Ett Sammelsurium av Matematiskt Nonsens, Matematikens Grundvalar. Professor Ivar

Ett Sammelsurium av Matematiskt Nonsens, Matematikens Grundvalar. Professor Ivar April 4, 2017

ii

Contents Företal v 1 Mängdteori. 1 1.0.1 Matematikens språk:................... 2 1.0.2 Uppgifter:......................... 13 2 Induktion, Rekursion och de Naturliga Talen. 15 2.1 Peanoaritmetiken.......................... 17 2.1.1 Uppgifter.......................... 22 3 Andra Talsystem: Z, Q och R 23 3.1 Heltalen Z............................. 23 3.2 De rationella talen Q........................ 26 3.3 De Reella Talen R......................... 26 3.4 Uppgifter............................. 33 4 Oändligheter, uppräkneliga och överuppräkneliga. 35 4.1 Uppgifter............................. 43 5 Urvalsaxiomet. 45 6 Fullständiga rum, Riemann integralen och Arzela-Ascolis Sats. 47 7 Lebesgueintegralen 1: Måtteori. 49 8 Lebsegueintegralen 2: Denition och konvergens. 51 9 Ger våra axiom all matematik? Gödel och Cohen. 53 iii

iv CONTENTS 10 Mer om att mäta mängder: Hausdormått. 55 11 Icke standard analys. 57

Företal I den här modulen så kommer vi att undersöka matematikens grundvalar, d.v.s. de fundament som matematiken bygger på. Oftast när man studerar matematik så tar man de naturliga talen, de rationella talen och de reella talen för givet. Man antar också att enkla räkneregler, såsom 4 + 3 = 3 + 4, gäller. Ofta så har man lärt sig dessa regler tidigt i grundskolan där dess giltighet motiverades, om alls, med något i stil med Om man först lägger fyra och sen tre äpplen i en korg så kommer korgen att innehålla lika ånga äpplen som om man först lade tre och sen fyra äpplen i korgen., Den motiveringen kan förvisso vara sann. Men det är något väldigt otillfredsställande med om man först måste väva krogar och sen odla äpplen för att kunna göra matematik. Ett annat problem med att bygga matematiken utifrån vardagsintuition är att det är väldigt svårt att dra gränsen mellan vilka argument som är giltiga och vilka argument som inte är det. Många matematiska begrepp, t.ex. irrationella tal, motsvaras inte av någon vardagsintuition. Andra begrepp, såsom t.ex. kontinuerliga funktioner, låter sig inte denieras i termer av vår vardagslogik. Vi kommer att se (Russells Paraadox) att ett naivt tillämpande av vardagslogik leder till direkta motsägelser i matematiken. Huvudsyftet med den här modulen är att skissa hur matematiken byggs upp axiomatiskt från ett fåtal enkla begrepp och axiom. Vi kommer inte att kunna bygga upp hela matematiken utifrån axiom i den här kursen - det vore allt för tråkigt. Men vi kommer att försöka indikera hur man konstruerar reella tal, bevisar att 4 + 3 = 3 + 4 utifrån ett antal axiom. Vi kommer även att utveckla relativt avancerad analys. Specikt så kommer vi att fokusera på begreppen längd och yta - vilket naturligtvis leder till integralen. Vi kommer även att titta lite på, utan att ge mer än antydningar till bevisen, matematikens grundvalar ur ett metamatematiskt perspektiv. Detta innebär att ställa frågor såsom kan vi bevisa alla sanna satser utifrån v

vi FÖRETAL våra axiom? Finns det satser som varken är oavgörbara (d.v.s. varken kan bevisas eller motbevisas) i vårt axiomsystem. Förhoppningsvis så kommer den här modulen att leda till reektion kring vad ett bevis är, vad ett axiom är och vad matematik är. Och med lite ansträngning så kommer vi att lära oss lita analys på vägen.

Chapter 1 Mängdteori. Målet med det här kapitlet är att lägga grunderna för all vanlig matematik. Med att lägga grunden menar vi att bestämma vilka symboler vi får använda, vilka metoder vi tillåter i bevis och vilka axiom vi använder. Att bygga upp hela matematiken från enkla axiom är naturligtvis väldigt svårt och abstrakt så vi kommer inte att redovisa alla detaljer. Syftet är snarare att ge en uppfattning om hur man kan lägga grunderna för matematiken utifrån ett fåtal axiom. Det första vi måste göra är att komma överens om vilka objekt som ska ligga till grund för den matematik vi skapar. Som det här kapitlets titel vittnar om så kommer vi att basera matematiken på mängdläran och de fundamentala objekten vi kommer att bygga matematiken på kommer att vara mängder. Vi kommer inte att formellt deniera vad en mängd är, precis som vi inte specicerar vad en punkt är när vi denierar en mångfald. Vi kommer att tänka på en mängd som en samling av saker som vi har samlat ihop till ett objekt. Till exempel så tänker vi oss att vi kan ta 1, 2 och 3 och samla ihop dem till en mängd {1, 2, 3}. Vi kommer att använda era olika konventioner för att beskriva en mängd. Om mängden innehåller få element, t.ex. a, b, c,..., r så kommer vi att skriva mängden {a, b, c, d,..., r}. Ibland så kommer vi att använda notationen {a; f(a)}, där f(a) är en formel eller en relation, för att beskriva mängden av alla element som uppfyller f(a). T.ex. så kommer vi att skriva {a; a 2 > 0 och a R} för mängden av alla reella tal som är skilda från noll. Vi säger att två mängder är samma om de innehåller samma element, d.v.s. {a; a 2 > 0 och a R} = {a; a 0 och a R}. Om en mängd A innehåller ett element a så skriver vi a A, t.ex. så kommer 8 {x; x = 2y för något y N}. 1

2 CHAPTER 1. MÄNGDTEORI. Om a inte ligger i A så skriver vi a / A. Den första frågan vi ska ställa oss är Vilka mängder existerar?. Frågan kan tyckas konstig. Är det inte uppenbart att vanliga mängder såsom mängden av alla jämna tal eller mängden av alla lösningar till en given ekvation existerar. Men, som vi ska se i nästa exempel, så ligger det en paradox och ruvar under ett naivt antagande att alla mängder existerar. Exempel 1: Vissa mängder innehåller sig själva. Man skulle kunna änka sig att skapa en mängd som innehåller alla mängder som är matematiskt intressanta - den mängden skulle själv vara intressant och därför innehålla sig själv. Eller så skulle man kunna skapa mängden av alla mängder som kan beskrivas med färre än 12 ord vilken innehåller sig själv. Andra mängder innehåller inte sig själva. Till exempel så är mängden som innehåller alla kontinuerliga funktioner inte själv en kontinuerlig funktion. Eftersom vissa mängder innehåller sig själva och andra inte gör det så kan vi bilda mängden av mängder som inte innehåller sig själva: A = {x; x är en mängd så att x / x}. Om A A så kommer A / A vilket är en motsägelse. Men om A / A så kommer A A vilket igen är en motsägelse. D.v.s. om vi okritiskt tillåter vad som helst att vara en mängd så får vi motsägelser i matematiken. Ovanstående exempel är förödande för matematiken. Om matematiken innehåller en motsägelse så kan vi aldrig lite på några resultat vi bevisar. För att säkerställa att den matematik vi gör leder från sanningar till sanningar så måste vi undersöka matematikens grundvalar, vilka principer som leder till riktiga slutsatser och vilka matematiska objekt som kan existera. Vi börjar med att specicera vilka symboler vi får använda i matematiken. 1.0.1 Matematikens språk: Vi kommer endast att använda ett fåtal odenierade symboler. Våra symboler kommer främst att komma från logiken. Vi kommer också att använda parenteser ( och ) för att avgöra prioriteten av olika symboler (ibland använder vi [ och ] för tydlighetens skull). Logiska symboler: Vi kommer att använda symbolerna (inte), (eller), (och), (implicerar), (ekvivalent). Det nns en hel teori om logik och vilka slutledningar som är giltiga i logiken. Vi kommer att anta att ni är bekanta med dessa menlåt oss kort sammanfatta det väsentliga. Typiskt så används logiken för att sätta samman utsagor A, B, C... Utsagorna är antingen sanna eller falska. Från dessa utsagor så kan man bilda

