ξ (b N = ( + ξ( ξ (c N 3 = ξ( + ξ Figur 3: Kvadratiska basfunktioner i parameterrummet. Lägg speciellt märke till integration av en konstant. Vi har ju nämligen enligt potenslagarna att ξ = alltid, varför k dξ = k dξ = kξ dξ = k = k + Exempel.3: Bestäm dn NT dξ där N = ( ( ξ, ( + ξ är basfunktionerna. Vi får dξ dn NT dξ = ( ( ( ξ ( dξ ( + ξ dξ = + ξ ξ dξ = 4 ξ + ξ ( = {lathund} = + ( + + 4 + = + + Integraler av denna typ, där integranden byggs upp som produkter av basfunktioner och dess derivator, är fundamentala i FEM och återkommer ständigt i kommande kapitel. Notera speciellt det viktiga att alla matrismultiplikationer måste utföras innan man integrerar! Exempel.4: Bestäm EA x x B T B dx, om B = dn och N = ( ( ξ, ( + ξ. Om vi nu dx låter L beteckna elementets längd, dvs. L = x x, så blir Jacobianen och J = dx dξ = dn i dξ x i = x + x = (x x = L dx = L dξ B = dn dx dn = J dξ = ( L Slutligen gör vi så variabelsubstitutionen x ξ EA x x B T B dx = EA ( L ( = EA L ( L L = EA L ( = L ( EA dξ = L ( dξ vilket i kapitel 3 kommer att kännas igen som en styvhetsmatris. Vi behöver inte begränsa oss till linjär interpolation. I själva verket är det fritt fram att välja gradtal, men större än två är ovanligt. Kvadratisk interpolation, dvs. gradtal två, är däremot vanligt. Man brukar tala om högre ordningens element. Fördelen med dessa är att ränderna på elementet lättare anpassar sig till krökta ränder, och därmed lösningen. Detta betyder i allmänhet att vi behöver färre element för att uppnå önskad noggrannhet. För att kunna bestämma alla koefficienterna i basfunktionerna måste vi ha lika många noder i elementet som gradtalet+ och utnyttja egenskapen att N i (ξ j är ett i nod ξ i och noll i övriga. Exempelvis har vi basfunktionerna för ett endimensionellt kvadratiskt 3-noders element enligt Fig 3. Det fina är att avbildningen mellan rummen går till på precis samma sätt som för det linjära elementet, dvs. u = N u = n+ i= N i(ξu i, där n är gradtalet på elementet. All elementanalys

blir därmed helt analog med vad vi lärt oss i det linjära fallet. Enda skillnaden är att ingående vektorer får en annan längd. Gör gärna om kalkylen i exempel.4 för ett endimensionellt kvadratiskt 3-noders element! (Se övn. Exempel.5: När man går från verkliga rummet till parameterrummet i ett element med kvadratisk interpolation måste de två lösningarna ξ, kontrolleras mot intervallet [, ]. Som exempel söker vi det ξ som motsvarar x = i ett element med nodkoordinaterna x = ( 3, 4, 8 T och basfunktionerna N = (N, N, N 3 = ( ξ( ξ, ( + ξ( ξ, ξ( + ξ. Vi får = N x = ( ξ( ξ ( + ξ( ξ ξ( + ξ = ( 3ξ + ξ + 8 ξ = 3, ξ = 4 3 4 8 Här är det ξ som duger eftersom ξ ligger utanför godkänt intervall. Det kan hända att båda lösningarna ligger i [, ]. I så fall existerar inte någon invers till avbildningen. Exempelvis om x = (, 5, 6 T, så genereras x = 6 7 av både ξ = och ξ = 4. För att garantera entydighet 5 måste x [x + (x 4 3 x, x 3 (x 4 3 x ]. Tydligen uppfyllt för x = ( 3, 4, 8 T, men inte för x = (, 5, 6 T..3 Något om två och tre dimensioner I två dimensioner (D är analysen helt analog med den i en dimension x = N i (ξ, ηx i y = N i (ξ, ηy i På samma sätt som tidigare behöver vi bestämma Jacobianen för att få ett samband mellan derivatorna i de två rummen. Kedjeregeln får nu utseendet eller på matrisform där Jacobianen J = ( x ξ x η ( Ni ξ N i η y ξ y η N i = N i x + N i y ξ x ξ y ξ N i = N i x + N i y η x η y η = ( x ξ x η y ξ y η ( Ni x N i y och t.ex. x ξ = N i ξ x i = N ξ x osv. Vidare är determinanten varför inversen blir det(j = x y ξ η x η ( J = y η det(j x η y ξ y ξ x ξ och slutligen kopplingen mellan derivator i de två rummen ( Ni ( Ni x N i = J ξ N i y η

