Kompletterande anteckningar för Mät- & Reglerteknik 1 Matias Waller 12 september 2011 Föreliggande anteckningar skall tjäna som ett stöd för undervisningen i Mät- & Reglerteknik 1: Någon ambition att göra materialet fristående och tillräckligt för en full förståelse finns inte. Materialet utvecklas fortlöpande, och alla kommentarer/förslag/synpunkter välkomnas med tacksamhet!
Tabell 1: Vanliga termer och beteckningar. Term Förklaring English Beteckning Ärvärde, processens Den reglerade storhetens Actual value, y(t) utsignal, reglerad variabel verkliga (aktuella) värde process value, controlled variable Börvärde, ledvärde, Önskat värde på den Set point, desired r(t) referenssignal storhet man vill reglera value Reglerfel, regleravvikelse Skillnad mellan börvärde och ärvärde Control error e(t) = r(t) y(t) Styrsignal, regulatorns utsignal, styrd variabel Störning(ar) Regulator Signal System Styrdon, ställdon Storhet som används för att påverka processen man vill reglera Storhet som påverkar processen (oönskat) Den enhet som (på basen av mätningar) beräknar styrsignal En storhet som kan variera med tiden (innehåller information) Sambanden mellan två eller flera signaler Don som används för att styra processen Reglerteknik Reglera Återkoppling, slutet system Framkoppling, öppet system PID-regulator Stabilitet Enligt en vanlig definition sägs ett system vara stabilt om begränsade insignaler leder till begränsade utsignaler Fortfarighet, stationärt Då signaler i systemet inte tillstånd, jäm- ändrar, systemet befinner vikt sig i vila Stegsvar Utsignalens förlopp efter att insignalen ändrar som ett steg Dödtid, fördröjningstiändring Tiden det tar efter en för- i insignalen innan något märks i utsignalen Tidskonstant Mått på systemets tröghet, den tid det tar (efter dödtiden) innan stegsvaret nått 63 % av slutvärdet Stigtid Insvängningstid Översväng Stabilitetsmarginal Control signal Disturbance(s) Controller, regulator Signal System Actuator u(t) w(t) (Automatic) Control engineering Control Feedback, closed loop Feed forward (control), open loop PID-Controller Stability Steady state Step response (Transport) delay, dead time Time constant Rise time Settling time Overshoot Stability margin
1 Dynamik: Stegsvar och frekvenssvar 1.1 Stegsvar Ett exempel på ett stegsvar (ärvärdets förlopp som funktion av tiden då styrsignalen ändrar som ett steg) ges i Figur 1. Figur 1: Mätningar på ett stegsvar på Armfields PCT23MkII. Från figuren kan man bestämma ungefärligt värde på dödtid (ca 1 sekund), tidskonstant (ca 1 sekund) och förstärkning, K: K = y 100 ml/min = 5 ml/(min%) u 20 % I Figur 2 illustreras olika vanliga stegsvar. 1.2 Frekvenssvar Med frekvenssvar avser man ärvärdets (utsignalens) förlopp som funktion av tiden då styrsignalen (insignalen) är sinusformad. Ett sådant exempel ges i 3
Figur 2: Exempel på olika sorters stegsvar. Figur 3. Med beteckningar från Fig. 3: Amplitudförhållandet A(ω) ges av förhållandet mellan utsignalens amplitud B(ω) och insignalens amplitud D(ω): A(ω) = B(ω) D(ω) Amplitudförhållandet anges ofta i db: A(ω) db = 20 log 10 (A(ω)) Om utsignalens amplitud är 10 gånger så stor som insignalens amplitud motsvarar det en förstärkning på 20 db. Om utsignalens amplitud är samma som insignalens motsvarar detta en förstärkning på 0 db. En dämpning på 10, dvs att utsignalens amplitud är en tiondel av insignalens motsvaras då av en förstärkning på -20 db. En bra tumregel för db-skalan är att en 4