3 nya utsagor: A B (A och B) eller A B (A implicerar B) et.c. Det intressanta är hur man kan härleda sanningen om utsagor ur redan bevisade utsagor. T.ex. om vi vet att A B är sann och att A är sann då kan vi dra slutsatssen att B är sann. På samma sätt så kan vi från A B och A dra slutsatsen att B är sann. 1 Vi kommer även att använda symbolerna (för alla) och (det existerar). Vi utläser xφ(x) som Det existerar ett x så att φ(x). och xφ(x) som För alla x så gäller φ(x). Ibland så kommer vi att skriva x Aφ(x) för Det existerar ett x i mängden A så att φ(x). och på motsvarande sätt för x Aφ(x). Ibland så kommer vi att förkorta x y... eller x A y A... till x, y eller x, y A et.c. Även dessa symboler har vissa härledningsregler. Till exempel så kan man från x(x 2 0) dra slutsatsen att 3 2 0; om det för alla x gäller att x 2 0 så följer det att, för ett specikt x såsom x = 3, 3 2 0. Vi inför er logiska symboler än vi behöver, man skulle t.ex. kunna deniera x som x. Detta är rimligt för om det nns något x så att en utsaga P (x) är sann, d.v.s. om xp (x), så är det inte sant att P (x) är falsk ( P (x)) för alla x, d.v.s. x P (x). På samma sätt så skulle man kunna deniera A B såsom (A B) (B A). Ibland så kommer vi följa matematisk praxis och skriva ut de logiska symbolerna i ord A och B istället för A B et.c. Variabler: För att uttrycka olika objekt så kommer vi att använda variablerna x, y, z,... och ibland x 1, x 2, et.c. Alla objekt vi kommer att jobba med kommer att vara mängder Vi kommer också att använda P (x), Q(x) eller P 1 (x), P 2 (x) et.c. för att uttrycka formler med en (eller ibland era) obekanta mängder x, y,... Mängdteoretiska symboler: Vi kommer att använda = (lika med) och (ligger i). Likheten = används för att uttrycka att två mängder är samma och för att uttrycka att en mängd är ett element i en annan mängd. Dessa är alla symboler vi behöver för att skapa all matematik! Men för att härleda satser så behöver vi hålla något för sant. Vi kommer därför att införa vissa axiom som vi inte kommer att betvivla. Axiom 1. [Extensionalitetsaxiomet] För alla mängder x och y så kom- 1 Om vi vet A B, d.v.s. att A eller B är sanna, och A, d.v.s att A är falsk, då följer det att B är sann.

4 CHAPTER 1. MÄNGDTEORI. mer x = y om och endast om x och y har samma element: (x = y) z(z x z y). Det här axiomet kan nästan misstolkas som en denition av =. Men vi ser = som en primitiv symbol som vi inte denierar. Axiomet säger att det inte nns något annat än en mängds element som avgör vad mängden är. Varje mängd bestäms unikt av vilka mängder (element) den innehåller. Axiomet säger också att ordningen av elementen är irrelevant. T.ex. så är {1, 2, 3, 4} = {4, 3, 2, 1}. Just nu så vet vi inte ens om det existerar några mängder över huvud taget. Vi måste antaga att det nns i alla fall en mängd för att få något att teoretisera om. Axiom 2. [Tomma mängdens axiom] Den tomma mängden existerar. D.v.s. det existerar en mängd, som vi kommer att kalla, så att x(x / ). (1.1) I ovanstående axiom så använder vi förkortningen x / istället för (x ). Hjälpsats 1.1. Den tomma mängden är unik. Bevis: Antag att det nns två tomma mängder 1 och 2 som uppfyller (1.1). Då kommer x ((x 1 ) (x 2 )), eftersom båda led i (x 1 ) (x 2 ) alltid är falska. Men enligt Axiom 1 så kommer 1 = 2. Det följer att alla tomma mängder är lika med varandra, d.v.s. samma. Vi har nu ett axiom som säger att den tomma mängden existerar och ett axiom som implicerar att den tomma mängden är unik. Vi behöver uppenbarligen er axiom för att kunna göra intressant matematik. Axiom 3. [Parningsaxiomet.] För alla mängder A och B (som existerar) så existerar det en mängd C = {A, B}. Uttryckt formler A B C ( (A C) (B C) ( D [ (D C) ( (D = A) (D = B) )] ) ). Från det sista axiomet så kan vi skapa nya mängder.

5 Sats 1.1. Följande mängder existerar:, { }, {, { }} och {{ }, {, { }}}. Bevis: Att existerar är bara Axiom 2. Eftersom existerar så kan vi sätta A = och B = i Axiom 3. Det följer att C = {, } existerar. Men, enligt Axiom 1, {, } = { } eftersom båda mängderna har samma element. Det följer att { } existerar. På samma sätt så följer existensen av {, { }} från Axiom 3 genom att välja A = och B = { } vilka båda existerar enligt tidigare delar av beviset. Att sista mängden vi hävdar existerar verkligen existerar visas på samma sätt. Vi kan givetvis fortsätta att visa existensen av er mängder på samma sätt som i Sats 1.1. T.ex. så existerar {, {{ }, {, { }}}} och {{, { }}, {{ }, {, { }}}}. Problemet är att Axiom 3 endast talar om att mängder med två element existerar. Om vi vill skapa mer intressanta mängder så behöver vi ett nytt axiom. Axiom 4. [Unionsaxiomet.] För varje mängd A så existerar det en mängd C som innehåller precis alla element av element av A. I formler: A C[ (x C B(B A) (x B) ) x ( B ( (B A) (x B) ) x C ) ]. Vi kan nu prata om unionen av ett antal mängder. Axiom 4 säger att om vi har ett antal mängder A 1, A 2,..., A n (där n kan vara lika med oändligheten) och mängden B = {A 1, A 2,..., A n } då existerar en mängd, som vi kommer att kalla B, som består av alla mängder som är är element i någon av A j : B = {x; A n (A n B) (x A n )}. I ovanstående formel så använder vi, och kommer även i fortsättningen att använda, förkortningen x B... för x(x B)... Vi kan nu bevisa följande sats. Sats 1.2. Följande mängder existerar, { }, {, { }}, {, { }, {, { }}}, {, { }, {, { }}, {, { }, {, { }}}}...