Figur 4: Linjärt triangelelement. Figur 5: Linjärt fyranoderselement. Vi har nu fått ett enhetligt och effektivt sätt att överföra och beräkna derivator och integraler i parameterrummet för både en- och tvådimensionella problem. Vill man ha solida volymselement i tre dimensioner (3D tillkommer z och ζ i respektive rum, annars är kalkylen identisk med den ovan för D. Speciellt uppskattar vi i två och tre dimensioner att integrationsområdet är fyrkantigt i parameterrummet samt att integrationsgränserna alltid är desamma, nämligen och. Tänk på att elementarean A e eller elementvolymen V e, som dubbel- respektive trippelintegralen skall utsträckas över, nästan alltid är oregelbundna. I alla praktiska sammanhang är analysen därför omöjlig att genomföra i verkliga rummet. Vid evalueringen av integralerna används dessutom oftast numerisk integration, vilket kräver dessa standardiserade integrationsområde. Vi återkommer till detta senare. FE-programmen tillbringar alltså mycket tid i parameterrummet, evaluerande transformationer av typen x x f(xdx = f( N i (ξx i det(jdξ A e f(x, ydxdy = f( N i (ξ, ηx i, N i (ξ, ηy i det(jdξdη V e f(x, y, zdxdydz = f( N i (ξ, η, ζx i, N i (ξ, η, ζy i, N i (ξ, η, ζz i det(jdξdηdζ Vanliga tvådimensionella element är linjär triangel, Fig 4. N T = ξ η ξ η och bilinjärt 4-noders element, Fig 5. N T = 4 ( ξ( η ( + ξ( η ( + ξ( + η ( ξ( + η

Figur 6: Skalelement. Naturligtvis kan vi även i D fallet konstruera element med kvadratisk interpolation, 6-noders triangel och 8-noders fyrhörning. Dessa kan dessutom, liksom de linjära ovan, representera skalstrukturer i rymden, 3D. Man avbildar då z-koordinaten på samma sätt som x och y, Fig 6. Avslutningsvis återstår bara att nämna det som läsaren förmodligen redan listat ut, nämligen att alla element, t.ex. de i avsnitt.3, konstrueras utgående från samma enhetliga recept med avbildningen u = N u som huvudingrediens..4 Övningar. Härled basfunktionerna N = (N, N för ett linjärt endimensionellt element, Fig. Beräkna värdet av N ( 3 4 och N (. Svar: N ( 3 4 = 8, N ( = 4.. Ett linjärt element har sina noder i x = och x = 3. Vilket värde har ξ i punkten x =? Svar: ξ = 5. 3. Bestäm för ett linjärt element, dvs. N = ( ( ξ, ( + ξ och x = N i x i, Svar: a (, b 4. Bestäm L a N dx b 5 dn T dn dx c N T dn dx d 3 dx dx 5 dx dn T dx {EA(x dn dx (, c ( }dx för ett linjärt element, ( där arean A(x varierar isoparamet-. riskt med A( = A och A(L = A. Svar: E(A +A L, d 4 3. NNT dx 5. Härled N = (N, N, N 3, för ett endimensionellt kvadratiskt element, Fig 3. 6. Bestäm Jacobianen J i punkten ξ = för ett endimensionellt kvadratiskt element med noderna i x = (,, 5 T. Svar: J( = 3. 3

