Försättsblad till skriftlig tentamen vid Linköpings universitet Datum för tentamen 2015-06-08 Sal (1) TER 2, TER 3 (Om tentan går i flera salar ska du bifoga ett försättsblad till varje sal och ringa in vilken sal som avses) Tid 14:00 19:00 Kurskod TSRT12 Provkod TEN1 Kursnamn/benämning Reglerteknik Institution ISY Antal uppgifter som ingår 5 i tentamen Jour/kursansvarig Anders Hansson (Ange vem som besöker salen) Telefon under skrivtiden 013-281681,070-3004401 Besöker salen cirka kl. 15:00, 16:30, 18:00 Kursadministratör/ kontaktperson Ninna Stensgård, 013-282225, ninna.stensgard@liu.se (Namn, telefonnummer, mejladress) Tillåtna hjälpmedel Övrigt Vilken typ av papper Rutigt ska användas, rutigt eller linjerat Antal exemplar i påsen 1. T. Glad & L. Ljung: Reglerteknik. Grundläggande teori eller liknande bok i reglerteknik 2. Tabeller och formelsamlingar, t.ex.: L. Råde & B. Westergren: Mathematics handbook, C. Nordling & J. Österman: Physics handbook, S. Söderkvist: Formler & tabeller 3. Miniräknare utan färdiga program Inläsningsanteckningar får finnas i böckerna.
TENTAMEN I TSRT12 REGLERTEKNIK SAL: TER 2, TER 3 TID: 2015-06-08 kl. 14:00 19:00 KURS: TSRT12 Reglerteknik PROVKOD: TEN1 INSTITUTION: ISY ANTAL UPPGIFTER: 5 ANSVARIG LÄRARE: Anders Hansson, tel. 013-281681,070-3004401 BESÖKER SALEN: cirka kl. 15:00, 16:30, 18:00 KURSADMINISTRATÖR: Ninna Stensgård, 013-282225, ninna.stensgard@liu.se TILLÅTNA HJÄLPMEDEL: 1. T. Glad & L. Ljung: Reglerteknik. Grundläggande teori eller liknande bok i reglerteknik 2. Tabeller och formelsamlingar, t.ex.: L. Råde & B. Westergren: Mathematics handbook, C. Nordling & J. Österman: Physics handbook, S. Söderkvist: Formler & tabeller 3. Miniräknare utan färdiga program Inläsningsanteckningar får finnas i böckerna. LÖSNINGSFÖRSLAG: Finns på kursens websida efter tentans slut. VISNING av tentan äger rum 2015-07-23, kl. 12.30 13.00 i Reglertekniks konferensrum Ljungeln, B-huset, ingång 25, A-korridoren till vänster. PRELIMINÄRA BETYGSGRÄNSER: betyg 3 23 poäng betyg 4 33 poäng betyg 5 43 poäng OBS! Lösningar till samtliga uppgifter ska presenteras så att alla steg (utom triviala beräkningar) kan följas. Bristande motiveringar ger poängavdrag. Lycka till!
