Komparatorn, AD/DA, överföringsfunktioner, bodediagram

Krets- och mätteknik, FK Komparatorn, AD/DA, överföringsfunktioner, bodediagram Johan Wernehag Institutionen för elektro- och informationsteknik Lunds universitet

Översikt Komparatorn Open-collector Schmittrigger Relaxation oscillator AD/DA Överföringsfunktioner Bodediagram 3

Komparatorn En OP som inte har återkoppling. Den ideala OPn har en råförstärkning som är oändlig vilket innebär att utgången på förstärkare går mot + eller, eller snarare +V CC eller V EE oftast är V CC och V EE lika stora. Om v 1 är större än v 2 blir utgången hög (V CC ) annars låg (V EE ). Komparatorn kan alltså användas för att jämföra två signaler och generera en bit som säger vilken som är störst. 4

Komparatorn En OP som inte har återkoppling. När differensen v 1 v 2 är precis runt noll har OPn en linjär överföring, den är konstruerade för att fungera bäst i negativt återkopplade system. När insignalen ligger runt noll o det finns brus på signalen kommer utgången att slå mellan V CC o V EE. Detta vill man undvika. Hysteres: Det innebär att man har en nivå för att ändra utgången från låg->hög och en annan för att ändra från hög->låg. Avståndet mellan dessa omslagströsklar sätter nivå för hur mycket brus man kan tåla utan att generera glitchar. Hysteres finns ofta inbyggt i komparatorkretsar och för att undvika omslag pga brus, ibland är även storleken externt inställningsbar. 5

Komparatorn Snabb eller energieffektiv? Det är en trade-off mellan hastighet i omslaget och energikonsumtion. Hastigheten beror på slewraten (DV/Dt) hos komparatorn, se figur. Slewrate och energikonsumtion står angivit i databladet för komparatorn, så man kan hitta en kompromiss. Är det en sensor som ska indikera att en nivå/temperatur/luftfuktighet eller dylikt har passerats en gräns? Batteridrift eller nätansluten? Många saker spelar in 1. Energieffektiv: ström ner till 0,6uA, matning 1,8V => effekt 1,1µW, t PD =14 000ns => slewrate = 1,8/14 000n=0,129MV/s 2. Snabb: ström ner till 6 500uA, matning 2,7V => effekt 17 500µW, t PD =4,5ns => slewrate = 2,7/4,5n=600MV/s En snabb komparator behöver man t ex när man ska bygga en oscillator (relaxationsoscillator) 6

Komparatorn - exempel Utgången kan vara open-collector, se nedan. Transistor har då ingen intern last som strömmen går genom utan fungerar som en strömbrytare. Och man måste koppla en extern last som strömmen går genom => strömutgång. + flytande utgång + många kopplingsmöjligheter man får själv ordna hög o låg utsignal Användning: t ex driva en LED som kräver ström för att lysa R ( = * ++,* -./,* 0-1 -./ 7

Komparatorn - exempel Schmittrigger, positivt återkopplad OP. Så här funkar den: Om v o är hög (V CC ) blir v += 5 6 56758 * ++, omslag sker först när v passera denna nivå, v o blir låg ( V CC ) v += 5 6 56758 * ++, nästa omslag sker först när v passerar denna nivå och blir lägre Denna funktion är en hysteres! 8

Komparatorn - exempel Relaxations-oscillator, schmittrigger med återkoppling Omslagsnivåerna bestäms av resistorerna R 2 R 4 som för schmittriggern: V ;< ; V >< = 5? 5A 5? 5A758 * 5? 7; 5?758 5A * 7, där utgången går mellan V B och 0 Frekvensen på oscillatorn bestäms av upp- o urladdningstiden av RC-länken Urladdning: V, = V D e, 56+6 t = R H C H I ln L MF F F Uppladdning: V D = V, 1 e, 56+6 t = R H C H I ln 1 L MF L NF För 50% duty cycle sätter man upp- och urladdningstiden lika I fallet nedan är * MF * NF = 0,5 ln 0,5 = 0,69. Alla motstånden i den positiva återkopplingen har samma värde! L NF Länk: http://www.ti.com/lit/an/snoa998/snoa998.pdf 9

Översikt Komparatorn Open-collector Schmittrigger Relaxation oscillator AD/DA Överföringsfunktioner Bodediagram 10

Översikt ADDA Analoga och digitala signaler Nyquistteorem Kvantiseringsfel i analog-till-digital omvandling Digital-till-analog (DA) omvandlare AD-omvandlare 11

Analoga och digitala signaler Analogt Digitalt 001100101010100000111110000100101010001011100010001000100 t 12

Exempel: audiosystem Lagring Digitalt Databehandling Databehandling AD-omvandling DA-omvandling Förstärkning Filtrering Förstärkning Filtrering Analogt 13

