STOCKHOLMS UNIVERSITET MS 2070 MATEMATISKA INSTITUTIONEN TENTAMEN Avd. Matematisk statistik 24 oktober 2007 Tentamen i Livförsäkringsmatematik I 24 oktober 2007 kl. 9 14 Examinator: Gunnar Andersson, gunnar.andersson@actstrats.com, tel: 0730-83 43 40. Tillåtna hjälpmedel: Kalkylator. Återlämning: Fredagen den 9 november 2007 kl 15.00-16.00, sal 321, Matematisk statistik. Skriftlig tentamen är uppdelad på en teoridel bestående av två uppgifter samt en problemdel bestående av tre uppgifter. Varje uppgift ger 10 poäng och betygen A-E på kursen, efter godkända datorlaborationer, sätts enligt nedanstående rättningsmall. Resonemang skall vara klara och tydliga. Rättningsmall: Betyg A B C D E Teoridel 18p 15p 15p 10p 10p Problemdel 27p 22p 18p 15p 10p För att erhålla ett visst betyg krävs att poänggränsen skall vara uppfylld för båda delarna.
Livförsäkringsmatematik I, 24 oktober 2007 2 Teoridel: Uppgift 1 Antag att vi förfogar över ett bestånd fördelat på olika åldrar. Vi vill utjämna den observerade dödligheten med en tidsmodifierad Makehammodell, det vill säga vi ansätter modellen µ x (t) = α + e βx+γt. Härled parameterskattningar för β och γ med användande av minstakvadratmetoden. För enkelhets skull antar vi att α = 0. (10 p) LEDNING: Det kan vara praktiskt att betrakta logaritmerade observationer för att underlätta härledningen. En lämplig modell skulle då kunna vara ln(y ij ) = ln(µ xi (t j )) + ɛ ij där i och j varierar över lämpligt område. Teoridel: Uppgift 2 Betrakta en försäkring som tecknas av en individ som just fyllt x år. Premien betalas med en engångspremie vid försäkringens tecknande. Om individen avlider inom s år skall ett engångsbelopp om 100 000 kronor utbetalas vid dödsfallet. Om individen lever efter uppnådda z år, där x + s z, skall samma belopp utbetalas. a) Ange A(t) och B(t), det vill säga försäkringsgivarens framtida förpliktelser respektive försäkringstagarens framtida förpliktelser, vid durationen t. (5 p) b) Härled Thieles differentialekvation för försäkringen med särskilt angivande av vad som händer vid försäkringens olika brytpunkter. (5 p) Problemdel: Uppgift 3 En studie av försäkringsdödligheten inom svensk livförsäkring 1988 genomfördes av Försäkringstekniska forskningsnämnden. Nedanstå-
Livförsäkringsmatematik I, 24 oktober 2007 3 ende tabell är ett utdrag ur den undersökningen. Tabellen omfattar dödsfallsförsäkring för män. Ålders- Antal Observerat Dödstal klass förs.år antal döda promille 20-24 13 428 12 0,9 25-29 27 837 17 0,6 30-34 59 685 45 0,8 35-39 105 271 122 1,2 40-44 170 384 170 1,0 45-49 160 565 250 1,6 50-54 120 708 349 2,9 55-59 97 247 529 5,4 60-64 72 693 665 9,1 65-69 32 897 530 16,1 70-74 16 140 471 29,2 75-79 9 203 459 49,9 a) I kolumnen Dödstal har man angivit den Centrala dödskvoten som skattning av µ för respektive åldersklass. Ange definitionen för den centrala dödskvoten. Ange också h i just detta exempel. (3 p) b) Utnyttja det förhållandet att den centrala dödskvoten, som MLskattning av µ, under vissa villkor som får anses vara uppfyllda, är approximativt normalfördelad och ange ett 95 %-igt dubbelsidigt konfidensintervall för µ för åldersklassen 65 69 år. I praktiken innebär det att vi skall skapa ett konfidensintervall för µ 67,5. (7 p) LEDNING: Numeriska beräkningar behöver inte genomföras i detalj utan det räcker med att sätta upp det korrekta uttrycket för intervallet för att få full poäng på uppgiften.