Figur 7: Fjäderelement. 7. Bestäm Jacobianens värde i punkten x = 3 för ett endimensionellt kvadratiskt element 4 med noderna i x = (, 5, T. Svar: J(x= 3 = 3. 4 8. För ett endimensionellt kvadratiskt element med noderna i (, a, 5 T vill man att Jacobianen i ξ = skall vara lika med arean under N i parameterrummet. Bestäm a så att detta uppfylls. Svar: a = 3. 9. Visa att om mittnoden placeras i mitten på ett kvadratiskt element, dvs. x = x +x 3, blir J = x 3 x = konstant.. ( Bestäm ( Jacobianen ( J, det(j och arean ( A för ett linjärt triangelelement med hörnen i 4 3 5, och. Svar: J =, det(j = 7, A = 7 6 det(j = 7. ( ( ξ. Bestäm Jacobianen J och det(j i punkten = för ett bilinjärt 4-noderselement ( ( ( ( η 4 ( 4 6 3 9 med hörnen i,, och. Svar: J = 4 7, det(j = 8 8 8 9.. Gör om exempel.4 ovan med EA x 3 x B T B dx för ett kvadratiskt element med x = x +x 3 7 8 Svar: EA 8 6 8. 3L 8 7 3 Energimetod, matrisformulering 3. Potentiell energi Studera en fjäder fast inspänd i ena ändan, Fig 7. Det brukar vara praxis att placera nodnummer inom fyrkantig ram och elementnummer inom rund ram. Om u är förskjutningen i den fria noden kan vi teckna den potentiella energin för systemet W (u = ku F u där första termen är den inre (upplagrade töjningsenergin i fjädern och den andra är yttre lastens potential. Skilj på förskjutning som är förflyttning av en punkt relativt ett fixerat globalt koordinatsystem och deformation som är ett mått på hur två punkter förflyttas relativt varandra. Observera att alla förskjutningar och laster är vektorer, varför de anges och beräknas med tecken motsvarande vårt globala koordinatsystem.. 4

Figur 8: Två fjäderelement i serie. För att komma vidare måste man känna till en mycket viktig sats från hållfasthetsläran om energimetoder, nämligen den om potentiella energins minimum. Sats: En kropp deformeras under belastning så att förskjutningsfältet minimerar den potentiella energin samtidigt som randvillkoren uppfylls. Förskjutningsfält är samlingsnamnet på hur varje punkt i modellen förskjuts under belastningen. Från analyskursen känner vi till att söka minimum är det samma som att söka nollställe till derivatan, vilket ger oss vanlig kraftjämvikt som sig bör 3. Assemblering dw du = ku F = u = F k Med förskjutning i fjäderns båda noder kan W tecknas W = k(u u F u F u Nu har vi två oberoende variabler och nödvändigt villkor för minimum är att båda partiella derivatorna ska vara noll { W u = k(u u F = W u = k(u u F = eller på matrisform, elementstyvhetssambandet ( ( ( k k k e kallas elementstyvhetsmatris u F = där u k k u F e kallas elementförskjutningsvektor } {{ } } {{ } } {{ } F e kallas elementlastvektor k e u e F e Nu gör vi om analysen med två seriekopplade fjädrar med olika fjäderkonstanter, dvs. två element, Fig 8. Potentiella energin W för de två fjädrarna blir nu summan av dem, W respektive W. Lasterna som verkar på noderna ser vi som bidrag från respektive element. Om det varit balkar kunde det t.ex. varit snölast W = k (u u F u F u W = k (u 3 u F u F u 3 och som ovan W u = k (u u F = W u = k (u u k (u 3 u F F = W u 3 = k (u 3 u F = 5