Exempel modern radio Trenden idag är att flytta gränssnittet mellan A och D så nära antennen som möjligt, eftersom D är enkelt, A är svårt Digitalt Radiosändare DA Analog Coder FFT LO j DA RF Digitalt Radiomottagare AD Analog De- Coder FFT SYNC LO j AD RF 14

Sensorsystem Man går över till digital signalbehandling så fort som möjligt, eftersom den är både enklare, mer allmän och kraftfull 15

Binära talsystem tal med bas 2 Most Significant Bit (MSB) Least Significant Bit (LSB, minsta förändringen) N bitar 2 N ord 2 2 2 1 2 0 0 0 0 (0) 0 0 1 (1) 0 1 0 (2) 0 1 1 (3) 1 0 0 (4) 1 0 1 (5) 1 1 0 (6) 1 1 1 (7) V fs = V vid full scale = 1LSB 2 N Med denna definition kan inte V fs nås: V outmax = V LSB (2 N -1) 16

Tidskontinuerliga, tidsdiskreta och digitala signaler 111 kontinuerlig analog signal kvantisering = begränsat antal nivåer = diskret amplitud digital signal = diskret tid och diskret amplitud 001 000 samplad signal à analog, men diskret tid t 17

Nyquists samplingsteorem Om man samplar en analog signal som har bandbredd f sig med en samplingsfrekvens f s, då måste man se till att f s > 2f sig om operationen inte skall medföra informationsförlust! f s f sig 2f sig f 18

Sampling f s > 2f sig ok 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0-0.2-0.4-0.6-0.8-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 19

Sampling f s < 2f sig inte ok 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0-0.2-0.4-0.6-0.8-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 20

Vikning! 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0-0.2-0.4-0.6-0.8-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 21

Med spektra Insignalens frekvensspektrum Den samplade signalens spektrum, f s > 2f B (=2f sig ) vikning! Den samplade signalens spektrum, f s < 2f B (=2f sig ) 22

Vikning (alias) och spegelfrekvens Exempel: f s = 10kHz f sig = 7kHz =>f alias = (10-7) = 3kHz f sig f s f sig spegelfrekvens f sig + f s 2f s f sig f sig + 2f s o s v 23

Antivikningsfilter Tidsdiskret Diskret i amplitud Antivikningsfiltret skyddar informationen i den önskade signalen från andra signaler som kan bli nervikna till samma frekvensband 24

Antivikningsfilter Lågpassfiltrets ordning n ASB ASB = = é( fs - fb) - fb ù æ fs - 2 f ö B 20log 20log 10 ê ú 10 ç ë f f B û è B ø 25

Kvantiseringsfel Nivå X+1 Nivå X+1 Nivå X Nivå X Trunkering Alla värden mellan två nivåer approximeras åt samma håll Maximalt fel = 1LSB Avrundning Värden approximeras antingen upp eller ner Maximalt fel = ±1/2 LSB 26

Kvantiseringsfel med avrundning Första och sista steget är bara D/2 breda Man kan visa att den genomsnittliga effekten av kvantiseringsfelet (också kallat kvantiseringsbrus) är P Q = 2 D 12 27

Ett exempel kvantiserad sinus (10 bitar) kvantiseringsfel Det högsta signal-till-kvantiseringsbrus förhållandet (SQNR) i en N-bitars AD-omvandlare är P SQNR = = + P ( N ) sin 10 log 6.02 1.76 db Q 28

Variation på samplingsögonblicken p g a olika bruskällor i de kretsar som genererar klockan Jitter på samplingstiden sin ( w ( ( ))) in d ( ) wd( ) cos( w ) x= A t+ t D x nt» A nt nt S SNR = 10log =-20log in N in in ( nt ) ( w d ) 29

Icke-ideala omvandlare offsetsfel ADC DAC Offset 30

Icke-ideala omvandlare förstärkningsfel ADC DAC 31

Icke-ideala omvandlare linjäritetsfel Avvikelsen från den ideala interpoleringslinjen, när överföringsfunktionen har korrigerats för offsets- och förstärkningsfel 32

DA-omvandling med motstånd i serie Väldigt enkelt, används ofta, särskilt när N är lågt, eftersom: N bitar à 2 N R U Exempel med N=3 (a): (b): i VDAC = V N ref 2 N i = 0,...,2-1 i + 12 VDAC = V N 2 N i = 0,...,2-1 ref Viktigt: ideala DA-omvandlare introducerar inte något fel i omvandlingen! 33

Eller med R-2R nät väldigt elegant Impedansen till höger om varje R är lika med R à impedansen i parallell med varje 2R är lika med 2R! Antalet motstånd faller från 2 N till 3N väldigt kompakt! bn-1 b0 Vi antar att impedansen vid denna nod är @0 I I I I I b b b b 2 4 2 2 ref ref 1 2... ref ref out = n- + n- + + n-1 1+ n 0 34