6 CHAPTER 1. MÄNGDTEORI. Bevis: De första tre mängderna existerar enligt Sats 1.1. Låt oss visa att {, { }, {, { }}} existerar. Eftersom A 1 = {, { }} och existerar så kommer, enligt Axiom 3, följande mängd att existera. A 2 = {, {, { }}}. Använder vi Axiom 3 igen så kan vi slutleda att {A 1, A 2 } existerar. Använder vi Axiom 4 så kan vi dra slutsatsen att {A 1, A 2 } = {, { }, {, { }}} existerar. Att visa att den sista mängden existerar kan göras på samma sätt. Som läsare så har man rätt att fråga sig om vi är på väg någonstans med dessa satser. Skapar vi bara en massa meningslösa mängder so inte leder någonstans. Men låt oss döpa mängderna vi skapade i Sats 1.2 på följande sätt 0 = 1 = { } = {0} 2 = {, { }} = {0, 1} 3 = {, { }, {, { }}} = {0, 1, 2} 4 = {, { }, {, { }}, {, { }, {, { }}}} = {0, 1, 2, 3} (1.2) 5 = {0, 1, 2, 3, 4} 6 = {0, 1, 2, 3, 4, 5}. n + 1 = {0, 1, 2,..., n}. Beviset för att mängderna som vi kallar 5, 6... existerar bevisas precis som Sats 1.2. Vi kan därför skapa vilket naturligt tal vi vill - om vi kommer överens om att ett naturligt tal är en mängd på formen som anges i (1.2). Om vi vill kunna tala om alla naturliga tal, vilket vi vill, så behöver vi ett nytt axiom. Axiom 5. [Oändliga mängdens Axiom] 2 Det existerar en mängd N så att 2 Det nns era varianter av det här axiomet i olika texter. Oftast så inkluderar man bara de två första punkterna i det här axiomet. Man kan utifrån de två punkterna bevisa att det existerar en mängd som även uppfyller den tredje punkten. Det krävs dock ett icke trivialt bevis för detta och eftersom vi i alla fall bara kommer att använda mängden N såsom speciceras i vårt axiom så lägger vi till den tredje punkten.

7 N, För alla mängder x så gäller det att om x N så kommer x {x} N. Om det existerar en annan mängd A som uppfyller ovanstående punkter så kommer N A. Induktion: Punkt 3 i Axiom 5 gör att induktion fungerar. Om vi har en mängd A, säg mängden av alla tal N så att N j=1 j = (N+1)N, och om vi 2 kan visa att om 0 = A och om n A så kommer n + 1 A (kom ihåg att vi tolkar n + 1 = n {n}) då kommer punkt 3 i Axiom 5 att implicera att N A. D.v.s. egenskapen gäller för alla naturliga tal. Olikheter: Vi kan nu enkelt deniera olikheten mellan två naturliga tal. Vi skriver helt enkelt n < m om n m och n m om (n m) (n = m). Olikheten kan därför denieras mellan två naturliga tal. Vi behöver er axiom för att skapa intressant matematik. Till exempel så räcker inte de axiom vi har för att skapa funktioner. Låt oss göra en liten avstickare och prata lite om funktioner och hur vi kommer att tolka funktionsbegreppet. Funktioner är några av de viktigaste begreppen i matematiken. I princip allt vi gör i matematiken involverar funktioner. Vanlig addition kan tolkas som en funktion A(n, m) = n + m, en grupp G är en mängd med en speciell funktion, g(a, b) = a b, som uppfyller vissa egenskaper (gruppaxiomen) och så vidare. Men vad är då en funktion? En vanlig denition av funktionsbegreppet är: f är en funktion från en mängd A till B om f, för varje a A, tilldelar ett unikt element b B; i så fall skriver vi f(a) = b. Problemet med den denitionen är att vi den inte alls klargör vad tilldelar ett element innebär. Det enklaste sättet att tilldela ett element b B för varje a A är att skriva en lista. Till exempel så skulle vi kunna deniera en funktion f : N N enligt: a N f(a) = b N 0 2 1 3 2 6 3 11 4 18..

8 CHAPTER 1. MÄNGDTEORI. Vi skulle också kunna skriva den listan som en mängd av ordnade talpar (0, 2), (1, 3), (2, 6), (3, 11),... I allmänhet så skulle vi kunna tolka en en funktion som en mängd ordnade talpar. Men för att kunna tala om talpar så måste vi först deniera vad ett talpar är. Men vi börjar med att deniera begreppet funktion (under antagandet att vi redan vet vad ett talpar är). Denition 1.1. En funktion f : A B är en mängd bestående av ordnade talpar (x, y) så att x A och y B så att om (x, y 1 ) f (kom ihåg att en funktion f är en mängd en mängd enligt den här denitionen) och (x, y 2 ) f då kommer y 1 = y 2. Även fast vi har denierat funktion som en mängd av ordnade par så kommer vi (oftast) att skriva f(x) = y, precis som vi är vana vid, eftersom vi vet att detta skall tolkas som (x, y) f. Vi skall nu deniera vad ett ordnat par (x, y) är. Denition 1.2. För varje par av mängder x och y så denierar vi det ordnade talparet (x, y) = {{x}, {x, y}}. Ovanstående denition kan förefalla märklig. Vi har något välbekant (x, y) men vi väljer att deniera det som en konstig mängd som innehåller mängderna {x} och {x, y}. Naturligtvis så är det bara ett sätt att koda informationen på. Vi vill att ett talpar skall ha ett första och ett andra element och vi vill kunna uttrycka det med det extremt fattiga språk vi har infört för matematiken. Det visar sig att ovanstående denition gör precis vad den förväntas att göra, den håller ordning på elementen som följande sats visar Sats 1.3. Om (x 1, y 1 ) = (x 2, y 2 ) så följer det att x 1 = x 2 och y 1 = y 2. Bevis: Att (x 1, y 1 ) = (x 2, y 2 ) betyder, enligt Denition 1.2, att {{x 1 }, {x 1, y 1 }} = {{x 2 }, {x 2, y 2 }}. Men enligt Axiom 1 så betyder detta att {x 1 } = {x 2 } eller att {x 1 } = {x 2, y 2 } (eftersom {x 1 } ligger i vänsterled så måste den även ligga i högerled). Men om {x 1 } = {x 2, y 2 } så måste x 1 = x 2 (eftersom x 2 {x 2, y 2 } så måste x 2 {x 1 }). I vilket fall som helst så måste x 1 = x 2. Vi kan dra slutsatsen att {{x 2 }, {x 2, y 1 }} = {{x 2 }, {x 2, y 2 }}. Eftersom {{x 2 }, {x 2, y 1 }} = {{x 2 }, {x 2, y 2 }} så får vi igen två fall (från Axiom 1). Fall 1: Om {x 2, y 1 } = {x 2, y 2 }. Vi observerar att y 2 måste ligga i båda mängderna vilket ger möjligheten att antingen så y 1 = y 2 i vilket fall vi har