Livförsäkringsmatematik I, 24 oktober 2007 4 Problemdel: Uppgift 4 Två personer, en man, x år gammal, och en kvinna, y år gammal, köper ett hus tillsammans. De tecknar varsin efterlevandepension på sina respektive liv med den andre som medförsäkrad. Syftet är att om en av dem avlider skall den överlevande kunna fortsätta att äga huset och betala räntor och amorteringar på huset genom att efterlevandepensionen täcker den avlidnes del. Försäkringsbelopp är på 100 000 kronor per år på respektive försäkring. Respektive efterlevandepension skall börja utbetalas om försäkrad individ avlider inom m år. Efterlevandepensionerna skall utbetalas under s år vardera. Försäkringarna betalas med engångspremier vid tecknandet. Försäkringarna är bara i kraft om respektive medförsäkrad lever. a) Ange, med gängse terminologi, engångspremien för respektive försäkring med x = 32 år och y = 26 år. (5 p) b) Beräkna med användande av sammansatt ålder, engångspremien för respektive försäkring om, med samma värden på x och y ovan, m = s = 10 år. Beräkna premier enligt bifogat tabellutdrag ur M90. (5 p) LEDNING: Man kan ha viss hjälp av definitionen av sammansatt ålder ω som definieras genom relationen β e γx + β e γy = β e γω. Numeriska kalkyler behöver ej genomföras för att uppnå full poäng på uppgiften, uppställda uttryck är tillräckligt. Problemdel: Uppgift 5 En man står i begrepp att förbättra sin framtida pension. Han är idag 40 år gammal och är beredd att satsa 12 000 kronor per år fram till pensioneringen som inträder vid 65 års ålder. Han väljer mellan två alternativa sparformer. Räkna med att alla insatta medel i alternativen nedan förräntas med ränteintensiteten δ. Beräkningar enligt M90.
Livförsäkringsmatematik I, 24 oktober 2007 5 a) Det första alternativet är att köpa en pensionsförsäkring med en årlig premie på det ovan angivna beloppet (12 000 kronor). Uttryck värdet av försäkringen vid 65 års ålder medelst lämpligt formeluttryck och ange ett numeriskt uttryck för värdet. (4 p) b) Som andra alternativ har han att spara samma belopp (12 000 kronor) på ett bankkonto (med samma förräntning som på försäkringen) i s = 10 år, det vill säga till dess han fyller 50 år och då teckna en pensionsförsäkring för resterande tid till pensionsåldern på samma belopp som ovan. Uttryck värdet av sammanlagda insatta medel vid 65 års ålder, under förutsättning att han ej avlider under de första 10 åren, medelst lämpligt formeluttryck och ange ett numeriskt uttryck för värdet. (4 p) c) Vilken av sparmetoderna ger honom högst pension? Motivera svaret. Ger alla kombinationer av x och s samma slutsats? Motivera även detta svar. (2 p) Lycka till!
