Blandade problem från väg- och vattenbyggnad

Blandade problem från väg- och vattenbyggnad Sannolikhetsteori (Kapitel 1 7) V1. Vid en undersökning av bostadsförhållanden finner man att av 300 lägenheter har 240 bad (och dusch) medan 60 har enbart dusch. Man vet att 75 har havsutsikt, medan 225 har utsikt mot en gård eller en parkeringsplats. a) Anta att bad/duschstandarden och utsikten är oberoende. Hur många förväntas då ha både bad och havsutsikt? b) Hur många har (under oberoendeantagandet) varken bad eller havsutsikt? V2. Vid ett bygge använder man lättbetongblock från två tillverkare, A och B. Sannolikheten att ett block från A är felaktigt är 0.01 och för ett block från B är sannolikheten 0.02. Tillverkare A levererar 80 % av betongblocken och B 20 %. a) Vad är sannolikheten att ett slumpmässigt valt block är felaktigt? b) I en viss del av byggnaden används 50 betongblock och det krävs att minst 49 är felfria för att bygget skall godkännas. Vad är sannolikheten att arbetet blir godkänt? V3. Vid bygget i Uppgift V2 hittar man ett defekt lättbetongblock. Vad är sannolikheten att det kommer från tillverkare A? V4. Antalet bilar på motorvägen förbi Storköping anses vara Poissonfördelat med väntevärdet m=5 bilar per minut. a) Beräkna sannolikheten att en minut går utan att det kommer någon bil. b) Vilken fördelning har tiden mellan bil n och bil n+1? V5. Antal fartyg som passerar i en viss farled anses vara Poissonfördelat med väntevärde m=8 fartyg per timme. a) Beräkna sannolikheten att det kommer minst 10 fartyg under en viss timme. b) Beräkna sannolikheten att det kommer högst 70 fartyg under en åttatimmarsperiod. V6. Man har funnit att vindhastigheten i närheten av ett stort brobygge följer en Rayleighfördelning, dvs. fördelningsfunktionen är 1 2 ( v / v0 ) e 1

där v 0 är 6 m/s. a) Bestäm sannolikheten att vindhastigheten är högst 10 m/s. b) Bestäm sannolikheten att vindhastigheten är över 24 m/s (orkanstyrka). V7. Vid uppmätning av ett visst område vill man bestämma en vinkel X. Man vet av erfarenhet att mätfelet kan anses vara normalfördelat med väntevärde 0 och standardavvikelsen 0.1 (grad). a) Vad blir standardavvikelsen för medelvärdet av fyra mätningar? b) Vad är sannolikheten att medelvärdet av fyra mätningar har ett fel som är minst 0.1 grad (åt något håll)? V8. (Gauss approximationsformler tillämpade på mätfel) Vid bestämningen av böjstyvheten W y hos en träregel med rektangulärt tvärsnitt finner en teknolog att 2 bh W y =. 6 Problemet är att höjden h och bredden b kan variera mellan olika reglar pga. ojämn bearbetning eller mätfel. Man anser att bredden är normalfördelad med väntevärdet 25 mm och standardavvikelse 1 mm, medan höjden är normalfördelad med väntevärde 100 mm och standardavvikelse 1.5 mm. Bestäm väntevärde och standardavvikelse för böjstyvheten. V9. Vid mätning av trafikintensiteten mätt i antal fordon per timme anses det att man gör ett mätfel som är normalfördelat med väntevärde 0 och standardavvikelse 20 fordon/timme. Hur många mätningar skall man göra för att medelvärdet av trafikintensiteten skall ha en standardavvikelse på högst 10 fordon per timme? V10. Styrkan X av ett visst material anses vara Weibullfördelad, dvs. FX ( x) = 1 e a) Bestäm medianen. b) Vad är sannolikheten att X > a? c ( x / a), x 0. V11. Man mäter trafiken på en motorväg i bägge riktningar mellan kl. 12 och kl. 13. Man kommer efter en lång mätserie fram till att trafiken västerut är Poissonfördelad med väntevärdet 160 bilar/timme och trafiken österut är Poissonfördelad med väntevärdet 140 bilar per timme. Teknologerna Valter och Vera räknar bilar mellan 12 och 12.15. Vad är sannolikheten att de ser fler bilar som går åt öster än åt väster? Använd normalapproximation. 2