eller på matrisform, strukturstyvhetssambandet k k u F k k + k k u = F + F k k u 3 F } {{ } k } {{ } u } {{ } F k strukturstyvhetsmatris där u strukturförskjutningsvektor F strukturlastvektor Detta sätt att strukturellt addera bidragen från elementsambanden in i strukturstyvhetsmatrisen och strukturlastvektorn kallas assemblering. För att underlätta hanteringen brukar man tala om ett elements lokala nodnummer. Det är dessa lokala noder som basfunktionerna lever på. På så vis kan vi på ett enkelt sätt tala om element i allmänhet utan att de är utplacerade i den globala strukturen, där vi har globala nodnummer. Översättningen från lokala till globala nodnummer brukar kallas topologi, och är alltså en information där vi kan utläsa vilka noder varje element sitter fast i. Man brukar ibland säga att elementet hänger i noderna.... I modellen ovan med två fjädrar har alltså element sina lokala noder och placerade i globala noderna och och element sina lokala och i de globala och 3. Koefficienterna i k e skall alltså adderas in i k på skärningen mellan radnummer och kolonnummer motsvarande de globala nodnumren. F e i F på motsvarande rader naturligtvis. Assemblering är det faktiska sättet som FE-program använder, vägen via potentiella energin ska mer ses som en härledning till något mera systematiskt som är lätt att implementera i en dator. k och F dimensioneras alltså efter antalet frihetsgrader i systemet (k alltid kvadratisk! och fylls med nollor. Om vi t.ex. ska bestämma temperaturen i en kropp har vi en frihetsgrad per nod, dvs. antalet frihetsgrader = antalet noder. Om vi däremot ska bestämma spänning och töjning i en skiva (D har vi förskjutning i x och y led som frihetsgrader i varje nod, dvs. antalet frihetsgrader = x antalet noder. Exempelvis kommer kolonn 7 och 8 samt rad 7 och 8 i k då att associeras med frihetsgraderna i global nod 4. Därefter genomlöps alla element, k e och F e beräknas och adderas in på rätta ställen i k och F. Slutligen adderas alla yttre laster till F. Skilj på dessa och F e! Yttre lasterna kommer utifrån och belastar strukturen direkt i noderna. F e är sådana som kommer via elementen in till noderna. Det kan vara en hårfin skillnad men F e kräver i alla fall information om elementets egenskaper, t.ex. geometri, densitet och elasticitetsmodul för att kunna bestämmas. Dessa kallas ibland konsistenta nodlaster, vilket vi återkommer till. Exempel på sådana är utbredda laster, centrifugallast och temperaturlast. I Fig 9 ser vi tydligt hur det går till att assemblera tre element av olika utseende då vi har en frihetsgrad per nod. Globala nodnummer är angivna utanför elementen och lokala inuti. Vidare används (elementnummer som superindex på elementstyvhetsmatrisernas element och på elementlastvektorernas komponenter. k ( k ( k ( k ( } {{ } element + k ( k ( 3 k ( k ( 3 k ( 33 k ( 3 k ( k ( 3 k ( } {{ } element + 6

och till slut k (3 33 k (3 3 k (3 3 k (3 34 k (3 3 k (3 k (3 k (3 4 k (3 3 k (3 k (3 k (3 4 k (3 43 k (3 4 k (3 4 k (3 44 Figur 9: Assemblering av element. } {{ } element 3 = F ( F ( } {{ } element + k (3 33 k (3 3 k (3 3 k (3 34 k ( +k ( k ( k ( 3 k ( k (3 3 k (3 k (3 k (3 4 k (3 3 k ( k (3 k ( +k (3 k (3 4 k (3 43 k ( 3 k (3 4 k (3 4 k ( 33 +k (3 44 k ( 3 k ( k ( 3 k ( F ( F ( 3 F ( } {{ } element = + F (3 3 F (3 F (3 F (3 4 } {{ } element 3 F (3 3 F ( +F ( F (3 F ( +F (3 F ( 3 +F (3 4 F ( Detta strukturstyvhetssamband saknar lösning, dvs. det är singulärt, på grund av att det innehåller stelkroppsrörelse. För att det ska bli lösbart måste vi applicera randvillkor, dvs. föreskriva värden hos en eller flera frihetsgrader. Det har då en entydig lösning u, och vi döper u = N u till förskjutningsfält. Entydigheten grundar sig på den tidigare nämnda potentiella energin som är en s.k. kvadratisk form. För andra problemtyper är entydigheten inte alltid självklar. W (u = ut ku u T F W u = ku = F Exempel 3.: Bestäm förskjutning i nod och 3 samt reaktionskraften i nod, Fig 3. Vi får direkt k e = ( F e = ( ( k e = 5 F e = Assemblering: En frihetsgrad per nod. Första elementets lokala noder och motsvarar globala och. Andra elementets lokala noder och motsvarar globala och 3. Glöm inte den yttre 7 (

