RÄKNEOPERATIONER MED VEKTORER LINJÄRA KOMBINATIONER AV VEKTORER ----------------------------------------------------------------- Låt u vara en vektor med tre koordinater, u = x, Vi säger att u är tredimensionell vektor kortare D-vektor eller att u ligger i R Här betecknar R mängden av alla tredimensionella vektorer med tre reella koordinater En tredimensionell vektor kan man ange som en radvektor eller kolonnvektor T ex betraktar vi u =,, 0 och v = som tredimensionella vektorer Vi kan utöka vektorbegrepp och betrakta rader eller kolonner med n reella element som n-dimensionella vektorer Mängden av alla sådana vektorer betecknar vi RR nn och kallar vektorrummet RR nn T ex betraktar vi u =,, 0, 8, och v = som 5 dimensionella vektorer 8 RÄKNEOPERATIONER MED VEKTORER givna på koordinatform ------------------------------------------------------------------------------------------------- Likhet mellan två vektorer Två vektorer u = x, y, och v = x, y, är lika om motsvarande koordinater är lika, dvs u = v om och endast om x = x y = y och =, Multiplikation av vektor med tal Låt λ vara ett tal och a = x, en vektor Då gäller λ a = λx, λ λ Addition och subtraktion av vektorer Låt u = x, y, och v = x, y, Då gäller Sida av 7

u v = x x, y y, u v = x x, y y, Nollvektor är en vektor vars alla koordinater är 0 Nollvektorn betecknar vi med 0 Den tredimensionella nollvektorn är 0,0,0 Den 5-dimensionella nollvektorn är 0,0,0,0,0 5 Parallella vektorer Vi säger att två nollskilda vektorer u och v är parallella om det finns ett reellt tal k så att u = kv Alternativ: v = k u I detta fall skriver vi u v 6 Linjär kombination Låt λ, λ, λ vara tal skalärer och v, v,, v k k k-stycken vektorer Ett utryck av följande typ v v v λ λ λk k kallas en linjär kombination av vektorerna v, v,, v k 7 Längden beloppet, normen av vektorn a = x, är a = x y Egenskaper: ka = k a a b a b a b a b triangelolikhet triangelolikhet 8 Enhetsvektor är en vektor vars längd är 9 Skalärprodukt dot product av två vektorer u = x, y, och v = x, y, på följande sätt: u v = x x y y, Notera att skalärprodukten av två vektorer är ett tal dvs skalär Uppenbart gäller u u = x y = u Därmed u = u u definieras 0 Standardbasen i R dvs i D-rummet Vektorerna i =,0,0, j = 0,,0, k = 0,0, kallas för standardbasen i R Vi använder även andra beteckningar för basvektorerna, t ex e =,0,0, e = 0,,0 och e = 0,0, Sida av 7

eller e x =,0,0 e y = 0,,0 och e = 0,0, Notera att vi ibland skriver vektorer på kolonnformen ---------------------- Varje vektor u = x, kan uppenbart skrivas som en linjär kombination av basvektorerna: x, = xi yj k Det är enkelt att kontrollera ovanstående: HL= xi yj k = x,0,0 y0,,0 0,0, = x,0,0 0, 0 0,0, = x, = VL Om A = x, y, och B = x, y, är två punkter i D-rummet med ett ON koordinatsystem då är AB = x x, y y, och längden blir, enligt ovanstående formel AB = x x y y Avståndet mellan punkterna A och B betecknas da,b och är lika med längden av vektorn AB Alltså: da,b= AB Mittpunkten S av sträckan AB, där A = x, y, och B= x, y, ges av x x y y S =,, Tyngdpunkten T av triangeln ABC, där A = x, y, och B= x, y, och C = x, y, ges av T x x x y y y =,, ------------------------------------------------------------------------------------------ Anmärkning: Ovanstående begrepp definieras på samma sätt för tvådimensionella eller n-dimensionella vektorer ===================================================== Sida av 7

ÖVNINGAR Uppgift Låt a =,x,5, b =,, x y Bestäm x och y så att a = b Lösning: Vi får ett system med tre ekvationer = x = 5 = x y som ger x = och y = Svar: x =, y = Uppgift Låt a =,,, b =,, och c =,, i Beräkna a a b, b a b c a d a b c e a, b och c f skalärprodukten a b ii Bestäm om a, b och c är enhetsvektorer Svar: i a a b = 0,, b a b =,0, c a =,8, d a b c =,8,,,,, =,6, Notera att i uttrycket b räknas exakt en gång, dvs b = b e a = = 6, b = = 9 = 9 c = = = 9 9 9 9 f a b = = 5 notera att resultat är ett tal dvs skalär ii Vektorn c är en enhetsvektor dvs har längden = Uppgift Låt a =,, Bestäm tre olika vektorer, skilda från a, och skilda från 0, som är parallella med a Lösning: Vi väljer tre olika värden på k och substituerar i relationen b = ka T ex Sida av 7

k= ger b = a = 6,,8 k= ger b = a = 6,, 8 k= 00 ger b = 00a 00,00,00 = Det finns oändligt många korrekta svar Uppgift Låt a =,, och b =, x, y Bestäm, om möjligt, x och y så att a och b blir parallella Lösning: Vektorerna är parallella om det finns ett tal k så att b = ka alternativt a = kb, dvs, x, y = k,, Härav får vi ett system med tre ekvationer = k, x = k y = k Från första ekvationen har vi k = / Detta substitueras i andra och tredje ekv och fås 8 x = / och y = 8 / Därmed är b =,, Svar: x = /, y = 8 / Uppgift 5 Låt a =,, och b =, x, Bestäm, om möjligt, x så att a och b blir parallella Lösning: Vektorerna är parallella om det finns ett tal k så att b = ka alternativt a = kb, dvs, x, = k,, Härav får vi ett system med tre ekvationer = k, x = k = k Från första ekvationen har vi k = Detta substitueras i andra och tredje ekv och fås x = och " = 8" Den sista ekvationen =8 visar att systemet saknar lösning Svar: Det finns inte något tal x så att vektorerna blir parallella Uppgift 6 Beräkna längden av vektorn v då i v 8 8 = 50,50,00 ii v =,, Tips: Använd egenskapen ka = k a Lösning: i Först bryter vi ut 50, v = 50,, Nu använder vi egenskapen ka = k a : Sida 5 av 7

v = 50,, = 50 = 50 6 ii Först v =,, Härav v =,, = = 9 = Svar: i 50 6 ii Uppgift 7 Låt a =,, Bestäm en enhetsvektor som har i samma riktning som a ii motsatt riktning mot a Lösning: i e = a =,, =,, a 9 ii e = a =,, =,, =,, a 9 Svar: i e =,, ii e =,, Uppgift 8 Låt A=,, och B =,,8 a Bestäm en enhetsvektor som har samma riktning som AB b Bestäm en enhetsvektor som har längden 5 och samma riktning som AB Anmärkning Ekvivalenta problem har man oftast i samband med krafter Lösning: Först AB =,,5 och därmed AB = 5 = 0 a e = =,,5 AB 0 b Först bestämmer vi en enhetsvektor i samma riktning som AB och därefter multiplicerar vi med 5 Vi har redan i a-delen fått den sökta enhetsvektorn e =,,5 Därmed är 0 5 f = 5 e =,,5 den sökta vektorn med längden 5 0 Svar: a e = 5,,5 b f =,,5 0 0 Uppgift 9 Bestäm tyngdpunkten T av triangeln ABC, där A =,, och B =,0,0 och C = 0,0, 5 Sida 6 av 7

Lösning:,,,, = = y y y x x x T Sida 7 av 7