Statistisk teori och metodik (Kapitel 11 15) V12. På en viss plats har man uppmätt följande vindstyrkor (m/s): 8, 3, 7, 9, 7, 12, 14, 6, 9, 4, 17, 5. Anta att vindstyrkan är Rayleighfördelad och skatta konstanten v0 i formeln i Uppgift V6 med hjälp av ML metoden. V13. När man studerar extremvärden, t.ex. översvämningar, orkaner m.m., använder man ibland den s.k. POT metoden (Peaks Over Theshold). Den kan bland annat användas så att man anpassar en s.k. Paretofördelning till alla värden som ligger över en viss nivå a (a som i alarm). De övriga värdena är man inte intresserad av. En Paretofördelning har täthetsfunktionen f X ( x) = a k k x a+ 1, x k, och 0 för övriga x värden. Bestäm ML skattningen av konstanten a baserat på observationerna x 1, x2,..., xn. Man kan förutsätta att tröskelvärdet k är fixt. V14. Man har mätt brottstyrkan för en viss typ av stål och fått följande värden (MPa): 430, 440, 470, 460, 490, 510, 480. Bestäm ett konfidensintervall med konfidensgraden 0.95 för väntevärdet av brottstyrkan. Anta normalfördelning med okänd standardavvikelse. V15. Vid en trafikundersökning har man kommit fram till att en viss väg trafikeras av 240 fordon per timme i genomsnitt. a) Gör ett konfidensintervall med konfidensgraden 0.95 under antagandet att antalet fordon är Poissonfördelat. Observera att normalapproximation kan användas. b) Om trafikintensiteten i a) stämmer, hur länge måste man då hålla på med sin undersökning för att få en standardavvikelse för trafikintensiteten som är högst 5 % av denna? V16. I ett visst län har man studerat resultaten av åtgärder mot hög radonhalt i villor. Resultat (stickprov av åtta villor) ses nedan. Gör ett konfidensintervall med konfidensgraden 0.90 och ett med konfidensgraden 0.95 för skillnaden till följd av åtgärderna. 3

Radonhalt innan åtgärd (Bequerel/m 3 ) Radonhalt efter åtgärd (Bequerel/m 3 ) 430 470 410 400 440 470 420 500 160 150 130 140 160 140 140 160 V17. Varje dag mäts vattenståndet i Umeälven vid Storuman. Följande resultat fick man under några majdagar 2008. Gör en prognos för vattenståndet 08 05 15. Dag 05-09 05-10 05-11 05-12 05-13 05-14 Vattenstånd 346.61 346.93 347.27 347.60 347.91 348.43 V18. Man bestämmer sträckgränsen för en viss typ av stål. Resultat (MPa): 190, 210, 205, 200, 185, 220, 230. Bestäm ett ensidigt, nedåt begränsat konfidensintervall för sträckgränsen med konfidensgraden 0.90. V19. Vid mätning av densiteten hos furuvirke som skall användas vid ett husbygge får man följande resultat (kg/m 3 ): 520, 490, 510, 530, 525. Bestäm ett tvåsidigt konfidensintervall för densiteten med konfidensgraden 0.95. Anta att observationerna är normalfördelade med okänd standardavvikelse. V20. Vid test av ett visst byggmaterial undersöker man värmekonduktiviteten (W/grad och m 2 ). Man tar nio slumpmässigt valda bitar och uppmäter följande värden på värmekonduktiviteten: 0.15, 0.14, 0.155, 0.16, 0.17, 0.145, 0.152, 0.158, 0.162. Man vill i marknadsföringen säga att värmekonduktiviteten hos Isolin är högst a med 95 % sannolikhet. Bestäm ett sådant ensidigt, uppåt begränsat konfidensintervall med konfidensgraden 0.95. V21. Vid dragprov på reglar av gran längs med fiberriktningen finner man följande brottgränser (MPa): 93, 95, 92, 96, 98, 101. a) Kan man på nivån 0.05 förkasta hypotesen H0: Brottgränsen är 100 MPa? Gör ett tvåsidigt test och anta att observationerna är normalfördelade med okänd standardavvikelse. b) I praktiken är det ofta mer relevant att göra ett ensidigt test, då den rim 4

