Glimtar ur matematikens historia HARRY LINDHOLM I tidigare nummer av Nämnaren har det förekommit artiklar, som behandlat gångna tiders matematik. Nu senast har Jan Thompson givit svar på frågan "Vad kan vi lära av matematikens historia?". Vi har bett Harry Lindholm, nyligen pensionerad lektor vid Malmö latinskola, att ge sin version av matematikens historia. Här följer en redogörelse för den långa tiden före grekernas intåg på arenan 600 f Kr. Matematiken har utvecklats ur praktiska behov, men det tycks redan för tiotusentals år sedan ha funnits människor, som fascinerats av matematiska problem utan praktisk anknytning och som givit sig tid att syssla med dem. Fynd av brända lerkärl visar att man mycket långt tillbaka i tiden prytt sina nyttoprodukter med punkter, streck, båglinjer och vinklar. Vid vävning har arbetet med mönster lett till en djupare förståelse av sambandet mellan form och tal: antalet trådar bestämde mönstrets utseende. Att de jämna talen givits en speciell innebörd, kanske magisk, kan bl a hällristningarna i bronsåldersgraven i Kivik från tiden 1500 1000 f Kr tyda på. Det tycks inte vara enbart en önskan om symmetri som gör att man har grupper om två, fyra, sex och åtta. Talbegreppet Utvecklingen av talbegreppet har säkert skett gradvis. Nomadiserande stammar i Afrika, Australien och Sydamerika, vars språk undersöktes för hundra år sedan, hade ofta endast ord för ett och två, allt därutöver var "många". Hos de flesta folk har det emellertid redan vid tiden för de första skrivna vittnesbörden funnits ett utvecklat sätt att ange tal. På grund av att handen har fem fingrar har talsystemen oftast haft basen fem eller tio, någon gång som i danskan och franskan tjugo. Det har funnits språkforskare som ansett att indo-europeiska räkneord tyder på att man ibland räknat i sekvenser av åtta. Det viktigaste steget i människans historia togs då hon började hålla husdjur och odla säd och andra växtslag. De som idkade jordbruk sammanslöt sig i byar för att skydda sina livsmedelsförråd av säd, olivolja m m mot nomadiserande stammar. Kring de befästa förrådshusen växte sedan städer upp, speciellt i floddalarna, där den ständiga gödslingen genom nytt slam vid årliga översvämningar gjorde produktiviteten hög. Den blev så hög att inte alla vuxna behövde arbeta i jordbruket för att man skulle få tillräck-
ligt med mat. Det uppstod nya yrkesgrupper, som fick ansvaret för skötseln och skyddet av förråden. Byteshandel mellan jordbrukare och nomader gjorde att städerna utvecklades till handelscentra, som behärskade omgivande landsbygd. Som en följd av denna process uppstod behovet av bokföring. Tecken för antal, varuslag och ägare uppkom. De äldsta fynden av skrift är bokföringar, som man funnit i städer på Kreta och i floddalarna. De är från tiden ca 3500 f Kr. In- och utleveranser av varor från förråden medförde ett behov av att åtminstone de som skötte förråden och handeln kunde skriva och utföra enkla räkneoperationer. Fornegyptisk matematik Bland de byggnadsverk som människor åstadkommit är det väl få som väckt större beundran än Egyptens tre stora pyramider. Det är en fantastisk precision och symmetri i deras utformning. De avslöjar att deras arkitekter haft goda kunskaper i astronomi och räkning och att man kunde utnyttja sina enkla mätredskap så att man uppnådde en närmast otrolig noggrannhet vid längd- och vinkelmätningar. Det regelbundna upprepandet av händelser på himlavalvet måste tidigt ha visat människorna att det finns lagbundenheter i naturen och lockat dem att söka efter sådana som inte var så uppenbara. Månens växlande utseende har tidigt använts för tidmätning. Alla kulturer syns åtminstone under sina mest primitiva stadier ha använt månkalender. De regelbundet återkommande översvämningarna och regelbundenheter i regntid och torrtid och djurens sexualliv kopplades samman med himlafenomenen. Tanken att himlakropparna kan styra förhållandena på jorden hjälpte till att skapa ett prästerskap, som bevakade himlafenomenen och som bevarade och förde vidare ett samlat vetande, först i muntlig och sedan i skriftlig form. Funderingar kring bokföringen av astronomiska händelser ledde sedan till att man gjorde beräkningar med utgångspunkt från sina observationer. En tredje verksamhet som stimulerade matematikens utveckling var planeringen av de allt fler och allt större byggnader som stadslivet förde med sig. Redan ca 3000 f Kr hade man insett fördelen med att