Figur 3: Frekvenssvar: utsignalens förlopp då insignalen är sinusformad. fördubbling (halvering) motsvaras av 6 db (-6 db) och att multiplikation i absolut förstärkning motsvaras av addition (räkneregler för logaritmer) i db: en absolut förstärkning på 8 motsvaras då av en förstärkning 18 db. Fasförsjutningen anges vanligtvis i grader och ges (med beteckningar från Fig. 3) av: φ = t 1 T 360 där minustecknet kommer av att man säger att fasförkjutningen är negativ om utsignalen släpar efter insignalen. För dynamiska system är amplitudförhållandet och fasförskjutningen en funktion av (vinkel)frekvensen (ω, som ofta anges i rad/s)! Sambandet mellan vanlig frekvens f (i Hz) och vinkelfrekvens ges av ω = 2πf. Amplitudförhållande och fasförsjutning illustreras ofta i en tvådelad figur som kallas Bode-diagram: Ytterligare ett Bode-diagram med vanliga termer illustreras i Fig. 7 5
Figur 4: Bode-diagram för ett system med en tidskonstant. 6
Figur 5: Bode-diagram för ett system med bara en dödtid. 7
2 PID-regulatorer PID-regulatorer (uttalas PE-I-DE -regulatorer) beskrivs och implementeras i olika former. Här beskrivs några vanliga former. PID i parallell form: u(t) = K c ( e(t) + 1 T i ) de(t) e(t)dt + T d dt där K c är regulatorns förstärkning, T i integraltiden och T d derivatatiden. I praktiken sker derivering ofta på negativa ärvärdet (varför?): ) u(t) = K (e(t) + 1Ti dy(t) e(t)dt T d dt Istället för integraltid och derivatatid stöter man också på integralförstärkning I, och derivataförstärkning D enligt: u(t) = K c e(t) + I e(t)dt + D de(t) dt Sambanden I = Kc T i och D = K c T d gäller. I böcker är PID i parallell form den vanligare, medan många tillverkare implementerar serieformen: e 1 (t) = e(t) + T d de(t) ( dt u(t) = K c e 1 (t) + 1 T i ) e 1 (t)dt Derivering av negativa ärvärdet är också vanligt i detta fall: e 1 (t) = e(t) T d dy(t) ( dt u(t) = K c e 1 (t) + 1 T i ) e 1 (t)dt Man kan notera att PI-regulatorn är samma för parallell och serieformen men skiljer sig åt för PID-reglering. 8
2.1 Tumregelmetoder för att ställa in PI/PID-regulatorer 1. Minnesregel: Kallas stabilitetsmarginalmetoden i Hägglund (1990) och är kanske den enklaste metoden (kräver inte några mätinstrument men utgår från en mycket grov modell av processen): (a) Lägg regulatorn i automatisk reglering med I- och D-delarna bortkopplade (b) Vrid upp förstärkningen K till regleringen blir orolig. Vrid därefter ner förstärkningen till hälften. (c) Om integralverkan önskas vrid ner integraltiden T i tills regleringen blir orolig. Vrid därefter upp integraltiden till det dubbla värdet. (d) Om derivataverkan önskas vrid upp derivatatiden T d tills regleringen blir orolig. Vrid därefter ner derivatatiden till hälften. 2. Ziegler-Nichols svängningsmetod: En välkänd metod som kritiseras för att vara för aggressiv. Metoden går ut på följande: (a) Lägg regulatorn i automatisk reglering med I- och D-delarna bortkopplade (b) Vrid upp förstärkningen K i P-regulatorn tills systemet nätt och jämnt börjar självsvänga. Notera värdet på förstärkningen som ger självsvängning, K max, och periodtiden för svängningarna, T 0. (c) Ställ in parametrarna i PID-regulatorn enligt Tabell 2. Tabell 2: Ziegler-Nichols tumregler för inställning av PI/PID-regulatorer enligt frekvensmetoden. K max är den förstärkning i P-regulatorn som ger stående svängningar, T 0 är perioden för de stående svängningarna. Regulator K T i T d P 0.5K max PI 0.45K max 0.85T 0 PID parallell 0.6K max 0.5T 0 0.125T 0 PID serie 0.3K max 0.25T 0 0.25T 0 3. Utgående från stegsvar: I Forsman (2005) behandlas inställning av PID-regulatorer på basen av stegsvar mera ingående. Rutinera kring 9
experimenten och analys av stegsvar beskrivs också mera ingående och endast en kort översikt ges i dessa anteckningar. Forsman (2005) tar även avstånd från de två andra tumregelmetoderna som presenterats i dessa anteckningar, speciellt Ziegler-Nichols svängningsmetod som bedöms som olämplig för processindustrin och onödigt aggressiv. Ett stegsvar för en s.k. KLT -process, dvs en process vars stegsvar planar ut och kan beskrivas med de tre parametrarna K (processförstärkning), L (dödtid) och T (tidskonstant), ges i Fig. 1. De tre parametrarna kan skattas från stegsvaret enligt följande: Processförstärkningen: K = y 