Figur 3: Modell med två fjäderelement. lasten N i nod 3, samt reaktionskraften i nod. + 5 5 5 5 Inför randvillkoret u = och eliminera denna rad. ( ( ( 5 5 u + 5 5 u u u 3 = u 3 = R ( varav ( ( u = mm u 3 3 Slutligen erhålles reaktionskraften (och alla andra nodlaster genom matrismultiplikationen ku = + 5 5 5 5 3 = N Lägg märke till att alla förskjutningar och laster är vektorer, varför de anges och beräknas med tecken motsvarande vårt globala koordinatsystem. Strängt taget är det inte nödvändigt att ta med den okända reaktionskraften R i nod från början (yttre last. Anledningen till att denna inte behöver tas med är det faktum att för varje frihetsgrad, dvs. varje rad, i systemet måste antingen frihetsgraden själv föreskrivas eller lasten på högersidan, inte båda utan exakt en. Den andra beräknas sedan av ekvationssystemet. Två kontroller på att man räknat rätt är enkla att göra och bör därför alltid göras! För det första ska alla kända nodlaster på högersidan återskapas vid matrismultiplikationen ku och för det andra ska ju summan av alla nodlaster vara noll. Annars har vi stelkroppsrörelse. Här är som synes båda kontrollerna uppfyllda. Exempel 3.: Bestäm förskjutning i nod i exemplet ovan, samt reaktionskraften i nod och 3 om nod 3 föreskrivs en förskjutning u 3 = mm och en kraft N angriper i nod, Fig 3. Eftersom strukturen är densamma är det bara högerledet som ändras. + 5 5 5 5 u u u 3 Inför randvillkoren u = och u 3 =. Rad ger direkt = + 5u 5 ( = R R 3 varav u = 5 mm 8

Figur 3: Modell med två fjäderelement och förskjutningsrandvillkor. Figur 3: Modell med tre fjäderelement. Slutligen erhålles reaktionskrafterna (och alla andra nodlaster genom matrismultiplikationen ku = + 5 5 = N 5 5 5 Glöm inte kontrollerna! Exempel 3.3: Bestäm förskjutning i nod och 3, samt( reaktionskraften i nod och 4 om en kraft på N angriper i nod 3, Fig 3. Med k e = k som vanligt får vi assembleringen u R + + 3 3 u u 3 = 3 3 u 4 R 4 Inför randvillkoren u = och u 4 =. Rad och 3 ger direkt { + 6u u 3 3 = u + u 3 + = varav ( u u 3 = 5 Slutligen erhålles reaktionskrafterna (och alla andra nodlaster genom matrismultiplikationen 5 ku = + + 3 3 5 5 = N 3 3 5 9 ( 3 mm

Figur 33: Stångelement. Glöm inte kontrollerna! Exempel 3.4: Härledning av elementstyvhetssambandet för en vanlig stång, Fig 33. dσ jämvikts samband = dx töjning-förskjutnings samband ε = du dx d u dx = konstitutivt samband σ = Eε Denna differentialekvation integreras direkt till u = c x + c. Integrationskonstanterna ges av randvillkoren u( = u, u(l = u, varav u = u + u u du x. Vi ser att töjningen ε = = L dx u u är konstant (och därmed spänningen. Med hjälp av definition på spänning, σ = F, och L A konstitutiva sambandet ovan får vi till slut elementstyvhetssambandet för stången ( ( ( EA u F = L u F Vi känner igen en fjäder med fjäderkonstanten k = EA. Element med konstant töjning var de L första elementen man använde. Det två dimensionella triangelelementet är klassiskt och kallas CST (Constant Strain Triangle. Se nästa avsnitt. 3.3 Triangelelementet CST (Constant Strain Triangle När man ska härleda elementstyvhetssamband för mer komplicerade element inom hållfasthetsläran utgår man ofta från energisamband. I fallet ovan med ε-konstant stång blir det enkelt { W = inre töjningsenergi + yttre lasternas potential varav efter integration W = EA L ε dx u T F W (u, u = ( EA u u L u F u F L Detta kan skrivas på matrisform (visa detta! W (u, u = ( u u EA L ( ( u u ( u u ( F F 3