liga mothypotesen är HA: Brottgränsen är mindre än 100 MPa. Vad blir resultatet av ett sådant test på nivån 0.05? V22. Anpassa en regressionslinje till data nedan och gör en prognos för antal påbörjade byggen 2005. Tabellen visar antalet påbörjade byggen i Sverige (såväl en som flerfamiljshus). Vad blir förklaringsgraden R 2? År 2000 2001 2002 2003 2004 Antal påbörjade 16800 19500 19100 22050 27450 byggen i Sverige V23. Tabellen nedan visar bland annat antalet döda i trafikolyckor i Sverige 1990 2007. Källa: Statistiska centralbyråns databas www.scb.se. a) Beräkna Pearsons korrelationskoefficient för sambandet mellan årtal (x) och antal dödade (y). b) Bestäm regressionslinjen y = a + bx. Tolka koefficienterna. Vid olyckor polisrapporterade dödade, skadade, bilar i trafik, bensinleveranser, invånare samt dödade per 100 000 bilar resp invånare åren 1990-2007 År Dödade Skadade Varav Bilar i trafik Bensin- Invånare Dödade per 100 000 svårt vid årets leveranser vid årets Bilar Inv. skadade slut (1000) (1000 m3) slut (1000) 1990 772 22 497 5 501 3 925 5 630 8 591 19,7 9,0 1991 745 21 057 4 832 3 945 5 751 8 644 18,9 8,6 1992 759 20 727 4 705 3 906 5 879 8 692 19,4 8,7 1993 632 19 741 4 334 3 882 5 590 8 745 16,3 7,2 1994* 589 21 083 4 221 3 912 5 655 8 816 15,1 6,7 1995 572 21 173 3 965 3 953 5 761 8 837 14,5 6,5 1996 537 20 810 3 837 3 981 5 683 8 844 13,5 6,1 1997 541 21 280 3 917 4 053 5 577 8 848 13,3 6,1 1998 531 21 356 3 883 4 145 5 427 8 854 12,8 6,0 1999 580 21 964 4 043 4 259 5 464 8 861 13,6 6,5 2000 591 22 032 4 104 4 388 5 361 8 883 13,5 6,7 2001 583 22 330 4 056 4 428 5 422 8 909 12,5 6,2 2002 560 24 747 4 592 4 468 5 515 8 941 11,9 6,0 2003 529 27 103 4 664 4 511 5 547 8 976 11,7 5,9 2004 480 26 582 4 022 4 570 5 546 9 011 10,5 5,3 2005 440 26 459 3 915 4 633 5 506 9 048 9,5 4,9 2006 445 26 636 3 959 4 701 5 363 9 113 9,5 4,9 2007 471 26 749 3 824 4 782 5 253 9 183 9,8 5,1 Källa: SCB * Åren 1994-2002 inkluderas även personer som avlidit till följd av sjukdom. V24. Föreslå en matematisk modell för antal olyckor per 100 000 bilar. Anpassa denna regressionsmodell med hjälp av data fr.o.m. år 2000. Vad blir prognosen för 2009? 5

V25. Man vill jämföra tryckhållfastheten i träets fiberriktning hos tre olika sorters virke för byggändamål. Kan man med hjälp av data nedan dra slutsatsen att hållfastheten är lika för alla de tre materialen? Använd variansanalys med ensidig indelning och testnivån 0.05. Enhet (MPa): Leverantör 1 Leverantör 2 Leverantör 3 52 53 50 48 47 46 55 56 57 54 50 46 48 45 47 49 50 6