DA-omvandling med kapacitanser C V 1 out = V ref C C 1+ 2 V = V k 2 out ref n 35

DA-omvandling med strömkällor Strömkällor implementeras med MOS-transistorer eller BJT-transistorer ( 2 1 ) 0 2 1 2 2... 2 n - -1 I = I b + b + b + + b out u n binärt viktad termometer-viktad 36

Analog till digital omvandling Filtrerad analog signal Samplad signal Analog in Lågpass filter Sample & Hold A/D omvandling Digital ut Antivikningsfilter Klocksignal 37

Sample and Hold (S&H, S/H) Under AD-omvandlingen får inte det analoga värdet ändras à S/H ackvisitionstid in- och utgångsbuffertar IN UT IN UT lagrar den samplade signalen sample hold sample hold sample När man köper en AD-omvandlare följer S&H ofta med 38

AD-omvandlare till olika ändamål #bits 1 D / T s 20 15 INTEGRERANDE DELTA SIGMA 1 ord / (OSR T s ) 1 bit / T s 10 5 SUCCESIVAPPROXIMATION FLASH, TVÅSTEG, TIDSPARALLELLA 1 ord / T s 1k 10k 100k 1M 10M 100M 1G f sig 39

Flash AD-omvandlare 2 N -1 komparatorer A V K O D A R E Snabb, men kräver mycket hårdvara! 8 bitar = 255 komparatorer 16 bitar = 65 535 komparatorer 40

Tvåstegs AD-omvandlare Två (eller flera) klockcykler för omvandling, men mycket mer kompakt än flash-omvandlaren 4 + 4 bitar à ( 4 ) 2 2-1 = 30 komp. 41

Tidsmultiplexad AD-omvandlare #N AD-omvandlare i parallell turas om att omvandla: N gånger högre hastighet än med bara 1 omvandlare à populärt tillvägagångssätt! Man måste dock se till att alla AD-omvandlare ( kanaler ) är väldigt väl matchade till varandra S&H måste arbeta med hög hastighet 42

Succesivapproximation AD-omvandlare Med kondensator-dac: enkla, effektsnåla, bra upplösning, relativt hög hastighet à väldigt populära! V IN Exempel: 4 bitar V fs DAC X LSB V IN X MSB Styrlogik Binär sökning: N bitar à N jämförelser à N+1 (N+2) klockcykler Förslag 1000 1100 1010 1001 Test OK NEJ NEJ OK Utvärde 1000 1000 1000 1001 43

V sig VREF Integrerande AD-omvandlare Kondensatorn laddas upp av insignalen över 2 N klockcykler, och sen tar referensspänningen k klockcykler för att ladda ner den tillbaka till 0V Väldigt långsam (1LSB per klockcykel), men den kan leverera ett högt antal bitar Omvandlingens noggrannhet är inte beroende av tidskonstanten RC R C Vout V V out Tsig TREF t V V V T T RC RC sig REF out =- sig = REF - V = sig k 2 N V REF 2 N Tclk ktclk 44

Översikt Komparatorn Open-collector Schmittrigger Relaxation oscillator AD/DA Överföringsfunktioner Bodediagram 45

Första ordningens lågpassfilter I = V in R+ 1 j2 fc ( p ) V out = = 1 Vin 2p 1 2p = Vin ZCI j fc R + j fc 1+ j2pfrc ( ) f B! 1 2p RC V out = Vin f 1+ j f H ( f ) V V out = = in 1+ 1 f j f B B 46

Första ordningens lågpassfilter: Magnitud- och fasplottar H 1 ( f ) = 2 æ f ö 1+ ç è fb ø æ f ö Ð H( f ) =-arctan ç è fb ø half-power -frekvens För låga frekvenser (med f nära 0) är H(f) ungefär 1 och fasen nästan 0º, vilket innebär att lågfrekventa komponenter påverkas mycket lite à filtret låter dessa komponenter passera till utgången nästan oförändrade i amplitud och fas Å andra sidan, vid höga frekvenser (f f B ) närmar H(f) sig 0 à höga frekvenser avvisas Således: lågpassfilter 47

V in (V) Filtrerad V in (V) Första ordningens lågpassfilter 15 10 5 0-5 -10-15 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 Tid (s) x 10-3 10 8 6 4 2 0-2 -4-6 -8-10 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 Tid (s) x 10-3 48

Samplad V in (V) V in (V) Filtrerad V in (V) Första ordningens lågpassfilter 15 10 5 0-5 -10-15 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 Tid (s) x 10-3 Lågfrekvent sampling f samp =17 khz f 1 =1 khz f 2 =100 khz 10 8 6 4 2 0-2 -4-6 -8-10 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 Tid (s) x 10-3 10 8 6 4 2 0-2 -4-6 -8-10 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 Tid (s) x 10-3 49