9 visat att x 1 = x 2 och y 1 = y 2 och är därmed klara. Eller så kommer x 2 = y 2 men om x 2 = y 2 så kommer (Axiom 1 igen) {x 2, y 2 } = {x 2 }. Men eftersom {x 2, y 1 } = {x 2, y 2 } = {y 2 } så måste y 1 {y 2 } varifrån det följer att y 1 = y 2. Igen så är satsen bevisad. Fall 2: Om {x 2, y 1 } = {x 2 }. Beviset i det här fallet lämnas som en övning. Vi har nu denierat vad en funktion är men vi vet ännu inte om det nns några intressanta funktioner. För att hitta en intressant funktion så måste vi skapa en motsvarande mängd av par. Låt oss försöka att deniera funktionen S(n) = n + 1 på de naturliga talen. 3 Att deniera den funktionen i vår mängdteoretiska vokabulär innebär att deniera mängden S = {x; x = (n, m), n, m N och m = n {n}}, (1.3) där vi använde vårt tolkningssätt att n + 1 = n {n} (se ekvation (1.3)) i denitionen av mängden. Men existerar mängden S? Kan vi visa att mängden S existerar utifrån våra axiom? Svaret är tyvärr nej. I denitionen av S i (1.3) så säger vi att S skall vara en mängd på formen {x; φ(x)} (1.4) där φ(x) uttrycker en egenskap hos mängden x: i fallet i (1.3) så uttrycker φ(x) att x är ett par av naturliga tal (n, m) så att m = n + 1. Men vi har inget axiom som säger att mängder på den formen skall existera. Här måste vi vara väldigt försiktiga. Russells paradox talar om för oss att vi måste vara mycket försiktiga när vi skapar en mängd som den i (1.4) (man brukar säga att en mängd skapad på det sättet skapas med hjälp av abstraktionsprincipen). Om φ(x) är egenskapen att x / x så kommer mängden {x; φ(x)} direkt att leda till Russells paradox. Vi kan därför inte tillåta alla mängder på formen (1.4). Vi behöver dock ha ett axiom som säkerställer att mängder såsom (1.3) existerar. Vi behöver bara vara försiktiga när vi formulerar det axiomet så att vi inte låter Russell liknande paradoxer smyga in i vårt system. Axiom 6. [Begränsad Abstraktionsprincip.] För varje formel φ(x) 3 vi använder beteckningen S för successor eftersom n + 1 är efterföljaren till n i talföljden.

10 CHAPTER 1. MÄNGDTEORI. vi kan uttrycka med hjälp av våra symboler 4 och för varje mängd A (som vi vet existerar) så existerar mängden {x; x A och φ(x)}. Låt oss ge något enkelt exempel innan vi fortsätter med våra försök att deniera funktionen S(n) = n + 1. Exempel: Vi kan nu deniera mängden av alla naturliga tal n så att 3 n < 14. Eftersom vi är intresserade av naturliga tal så väljer vi A = N i Axiom 6, vi vet att N existerar enligt Axiom 5. Vi måste även formulera egenskapen att 3 n < 14 i den notation vi använder. För detta så låter vi φ(x) = ((3 x) (x 14)) (x = 3), vilken säger att om x är ett naturligt tal så kommer 3 < x och x < 14 eller så är x = 3 vilket naturligtvis är samma sak som 3 x < 14. Vi kan nu använda Axiom 6 för att slutleda att existerar. {x; (x N) (φ(x))} För att deniera S(n) så behöver vi ytterligare ett axiom. Vi måste nämligen, för att använda Axiom 6, säkerställa att vi har en mängd A som innehåller alla talpar (n, n + 1) för att kunna deniera mängden S såsom i (1.3). De talpar vi är intresserade av är på formen (n, m) = {{n}, {n, m}}. Vi behöver därför försäkra oss om att det nns mängder som innehåller delmängder av en given mängd. Vi börjar med att deniera delmängd. Denition 1.3. Vi säger att A är en delmängd av B, eller uttryckt i symboler A B, om x ((x A) (x B)). Axiom 7. [Potensmängdsaxiomet] För varje mängd A så existerar en mängd P(A), exponentmängden av A, som består av alla delmängder till A: P(A) = {x; x A}. 4 Vi är lite informella här. Vi borde specicera exakt vilka formler som tillåts. Till exempel så kan vi skriva formeln x)(= 3, vilken naturligtvis är rent gallimatias. Vi kräver att φ här är en väldenierad formel utan att exakt specicera vad detta innebär - om ni tar en senare kurs i matematisk logik så kommer ni att att få en mer gedigen beskrivning av vad en väldenierad formel är för något.

11 Vi har nu, efter ganska mycket jobb, kommit fram till möjligheten att deniera funktionen S(n) = n + 1. Vi formulerar detta som en sats. Sats 1.4. Följande mängd existerar: S = {x; n, m ((n N) (m N) (m = n {n}) (x = (n, m)))}. Mer informellt uttryckt: följande mängd existerar: {(n, n + 1); n N}, d.v.s. funktionen S(n) = n + 1 existerar. Bevis: Vi kommer att använda Axiom 6. För det så måste vi först hitta en mängd A så att alla element i mängden S också är element i A. Element i S är på formen {{n}, {n, m}} där n, m N. Detta innebär att S består av mängder vars element är {n} eller {n, m}, d.v.s. delmängder av N. Vi skapar nu mängden P(N), med hjälp av Axiom 7. Eftersom n N och m N så kommer {n} P(N) och {n, m} P(N). Vi kan dock inte säga att {{n}, {n, m}} P(N) eftersom det skulle innebära att {n, m} N vilket inte är fallet. Vi skapar därför P(P(N)) med hjälp av Axiom 7. Det följer att alla mängder {{n}, {n, m}} P(P(N)) eftersom {n} P(N) och {n, m} P(N). Härnäst formulerar vi egenskapen φ(x) = n, m ((n N) (m N) (m = n {n}) (x = (n, m))). Enligt Axiom 6 så existerar därför mängden S = {x; (x P(P(N))) φ(x)}. Detta är mängden vi skall bevisa existerar. Vi har efter mycket arbete lyckats deniera funktionen S(n) = n + 1. Men i och med det så är vi nästan klara med listan av axiom som behövs för att skapa all matematik vi känner till. Det återstår bara ett eller två axiom för att göra listan fullständig. 5 5 I det här kapitlet så skall vi bara lägga till ett axiom till - dessa 8 axiom tillsammans utgör vad som brukar kallas Zermelo-Fraenkels Axiom ZF. Vi kommer i ett senare lägga till ett axiom, urvalsaxiomet, och få nio axiom som Brukar kallas ZFC där C står för the axiom of choice eller urvalsaxiomet.

12 CHAPTER 1. MÄNGDTEORI. Det sista axiomet vi skall lägga till vår lista är för att försäkra oss om att Russells paradox inte kan uppstå i vårt axiomsystem. Hittills så har vi varit mycket noga med att skapa alla våra mängder utifrån mängder som vi redan vet existerar, förutom i fallet med och N vars existens vi tar som axiom. Vi skapar till exempel par {A, B} i Axiom 3 av mängder A och B som redan existerar. I Axiom 4 skapar vi unionen av en mängd vi redan har skapat. I Axiom 6 så skapar vi en ny mängd {x; (x A) φ(x)} utifrån en mängd A som vi redan vet existerar. Detta gör att ingen mängd i vårt axiomsystem kommer att innehålla sig själv för om en mängd A A så skulle vi redan ha behövt skapa A innan vi skapar A för första gången. 6 Men de axiom vi har lagt fram hittills axiom säger bara vilka mängder som nns och inte vika mängder som inte nns. Vi skulle behöva ett sista axiom försäkrar att ingen mängd innehåller sig själv. Vi gör lägger därför till ett sista axiom till vår lista. Axiom 8. [Regularitetsaxiomet] För alla mängder A existerar det en mängd B A så att A B = {x; (x A) (x B)} =. Låt oss visa att Axiom 8 faktiskt implicerar att ingen mängd innehåller sig själv. Sats 1.5. För alla mängder x så gäller x / x. Bevis: Låt oss anta att det existerar en mängd x så att x x. Enligt Axiom 8, med A = {x}, 7 så kommer det att nnas ett B A, uppenbarligen så kommer B = x, så att A B = x {x} =. Men om x x så kommer x {x} = x och enligt Axiom 8 så kommer x {x} =. Vi kan dra slutsatsen att x = men det är en motsägelse till x x. Exempel: [Russells Paradox igen.] Om vi försöker att skapa Russells paradox i vårt axiomsystem så skulle vi försöka skapa en mängd R = {x; (x A) (x x)} utifrån vårt Axiom 6. Observera att när vi använder Axiom 6 så måste vi först specicera en mängd A så att R A. Enligt Sats 1.5 så kommer det, för varje mängd x A (för varje mängd överhuvudtaget), 6 Detta eftersom varje mängd A skapas ju av redan skapade element, förutom och N men dessa mängder kommer heller inte att innehålla sig själva. 7 Observera att {x} existerar eftersom {x, x} existerar enligt Axiom 3 men {x} = {x, x} enligt Axiom 1.