100 ml/min = 5 ml/(min%) u 20 % De flesta reglersystem skalar dock om mätvärdet före beräkning av styrsignal och man bör då också skala om processförstärkningen (det är då nödvändigt att känna till hela mätområdet). För denna process gäller y max = 500 ml/min och y min = 0 ml/min och då fås processförstärkningen i skalade enheter: K = 100 y/(y max y min ) 100 100 ml/min/(500 ml/min) = 1 100 u/(u max u min ) 100 20 %/(100 %) En väldesignad process har ofta en (skalad) processförstärkning som är 1. Dödtiden L, den tid det det tar efter steget i u innan y börjar svara på ändringen. För denna process gäller ungefär att L 1 s. Tidskonstanten T är den tid det tar för y att genomföra 63 % av sin totala ändring, efter att y börjat ändra. För processen gäller ungefär att T 1 s. Det kan noteras att T vanligen är svårast att skatta, och olika altenativa metoder kan användas för att få gränser för värdet på T. T.ex. kan man utnyttja att totala förändringen (efter att dödtiden förlupit) skett efter ca 4T. L och T kan också skattas med tangentmetoden som presenteras i samband med Chien, Hrones och Reswicks stegsvarsmetod i Thomas (2008). Givet skattningar på K, T och L kan en PI-regulator ställas in så att regulatorns förstärkning ges av K c = 10 T K(L + λ)
och integraltiden T i = T Om processen saknar dödtid är λ den tidskonstant man vill ge det slutna systemet, dvs tidskonstanten för ärvärdet vid ett steg på börvärdet. Med dödtid i processen brukar man definiera λ = κt där κ < 1 ger aggressiv reglering och κ > 1 defensiv. I processindustrin rekommenderas κ = 1.5 som default-värde. För integrerande processer och stegsvarmetoden hänvisas till (Forsman, 2005). 2.2 Autotuning Autotuning utnyttjar idén om de enkla tumreglerna för att på basen av enkla experiment erhålla den information (löst uttryckt förstärkning och dynamik) som behövs för att automatiskt ställa in en regulator. Principen för en vanlig typ av autotuning, relämetoden, illustreras i Fig. 6, från Hägglund (2008). Denna går ut på att när autotuningen startar Figur 6: Principen för autotuning, förklaras i större detalj under föreläsningar. 11
kopplas PID-regulatorn tillfälligt bort och ersätts med tvålägesreglering : Styrsignalen hoppar mellan två nivåer. Reglerfelet (skillnaden mellan börvärde och ärvärde) avgör vilken nivå styrsignalen skall ha. Ärvärdet kommer då att svänga runt börvärdet. Frekvensen på svängningen är ungefär samma frekvens som man får med Ziegler-Nichols svängningsmetod och förhållandet mellan ärvärdets amplitud och styrsignalens är ungefär samma som processens amplitudförhållande vid denna frekvens. När man använder autotuning är det ofta viktigt att justera amplituden på styrsignalen (mellan vilka nivåer skall styrsignalen hoppa) så att experimentet ger användbar information. 2.3 Ett enkelt stabilitetskriterium Hur kan man avgöra om ett reglersystem är stabilt? Från exemplena har noterats att återkopplingen bör vara negativ för att systemet skall vara stabilt. Detta betyder att då man multiplicerar alla förstärkningarna i alla element i den återkopplade slingan med varandra bör produkten bli negativ. Som exemplet med återkopplingen av den rena transportfördröjningen visade är det dock inte tillräckligt att återkopplingen är negativ, utan i det exemplet gällde att produkten av alla förstärkningar i måste vara mellan 0 och 1 för att systemet skulle vara stabilt. Mera allmänt kan man resonera kring stabilitet genom att undersöka vad som händer med en sinussignal (med en viss frekvens) rör sig genom den återkopplade slingan. Om signalen för varje varv den går genom slingan dämpas (dvs totala förstärkningen är mindre än 1) så kommer signalen att så småningom försvinna. Men om den för varje varv får en större amplitud blir svängningarna allt större och systemet är instabilt. Den frekvens som är kritisk i detta fall är när signalen kommer