Livförsäkringsmatematik I, 24 oktober 2007 6 x D x N x x D x N x x D x N x 0 1,0000 32,3955 1 0,9728 31,4092 41 0,3207 7,8606 81 0,0695 0,5756 2 0,9463 30,4497 42 0,3117 7,5444 82 0,0646 0,5085 3 0,9206 29,5162 43 0,3030 7,2371 83 0,0597 0,4464 4 0,8956 28,6082 44 0,2944 6,9384 84 0,0549 0,3892 5 0,8712 27,7249 45 0,2861 6,6482 85 0,0501 0,3367 6 0,8475 26,8656 46 0,2780 6,3661 86 0,0455 0,2889 7 0,8245 26,0296 47 0,2701 6,0921 87 0,0410 0,2456 8 0,8020 25,2165 48 0,2624 5,8259 88 0,0366 0,2069 9 0,7802 24,4254 49 0,2548 5,5673 89 0,0324 0,1724 10 0,7590 23,6559 50 0,2474 5,3162 90 0,0284 0,1419 11 0,7383 22,9073 51 0,2402 5,0724 91 0,0246 0,1154 12 0,7182 22,1790 52 0,2332 4,8357 92 0,0211 0,0926 13 0,6987 21,4707 53 0,2263 4,6059 93 0,0178 0,0731 14 0,6796 20,7815 54 0,2195 4,3830 94 0,0148 0,0568 15 0,6611 20,1112 55 0,2129 4,1668 95 0,0121 0,0433 16 0,6431 19,4591 56 0,2065 3,9571 96 0,0098 0,0324 17 0,6256 18,8248 57 0,2001 3,7539 97 0,0077 0,0237 18 0,6086 18,2078 58 0,1939 3,5569 98 0,0059 0,0169 19 0,5920 17,6075 59 0,1878 3,3661 99 0,0044 0,0118 20 0,5758 17,0237 60 0,1818 3,1813 100 0,0032 0,0080 21 0,5601 16,4558 61 0,1758 3,0025 101 0,0023 0,0052 22 0,5448 15,9033 62 0,1700 2,8296 102 0,0016 0,0033 23 0,5300 15,3660 63 0,1643 2,6624 103 0,0010 0,0020 24 0,5155 14,8433 64 0,1586 2,5010 104 0,0007 0,0012 25 0,5014 14,3348 65 0,1530 2,3452 105 0,0004 0,0006 26 0,4877 13,8403 66 0,1475 2,1949 106 0,0002 0,0003 27 0,4744 13,3593 67 0,1421 2,0501 107 0,0001 0,0002 28 0,4614 12,8915 68 0,1367 1,9107 108 0,0001 0,0001 29 0,4487 12,4365 69 0,1313 1,7767 109 0,0000 0,0000 30 0,4364 11,9939 70 0,1260 1,6481 110 0,0000 0,0000 31 0,4245 11,5635 71 0,1207 1,5247 111 0,0000 0,0000 32 0,4128 11,1449 72 0,1155 1,4066 112 0,0000 0,0000 33 0,4014 10,7378 73 0,1103 1,2937 113 0,0000 0,0000 34 0,3904 10,3419 74 0,1051 1,1860 114 0,0000 0,0000 35 0,3796 9,9569 75 0,0999 1,0835 115 0,0000 0,0000 36 0,3692 9,5825 76 0,0948 0,9861 116 0,0000 0,0000 37 0,3589 9,2185 77 0,0897 0,8938 117 0,0000 0,0000 38 0,3490 8,8646 78 0,0846 0,8067 118 0,0000 0,0000 39 0,3393 8,5204 79 0,0795 0,7246 119 0,0000 0,0000 40 0,3299 8,1858 80 0,0745 0,6476 120 0,0000 0,0000 Tabell 1: Kommutationsfunktioner, D x och N x, enligt M90, man, i = 3 %, belastning på ɛ = 0, 003.