Figur 34: CST-element. dvs. vi har den kvadratiska formen enligt ovan W (u = ut k e u u T F e W u = k eu = F e När vi har ett flerdimensionellt problem är töjningen ε inte längre en skalär utan en matris. Den potentiella energin får nu istället formen W = ε T DεdV u T fdv V där D är den konstitutiva matrisen, dvs. löst talat Hookes lag σ = Eε i flera dimensioner, och f volymslaster, allt integrerat över den kropp man studerar. Liksom för stången ovan döljer sig elementstyvhetsmatrisen i den första integralen. Vi ska härleda denna för ett triangulärt skivelement (D med linjär förskjutningsansats och konstanta materialparametrar. Töjningarna kommer då liksom i exemplet ovan att bli konstanta i elementet, därav namnet CST (Constant Strain Triangle. Detta var ett av de första elementen som såg dagens ljus i mitten av 5-talet. Det betraktas därför som lite klassiskt och används än i dag med framgång. Vi skall alltså studera CST-element, Fig 34, utlagt i planet med tillhörande koordinatsystem. För att kunna beskriva läget för en nod behöver vi två oberoende förskjutningsfrihetsgrader, kalla dem u i x-riktningen och v i y-riktningen. Vi har därmed två frihetsgrader per nod. Elementet har alltså totalt sex frihetsgrader och vi samlar dem i en elementförskjutningsvektor q = (u, v, u, v, u 3, v 3 T Eftersom vi har linjär förskjutningsansats kan vi direkt hämta basfunktionerna från avsnitt.3, Fig 4, N ξ N T = N N 3 = η ξ η Som vanligt använder vi isoparametrisk formulering, dvs. alla storheter i elementet interpoleras på samma sätt. Fortsättningen följer nu precis upplägget i avsnitt.3. Vi börjar med V 3

avbildningen från parameterrummet till verkliga rummet av elementets koordinater x = x N i (ξ, ηx i = N x + N x + N 3 x 3 = N x = N x y = N i (ξ, ηy i = N y + N y + N 3 y 3 = N sedan på samma sätt förskjutningar i elementet u = N i (ξ, ηu i = N u + N u + N 3 u 3 = N v = N i (ξ, ηv i = N v + N v + N 3 v 3 = N x 3 y y y 3 u u u 3 v v v 3 = N y = N u = N v Vi drar oss till minnet Jacobianen J = ( x ξ x η y ξ y η där t.ex. x ξ = N i ξ x i = N ξ x osv. som i vårt linjära element blir konstant (visa detta! ( x x J = 3 y y 3 x x 3 y y 3 Jacobianen hjälper oss nu att koppla derivator av vilken storhet som helst ( mellan de två rummen. ( ( x = J ξ y η Från hållfasthetslära vet vi att spänningen σ T = (σ x, σ y, τ xy och töjningen ε T = (ε x, ε y, γ xy kopplas via det konstitutiva sambandet σ = Dε, där den konstitutiva matrisen D vid plant spänningstillstånd har utseendet och vid plant deformationstillstånd D = D = E ν E( ν ( + ν( ν ν ν ν ν ν ν ν ν ( ν där som vanligt E är elasticitetsmodulen och ν Poissons tal. Slutligen kopplas töjningen till förskjutningarna i elementet enligt ε = u x v y u y + v x 3