13 att gälla x / x. Det följer att R = A. Om vi ställer oss frågan om R R, vilket var frågan som ledde till paradoxen i Russels paradox, så är det nu två villkor som kan leda till att R / R: antingen så R / A eller så R / R. Eftersom R = A och A / A (Sats 1.5) så kommer R / A, d.v.s. R / R. Men detta är ingen motsägelse! Vi har nu, från Axiom 6, två villkor som skall uppfyllas för att ligga i R och mängden R misslyckas med det första men inte med det andra villkoret. Men detta är ingen motsägelse i sig. Vi har alltså ingen Russellsk paradox i vårt axiomatiska system. Det kan nnas andra motsägelser i systemet, men inga som är kända. Vi kommer att nämna lite mer om detta vid ett annat tillfälle i kursen. Avslutande ord: Syftet med det här kapitlet är att ge en kort inblick i hur matematiken kan byggas upp axiomatiskt. Systemet vi följer brukar kallas Zermelo-Fraenkel axiomatiken. Men det nns många olika formuleringar av dessa axiom, men olika formuleringar skiljer sig lite i detaljerna. Att verkligen bygga upp matematiken från dessa axiom skulle ta allt för mycket tid så vi kommer inte att försöka göra det. Förmodligen, om du sitter och tänker en stund, så skulle du hitta en hel mängd matematik som inte kan formuleras på något uppenbart sätt utifrån dessa axiom. Oroa dig inte över det. I nästa kapitel så skall vi visa hur vanlig aritmetik för de naturliga talen 8 kan konstrueras utifrån mängdteorin. Vi kommer dock inte att vara lika formella som vi varit i det här kapitlet, men jag tror/hoppas att man kan, så att säga, se mängdteorin under ytan och därigenom övertyga sig om att all aritmetik kan skapas utifrån våra axiom. Senare så kommer vi att konstruera heltalen, de rationella talen och de reella talen utifrån de naturliga talen. Även om vi mer och mer sällan kommer att nämna Zermelo-Fraenkels axiom så hoppas jag att ni behåller dem i era tankar och ibland ställer er frågan om, eller snarare hur, ett argument skulle formuleras utifrån Zermelo- Fraenkels axiom. Faktum är att vi har gjort det svåraste redan - denierat funktionen S(n) = n + 1 allt annat följer från den denitionen som vi snart skall se. 1.0.2 Uppgifter: 1. Vi denierade (x, y) = {{x}, {x, y}}. Förklara varför (x, y) = {x, y} inte en bra denition av ett ordnat par.. 8 Med vanlig aritmetik så menar vi teorin för addition, multiplikation och exponentfunktionen.

14 CHAPTER 1. MÄNGDTEORI. 2. Slutför beviset av fall 2 i beviset av Sats 1.3. 3. Vilken funktion motsvarar följande mängd: Vilken är dess denitionsmängd? {(1, 1), (2, 2), (3, 6), (4, 24), (5, 120)}? 4. Hur skulle du deniera en funktion av två variabler? 5. I Axiom 8 så denierar vi mängden A B. Bevisa att den mängden existerar för alla A och B som existerar. 6. Vi denierar olikheten n < m på de naturliga talen som n m. D.v.s. för två mängder n, m N så kommer n < m om och endast om n m. Ofta så vill man deniera en relation på en hel mängd. Till exempel så kan man deniera fadersrelationen F på mängden av alla människor så att för två människor x och y (x, y M där M är mängden av alla människor) så är xry sann om och endast om x är far till y. Observera att fadersrelationen har samma logiska form som olikheten - vi har preciserat en symbol <, denierad ordnade par i en mängd N, eller F, denierad på ordnade par i en mängd M. Om vi vill formulera en relation R vilken som helst i vårt mängdteoretiska språk så måste vi tolka relationen som en mängd. Vi kan tolka < som en mängd enligt Olik = {(n, m); (n, m N) (n m)}. (1.5) Vi säger att n < m om och endast om (x, y) Olik. (a) Tänk igenom ovanstående noga och försäkra dig om att det är sunt. (b) Visa att mängden Olik existerar. Ledtråd: Titta på beviset av Sats 1.4. (c) Använd fadersrelationen för att deniera farfarsrelationen G (xgy om och endast om x är farfar till y) i våra logiska symboler.

Chapter 2 Induktion, Rekursion och de Naturliga Talen. Vi skall nu överge pretentionen att härleda matematiken utifrån mängteoretiska axiom. Att göra alla härledningar i mängdteorin skulle vara allt för besvärligt och vi skulle inte komma till intressant material inom rimlig tid. Vi kommer dock inte att helt överge medvetenheten om mängdteorin och ibland kommer vi att göra en förströdd kommentar för att påminna oss om att det är i realiteten det fundamentet vi bygger matematiken på. Alla argument i det här kapitlet kan genomföras endast i mängdlärans fattiga språk och utifrån mängdlärans axiom. I det föregående kapitlet så denierade vi funktionen S(n) = n + 1. Men vi är, naturligtvis, mer intresserade av att deniera en funktion A(n, m) som motsvarar vanlig addition (d.v.s. n funktion så att A(n, m) är n + m i någon naturlig tolkning). Vi gör detta med hjälp av primitiv rekursion. Sats 2.1. Låt g : X Y och h : X Y Y vara givna funktioner. Då existerar det en unik funktion f : X N Y sådan att, för alla x X och n N f(x, 0) = g(x) och f(x, n + 1) = h(x, f(x, n)). (2.1) Innan vi bevisar den här satsen så låt oss förklara hur vi planerar att använda den. Först och främst så är vi intresserade av naturliga tal och främst addition så vi kommer inte att behöva hela satsen styrka. Vidare så har vi endast denierat en funktion S(n) så vi kommer att välja h : N N så att h(n) = S(n). Vi kommer också att deniera g : N N så att g(n) = n. 1 1 Vi har inte visat att vi kan deniera g utifrån våra mängdteoretiska axiom, men det 15

