Vad är reglerteknik? 8 Analys och styrning av dynamiska system Välj styrsignalen (u(t)) så att systemet (mätsignalen y(t)) uppför sig som önskat (referenssignalen r(t)) trots störningar (v(t)) Vi betraktar linjära dynamiska system Exempel: Robot, farthållare i bil, uppvärmning av hus, lönsamheten hos ett företag, tillståndet i ett ekologiskt system... Sammanfattning av kursen: Tabell. 20 Svängighet Snabbhet Statisk nogrannhet Stegsvar Översläng M Stigtid Tr e0 (limt e(t)) Lösningstid T S Gc(iω) Resonanstopp MP Bandbredd ωb e0 = Gc(0) ωb /Tr Resonansfrekvens ωp Go(iω) Fasmarginal φm Skär- Lågfrekvens Amplitudmarginal Am frekvens ωc asymptot lutning + skärning Poler Kvot mellan Avstånd e0 = Gc(0) Im- och Re-del till origo Grundläggande problem 9 Stabilitet: Undvik kraftiga åtgärder baserade på alltför gammal information. Begränsningar: Utrymmet för åtgärder är begränsat Skilj på tillfälliga variationer i resultatet och långsiktiga trender. Är vår uppfattning av systemets egenskaper korrekt? Det går inte alltid att tänka statiskt. Dynamiken spelar roll! (bakhjulsstyrda cykeln!) Designen ger vissa fundamentala begränsningar (ABB robot!) Överföringsfunktion 2 Om alla begynnelsevillkor är noll kan differentialekvationen laplacetransformeras. Vi får då Y(s) =G(s)U(s) G(s) = B(s) A(s) = b 0s m + bs m + + b m s n + as n + + an är systemets överföringsfunktion
Känslighet 22 Återkoppling minskar inverkan av störningar och modellfel. Återkopplade systemet: Y(s) = F r(s)g(s) + Fy(s)G(s) R(s) F y(s)g(s) + Fy(s)G(s) N(s)+ + Fy(s)G(s) V(s) Överföringsfunktionen från v till y: S(s) = + Fy(s)G(s) känslighetsfunktion T(s) = S(s) = F y(s)g(s) + Fy(s)G(s) komplementär känslighetsfunktion Stabilitetsrobusthet 24 Modell (nominellt system): G(s) Verklighet (sant system): G 0 (s) =( + ΔG(s))G(s) ΔG(s) = G0 (s) G(s) G(s) relativa modellfelet Känslighet 23 Återkopplade systemet: Y(s) =Gc(s)R(s) ( S(s))N(s)+S(s)V(s) I det frekvensområde v har sin energi vill vi göra S(iω) liten, dvs Fy(iω)G(iω) stort! I det frekvensområde n har sin energi vill vi göra T(iω) = S(iω) liten, dvs S(iω) nära Vi vill att Gc(iω) är nära för så många frekvenser som möjligt Stabilitetsrobusthet, forts. 25 Under vissa antaganden gäller: Det sanna slutna systemet är stabilt om T(iω) < g(ω) för alla ω > 0 T komplementära känslighetsfunktionen T(s) := F y(s)g(s) + Fy(s)G(s) = S(s) g begränsar det relativa modellfelet, dvs ΔG(iω) < g(ω) för alla ω > 0 Obs! Om Fr(s) =Fy(s) =F(s) gäller alltså T(s) =Gc(s).
Specifikationer på stegsvaret: Figur 3.7 27 y d r e 0r My f yf 0.9yf d Stabilitet 26 DEF 0.yf Ett system är insignal-utsignal-stabilt om en begränsad insignal ger en begränsad utsignal. SATS Systemet är stabilt omm alla poler ligger strikt i VHP: t för alla i : Resi < 0 Specifikationer på stegsvaret 28 Låt r(t) = och undersök y. Snabbhet: Tr = stigtid: Den tid det tar för stegsvaret att gå från 0% till 90% av slutvärdet. Slängighet: Tr M =översläng: Om A = lim y(t) så t Ts Allmänna tumregler 29 Ett systems snabbhet är proportionell mot närmsta polens avstånd till origo. Slängigheten ökar med polens vinkel mot reella axeln. M = y max A A 00 (%) Ts =insvängningstid (lösningstid) (5%): 0.95A y(t).05a för alla t > Ts Sämsta polen bestämmer.