Livförsäkringsmatematik I, 24 oktober 2007 7 x D x N x x D x N x x D x N x 0 1,0000 32,9868 1 0,9728 32,0005 41 0,3218 8,4390 81 0,0847 0,9183 2 0,9464 31,0410 42 0,3129 8,1217 82 0,0804 0,8358 3 0,9206 30,1075 43 0,3042 7,8131 83 0,0760 0,7576 4 0,8956 29,1995 44 0,2958 7,5131 84 0,0717 0,6837 5 0,8712 28,3161 45 0,2876 7,2215 85 0,0674 0,6141 6 0,8475 27,4568 46 0,2796 6,9379 86 0,0632 0,5489 7 0,8245 26,6208 47 0,2718 6,6622 87 0,0589 0,4878 8 0,8021 25,8076 48 0,2642 6,3943 88 0,0547 0,4310 9 0,7803 25,0165 49 0,2568 6,1338 89 0,0506 0,3784 10 0,7590 24,2469 50 0,2495 5,8807 90 0,0465 0,3298 11 0,7384 23,4982 51 0,2425 5,6346 91 0,0425 0,2853 12 0,7183 22,7699 52 0,2356 5,3956 92 0,0386 0,2448 13 0,6988 22,0614 53 0,2289 5,1633 93 0,0347 0,2082 14 0,6798 21,3722 54 0,2224 4,9377 94 0,0310 0,1753 15 0,6613 20,7017 55 0,2160 4,7186 95 0,0275 0,1461 16 0,6433 20,0495 56 0,2097 4,5057 96 0,0241 0,1203 17 0,6258 19,4150 57 0,2036 4,2991 97 0,0209 0,0978 18 0,6087 18,7978 58 0,1976 4,0985 98 0,0179 0,0785 19 0,5922 18,1974 59 0,1918 3,9038 99 0,0151 0,0620 20 0,5760 17,6134 60 0,1861 3,7148 100 0,0126 0,0481 21 0,5603 17,0452 61 0,1805 3,5316 101 0,0103 0,0367 22 0,5451 16,4926 62 0,1750 3,3539 102 0,0083 0,0275 23 0,5302 15,9549 63 0,1696 3,1816 103 0,0065 0,0201 24 0,5158 15,4320 64 0,1643 3,0146 104 0,0050 0,0144 25 0,5017 14,9233 65 0,1591 2,8529 105 0,0038 0,0100 26 0,4880 14,4284 66 0,1540 2,6963 106 0,0027 0,0068 27 0,4747 13,9471 67 0,1490 2,5448 107 0,0019 0,0044 28 0,4618 13,4788 68 0,1441 2,3982 108 0,0013 0,0028 29 0,4492 13,0234 69 0,1392 2,2566 109 0,0009 0,0017 30 0,4369 12,5804 70 0,1344 2,1197 110 0,0006 0,0010 31 0,4250 12,1495 71 0,1297 1,9876 111 0,0003 0,0005 32 0,4133 11,7304 72 0,1250 1,8603 112 0,0002 0,0003 33 0,4020 11,3227 73 0,1204 1,7375 113 0,0001 0,0001 34 0,3910 10,9262 74 0,1158 1,6194 114 0,0001 0,0001 35 0,3803 10,5405 75 0,1113 1,5059 115 0,0000 0,0000 36 0,3699 10,1654 76 0,1068 1,3968 116 0,0000 0,0000 37 0,3597 9,8006 77 0,1023 1,2922 117 0,0000 0,0000 38 0,3499 9,4458 78 0,0979 1,1921 118 0,0000 0,0000 39 0,3402 9,1008 79 0,0935 1,0965 119 0,0000 0,0000 40 0,3309 8,7653 80 0,0891 1,0052 120 0,0000 0,0000 Tabell 2: Kommutationsfunktioner, D x och N x, enligt M90, kvinna, i = 3 %, belastning på ɛ = 0, 003.