arbeta med soltorkade tegel i form av rätblock, som alla hade samma storlek. Byggnadsverksamheten ledde också till att man gjorde skalenliga ritningar av byggnader och stadsplaner (början till likformighetslära). De äldsta fynden är från ca 2250 f Kr. De tre stora pyramiderna byggdes under perioden 2684 2560, då den egyptiska kulturen hade sin första höjdpunkt. Numera tror man inte att de byggdes av slavar utan att det var jordbrukare, som under de tre annars sysslolösa månaderna mellan sådd och skörd lockades att arbeta med pyramidbyggen vid Giza. Man har där funnit byggnadsrester, som kan ha varit bostadskaserner och förråd för livsmedel. Kanske de flesta arbetade med både glädje och stolthet över vad de åstadkom, liksom våra kyrkobyggare tycks ha gjort under medeltiden. Utvecklingen ledde till att befolkningen på landsbygden runt om städerna blev allt mer beroende av en överklass i dessa, som organiserade byggnadsverksamhet, bevattning, sådd och skörd, lagring av livsmedel och det militära skyddet av lagren. Dessa organisatörer behövde till sin hjälp personer som kunde räkna och skriva. Man vet att det redan under Egyptens andra storhetstid 2066 1788 fanns en särskild skola för utbildning av skrivare. Under denna period gjordes vattenregleringar varigenom man fick tusentals kvadratkilometer ny åkerjord. Man fick hantverksskrån och en stor medelklass. Från denna tid finns en ganska stor mängd litteratur på papyrus bevarad. Senast 2500 hade man börjat framställa blad av papyrus till att skriva på. Bland fynden finns en papyrus, som innehåller den äldsta kända yrkesvägledningen. Den är utformad som ett brev från en far, som vill förmå sin son att börja i en skrivarskola. Han påpekar olägenheten med att vara smed (smutsigt arbete), jordbrukare (hårda, långa arbetsdagar),
vävare (jäktas av arbetsledare) eller fiskare (uppätas av krokodiler). Den man som kan skriva är däremot förmer än alla dessa. Han får arbeta i kungens kansli och äta mat från kungens hus. Det finns inte mycket material som belyser räknekonsten i det gamla Egypten. De samlingar av räkneexempel man funnit har troligen i flera fall använts vid utbildningen av skrivare. Den mest omfattande är skriven av Ahmose, den äldste räknemästare vi känner namnet på. Han kallar sig själv "skrivare" och av hans uppgifter framgår att skriften tillkommit ca 1650, men han omtalar att han kopierar en två hundra år gammal text. Papyrus är ett material, som i kontakt med luft, liksom vanligt papper, är föga hållbart. Papyrusskrifter har därför normalt bara haft en livslängd på ett par hundra år. Förutsättningen för att deras innehåll skulle överföras till kommande generationer var därför att de skrevs av gång på gång. De papyrusskrifter som vi känner till har bevarats tack vare Egyptens torra klimat och att de haft föga kontakt med luft. Den papyrus som Ahmose skrev innehåller 84 räkneproblem med lösningar. De visar hur man utförde multiplikationer och divisioner, räkning med bråk, lösning av enkla ekvationer samt beräkningar av ytor och volymer. Egyptierna hade ett decimalsystem för hela tal. De hade beteckningar för tio, hundra, tusen osv. För bråk, utom för två tredjedelar, som hade en särskild beteckning, använde de enhetsbråk, dvs en halv, en tredjedel, en fjärdedel osv. För att ange tre fjärdedelar skrev de en halv + en fjärdedel, för att ange nitton tjugondelar skrev de en halv + en fjärdedel + en femtedel. Multiplikation utfördes genom fördubblingar och additioner. I uppgift nummer 32 visar Ahmose hur man skall multiplicera 12 med 12. Med våra sifferbeteckningar skrev han 1 12 2 24 4 48 8 96 varefter summan av 4 gånger 12 och 8 gånger 12 gav 144. Denna metod för multiplikation användes i antikens Grekland och tillämpades även under medeltiden i Europa. I nr 69 visas hur man dividerar 1120 med 80. Ahmose formulerar uppgiften så: Multiplicera 80 tills du får 1120. Han ger lösningen 1 80 10 800 2 160 4 320 varav man ser att 10 gånger 80 + 4 gånger 80 är 1120. Man skall således multiplicera med 14. Egyptiernas system för bråkräkning var besvärligt. I uppgift nr 24 i Ahmoses räknelära visas hur man skall dividera 19 med 8: Fördubblar man 8 så får man 16. Men då fattas 3. Om man tar hälften av 8 och sen hälften igen så får man 2 och hälften av detta så får man 1. Adderar vi fjärdedelen och åttondelen så får vi 3, som vi behöver. Resultatet skrevs 2 + 4 + 8. Eftersom alla bråk (utom 2/3) hade täljaren 1 skrev man 1/4 som 4.