i fas med sig själv, dvs den frekvens när den totala fasförskjutningen är 360. I ett Bode-diagram för ett återkopplat system är den kritiska frekvensen den frekvens då totala fasförsjutningen är 180. Orsaken att det är 180 och inte 360 är att man inte tar med fasförskjutningen pga den negativa återkopplingen (som spegelvänder signalen, dvs fasförskjuter signalen med 180 ). I Fig. 7 illustreras ett Bode-diagram (med ampltudförhållandet i absolut skala) med flera vanliga termer. Stabilitetskriteriet enligt ovan brukar också kallas för Bodes stabilitetkriterium: Ett återkopplat system är stabilt om totala förstärkningen i den återkopplade slingan är mellan 0 och 1 vid den kritiska frekvensen, dvs den frekvens då den sammalagda fasförskjutningen i de element som ingår i kretsen exklusive teckenvändaren är 180. Relaterat till ett Bode-diagram är det den kritiska frekvensen och amplitudmarginalen för det återkopplade systemet man bestämmer när man ut- 12
Figur 7: Bode diagram med nyttiga termer, från Hägglund (1990). nyttjar Ziegler-Nichols frekvensmetod för att ställa in regulatorer. 2.4 Parameterstyrning Parameterstyrning kan utnyttjas för PID-reglering av en process där man vill utnyttja olika inställningar på regulatorn beroende på värdet på en parameter. Denna parameter är oftast ärvärdet eller styrsignalen. Parameterstyrning i kombination med autotuning illustreras i Fig. 8, från användarbeskrivningen till ECA40, en PID-regulator från Alfa Laval Automation som används i högskolans automationslaborium. Man kan notera att styrsignalen benämns utsignal i användarbeskrivningen för ECA40 detta är vanligt i manualer för regulatorer. 13
Figur 8: Exempel på hur parameterstyrning kan användas. 14
3 Reglerkopplingar Reglerkopplingar eller reglerstrategier är ett gemensamt namn för några strategier som används för att få mera ändamålsenlig reglering vid speciella men rätt allmänna reglertekniska utmaningar. Här sammafattas några av dessa. 3.1 Övertagande reglering Vid övertagande reglering finns det två reglersystem där det ena, det övertagande reglersystemet, tar över under icke-normala förhållanden. Till exempel kan ett reglersystem ha som primär uppgift att hålla ett konstant flöde med tanke på processerna nedströms i produktionen trots att tillgången varierar. Man kan då utnyttja en bufferttank för att möjliggöra ett konstant flöde efter tanken. För att förhindra att tanken rinner över (eller rinner tom) kan man ha ett övertagande reglersystem som ökar flödet om nivån blir för hög (eller stryper flödet om nivån blir för låg). Övertagande reglering kan ofta implementeras med sk väljare. Ett exempel på hur väljare kan utnyttjas i andra sammanhang illustreras i samband med kvotreglering. 3.2 Kaskadreglering Kaskadreglering illustreras bra i Thomas (2008), och visas i Fig. 9. När man ställer in de två regulatorerna, den primära (yttre) regulatorn kallas Regulator 1 och den sekundära (inre) regulatorn kallas Regulator 2 i Fig. 9, är det av avgörande betydelse att göra detta i rätt ordning: 1. Lägg den yttre regulatorn (primärregulatorn) i manuell reglering, 2. Ställ in den inre regulatorn (sekundärregulatorn), 3. Lägg den inre regulatorn i automatisk reglering, 4. Ställ därefter in den yttre regulatorn. Ofta är det tillräckligt att den inre regulatorn är av enklare typ, t.ex., kan en P-regulator utnyttjas som inre regulator, och man kan låta den yttre regulatorn eliminera eventuella bestående fel. Om man vill ha en mjuk inkoppling av en kaskadreglering då denna tas i drift, dvs utgående från att bägge regulatorerna är inställda men i manuell reglering, kan man använda följande metodik: 1. Sätt börvärdet för den inre regulatorn lika med dess ärvärde, 15
Figur 9: Exempel på kaskadreglering. 16