Livförsäkringsmatematik I, 24 oktober 2007 8 x-y ω - y x-y ω - y 0 10,29 1 10,95 21 27,62 2 11,63 22 28,56 3 12,33 23 29,51 4 13,06 24 30,46 5 13,80 25 31,42 6 14,56 26 32,38 7 15,34 27 33,34 8 16,14 28 34,31 9 16,95 29 35,28 10 17,78 30 36,25 11 18,62 31 37,23 12 19,48 32 38,21 13 20,34 33 39,19 14 21,22 34 40,17 15 22,11 35 41,15 16 23,01 36 42,14 17 23,92 37 43,13 18 24,83 38 44,11 19 25,75 39 45,10 20 26,68 40 46,09 Tabell 3: Sammansatt ålder
Livförsäkringsmatematik I, 24 oktober 2007 9 ω D ω N ω ω D ω N ω ω D ω N ω 0 1,0000 32,0881 1 0,9718 31,1022 41 0,3088 7,9454 81 0,0781 0,8405 2 0,9445 30,1441 42 0,3000 7,6410 82 0,0740 0,7644 3 0,9179 29,2130 43 0,2914 7,3453 83 0,0700 0,6924 4 0,8920 28,3081 44 0,2831 7,0581 84 0,0659 0,6245 5 0,8669 27,4288 45 0,2749 6,7791 85 0,0619 0,5606 6 0,8425 26,5741 46 0,2670 6,5082 86 0,0579 0,5006 7 0,8187 25,7436 47 0,2593 6,2450 87 0,0540 0,4447 8 0,7957 24,9364 48 0,2518 5,9895 88 0,0501 0,3926 9 0,7723 24,1520 49 0,2445 5,7413 89 0,0463 0,3444 10 0,7515 23,3896 50 0,2374 5,5004 90 0,0425 0,3001 11 0,7303 22,6488 51 0,2304 5,2666 91 0,0388 0,2594 12 0,7097 21,9288 52 0,2237 5,0395 92 0,0352 0,2225 13 0,6897 21,2291 53 0,2171 4,8192 93 0,0317 0,1891 14 0,6703 20,5492 54 0,2107 4,6053 94 0,0283 0,1591 15 0,6514 19,8883 55 0,2044 4,3978 95 0,0250 0,1325 16 0,6331 19,2462 56 0,1983 4,1964 96 0,0219 0,1091 17 0,6152 18,6221 57 0,1923 4,0011 97 0,0190 0,0886 18 0,5979 18,0156 58 0,1865 3,8117 98 0,0162 0,0711 19 0,5810 17,4262 59 0,1808 3,6281 99 0,0137 0,0561 20 0,5646 16,8534 60 0,1752 3,4501 100 0,0114 0,0436 21 0,5487 16,2968 61 0,1698 3,2776 101 0,0093 0,0332 22 0,5332 15,7559 62 0,1645 3,1105 102 0,0075 0,0249 23 0,5182 15,2302 63 0,1592 2,9486 103 0,0059 0,0182 24 0,5035 14,7194 64 0,1541 2,7919 104 0,0045 0,0130 25 0,4893 14,2230 65 0,1491 2,6403 105 0,0034 0,0091 26 0,4755 13,7406 66 0,1442 2,4937 106 0,0025 0,0061 27 0,4621 13,2718 67 0,1394 2,3519 107 0,0018 0,0040 28 0,4490 12,8163 68 0,1346 2,2149 108 0,0012 0,0025 29 0,4363 12,3737 69 0,1300 2,0826 109 0,0008 0,0015 30 0,4240 11,9435 70 0,1254 1,9550 110 0,0005 0,0009 31 0,4120 11,5256 71 0,1208 1,8319 111 0,0003 0,0005 32 0,4003 11,1194 72 0,1164 1,7133 112 0,0002 0,0003 33 0,3890 10,7248 73 0,1119 1,5992 113 0,0001 0,0001 34 0,3780 10,3413 74 0,1076 1,4894 114 0,0000 0,0001 35 0,3672 9,9688 75 0,1033 1,3840 115 0,0000 0,0000 36 0,3568 9,6068 76 0,0990 1,2829 116 0,0000 0,0000 37 0,3467 9,2550 77 0,0947 1,1860 117 0,0000 0,0000 38 0,3368 8,9133 78 0,0905 1,0934 118 0,0000 0,0000 39 0,3272 8,5813 79 0,0864 1,0050 119 0,0000 0,0000 40 0,3179 8,2588 80 0,0822 0,9207 120 0,0000 0,0000 Tabell 4: Kommutationsfunktioner, D ω och N ω, enligt M90, sammansatt ålder, i = 3 %, belastning på ɛ = 0, 003.