Uppsala universitet Institutionen för informationsteknologi Teknisk databehandling Tentamen i Beräkningsvetenskap II, 5.0 hp, 2011-12-16 Skrivtid: 14 00 17 00 (OBS! Tre timmars skrivtid!) Hjälpmedel: Bifogat formelblad och miniräknare. För fullt uppfyllda mål och kriterier på uppgifterna krävs fullständiga räkningar och utförliga resonemang samt motivering till alla svar. Kursmål (förkortade), hur de täcks i uppgifterna och maximalt betyg (med reservation för modifieringar). Fråga nr Nyckelbegrepp Algoritmer Analys Värdera 1 3 3 2 3, 3 3 3 3 4 3, 3 5 3 6 4, 5 7 4, 5 Del A 1. (a) För att visa att du kan använda Eulers metod (Euler framåt) ska du tillämpa den på differentialekvationen y (t) + 1000 y(t) 2 t = 0, t 0, y(0) = 1 och beräkna y(0.2) med steglängd h = 0.1. (b) Om man använder Euler bakåt (implicit Euler) för problemet ovan och utför motsvarande beräkning får man ett helt annat resultatet, nämligen y(0.2) = 0.0294. Ange vilken av metoderna som sannolikt ger en mer korrekt lösning och varför (utan någon analys). 2. Kursen innehåller ett antal nyckelbegrepp som är viktiga att förstå för att över huvudtaget kunna förstå och värdera beräkningsmetoder. Två sådana begrepp är lokalt fel och noggrannhetsordning. (a) Förklara begreppet noggrannhetsordning. (b) Förklara begreppet lokalt fel (hos en metod för att lösa ode:er). 1
3. I tabellen nedan visas viskositet, v hos en olja (enhet Ns/m 2 10 5 ) som funktion av temperaturer T (grader Celsius). Värdena för viskositet är logaritmerade eftersom det då visar sig att ett andragradspolynom då ger en bra anpassning till data. T -20-10 0 10 20 log 10 (v) 0.6 0.1-0.4-0.7-1.0 (a) Hitta det andragradspolynom på formen a 0 +a 1 T +a 2 T 2 = log 10 (v) som i minsta kvadratmening bäst anpassar data. (b) I Matlab skulle du kunna använda kommandot polyfit för att lösa ovanstående problem. Det kommandot kan användas på olika sätt, dels det vanliga sättet genom anropet p = polyfit(t, log10(v), 2) men också genom anropet [p,s,mu] = polyfit(t, log10(v), 2) (utparametern s kan vi bortse från här). Det medför att ansatsen ändras till a 0 + a 1 T T m T s + a 2 ( ) 2 T Tm = log 10(v), T s där T m och T s är medelvärdet respektive standardavvikelsen över T. I hjälptexten för kommandot polyfit kan man läsa: [P,S,MU] = POLYFIT(X,Y,N) finds the coefficients of a polynomial in XHAT = (X-MU(1))/MU(2) where MU(1) = MEAN(X) and MU(2) = STD(X). This centering and scaling transformation improves the numerical properties of both the polynomial and the fitting algorithm. Av vilket skäl skulle man använda den andra varianten framför den första? För att svara på den frågan måste du ange vilka numeriska egenskaper man förbättrar. Det räcker med en egenskap och det behövs ingen analys eller uträkning? 4. (a) För stabilitetsanalys av numeriska metoder för ODE:er används den s k testekvationen y (t) = λy(t). Vilket blir stabilitetsvillkoret på steglängden h i Eulers metod (explicit Euler) om λ = 100? Visa det genom att härleda stabilitetsvillkoret. (b) Antag att du löser en ODE med ode23 i Matlab och beräkningen tar 10 minuter. Den funktionen använder en metod av noggrannhetsordning 2. Nu vill du öka noggrannheten med en faktor 4. Ungefär hur lång tid kommer det att ta (eller hur många fler beräkningsteg kommer att behövas)? Reovisa hur du tänkt. 5. Som en del av Monte carlosimuleringar ingår att generera slumpat ur olika typer av fördelningar. I många fall har man bara tillgång till slumptal ur likforming- och normalfördelning. För att gå från likformig fördelning till någon annan fördelning har vi i kursen använt algoritmen invers transform sampling. Du ska här visa att du 2
behärskar den algorimen genom att beskriva den för följande exempel: En viss process har tre möjliga utfall X = {0.5, 1, 3} som sker med sannolikhet, dvs har sannolikhetsfunktion: P (X = 0.5) = 0.2, P (X = 1) = 0.4, P (X = 3) = 0.4. Du ska alltså givet ett slumpat u från U(0, 1) (likformig fördelning på 0 till 1) beskriva hur det går till att hitta ett slumptal ur den diskreta sannolikhetsfunktionen ovan. Du behöver inte skriva någon kod, utan bara beskriva principen. Del B 6. Vi återgår här till problemet i uppgift 1, dvs y (t) + 1000 y(t) 2 t = 0, t 0, y(0) = 1. Antag att du har