2. Lägg den inre regulatorn i automatisk reglering med internt börvärde valt, 3. Justera styrsignalen (manuellt) från den yttre regulatorn så att denna sammanfaller med börvärdet för den inre regulatorn, 4. Byt från internt till externt börvärde för den inre regulatorn, 5. Sätt börvärdet för den yttre regulatorn lika med dess ärvärde, 6. Lägg den yttre regulatorn i automatisk reglering 7. Justera det yttre börvärdet till önskad nivå. 3.3 Kvotreglering Kvotreglering används ofta när man vill reglera två storheter (ärvärden) så att dessa följer ett givet förhållande. Man har då bara ett externt börvärde och en önskad kvot samt två styrsignaler. Principen illustreras i Fig. 10 och är från Hägglund (2008). Figuren innehåller dessutom två väljare. Vilken funktion har dessa väljare i detta sammanhang? 3.4 Framkoppling Framkoppling innebär att man mäter en störning och använder denna information för att bestämma sin styrsignal. Ett vanligt exempel på denna reglerstrategi är att försöka styra rumstemperaturen y med hjälp av en formel eller tabell som anger vilken effekt som ska tillföras värmeelementet, u, i förhållande till aktuell utomhustemperatur, w, och önskad inomhustemperatur, r. I det enklaste fallet är detta statiskt: u = ar bw där a och b är parametrar som bör beskriva rummets egenskaper. Vanligare är dock att framkoppling använder ett filter för att bestämma hur störningen överförs till styrsignalen. Framkoppling kan fungera bra förutsatt att modellen för hur störningen påverkar systemet är god och förhållandena inte varierar särskilt mycket. Om förhållandena ändras, t.ex., en annan störning inträffar som att många fler personer är i rummet, kommer tillskottet från deras kroppsvärme att höja temperaturen. Eftersom styrsystemet inte vet vad innetemperaturen är kan det inte kompensera för detta. Framkoppling är känslig både för fel i 17
Figur 10: Exempel på kvotreglering. FT avser flödesgivare och FIC avser flödesregulator. modellen och för störningar som inte mäts eller är okända. För att komma tillrätta med detta kombinerar de flesta moderna styrsystem framkoppling med någon form av återkoppling. 3.5 Kombinationer Exempel: Utgå från en kvotreglering där man reglerar lufttillförseln i proportion till mängden bränngas för en förbränningsugn. Mängden bränngas bestäms utanför reglersystemet. Denna reglering har dock vissa brister och man vill förbättra den enligt: Trycket i bränngasledningen varierar betydligt varför gasströmmen varierar trots ett givet läge på ventilen. Man vill införa någon reglering som eliminerar dessa variationer. Målet med förbränningen är att hålla ugnens temperatur konstant. Belastningen på ugnen varierar varför det inte räcker att ha en konstant 18
reglering av gasströmmen enligt förra punkten. Man vill att regleringen automatiskt beaktar en varierande belastning på ugnen. Ett konstant förhållande mellan bränngas och luft är inte tillräcklig eftersom gasens sammansättning varierar. För att undvika ofullständig förbränning tänker man mäta syrgashalten på rökgaserna. Man vill utnyttja denna information för att automatiskt bestämma ett lämpligt värde på kvoten mellan luft och gas. Skissera det förbättrade reglersystemet! 4 Multivariabla system En multivariabel process kännetecknas av att den har flera styrsignaler och flera ärvärden. Ett enkelt exempel är en vanlig dusch där man genom att vrida på två olika ventiler (två styrsignaler) reglerar både flöde och temperatur. Grovt taget kan man tänka sig två olika strategier för att reglera en multivariabel process: 1. Enkelvariabla regulatorer, dvs man väljer en vanlig regulator (t.ex., en PID-regulator) och kopplar ihop en styrsignal med ett ärvärde. Med denna strategi blir övriga styrsignaler störningar för denna enkelvariabla regulator: vänstra handen inte vet vad högra handen gör (jämför exemplet med duschen). Med denna strategi blir regleringen lika enkel som tidigare, men detta sker ofta på bekostnad av prestanda. 