Egyptierna löste endast ekvationer av första graden och ekvationer av typen x 2 = a. Nr 26 lyder: En mängd och en fjärdedel av mängden är tillsammans 15, man prövar med 4, det minsta tal som kan komma i fråga, och får då 5, vilket är 3 gånger för lite. Slutsatsen blir då att mängden är 3 gånger 4, dvs 12. Geometrin var endast tillämpad aritmetik för att beräkna areor och volymer. Räknelärorna ger de rätta formlerna för beräkning av areorna för trianglar, rektanglar och parallelltrapets. Några bevis för formlernas riktighet ges däremot inte. I de flesta böcker om matematikens historia förekommer uppgiften att egyptierna använde kunskapen om att en triangel med sidorna 3, 4 och 5 har en rät vinkel för konstruktion av räta vinklar. Det finns inget belägg för detta i de papyrusskrifter man funnit. Det är i stället en (kanske intelligent) gissning av den tyske matematikhistorikern Moritz Cantor (1829 1920). (Det är inte den Cantor som skapade mängdläran.) Han resonerade som så: De räta vinklarna, som förekommer i templens och pyramidernas grundplaner, måste ha konstruerats av de "repsträckare", som t ex den grekiske historieskrivaren Herodotos (ca 485 425) talar om, och jag (Cantor) kan inte tänka mig något annat sätt att konstruera en rät vinkel med hjälp av sträckta rep än genom att använda rep med längderna 3, 4 och 5. Därför måste egyptierna ha känt till denna triangel. Cantors hypotes har sedan blivit återgiven som ett faktum. Egyptierna beräknade cirklars areor genom att ta kvadraten på 8/9 av diametern. Detta svarar mot pi-värdet 3,1605, en mycket god approximation. Kineser och judar använde vid denna tid och mer än tusen år fram i tiden värdet 3. Även babylonierna tycks oftast ha nöjt sig med denna ganska grova approximation. Det mest avancerade som de egyptiska matematikerna åstadkom var en korrekt formel för beräkning av volymen hos en stympad pyramid där h är höjden och a och b är sidorna hos de kvadratiska ytorna. Egyptierna kan inte gärna ha kommit fram till denna formel på empirisk väg. Det finns emellertid inget vittnesbörd om hur de härlett den. Källorna för kunskap om fornegyptisk matematik är få, men det finns inget som tyder på att den skall ha legat på högre nivå än den som avspeglas i de hittills funna papyrusskrifterna. Babylonisk matematik En högre nivå än i Egypten nådde matematiken hos de folk som levde i området kring Eufrat och Tigris, ett land som grekerna kallade Mesopotamien, vilket betyder "landet mellan floderna". Vi kallar det vanligen Babylonien, åtminstone då vi tänker på perioden ca 2000 600. Då den historiska tiden börjar ca 3500 bor sumererna, ett folk av okänt ursprung, i söder och ett semitiskt folkslag, akkader, i norr. Liksom i Egypten utvecklades en skrift omkring år 3 000 från att ha använts enbart för bokföring till en skrift som kunde användas för att återge lagar, beskriva historiska händelser och förmedla diplomatiska och personliga meddelanden. Sumererna hade redan då en mycket hög kultur med ett utvecklat skriftspråk och talsystem. Bildskriften övergick efter hand till det vi kallar kilskrift. Tecknen gjordes på skivor av mjuk lera, som torkades i solen eller i en ugn. Vid en eldsvåda brann de inte upp som papyrusbladen utan blev ännu hållbarare. Det historiska källmaterialet från detta område är därför oerhört rikt. Många tusen lertavlor med matematiskt och astronomiskt innehåll har grävts fram och översatts. Omkring år 2500 övertar akkaderna den politiska makten över sumererna men också deras höga kultur. Det sumeriska språket, helt olikt akkadernas semitiska språk, blir det som användes för religiösa och lärda skrifter under ett par tusen år. I viss mån spelade således sumeriskan samma roll som latinet långt senare i Europa. Under Hammurabis styre omkr 1800 upplevde Babylonien en blomstringstid som varken förr eller senare. Redan omkr 1600 börjar en nedgångsperiod, som bryts först omkr 600 f Kr. Efter