Specifikationer på det stationära reglerfelet 30 lim e(t) < C t Om gränsvärdet existerar så kan slutvärdesteoremet användas: lim t e(t) =lim se(s) s 0 Rotort: P(s)+KQ(s) =0 Plotta hur rötterna varierar med K 0 32 P(s) polynom av grad n, Q(s) polynom av grad m. Startpunkter: K = 0 P(s) =0 (n st.) Slutpunkter: K = Q(s) =0 (m st.) 2. Asymptoter: antal: n m utgår från punkten: n m ( startpkter slutpkter) riktningar: n m (π + 2lπ), l = 0,,..., n m 3. Del av Re-axeln: udda antal start- och slutpkter till höger 4. Skärning med Im-axeln: Sätt s = iω i kar.ekv. 5. Stabilt? Snabbt? Oscillativt? PID (Proportionell Integrerande Deriverande) 3 u(t) =KPe(t)+KI t 0 e(τ)dτ + KDė(t) F(s) =KP + K I s + K Ds P-del: Stor P-del ger litet stationärt fel och snabbt system Stor P-del kräver stora styrsignaler I-del: Eliminerar ofta stationärt fel t.ex. beroende på stegstörningar. Gör systemet mer oscillativt D-del: Minskar ofta överslängen i stegsvaret. Gör systemet mera bruskänsligt. Frekvensbeskrivning 33 Hur reagerar ett (stabilt) linjärt system på en periodisk insignal? u y G Om u(t) =sin(ωt) så är (för stora t) y(t) G(iω) sin(ωt + arg G(iω)) G(iω) kallas frekvenssvar Bodediagram: G(iω) representeras med två funktioner: amplitudkurva: G(iω) (log-log-skala) faskurva: arg G(iω)(log-lin-skala)
Specifikationer i frekvensplanet (öppna systemet) (fig.5.3) 34 arg Go Am Go ϕm 80 ωc ωp ω [rad/s] ωc =amplitudskärfrekvens: Go(iωc) = ωp = fasskärfrekvens: arg Go(iωp) = 80 ϕm =fasmarginal: ϕm = arg Go(iωp)+80 Am =amplitudmarginal (förstärkningsmarginal): Am = Go(iωp) Specifikationer i frekvensplanet (öppna systemet) 36 I det öppna systemets bodediagram definieras ωc =skärfrekvens ϕm =fasmarginal Am =amplitudmarginal (förstärkningsmarginal) Stabilitet: Det slutna systemet är stabilt Am > ϕm > 0 Specifikationer i frekvensplanet (slutna systemet) (fig.5.8) 35 Gc Mp 3dB20 ωr ωb ω [rad/s] ωb = bandbredd, Mp = resonanstoppens höjd. ωb stor snabbt system Mp stor dålig dämpning, stor översläng Specifikationer: snabbhet och slängighet 37 Snabbhet Normalt gäller Go(iω) 0 när ω Gc(iω) Go(iω) för stora ω ωb och ωc ligger nära varandra ωc stor ωb stor snabbt system Slängighet För resonanstoppen gäller MP 2 sin ϕ m 2 ϕm liten MP stor dålig dämpning, stor översläng
Specifikationer: stationärt fel 38 Antag att det slutna systemet är stabilt (ϕm > 0, Am > ) Om r(t) = (steg) så har vi (E(s) = +Go(s) R(s)) lim t e(t) =lim s 0 se(s) =lim + Go(s) s 0 s Go(0) =statisk förstärkning för det öppna systemet s = + Go(0) Felet litet då Go(0) stor. Felet 0 då Go(0) = dvs då Go(0) innehåller en integration. Go(0) kan avläsas i bodediagrammet! Arbetsgång vid lead-lag-design 40. Rita bodediagram för det öppna systemet G 2. Formulera specifikationerna som krav på ωc, ϕm, limt e(t) 3. Leadkompensering: bestäm nödvändig fasavancering m.h.a. arg G(iω cd ) β figur 5.3 Om stor fasökning behövs: flera leadlänkar! välj τd = /(ω cd β) bestäm K så att ω cd uppnås dvs K β G(iω cd ) = 4. Lagkompensering: beräkna γ så att stationära felet blir tillräckligt litet välj τi = 0/ω cd 5. Simulera och kolla om specifikationerna är uppfyllda! Om inte, modifiera 2 ovan! Lead-lag-design 39 F(s) =K F lead (s) F lag (s) F lead = τ Ds + βτds + F lag = τ Is + τis + γ Tillståndsbeskrivning 4 x(t) = x(t) x2(t). xn(t) { ẋ(t) =Ax(t)+Bu(t) y(t) =Cx(t) A n n matris, B n vektor, C n vektor endast x, u (inga derivator) i högerledet Polerna till systemet ges (normalt) av egenvärdena till A Ett system är insignal-utsignal-stabilt omm egenvärdena till A ligger strikt i vänster halvplan för alla i : Resi < 0
Överföringsfunktion Tillstånd 42 En given överföringsfunktion G(s) = b 0s m + bs m + + bm s n + as n + + an kan skrivas på tillståndsform på flera olika sätt. Enklast: Styrbar kanonisk form Observerbar kanonisk form Ofta kan tillståndsvariablerna väljas så att de har fysikalisk mening (läge, hastighet osv) Linjärisering av olinjära system 44 { ẋ(t) =f (x(t), u(t)) y(t) =h(x(t), u(t)) dvs ẋ(t) =f(x(t),...,xn(t), u(t)). ẋn(t) =fn(x(t),...,xn(t), u(t)) y(t) =h(x(t),...,xn(t), u(t)) ( ) (x 0, u 0 ) kallas en jämviktspunkt för ( ) om f (x 0, u 0 )=0. Tillstånd Överföringsfunktion 43 Givet en tillståndsrealisering { ẋ(t) =Ax(t)+Bu(t) y(t) =Cx(t)+Du(t) så är G(s) =C(sI A) B + D Linjärisering av olinjära system, forts 45 Kring (x 0, u 0 ) approximeras ( ) av { Δx(t) =AΔx(t)+BΔu(t) Δy(t) =CΔx(t)+DΔu(t) Δx(t) =x(t) x 0, Δu(t) =u(t) u 0, Δy(t) =y(t) h(x 0, u 0 ) och A = fx(x 0, u 0 ), B = fu(x 0, u 0 ) C = hx(x 0, u 0 ), D = hu(x 0, u 0 )
Linjärisering av olinjära system, forts 46 A = f x f2 x fn x (x 0, u 0 ) f x2 (x 0, u 0 ) f 2 x2 (x 0, u 0 )... f xn (x 0, u 0 )... f 2 xn...... (x 0, u 0 ) f n x2 (x 0, u 0 )... f n xn (x 0, u 0 ) (x 0, u 0 ) (x 0, u 0 ) B = f u (x0, u 0 ) f2 u (x0, u 0 ) fn u (x0, u 0 ). C = ( h x (x 0, u 0 ) h x2 (x 0, u 0 )... h xn (x 0, u 0 ) ) D = h u (x0, u 0 ) Minimal realisering 48 En realisering är minimal både styr- och observerbar dimensionen hos x = gradtalet i G:s nämnare inga kancellationer i C(sI A) B Styrbarhet & observerbarhet 47 Ett system är styrbart det S = 0. [ ] S = BABA 2 B...A n B är systemets styrbarhetsmatris. Ett system är observerbart det O = 0. C CA O = CA 2. CA n är systemets observerbarhetsmatris. Tillståndsåterkoppling 49 { ẋ(t) =Ax(t)+Bu(t) y(t) =Cx(t) Tillståndsåterkoppling: Återkopplade systemet: u(t) = Lx(t)+l0r(t) ẋ(t) =(A BL)x(t)+Bl0r(t)
Tillståndsåterkoppling, forts. 50 ẋ(t) =(A BL)x(t)+Bl0r(t) Poler = egenvärden till A BL, dvs rötter till det(si (A BL)) = 0 Öppna systemet styrbart Egenvärdena till A BL kan placeras godtyckligt. Välj l0 så att det slutna systemet får statisk förstärkning. Skattning av tillstånd: observatör 5 ˆx(t) =Aˆx(t)+Bu(t)+K(y(t) Cˆx(t)) Felet x(t) =x(t) ˆx(t) lyder under ekvationen x(t) =(A KC) x(t) Använd ˆx(t) vid återkopplingen: u(t) = Lˆx(t)+l0r(t) Observatörens poler anger hur snabbt observatörsfelet avtar Öppna systemet observerbart Egenvärdena till A KC kan placeras godtyckligt.