1. (a) Ställ upp systemet G(s) = s 2 + 1 s 3 + 5s 2 + 4s + 3 på tillståndsform. (2p) (b) Ett steg med amplituden 3 läggs på ingången till systemet G(s) = s + 5 s 2 + s + 1 Vad blir utsignalen när alla transienter klingat av? Motivera. (2p) (c) Systemet G, som inte har några poler i höger halvplan, har nedanstående Nyquistdiagram. Systemet återkopplas med en P-regulator med förstärkningen K. För vilka K-värden (K > 0) blir det återkopplade systemet stabilt? (2p) (d) Ett reglersystem beskrivs av nedanstående blockdiagram. Ange överföringsfunktionen från R till Y. (4p) 2
2. (a) Betrakta systemet nedan där G(s) = s s + 2 Eftersom störningen v kan mätas vill man utnyttja denna kunskap i regulatorn. Rita ett blockschema som visar en sådan regulatorstruktur, samt ange en regulator så att v inte påverkar utsignalen. (2p) (b) Betrakta blockschemat i uppgift 2(a) ovan. Antag att störningen v inte är mätbar. Man vet dock att störningens huvudsakliga energiinnehåll finns vid 20 rad/s. I figuren nedan finns känslighetsfunktionen för systemet ovan med 3 olika val av regulatorer F. Vilken regulator är att föredra? Motivera noga. (2p) 3
(c) För ett system har man experimentellt bestämt bodediagrammet för det öppna systemet enligt nedan. Systemet återkopplas med P-återkoppling där K = 1. I figurerna (a)-(c) på nästa sida finns 3 olika stegsvar. Vilket stegsvar kan tänkas vara stegsvaret för det slutna systemet som svarar mot bodediagrammet ovan? Motivera noga. 4
5 (3p)
(d) Betrakta systemet Man har gjort ett antal stegsvarsexperiment för fem olika värden på K: K = 1, K = 6, K = 30, K = 50, K = 60 I figuren nedan finns polernas läge plottade med avseende på K. Resultaten av stegsvarsexperimenten är sammanfattade i figur (a)- (e) på nästa sida. Para ihop rätt K-värde med rätt stegsvar. Motivera noga. (3p) 6
7
3. Studera systemet nedan. Bodediagrammet för G 1 (s) ges i figur 1. Observera att systemet ovan innehåller en integrator som inte finns med i bodediagrammet (eftersom det bara är för G 1 (s)). Ange en regulator för systemet ovan så att Fasmarginalen för det kompenserade systemet är 40 grader. Det slutna systemet är dubbelt så snabbt som vad som är möjligt att uppnå med ren P-reglering och 40 graders fasmarginal. Det stationära felet då referenssignalen är en ramp är 100 gånger mindre än motsvarande fel vid ren P-reglering med 40 graders fasmarginal. (10 p) Figur 1: Bodediagram 8
4. (a) Fyra system är givna: G A (s) = 1 s + 10 25 G B (s) = (s + 1)(s 2 + 2s + 2) 1 G C (s) = s 2 + 4s + 104 1 G D (s) = (s 1)(s + 4) I följande figurer finns nyquistdiagram samt stegsvar för de olika systemen. Para ihop systemen med rätt figurer, och motivera dina svar. Poäng ges för korrekta motiveringar. Figur 2: Nyquistdiagram till uppgift 4a). (6p) 9
Figur 3: Stegsvar till uppgift 4a). 10
(b) Följande gäller för ett visst linjärt system: (i) Systemet har en pol i höger halvplan. (ii) Systemet har överföringsfunktionen G(s) = s + 3 (s + 2)(s 5) (iii) Systemets nyquistdiagram visas i figur 4 (omloppsriktningen är medurs). Figur 4: Nyquistdiagram till uppgift 4b) (iv) G(iω) < 1 för alla ω > 0. Man vill återkoppla systemet med en P-regulator, F (s) = 1. Kan man avgöra om det slutna systemet blir stabilt om man endast känner till informationen i 1. (ii)? 2. (iv)? 3. (i) och (iii)? 4. (iii)? Motivera dina svar. (4p) 11
5. Betrakta systemet ( ) 0 1 ẋ(t) = x(t) + 0 0 ( ) y(t) = 1 0 x(t) ( 0 1 ) u(t) (a) Beräkna en tillståndsåterkoppling som placerar det återkopplade systemets poler i 2. (2p) (b) Antag att förstärkningen i regulatorn varierar dvs att u(t) = K Lx(t) + l 0 r(t) där K 0. Besvara följande frågor genom att undersöka hur polernas läge beror av K: Finns det något värde på K så att självsvängning fås? Finns det något värde på K så att stegsvaret uppvisar svängningar? För vilka K är systemet stabilt? (4p) (c) Antag att förstärkningen i regulatorn kan implementeras exakt, men att en tidsfördröjning fås dvs u(t) = Lx(t T ) + l 0 r(t) där T är tidsfördröjningen. För vilka T är systemet stabilt? (4p) 12