tänkt lösa det problemet och har att välja mellan Trapetsmetoden och Heuns metod. Frågan är då vilken metod som är bäst i den meningen att den snabbast hittar en lösning på ett visst intervall [0 T ]. Du har slagit upp att stabilitetsområdet för Heuns metod är λh [ 2 0] om vi begränsar oss till den reella axeln, vilket kan duga här. Beskriv hur man kan resonera för det här specifika problemet (dvs problemet i uppgift 1). 7. I Beräkningsvetenskap I ingick lösning av linjära ekvationssystem och i det sammanhanget ett systems känslighet för störningar. Detta kallades för systemets kondition och kunde mätas med konditionstal (se formelblad för definitioner). Den här kursen (dvs Beräkningsvetenskap II) har väckt ditt intresse för Monte Carlometoder, och frågan är om man inte skulle kunna uppskatta ett linjärt ekvationssystems störningskänslighet med sådana metoder? Fundera på och skriv ner hur en metod att beräkna ett linjärt systems störningskänslighet baserat på Monte Carlometoder skulle kunna se ut. Det ska framgå själva idén samt en algoritmskiss. Dessutom ska det ingå en värdering av metoden i jämförelse med standardsättet att beräkna konditionstal (utifrån relevant/relevanta nyckelbegrepp). Vilken information ger den ena metoden och vilken information ger den andra? Du kan anta att du har ett linjärt ekvationssystem av storlek n. 3
ÍÔÔ Ð ÙÒÚÖ ØØ ÁÒ Øº Ö ÒÓÖÑØÓÒ ØÒÓÐÓ Úº Ö ØÒ ØÒÐÒ ÐÒ ÓÖÑÐÖ ÖÒÒ ÚØÒ Ô Á Ó ÁÁ ½º ÐÝØØÐ Ó ÚÖÙÒÒÒ Ð ØØ ÝØØÐ Ð(Ü) ÖÔÖ ÒØÖ ÒÐØ Ð(Ü) = ˆÑ ˆÑ = ( 0 1 2 Ô 1 ) 0 0 = 0 Ä Í Ö ØÒÖ Ó Ô ÔÖ ÓÒº ØØ ÝØØÐ Ý ØÑ ÒÖ È ( Ô Ä Í)º Å ÒÔ ÐÓÒ ÚÖÙÒÒÒ ÒØÒµ Å = 1 2 1 Ô Ó Ò ÒÖ ÓÑ Ø ÑÒ Ø ØÐ ÒØ ØØ Ð(1 + ) 1º ¾º ÄÒÖ Ó ÐÒÖ ÚØÓÒÖ ÆÛØÓÒ¹ÊÔ ÓÒ ÑØÓ Ü +1 = Ü Ö Ý ØÑ Ü +1 = Ü ÜÔÙÒØ ØÖØÓÒ Ö Ü = (Ü) Ü +1 = (Ü ) ÃÓÒÚÖÒ ÚÓØ ÓÒÚÖÒ ØØ Ü +1 lim ½ Ü Ü = Ü ÐÐÑÒ ÐÙÔÔ ØØÒÒ Ü Ü (Ü ) min ¼ (Ü) (Ü ) ¼ (Ü ) [ ¼ ] 1 (Ü ) Ö Ü Ó (Ü ) Ö ÚØÓÖÖ Ó ¼ Ö ÂÓÒÒº ÃÓÒØÓÒ ØÐØ cond() = 1 ÑØÖ Ò ÐØÒ Ö ØÖÒÒÖ Ó ÚØÓÒ Ý ØÑØ Ü = º Ø ÐÐÖ ØØ Ü Ü cond() Ö Ü = Ü ˆÜ Ó = ˆº ÆÓÖÑÖ ÚØÓÖ¹ Ö ÔØÚ ÑØÖ ÒÓÖѵ Ü 2 = Ô Ü 1 2 + + Ü Ò 2 Ü 1 = È Ü Ü ½ = max Ü 1 = ÑÜ ( È ) ½ = ÑÜ ( È ) º ÔÔÖÓÜÑØÓÒ ÆÛØÓÒ ÒØÖÔÓÐØÓÒ ÔÓÐÝÒÓÑ Ô(Ü) Ú Ö Ò ÔÙÒØÖ (Ü 1 Ý 1 ) (Ü Ò Ý Ò ) ÝÖ Ô Ò Ø Ò Ô(Ü) = 0 + 1 (Ü Ü 1 ) + 2 (Ü Ü 1 )(Ü Ü 2 ) + + Ò 1 (Ü Ü 1 ) (Ü Ü Ò 1 ) ÅÒ ØÚÖØÔÔÖÓÜÑØÓÒÒ ØÐÐ ÔÙÒØÑÒÒ (Ü 1 Ý 1 ) (Ü 2 Ý 2 ) (Ü Ñ Ý Ñ ) Ñ ØØ ÒÖ ÔÓÐÝÒÓÑ Ô(Ü) = 0 1 + 1 Ü + + Ò Ü Ò Ò ÓÖÑÙÐÖ ÓÑ ØØ ÚÖ ØÑØ ÚØÓÒ Ý ØÑ Ü = Ö Ö Ñ Ò Ñ Òº ÅÒ ØÚÖØÐ ÒÒÒ Ò ÙÖ ÒÓÖÑÐÚ¹ ØÓÒÖÒ Ì Ü = Ì