det att den babyloniska kulturen under några hundra år fått en renässans dör den ut omkring år noll. Samtidigt försvinner kilskriften. Tusentals lertavlor från den tid (ca 1800 1600) då Hammurabis dynasti hade kungamakten visar att det då fanns ett väl etablerat talsystem. Decimalsystemet hade utvecklats till ett system med basen sextio. Flera förklaringar härtill har framförts. Man har tänkt sig att det kan ha varit av astronomiska skäl, att enheten sextio ganska väl passade ihop med månadens och årets längd. Ett annat förslag är att 60-systemet är en kombination av tidigare system med basen 10 och basen 6. Det troligaste är att det valts därför att det var bekvämt vid bråkräkning. Av det skälet användes det fortfarande två tusen år senare av Ptolemaios och genom främst hans arbeten fick vi i Europa vinkel- och tidsmått baserade på sexagesimalsystemet. Redan vid denna tid hade man i Babylonien insett att symbolerna för 1 och 10 räckte för att representera alla heltal, om man gav tecknen olika värde beroende på deras plats. Skrev man således YY YY YY, dvs symbolen för 2 i tre åtskilda grupper, betydde det inte sex utan 2 60 2 + 2 60 + 2 (dvs 7322 i vårt decimalsystem). Överlägsenheten hos den babyloniska matematiken berodde på att man använde positionssystemet även vid bråkräkning. Beteckningen YY YY användes inte bara för att beteckna 2 60 + 2 utan också för 2 + 2 60-1 eller för 2 60-1 + 2 60-2. Sammanhanget fick avgöra vilket det skulle vara. Bråkräkning blev därför förhållandevis lätt och babylonierna utvecklade algoritmer med vars hjälp de kunde beräkna kvadratrötter med en noggrannhet som i Europa inte överträffades förrän på 1500-talet. Det är samma algoritm som kallas för Herons eller Newtons algoritm. På en lertavla från tiden 1800 1600 har man t ex funnit en kvadrat med diagonalerna utritade och värdet 1;24, 51, 10 angivet. Det är Man tycks också ha känt till formlerna för beräkning av summan av aritmetiska och geometriska talföljder. Man beräknar t ex summan 1 + 2 + 2 2 +... + 2 9 men formulerar uttrycket med ord. Efter Hammurabidynastins tid tycks intresset för matematik avta. Det är inte förrän omkring 300 f Kr som astronomi och matematik börjar blomstra på nytt. Då införes ett tecken för en tom plats, för att undvika tvetydighet, men det användes inte i slutposition. Ett fullständigt positionssystem var det således inte. Den avbildade lertavlan är från tiden omkr 1700. Texten lyder: Längd, bredd. Jag har multiplicerat längden och bredden, så att arean erhålles. Sedan adderar jag till arean vad längden är mer än bredden och får 3,3 Därutöver har jag adderat längd och bredd och får 27. Beräkna längd, bredd och area. 3,3 (dvs 3 60 + 3) står i början på rad 6. Talet 27 inleder rad 8. Därefter visas hur problemet skall lösas. Det är tydligt att detta inte är något praktiskt problem utan av rent matematisk natur. Orden längd och bredd användes på samma sätt som vi använder x och y. Problemet kan då skrivas Babylonierna kunde inte använda bokstäver för att beteckna okända storheter, alfabetet var ännu inte uppfunnet, men ord som längd, bredd, area och volym fyllde samma uppgift. Att orden användes i abstrakt betydelse framgår av att man utan betänkligheter adderade t ex en längd till en area. Man löste vid samma tid också ekvationssystem av andra graden: Jag har adderat areorna av mina två kvadrater och får 25,25. Sidan hos den andra kvadraten är 2/3 av den första plus 5 gar (längdenhet). Med våra beteckningar blir det:
