Kursen bedöms med betyg, 4, eller underkänd, där är högsta betyg. För godkänt betyg krävs minst 4 poäng från uppgifterna -7. Var och en av dessa sju uppgifter kan ge maximalt poäng. För var och en av uppgifterna -6 kan man välja att i stället för att lämna svar utnyttja sitt resultat från motsvarande dugga. Markera detta genom att skriva ett D istället för ett kryss i uppgiftsrutan på omslaget. För betyg 4 krävs utöver godkänt resultat från -7 minst % ( poäng) från uppgift 4, för betyg minst 7% ( poäng). För uppgifterna -7 (godkäntdelen) gäller att ni kan välja mellan att bara ge svar eller ge fullständig lösning. Korrekt svar ger poäng, om svaret är felaktigt finns det en möjlighet att en tillräckligt korrekt bifogad lösning ger poäng. För uppgift 8- ska fullständiga, tydliga och renskrivna lösningar redovisas (använd ett blad per uppgift). Följande uppgifter bedöms för betyg godkänt (). Om inget annat anges, ger uppgifterna i denna del en poäng.. (Dugga.) (a) Bestäm u v v u om u = och v = Svar u v v u = u v = ( ) = 6 (b) Bestäm en ekvation på parameterform för planet som går genom punkten med linjen. (Dugga.) x y z = + t och vektorn Svar x 7y + z = Enligt uppgiftens information kan vi ta vektorerna som vektorer parallella med planet och för planet blir då (a) Lös ekvationssystemet x y z =. (p) och som är parallellt. (p) och som punkt i planet. Ekvationen på parameterform + r + s. Svar Gauss-Jordanreducera systemet så får vi 4. x + y + z = y z = 6x + 6y + z = 4 variabler och icketriviala ekvationer gör att lösningen beror måste beskrivas med en parameter. Den blir (p)
x y z = 4 t + t t, t R (b) För vilka värden på k är vektorn Svar k = x + y ger ekvationssystemet 4 k vilket Gaussreducerat blir k 6 4 k en linjärkombination av vektorerna och 4. (p) så systemet är lösbart (vilket är detsamma som att den första vektorn är en linjkomb av de andra) om k = 6.
. (Dugga.) (a) En av produkterna A B och B A, där A = och B =, går att beräkna. Beräkna produkten i det fall som går att genomföra. (för att få poäng ska man bara ge ett svar och tala om vilken produkt det är). svar A B går inte, i produkten är antal kolonner i vänstra matrisen inte samma som antal rader i högra matrisen (antal kolonner=, antal rader=), vilket krävs för att matrismultiplikation ska kunna genomföras. B A går, i den produkten är antal kolonner i vänstra matrisen samma som antal rader i högra matrisen (antal kolonner=, antal rader=), och resultatet blir (b) A och B är kvadratiska matriser av samma ordning. Förenkla matrisuttrycket A B (AB + BA)B dvs få ett uttryck i termer av A, B och deras inverser med så få produkter och additioner som möjligt. Svar Genom att genomföra multiplikationerna och hålla noggran koll på faktorernas inbördes ordning förenklas uttrycket till A B A + B 6 (c) Beräkna inversen av 4. (p) Svar 7 (genomför bakåtsubstitution på 6 4 för att få svaret. 4. (Dugga.) (a) Avgör om vektorn v = ligger i underrummet som spänns upp av, och eller inte. Om den gör det, uttryck v som en linjärkombination av de övriga, om den inte gör det, motivera varför. (p) Svar v = ligger inte i underrummet eftersom alla vektorer som spänner upp det har en nolla i tredje komponenten och alltså inte kan ge en linjärkombination som har en etta i denna kompomemt. (b) Bestäm matrisen för den sammansatta linjära avbildningen S T, där S och T är linjära avbildningar från R till R och S har standardmatrisen A =, T har standardmatrisen B =. (p) (p) (p)
Svar Sammansättningens matris är produkten A B = av operatorernas matriser,. (Dugga.) 8 (a) Finn egenvärdena till matrisen A = Svar λ 8 Sekularekvationen blir = λ λ =. (p) = λ λ vilket ger egenvärdena λ = och (b) Beräkna determinanten för matrisen A = 7 4 (p) 6. (Dugga.) Svar Matrisen är triangulär så determinanten blir produkten av elementen på diagonalen, alltså () ( ) 4 = 4. Finn ett värde på k så att vektorerna 4, och k bildar en ortogonal bas i R. Skapa från dessa tre vektorer sedan en ortonormal bas för R. Svar Skalärprodukten av vektor och blir alltid noll, så villkoret för ortogonalitet blir att skalärprodukten av 4 vektor och blir noll, alltså = = + k k = 4. k För att få en ortonormal bas behöver vi dividera vektorerna med deras respektive längder vilket ger 4, och 4 7. (a) Avgör om mängden av alla -matriser med alla diagonalelement lika med och matrisaddition som vektoraddition är ett vektorrum eller inte. Om det inte är ett vektorrum, ge ett motexempel som visar detta, om det är ett vektorrum, ange dimensionen. Svar Det är ett vektorrum. Dimensionen är 6 (6 element i matrisen kan väljas fritt, de tre diagonalelementen är fixerade till värdet noll). (b) Avgör om polynomen x + x, + x + x och + x + 6x är linjärt oberoende eller linjärt beroende i rummet av alla polynom av grad mindre än eller lika med. Om de är linjärt beroende, skriv ett av polynomen som en linjärkombination av de andra. Svar De är linjärt beroende. Detta visas av att vi till exempel kan skriva + x + 6x = + x + x + 4(x + x ). (p) (p) (p) 4
Följande uppgifter bedöms för betyg 4 och. 8. (a) Ett plan P i R har normal n = 7. Finn en ekvation på parameterform för den linje l som är vinkelrät mot P och innehåller punkten (,, ). (b) Bestäm längden på vektorn v som har startpunkt (, ) och vars slutpunkt är skärningspunkten mellan linjerna x + y = och x + y = 4. 9. (a) Bestäm för vilka värden på paramentern k ekvationssystemet som har totalmatrisen (eller alternativt uttryckt, den utökade koefficientmatrisen) 4 k k + k + 6 k k + 4 har lösning, och för vilka värden på k det inte har någon lösning. Bestäm alla lösningar till systemet för de värden på parametern k för vilka systemet är lösbart. (p) (p) (b) Bestäm en bas för nollrummet för matrisen A = 4 4 4 7 4 4 6 6 (p) (c) Bestäm en bas för kolonnrummet för matrisen A i (b)? (d) Vilken dimension har radrummet för matrisen A i (b)? (p) (p). (a) För vilka k är matrisen 4 k k 7 k 4 k inte inverterbar? (b) Beräkna inversen för matrisen 4.