º ÇÖÒÖ ÖÒØÐÚØÓÒÖ ÙÐÖ ÑØÓ ÜÔÐØ ÙÐÖµ Ý +1 = Ý + (Ü Ý ) ÒºÓº ½ ÁÑÔÐØ ÙÐÖ ÙÐÖ Øµ Ý +1 = Ý + (Ü +1 Ý +1 ) ÒºÓº ½ ÌÖÔØ ÑØÓÒ Ý +1 = Ý + 2 ((Ü Ý ) + (Ü +1 Ý +1 )) ÒºÓº ¾ ÀÙÒ ÑØÓ ØÐÐÖ ÖÙÔÔÒ ÊÙÒ¹ÃÙØØÑØÓÖµ à 1 = (Ü Ý ) à 2 = (Ü +1 Ý + à 1 ) Ý +1 = Ý + 2 (à 1 + à 2 ) ÒºÓº ¾ ÃÐ ÊÙÒ¹ÃÙØØ Ã 1 = (Ü Ý ) à 2 = (Ü + 2 Ý + 2 à 1) à 3 = (Ü + 2 Ý + 2 à 2) à 4 = (Ü +1 Ý + à 3 ) Ý +1 = Ý + 6 (à 1 + 2à 2 + 2à 3 + à 4 ) ÒºÓº º ÆÙÑÖ ÒØÖØÓÒ ÌÖÔØ ÓÖÑÐÒ ÖÒÒ Ô ØØ ÐÒØÖÚÐÐ Ñ ØÐÒ = Ü +1 Ü+1 Ü (Ü) Ü = 2 [(Ü ) + (Ü +1 )] ËÑÑÒ ØØ ÓÖÑÐ Ô ÐØ ÒØÖÚÐÐ [ ] Ú ØÒØ ØÐÒ = (Ü) Ü 2 [(Ü 0) + 2(Ü 1 ) + + 2(Ü Æ 1 ) + (Ü Æ )] Ê ÖØ ÖÒ ÐØ Ê Ô ÐØ ÒØÖÚÐÐ [ ] Ú (Ü) Ü = Ì () + Ê Ö ( ) Ê = 2 ¼¼ () 12 ÙÒØÓÒ ÐØ ÚÖ ÖÒ µ ( ) Ö Ö Ò ÚÖ ÖÒ Ö ÓÐÙØ ÐØ ÚÖ ÙÒØÓÒ ¹ ÖÒÒº ËÑÔ ÓÒ ÓÖÑÐ ÖÒÒ Ô ØØ ÙÐÒØÖÚÐÐ Ñ ØÐÒ Ü+2 Ü (Ü) Ü = 3 [(Ü ) + 4(Ü +1 ) + (Ü +2 )] ËÑÑÒ ØØ ÓÖÑÐ Ô ÐØ ÒØÖÚÐÐ [ ] Ú ØÒØ ØÐÒ = (Ü) Ü 3 [(Ü 0) + 4(Ü 1 ) + 2(Ü 2 ) + 4(Ü 3 ) + + 2(Ü Æ 2 ) + 4(Ü Æ 1 ) + (Ü Æ )] Ê ÖØ ÖÒ ÐØ Ê Ô ÐØ ÒØÖÚÐÐ [ ] Ú (Ü) Ü = Ë() + Ê Ö ( ) Ê = 180 4 ¼¼¼¼ () ÙÒØÓÒ ÐØ ËÑÑ ÓÑ Ö ØÖÔØ ÓÖÑÐÒ ÓÚÒº Ü
º ÊÖ ÓÒÜØÖÔÓÐØÓÒ ÇÑ 1 () Ó 1 (2) Ö ØÚ ÖÒÒÖ Ø Ü ØØ Ø Ò ÖÒÒ Ú Ò ÒØÖÐ ÐÐÖ Ò Çµ Ñ Ò ÑØÓ Ú ÒÓÖÒÒØ ÓÖÒÒ Ô Ñ ØÐÒ Ö ÔØÚ ÙÐ ØÐÒ 2 Ö Ê() = 1() 1 (2) 2 Ô 1 Ò ÙÔÔ ØØÒÒ Ú Ò ÐÒ ØÖÑÒ ØÖÙÒÖÒ ÐØ 1 ()º ÃÒ ÚÒ ÒÚÒ Ö ØØ ÖØØÖ ÒÓÖÒÒØÒ 1 () ÒÓÑ () = 1 () + 1() 1 (2) 2 Ô 1 º ÆÙÑÖ ÖÚÖÒ Ö ÒÙÑÖ ÖÚÖÒ ÒÚÒ ÖÒ ÓÖÑÐÖ (Ü+) (Ü ) ¼ (Ü) 2 ÒØÖÐÖÒ ¼ (Ü+) (Ü) (Ü) ÖÑØÖÒ ¼ (Ü) (Ü ) (Ü) ØÖÒ ¼¼ (Ü) (Ü+) 2(Ü)+(Ü ) 2 º ÅÓÒØ ÖÐÓÑØÓÖ Ò ÚÖÖÔÒ ØÖÙØÙÖÒ Ö ÅÓÒØ ÖÐÓ ÑÙÐÖÒÖ Ö ÁÒØ Æ ÒØÐ Ö µ ÓÖ ½Æ Ò ÍØÖ Ò ØÓ Ø ÑÙÐÖÒ Ö ÙÐØØ µ Ö ÙÐØØØ Ú ÑÙÐÖÒÒ ÐÙØÖ ÙÐØØ ÒÓÑ ÒÓÒ ØØ Ø ÖÒÒ Ø Ü ÑÐÚÖØ ÑÒ Ö ÙÐØص ÆÓÖÒÒØ ÓÖÒÒ Ö ÅÓÒØ ÖÐÓÑØÓÖ Ö Ç( 1 Ô Æ ) Ö Æ Ö ÒØÐ ÑÔÐÒÖº ÃÙÑÙÐØØÚ ÖÐÒÒ ÙÒØÓÒ (Ü) = Ê Ü½ (Ý)Ý ÆÓÖÑÐÖÐÒÒ (Ü) = 1 Ô 2 (Ü ) 2 2 2 ÖØÑØ Ø ÑÐÚÖ ÖØ Ô Æ ÖÐ ØÓÒÖ Ü Ú ÐÙÑÔÚÖÐÒ = 1 Æ È Æ =1 Ü º º ÌÝÐÓÖÙØÚÐÒ ÌÝÐÓÖÙØÚÐÒ Ú Ý(Ü + ) ÖÒ Ü Ý(Ü + ) = Ý(Ü ) + Ý ¼ (Ü ) + 2 2! ݼ¼ (Ü ) + 3 3! ݼ¼¼ (Ü ) + Ç( 4 )