Samplad V in (V) Samplad V in (V) V in (V) Filtrerad V in (V) Första ordningens lågpassfilter 15 10 10 8 6 5 4 2 0 0-5 -2-4 -10-6 -8-15 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 Tid (s) x 10-3 15 10 5 Lågfrekvent sampling f samp =17 khz f 1 =1 khz f 2 =100 khz -10 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 Tid (s) x 10-3 10 8 6 4 2 0 0-2 -4-5 -6-10 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 Tid (s) x 10-3 -10 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 Tid (s) x 10-3 50-8

Första ordningens högpassfilter V D^< = B H `abcd f B! V ef = 1 2p RC `abcd_ HB`abcd_ V ef V D^< = ` c c g HB` c V ef H f = *hif = j c c g * jk 1 + j c = j c I c g c g c g 1 1 + j c c g 51

Magnitud- och fasplottar H f = c c g 1 + c c g a H f = 90 arctan half-power -frekvens f f s För höga frekvenser (med f f B ) är H(f) ungefär 1 och fasen nästan 0º, vilket innebär att högfrekventa komponenter påverkas mycket lite à filtret låter dessa komponenter passera till utgången nästan oförändrade i amplitud och fas Å andra sidan, vid låga frekvenser (f nära 0) närmar H(f) sig 0 à låga frekvenser avvisas Således: högpassfilter 52

Decibel (db) ( ) º ( ) H f 20 log 10 H f db En överföringsfunktion är ett förhållande mellan spänningar eller strömmar, och omvandlas till decibel (db) genom att ta 20 gånger logaritmen av förhållandet (om förhållandet är mellan effekter omvandlas det till decibel genom att ta 10 gånger logaritmen av förhållandet) Fördelen med db är en mycket utvidgad dynamik: i ett linjärt diagram kan det vara omöjligt att se hur nära H(f) är till 0, men det kan man lätt med db! 53

Kaskad av överföringsfunktioner V V V H f H1 f H2 f V V V out out1 out ( ) = = = ( ) ( ) in in in2 ( ) 20log é ( ) ( ) H f H f H f db = 10 ë 1 2 û ù ( ) 20log ( ) ( ) ( ) = 20log éëh f ùû+ éëh f ùû = H f + H f 10 1 10 2 1 db 2 db 54

Logaritmisk frekvensskala Av samma skäl som med amplituden: kan man se ett mycket utvidgat frekvensområde En oktav är ett frekvensområde där den högsta frekvensen är dubbelt så hög som den lägsta frekvensen En dekad är ett frekvensområde där den högsta frekvensen är tio gånger så hög som den lägsta frekvensen 55

db igen Lågpassfiltret igen: H ( f ) = 1+ 1 f j f B H 1 ( f ) = 2 æ f ö 1+ ç è fb ø ( ) = ( ) H f 20 log 10 H f db a c Vi vet att logb = logba-logbc och logba = clogba, då blir det: c H 1 æ f ö = 20 log10 = 20 log 2 10 1-20 log10 1+ç æ ö è f f B ø 1+ ç è fb ø ( f ) ( ) db é = 10 log ê1 ë - 10 +ç ê fb æ è f ö ø 2 ù ú úû 2 56

Bodediagram Ett bodediagram ritar en överföringsfunktion uttryckt i db, med frekvensen i logaritmisk skala Väldigt stora och väldigt små magnituder över ett mycket stort frekvensområde à bodediagram är ett nödvändigt redskap! H ( f ) db é ê ë =- 10 log10 1+ç ê fb æ è f ö ø 2 ù ú úû ( ) H f @ 0 if f! f db brytfrekvens à ( ) =-3 æ f ö H( f ) @-20log 10 if f f db ç " è fb ø H f db B db B B 57

Fasplott! ì- 5.7 om f = 0.1 f æ f ö ï! Ð H( f ) =- arctan ç = í - 45 om f = fb è fb ø ï -! î 84.3 om f = 10 f B B Asymptotiskt:! ì 0, om f 0.1 fb ï Ð H( f ) = írak linje, om 0.1 fb f 10 f ï! î - 90, om f ³ 10 fb B Asymptotiska plottar var mycket viktigare förr, när man inte hade kraftfulla datorer 58

Kaskad av flera filter Ett bandpassfilter är ett högpassfilter följt av ett lågpassfilter V D^< = ` t t - HB` t t - I H(jω) = 20log H HB` t t u V ef t t - 1 + t t - a 20log 1 + t t u a = 20 log z z - 20log 1 + z z - a 20log 1 + z z u a Om man skriver överföringsfunktionen på faktoriserad form kan man med enkla medel rita upp överföringsfunktionen 59

Exempel f B = 1 1000 Hz 2p RC = Asymptotiska plottar 60