. Låt A =. Beräkna A med hjälp av diagonalisering av A. Svaret ska uttryckas som enbart en matris, dvs eventuella produkter av matriser ska beräknas.. (a) Finn en bas för det underrum till rummet av alla -matriser som består av övre triangulära matriser med nollor på diagonalen. (b) Är samlingen + x, x och x + x en bas för rummet av alla polynom av grad? Bestäm i så fall koordinaterna i denna bas för polynomet x + x. Motivera svaren väl. (6p) (p) Lösningsförslag uppdaterat --9 6
English version The course is graded, 4, or failed, where is the highest grade. To pass ( or higher) a minimum of 4 points is needed from the first part (-7). Each of those seven problems gives at most points. For each of problems -6 one may choose, instead of solving the problem, to use the grading from the class exams (duggor). Mark this choice by writing DUGGA instead of giving an answer. For higher grades you have to pass the first part and collect at least points (%) from the second part for grade 4 and points (7%) for grade. For all problems, answers are to be given with complete, clear and cleanly written solutions (only use one paper for each solution). The following problems are contributing to the grade passed (). If nothing else is stated, a problem in this part gives point.. (Dugga.) (a) Calculate u v v u if u = and v = (b) Find an equation in parametric form for the plane containing the point with the line x y z = + t and the vector d (p) and which is parallell. (p). (Dugga.) x + y + z = (a) Solve the equation ssystem y z = 6x + 6y + z = 4 (b) For which values of k is the vector k a linear combination of the vectors and 4 (p). (p). (Dugga.) (a) One of the products A B and B A, where A = and B =, is possible to calculate. Calculate the product in the case where the product is possible to form (in order to get points you should only give one answer and stat which product you calculate). (p) (b) A, B and X are quadratic matrixes of the same order. Simplify the matrix expression (p) A B (AB + BA)B that is, get an expression in terms of A, B and theirs inverses with so few productes and additions as possible. (c) Calculate the inverse of 4. (Dugga.) 6 4. (p) 7
(a) Determine wether the vector v = lies in the subspace which is the span of, and or not. If it is, express v as a linear combination of the other vectors. If it is not, give a short motivation why. (p) (b) Find the matrix representing the linear transformation S T, where S and T are linear transformations from R to R and S has the standard matrix A =, and T has the standard matrix B =. (p). (Dugga.) (a) Find the eigenvalues of the matrix A = (b) Calculate the determinant of the matrix A = 8. (p) (p) 7 4 6. (Dugga.) Find a value of k such that the vectors 4, and k form an orthogonal basis of R. Then form an orthonormal basis for R from these vectors. (p) 7. (a) Determine wether thee set of all -matrixes with all diagonal elements equal to and having matrix addition as its vector addition is a vector space or not. If it is not a vector space, give a counter example which shows that, if it is a vector space, find the dimension. (p) (b) Determine wether the polynomials x + x, + x + x and + x + 6x are linearly independent or lineary dependent in the space of all polynomials of order less than or equual to two. If they are linearly dependent, write one of the polynomials as a linear combination of the other polynomials. (p) 8
The following problems are considered for the grades 4 and. 8. (a) A plane P i R has a normal n = 7. Finn en ekvation på parameterform för den linje l som är vinkelrät mot P och innehåller punkten (,, ). (b) Calculate the length of the vector v that has the start point (, ) and whose end point is the intersection point between the lines x + y = and x + y = 4. 9. (a) Determine for which values of the paramenter k the equation system with the total matrix 4 k k + k + 6 k k + 4 haa a solution, and for which values of k it has no solution. Find all solutions to the systeme for the values of the parameter k giving a systeme which is solveable. (p) (p) (b) Determine a basis for the null space for the matrix 4 A = 4 4 7 4 4 6 6 (p) (c) Determine a basis for the column space for the matrix A i (b)? (d) Which dimension do the row space for the matrix A i (b) have? (p) (p). (a) For which k is the matrix 4 k k 7 k 4 k not invertible? (b) Calculate the inverse of the matrix. Let A = 4.. Calculate A with the help of diagonalization of A. The answer should be expressed as one matrix, that is, all eventual products of matrices should be calculated.. (a) Find a basis for the sub space of the room of all -matrixes which are upper triangular matrixes with zeroes on the diagonal. (b) Is the collection + x, x and x + x a basis for the space of all polynomials of order? If so, calculate the coordinates in this basis of the polynomial x + x. Motivate your answer well. (6p) (p) Good luck! Jan-Olav R, Stefan K, Yosief W 9