16CHAPTER 2. INDUKTION, REKURSION OCH DE NATURLIGA TALEN. Med dessa val så implicerar satsen att det existerar en funktion A som vi kommer visa uppfyller allt vi vill att addition skall uppfylla. Följdsats 2.1. Det existerar en unik funktion A : N N N så att A(n, 0) = n och A(n, S(m)) = S(A(n, m)) Bevis av Sats 2.1: Vi kommer att använda oss av induktion. Argumentet kan förefalla onödigt komplicerat men det är för att vi kommer att genomföra beviset så att det går att genomföra i mängdteorin. Induktionen kommer att vara över det n N så att vi kan deniera en funktion f n (x, m) : X {0, 1, 2,..., n} N så att f n uppfyller (2.1). Bassteg: För n = 0 så denierar vi f 0 (x, 0) = g(x). Eftersom g(x) är en väldenierad funktion så så är f 0 väldenierad. Uppenbarligen så är f 0 (x, 0) = g(x) den enda funktionen som uppfyller (2.1) för n = 0. Induktionssteg: Antag att f n (x, m) : X {0, 1, 2,..., n} N är denierad och uppfyller (2.1). Vi kan då deniera 2 f n+1 (x, m) = { fn (x, m) om 0 m n h(x, f n (x, n)) om m = n + 1. Det är enkelt att se att f n+1 är unik om f n är det. För om r : X {0, 1, 2,..., n, n + 1} N är en annan funktion som uppfyller (2.1) så måste f n+1 m n = r m n = f n (m) eftersom f n är unik. Men om r uppfyller (2.1) så kommer r(x, n + 1) = h(x, r(n)) = h(x, f n+1 (n)) = f n+1 (x, n + 1) vilket gör att f n+1 (x, m) = r(x, m) för alla x X och m {0, 1, 2,..., n + 1}. Det följer att f n+1 = r och därmed så är f n+1 unik. Det följer från matematisk induktion att vi kan deniera f n : X {0, 1, 2,..., n} Y för alla n N. Vi kan därmed deniera en funktion f : X N N genom f(x, n) = f n (x, n). Eftersom alla f n uppfyller (2.1), och eftersom f n (x, k) = f m (x, k) för alla k min(n, m), så måste även f uppfylla (2.1). är enkelt att göra det utifrån den begränsade abstraktionsprincipen och potensmängdsaxiomet precis som vi gjorde när vi denierade S. 2 Observera att i mängdteorin så innebär följande denition endast att vi denierar funktionen f n+1 som unionen av mängden f n, för funktioner är ju mängder, med mängden {(x, n + 1, h(x, f n (n))); x X}. Det hela blir dock lite tekniskt för vi måste visa att mängderna existerar, deniera funktioner i två variabler et.c.

2.1. PEANOARITMETIKEN. 17 2.1 Peanoaritmetiken. Låt oss försöka sammanfatta vad vi har lyckats åstadkomma hittills. Vi har en mängd N och en funktion S : N N samt en funktion A : N N N så att A(n, S(m)) = S(A(n, m)). Det förefaller att inte vara mycket värt. Men det är precis de axiomen som behövs för att återskapa vanlig aritmetik för de naturliga talen. Det visart sig att man kan skapa all aritmetik utifrån fem axiom; dessa axiom kallas i allmänhet Peanoaxiomen. Peanos uppbyggnad av aritmetiken bygger på att man har en mängd naturliga tal N och en funktion S som uppfyller följande: Peanoaxiomen: 1. [Nollans Axiom] Noll är ett naturligt tal, 0 N. 2. [Efterföljarens axiom] Om n N så kommer S(n) N. 3. [Noll är ingen efterföljare] Det nns inget n N så att 0 = S(n). 4. [Efterföljarens entydighet] Om n, m N och om S(n) = S(m) då kommer n = m. 5. [Induktionsaxiomet] Varje egenskap som gäller för 0 och är sådan att om egenskapen gäller för n N så gäller egenskapen för S(n) gäller för alla n N. Vi ska snart visa att Peanos axiom följer från mängdteorins axiom. Men först så kan man undra varför vi bekymrar oss om att införa nya axiom - eller varför vi inte direkt införde Peanos axiom som är mer lättbegripliga. Anledningen att vi vill jobba med Peanos axiom istället för de mängdteoretiska är att de är lättare att jobba med. Det hör också till allmänbildningen att ha hört talas om dessa axiom. Men Peanos axiom är mycket svagare än mängdteorins axiom och vi kan inte deniera t.ex. funktioner i Peanoaritmetiken. Dessutom så har Peanoaritmetiken inget eget språk, d.v.s. vi denierar inte vilka symboler vi får använda och vi denierar inte riktigt vilka slutledningar som är tillåtna. I korthet, vi kommer att visa att vårt rikare mängdteoretiska språk och våra starkare mängdteoretiska axiom implicerar Peanos axiom. När vi har gjort det så kommer vi att bevisa att vanliga aritmetiska räkneregler följer från Peanoaxiomen.

18CHAPTER 2. INDUKTION, REKURSION OCH DE NATURLIGA TALEN. Låt oss nu visa att alla Peanoaxiom håller i mängdteorin. 1. Nollans Axiom. Vi måste visa att nollans axiom gäller i mängdteorin. Men vi har denierat noll som den tomma mängden vars existens följer av Axiom 2. Att 0 N följer direkt av Axiom 5. 2. Efterföljarens axiom. Per denition så är S(n) = n {n} och enligt Axiom 5 så kommer n N att implicera att n {n} N. Det följer att efterföljarens axiom gäller i mängdteorin. 3. Noll är ingen efterföljare. Antag motsatsen: att 0 = = S(n) = n {n} för något n N. Då måste n eftersom n n {n}. Men detta är en motsägelse eftersom x för alla x. 4. Efterföljarens entydighet. Om S(n) = S(m) så kommer n {n} = m {m}. Men det betyder att m n {n} vilket medför att antingen så m n eller så kommer m {n}. I det senare fallet så är n = m och vi är klara. Vi kan argumentera på samma sätt och dra slutsatsen att om inte n = m så kommer n m. Vi har nu visat att antingen så är n = m eller så m n m. Vi måste visa att det omöjligen kan gälla att m n m. För att göra detta så betraktar vi mängden A = {n, m}, observera att A existerar enligt Axiom 3. Enligt axiom 8 så existerar det ett x A så att x A =. Eftersom A = {n, m} så måste x = n eller x = m. Låt oss antaga att x = n. Men eftersom n m och n A så kommer n n A = x A =. Detta är en motsägelse. Vi kan sluta oss till att n = m och därför så följer Peanoaritmetikens fjärde axiom från mängdteorins axiom. 5. Induktionsaxiomet. Även induktionsaxiomet gäller i mängdteorin; detta eftersom om A = {x; x N och φ(n)} och om A och om n A implicerar att n {n} A så kommer N A enligt den sista punkten i Axiom 5. Sats 2.2. Det existerar tre funktioner A : N N N, M : N N N samt E : N N N sådana att 1i) A(n, 0) = n och 1ii) A(n, S(m)) = S(A(n, m)), 2i) M(n, 0) = 0 och 2ii) M(n, S(m)) = A(M(n, m), n), 3i) E(n, 0) = 1 och 3ii) E(n, S(m)) = M(E(n, m), n).