2. En multivariabel regulator. Detta är en regulator som bestämmer samtliga styrsignaler utgående från alla är- och börvärden (all tillgänglig information). Fördelarna med denna strategi är uppenbara ( vänstra handen vet vad högra handen gör ), men nackdelen är att en multivariabel regulator är mera komplicerad och i regel måste implementeras digitalt. Ofta krävs också en bättre modell av processen, t.ex. att modellen även beskriver kopplingarna mellan olika styr- och ärvärden för att reglering skall vara framgångsrik. 5 Digital reglering I moderna reglersystem implementeras regulatorer nästan alltid digitalt. Detta innebär att regulatorn arbetar i diskret tid medan processen man reglerar nästan alltid kan beskrivas i kontinuerlig tid. 19
Som exempel kan en PID-regulator nämnas: I kontinuerlig tid (det vanliga fallet) ges PID-regulatorn av ) u(t) = K (e(t) + 1TI de e(t)dt + T D dt Givet en samplingsperiod T s (T s = 1/f s där f s är samplingsfrekvensen) kan en kontinuerlig modell diskretiseras på olika sätt. En enkel möjlighet för en PID-regulator är att approximera integralen med en summa, t=kts 0 e(t)dt T s k e(i) där i och k avser samplingsögonblick och är heltal (index i en minnesvektor i ett program). I praktiken kan man inte implementera denna summa då det skulle kräva att ett växande antal värden av e(i) lagras och summeras för varje sampling. Man inför därför en hjälpvariabel i=1 k 1 w(k 1) = e(i) vilket betyder att man istället kan beräkna summan med: i=1 k e(i) = w(k) = e(k) + w(k 1) i=1 På motsvarande sätt som för integralen kan derivatan (vid tiden t = kt s ) approximeras med en differens de dt e(k) e(k 1) T s Denna diskreta PID-regulator kan därmed skrivas w(k) = w(k 1) + e(k) ( u(k) = K e(k) + T s w(k) + T ) D (e(k) e(k 1)) T I T s Det finns två vanliga sätt att hantera att processen i princip är tidskontinuerlig och regulatorn tidsdiskret: 20
1. Diskretisera en kontinuerlig regulator Man designar regulatorn med kontinuerliga metoder, dvs som om regulatorn skulle implementeras kontinuerligt. När regulatorn sedan implementeras diskretiserar man regulatorn, dvs översätter från kontinuerlig till diskret tid. Detta innebär en approximation som i regel försämrar reglerprestandan något. Med höga samplingsfrekvenser är detta dock sällan ett problem. Exemplet med PID-regulatorn från förra stycket illustrerar denna princip. 2. Utnyttja en tidsdiskret modell av processen Man designar regulatorn direkt i diskret tid utgående från en beskrivning av processen som är i diskret tid. Då sker all design i tidsdiskret tid. Detta har fördelen att effekten av sampling (tidsdiskretisering) direkt beaktas och vidare öppnas nya möjligheter för design av reglersystem. Som exempel kan nämnas modellprediktiv reglering som är ett område som utvecklats aktivt. I grova drag kan man säga att modellprektiv reglering går ut på använda sin modell av processen för att bestämma den sekvens av styrsignaler som leder till önskat ärvärde (en form av framkoppling). I praktiken blir ärvärdet inte helt som önskat och då bestäms en ny sekvens av styrsignaler för att igen nå önskat resultat (en form av återkoppling). Detta kan ses som ett exempel på en typ av arbetsmetodik som möjliggörs i en digital miljö. En tidsdiskret modell av processen kan bestämmas antingen genom att (försöka) diskretisera en kontinuerlig modell eller genom anpassning av en modell utgående från samplade mätningar. En kontinuerlig modell för processen bestäms oftast utgående från principerna för fysikalisk modellering (nästa kurs). När en modell bestäms på basen av mätningar kallas det för identifiering. Referenser Forsman, K. (2005). Reglerteknik för processindustrin. Studentlitteratur. Lund. Hägglund, T. (1990). Praktisk processreglering. Studentlitteratur. Lund. Hägglund, T. (2008). Praktisk processreglering. Studentlitteratur. Lund. Thomas, B. (2008). Modern Reglerteknik. Liber. Ljubljana. 21