Babylonierna löste ekvationer som vi genom att addera samma tal till båda leden. För att få bort bråk multiplicerade de liksom vi båda leden med samma tal. De kände kvadreringsreglerna för (a + b) 2 och (a - b) 2 och formeln för lösningen till den fullständiga andragradsekvationen. Men inte ens tredjegradsekvationer skulle vara främmande för den tidens matematikstuderande. Det finns exempelvis ett problem som leder till ekvationen x 2 ( 12x + 1) = 1 60 + 45. Till hjälp för att lösa tredjegradsekvationer hade man tabeller, som gav värden på n 3 + n 2 för heltalsvärden på n. Även i problem som formulerades i geometriska termer var babylonierna alltid ute efter att beräkna något, inte att konstruera eller bevisa något. En text från tiden omkr 1700 kan ges översättningen: långt från varandra och parallella med den andra sidan. Uppgiften är att bestämma skillnaderna mellan de andelar som bröderna får. Det var inte fråga om att alla skulle få ärva lika. Babylonierna kände flera geometriska samband, som var okända hos egyptierna vid denna tid, t ex att en vinkel inskriven i en halvcirkel är rät. Före 1930-talet trodde man att man i Babylonien alltid hade använt värdet 3 för π. Men 1936 fann man i Susa lertavlor som gav förhållandet mellan areorna och kvadraterna på sidorna hos regelbundna polygoner med tre, fyra, fem, sex och sju sidor. På samma tavla ger skrivaren 0;57,36 (dvs 57 60-1 + 36 60-2 ) som kvoten mellan omkretsen hos en hexagon och omkretsen hos den omskrivna cirkeln. Av detta kan man se En triangel, vars bas är 30, delas i två delar av en linje parallell med basen. Det är givet att Vid lösningen utnyttjar man formler för arean av en triangel och ett parallelltrapets och topptriangelsatsen. Pythagoras sats finns inte omnämnd i någon form i det bevarade materialet från Egypten, vilket inte betyder att satsen var okänd. Men redan bland tavlorna från Hammurabis tid omkr 1800 förekommer många tillämpningar av satsen. På en lertavla visas t ex hur man skall lösa följande problem, som påminner om ett som jag fick räkna under min realskoletid: En stege med längden 0;30 (dvs 30/60) står mot en vägg. Hur långt kommer den nedre ändan från väggen om den övre ändan av stegen glider 0;6 (dvs 6/60) nedför väggen? Kilskriftstavlorna innehåller mängder av problem, som vi skulle kalla geometriska, men som för babylonierna troligen var tillämpad aritmetik. Det handlade ofta om arvskiften. Be era gymnasister lösa följande problem: En egendom i form av en rätvinklig triangel skall delas mellan sex bröder. Arean är 11, 22, 30 (dvs11 60 2 + 22 60 + 30) och en av sidorna är 6,30 (dvs 6 60 + 30). Delningslinjerna skall vara lika approximativt värde på π. (Låt era elever visa detta.) Med undantag av ristningar i sten finns det knappast något material som kan mäta sig med babyloniernas lertavlor i fråga om hållbarhet. Från de tre tusen år före år noll som de användes bland folken kring Eufrat och Tigris finns därför mycket skriftligt material. De flesta lertavlorna med matematiskt innehåll är sådana som visar hur den tidens lärare inte endast sökte lära sina elever, blivande medlemmar av offentliga sektorn, hur man skulle lösa praktiska problem. De konstruerade också problem, som inte hade någon annan uppgift än att stimulera elevernas matematiska tänkande på ett nöjsamt sätt. Gack och gör sammaledes! Böckerna som nämns här nedan kan ge uppslag. Litteratur Bezold, Carl: Nineve und Babylon, Bielefeld und Leipzig 1909 Boyer, Carl: A History of Mathematics, New York 1968 Johansen, Thorleif: Forntidens matematik, Stockholm 1947 Newman, James: Sigma, En matematikens kulturhistoria, Stockholm 1965, del 1 s 117 126, 381 383; del 4 s 1306 1319 Struik, Dirk: Matematikens historia, Stockholm 1966 Waerden, B L van der: Science awakening, Groningen 1954 Zeuthen, Hieronymus: Mathematikens Historie, Oldtiden, København 1949 Läs också om Babyloniens och Egyptens historia i t ex Svensk Uppslagsbok