2.1. PEANOARITMETIKEN. 19 Vi kommer ofta att, för enkelhetensskull, skriva A(n, m) = n+m, M(n, m) = n m samt E(n, m) = n m. Med dessa konventioner så kommer punkt 1)-3) att motsvara 1i) n + 0 = n och 1ii) n + (m + 1) = (n + m) + 1, 2i) n 0 = 0 och 2ii) n (m + 1) = n m + n, 3i) n 0 = 1 och 3ii) n m+1 = n m n. Bevis: Vi har redan bevisat att A existerar i Följdsats 2.1. Att M och E existerar följer på samma sätt från Sats 2.1. Satsens andra del är endast en denition av operationerna +, och exponentfunktionen. Sats 2.3. Följande räkneregler gäller för de naturliga talen. 1. Kommutativa lagen för addition. n + m = m + n, 2. Associativa lagen för addition. (n + m) + l = n + (m + l), 3. Kommutativa lagen för multiplikation. n m = m n, 4. Multiplikation är associativt. n (m l) = (n m) l, 5. Distrubitiva lagen. n (m + l) = n +n l, 6. Exponentlagarna gäller. (a) n m+l = n m n l, (b) (n m) l = n l m l, (c) (n m ) l = n m l, (d) n 1 = n 7. Förkortning för addition. Om n + m = n + l då kommer m = l, 8. Förkortning för multiplikation. Om n m = n l och n 0 då kommer m = l.

20CHAPTER 2. INDUKTION, REKURSION OCH DE NATURLIGA TALEN. Bevis: Vi kommer inte att bevisa alla dessa räkneregler.just nu så är vi mer intresserade av att visa hur matematiken kan härledas axiomatiskt. Det räcker därför att gestalta hur beviset går till i ett par fall för att man skall få en uppfattning av hur bevisen går till. Att gå igenom alla bevis vore dessutom ganska tråkigt då de esta bevis i listan bygger på upprepade induktioner. Bevis av kommutativa lagen för addition. Vi börjar med att bevisa att för alla m så gäller 0 + m = m. (2.2) För att bevisa detta så denierar vi mängden A = {m; m N och 0+ = m}. Eftersom n + 0 = n för alla n enligt Sats 2.2 1i) så kommer 0 A. Om m A så kommer, enligt Sats 2.2 1ii), 0 + S(m) = S(0 + m) = S(m), så S(m) A. Det följer att alla m N kommer att ligga i A. Det följer att (2.2) gäller. Härnäst visar vi att, för alla n, m N, n + S(m) = S(n) + m. (2.3) Vi gör detta med induktion på m. Bassteget, m = 0, följer direkt av Sats 2.2 1i) och 1ii) n + S(0) = S(n + 0) = S(n) = S(n) + 0. För induktionssteget antar vi att (2.3) gäller för m och vill visa det för S(m). Även detta är enkelt: { } { } Sats 2.2 Induktions n + S(S(m)) = = S(n + S(m)) = = 1ii) antagande { } Sats 2.2 = S(S(n) + m) = = S(n) + S(m). 1ii) Det följer att (2.3) gäller för alla n, m N. Vi är nu redo att bevisa att n + m = m + n. Vi använder igen ett induktionsargument på m. Bassteget i induktionen följer direkt från (2.2) (med n istället för m) 0 + n = n = n + 0,

2.1. PEANOARITMETIKEN. 21 där vi också använde Sats 2.2 1i). Bassteget följer. För induktionssteget antar vi att, för något m N och alla n N, så n + m = m + n och vill visa att n + S(m) = S(m) + n. Vi börjar med att åberopa Sats 2.2 1ii) igen n + S(m) = S(n + m) = { Induktions antagande } = S(m + n) = { } Ekvation = m + S(n) = = S(m) + n. (2.3) Detta avslutar beviset för kommutativa lagen. { Sats 2.2 1ii) } = Bevis av associativa lagen för addition: Vi gör en induktion över l. Bassteget följer direkt av Sats 2.2 1i) n + (m + 0) = n + m = (n + m) = (n + m) + 0. För induktionssteget så antar vi att associativitet gäller för alla n, m N och för något l N och vill visa att assosiativitet även gäller för S(l). Vi beräknar { } { } Sats 2.2 Sats 2.2 n + (m + S(l)) = = n + S(n + l) = = 1ii) 1ii) = S(n + (m + l)) = { Induktions antagande } = S((n + m) + l) = = (n + m) + S(l). Den associativa lagen för addition följer. { Sats 2.2 1ii) } = Bevis av förkortning för addition. 3 Vi visar detta med induktion över n. Bassteget, n = 0, gäller eftersom 0 + m = m och på samma sätt så 0 + l = l. Därför kommer m = 0 + m = 0 + l = l vilket bevisar att förkortningsregeln gäller för fallet n = 0. För induktionssteget så antar vi att förkortning gäller för något n N och alla m, l N och vill visa att förkortning gäller för S(n). Antag därför att S(n) + m = S(n) + l, det följer att 2.2. S(n + m) = S(n) + m = S(n) + l = S(n + l). 3 I det här beviset så refererar vi inte till tidigare genomförda beräkningar eller till Sats

22CHAPTER 2. INDUKTION, REKURSION OCH DE NATURLIGA TALEN. Men det fjärde axiomet för Peanoaritmetiken säger att om S(n+m) = S(n+l) så kommer n + m = n + l vilket, enligt vårt induktionsantagande innebär att m = l vilket vi vill bevisa. Förkortningsregeln gäller därför. Vi lämnar övriga påståenden i satsen obevisade. 2.1.1 Uppgifter. 1. Bevisa den distrubitiva lagen. Använd gärna induktion över l.

Chapter 3 Andra Talsystem: Z, Q och R I det här kapitlet så skall vi deniera heltalen Z, de rationella talen Q och de reella talen R. Vi kommer att vara ganska noga i vår beskrivning av Z och R. Men vår beskrivning av Q kommer inte att genomföras i detalj eftersom den konstruktionen är väldigt lik konstruktionen av Z. 3.1 Heltalen Z. Problemet med N är naturligtvis att addition inte har någon invers; d.v.s. vi kan inte deniera en operation minus mellan två godtyckliga naturliga tal. Därför denierar vi Z. Vi börjar med att deniera ekvivalensklasser som kommer att vara elementen i Z. Denition 3.1. Vi denierar ekvivalensrelationen på ordnade par av naturliga tal enligt följande (n, m) (p, q) n + q = p + m. (3.1) Vi skriver ekvivalensklasserna [(n, m)] och denierar 1 [(n, m)] + [(p, q)] = [(n + p, m + q)] (3.2) 1 I den här denitionen använder vi + i två olika betydelser i vänsterled så betyder + addition av två ekvivalensklasser men i högerled så betyder + addition av de naturliga talen n och p respektive m och q. Det vore mer korrekt att använda en ny symbol ˆ+ i vänsterled eftersom det tekniskt sett är en ny addition. Men det skulle bli förvirrande att ha en egen symbol för addition i N, en symbol för addition i Z, en för addition i Q och en för R. Vi kommer därför att använda samma symbol + i alla talsystem. Samma gäller för multiplikation. 23

24 CHAPTER 3. ANDRA TALSYSTEM: Z, Q OCH R samt [(n, m)] [(p, q)] = [(n p + m q, n q + m p)]. (3.3) Sats 3.1. Om n, m N och n m då existerar det ett unikt tal p N så att (n, m) (p, 0) d.v.s. [(n, m)] = [(p, 0)]. Om n, m N och n m då existerar det ett unikt tal q N så att (n, m) (0, q) d.v.s. [(n, m)] = [(0, q)]. Bevis: Vi börjar med fallet då m n (satsens andra del) och använder induktion på m. När m = 0 så är slutsatsen uppenbar eftersom då är även n = 0 eftersom n N och n m = 0. Att (0, 0) är den unika representanten för ekvivalensklassen [(0, 0)] som har första komponent lika med noll följer direkt från denitionen av ekvivalensrelationen (3.1) eftersom om (0, q) är en annan representant så måste q = 0 då 0 + 0 = 0 + q. För induktionssteget så antar vi att vi har visat att det nns en unik representant såsom i satsen för ett visst m och alla n m och vill visa att samma sak gäller för m+1. Om n = 0 så är satsen uppenbar och om n 0 så kommer n = l+1 för något l. 2 Vi hävdar att (n, m+1) (l+1, m+1) = (l, m) vilket enkelt verieras. Men eftersom (l, m) (0, q) för ett unikt q N så kommer (n, m + 1) (0, q), att detta q är unikt även för (n, m + 1) följer direkt från denitionen av (3.1). I fallet då n m så kommer (n, m) = (p, 0) där p bestäms som det unika tal så att (m, n) (0, p). Verikationen lämnas till läsaren. Denition 3.2. Om [(n, m)] är en ekvivalensklass under ekvivalensrelationen denierad i (3.1), n m och (p, 0) är den unika representanten för ekvivalensklassen som har noll som andra komponenten så kommer vi att skriva [(n, m)] = p. Om n m och (0, q) är den unika representanten för ekvivalensklassen som har noll som första komponent så skriver vi [(n, m)] = q. Vi denierar Z som mängden av alla ekvivalensklasser under ekvivalensrelationen denierad i (3.1); d.v.s. Z = {[(n, m)]; n, m N}. 2 Naturligtvis så kommer l = n 1 men vi har ännu inte denierat så vi använder det klumpigare uttrycket S(l) = n.

3.1. HELTALEN Z. 25 Vi kommer nästan alltid att identiera termer i Z som p eller p för p N i enighet med denitionens första del. Vi kommer också att använda den förkortade notationen p + ( q) = p q för p, q Z. Det nns väldigt mycket att säga om vår denition av Z, små detaljer som den sista meningen i denitionen. Tekniskt sett så borde vi veriera att alla räkneregler i Sats 2.3 gäller även i Z. Den typen av verikation är naturligtvis nödvändig för matematiken - vi vill bevisa alla satser och räkneregler utifrån våra axiom. Men det är ganska tråkigt, elementärt och inte speciellt upplysande att veriera hela Sats 2.3 för Z så vi avstår från detta. Vi skall dock visa att operationerna + och är väldenierade. Sats 3.2. Addition och multiplikation är väldenierade i Z. Det vill säga + och är oberoende av vilka representanter för ekvivalensklasserna som väljes i (3.2) och (3.3). Bevis: Vi måste visa att om (n 1, m 1 ) (n 2, m 2 ) och (p 1, q 1 ) (p 2, q 2 ) då kommer [(n 1, m 1 )] + [(p 1, q 1 )] = [(n 2, m 2 )] + [(p 2, q 2 )] (3.4) samt att [(n 1, m 1 )] [(p 1, q 1 )] = [(n 2, m 2 )] [(p 2, q 2 )]. (3.5) Bevisen för (3.4) och (3.5) är väldigt lika varandra så vi bevisar bara (3.4). Om vi använder denitionen av addition i Z i (3.2) så ser vi att vi måste visa att [(n 1 + p 1, m 1 + q 1 )] = [(n 2 + p 2, m 2 + q 2 )]. (3.6) Likheten (3.6) håller om och endast om (n 1 +p 1, m 1 +q 1 ) och (n 2 +p 2, m 2 +q 2 ) representerar samma ekvivalensklass, d.v.s. (se (3.1)) om n 1 + p 1 + m 2 + q 2 = m 1 + q 1 + n 2 + p 2. (3.7) Men om (n 1, m 1 ) (n 2, m 2 ) och (p 1, q 1 ) (p 2, q 2 ) så kommer, enligt (3.1) igen, n 1 + m 2 = n 2 + m 1 och p 1 + q 2 = p 2 + q 1. Adderar vi dessa likheter till varandra så får vi (3.7). Det följer att addition är väldenierat.

26 CHAPTER 3. ANDRA TALSYSTEM: Z, Q OCH R 3.2 De rationella talen Q. Vi kommer inte att vara lika noga med denitionen av Q som vi var med N och med Z. Detta mest eftersom denitionen av Q är väldigt lik denitionen av Z och att veriera igen att addition och multiplikation är väldenierat på Q vore att upprepa bevisen för Z nästan ord för ord. Vi skall dock i alla fall deniera Q. Denition 3.3. Vi denierar Q som mängden av alla ekvivalensklasser [(n, m)], där n, m Z och m 0, under ekvivalensrelationen (n, m) (p, q) n q = m p. Vi kommer att skriva n för ekvivalensklassen [(n, m)]. m Vi denierar operationerna + och på Q enligt [(n, m)]+[(p, q)] = [(n q +p m, m q)] eller ekvivalent n m + p q = n q + p m m q samt [(n, m)] [(p, q)] = [(n p, m q)] eller ekvivalent n m p q = n p m q. Vidare så denierar vi n m p q om { n q m p i fall m q > 0 n q m p i fall m p < 0. Det borde inte vara en allt för stor möda att övertyga sig om att alla vanliga räkneregler från grundskolan gäller för talmängden Q såsom vi har denierat den. Det bör påpekas att vi kan bevisa alla dessa räkneregler utifrån våra mängdteoretiska axiom. 3.3 De Reella Talen R. Problemet med Q är att Q inte är fullständigt; d.v.s. att det nns Cauchy följder i Q som inte konvergerar. Detta leder till stora problem i alla matematikens områden. Låt ge två exempel.

3.3. DE REELLA TALEN R. 27 Exempel: Vi hävdar att ett tal r N har en rot av ordning n N i Q om och endast om r har en rot av ordning n i N. D.v.s om ekvationen x n = r har en lösning i Q så har den också en lösning i N. Detta innebär i princip att Q inte är en mycket bättre talmängd för att lösa algebraiska ekvationer (polynomekvationer) än N. För att se detta så antar vi att det nns ett tal p/q Q så att ( ) n p = r. (3.8) q Eftersom N tillåter unik primtalsfaktorisering så kan vi skriva p = p α 1 1 p α 2 2...p α i i, q = q β 1 1 q β 2 2...q β j j och r = r γ 1 1 r γ 2 2...r γ k k där alla p 1, p 2,.., q 1, q 2,..., r 1,..., r k är primtal. Genom att förkorta kvoten p/q så kan vi anta att p s q t för alla 1 s i och 1 t j, Om vi skriver om (3.8) med primtalsfaktoriseringarna så får vi p α 1 1 p α 2 2...p α i i = q β 1 1 q β 2 2...q β j j rnγ 1 1 r nγ 2 2...r nγ k k. Eftersom primtalsfaktoriseringen är unik och p s q t så måste alla β 1 = β 2 =... = β j = 0. Vi får därför att q = 1 och att p/q = p N är en lösning till (3.8). Exempel: Ett av de viktigaste talen i analysen är e 2.71... Talet e används till exempel för att lösa de esta elementära dierentialekvationer, det dyker upp som en viktig del av Fourieranalysen och det dyker upp i sannolikhetsläran. Men kommer e Q? Vi kommer att deniera e = n=1 och hävdar att e Q. För att via detta så antar vi motsatsen: Då kommer p q p q = 1 n!. q n=0 n=1 1 n! = m q! > 0 för något m N. Detta inses lätt genom att skriva alla termer som bråk med q! i nämnaren p q q 1 n! = p ( q! q q! + q! q! + 3 4... q (q 2) (q 1) +... + + q q! q! q! + 1 ) = q! n=0 1 n!