Lösningar till 5B1762 Optimeringslära för T, 24/5-07

Relevanta dokument
Lösningar till SF1852 Optimeringslära för E, 16/1 08

Lösningar till SF1861/SF1851 Optimeringslära, 24/5 2013

Lösningar till tentan i SF1861 Optimeringslära, 1 juni 2017

Lösningar till SF1861 Optimeringslära, 28 maj 2012

Lösningar till tentan i SF1861 Optimeringslära, 3 Juni, 2016

Lösningar till tentan i SF1861/51 Optimeringslära, 3 juni, 2015

Lösningsförslag till tentamen i SF1861 Optimeringslära för T. Onsdag 25 augusti 2010 kl

1 LP-problem på standardform och Simplexmetoden

Lösningsförslag till tentamen i SF1861 Optimeringslära för T. Torsdag 28 maj 2010 kl

1 Ickelinjär optimering under bivillkor

Lösningar till tentan i 5B1760 Linjär och kvadratisk optimering, 17 december 2003.

1 Kvadratisk optimering under linjära likhetsbivillkor

1 Duala problem vid linjär optimering

Olinjär optimering med bivillkor: KKT min f (x) då g i (x) 0 för alla i

1 Konvexa optimeringsproblem grundläggande egenskaper

LP-problem. Vårt första exempel. Baslösningar representerar extrempunkter. Baslösningar representerar extrempunkter

Föreläsning 7: Kvadratisk optimering. 4. Kvadratisk optimering under linjära bivillkor

Optimeringslära Kaj Holmberg

Optimalitetsvillkor. Optimum? Matematisk notation. Optimum? Definition. Definition

Optimeringslära Kaj Holmberg

1 Minkostnadsflödesproblem i nätverk

Solutions to exam in SF1811 Optimization, June 3, 2014

Föreläsning 2: Simplexmetoden. 1. Repetition av geometriska simplexmetoden. 2. Linjärprogrammeringsproblem på standardform.

Linjärprogrammering (Kap 3,4 och 5)

Optimeringslära Kaj Holmberg

Optimeringslära Kaj Holmberg

Optimeringslära Kaj Holmberg

Tentamen TMA946/MAN280 tillämpad optimeringslära

De optimeringsproblem som kommer att behandlas i denna kurs kan alla (i princip) skrivas. 1 2 xt Hx + c T x. minimera

Optimeringslära Kaj Holmberg

5B1817 Tillämpad ickelinjär optimering. Optimalitetsvillkor för problem med linjära bivillkor.

Laboration 1 - Simplexmetoden och Modellformulering

LP-dualitet: Exempel. Vårt första exempel. LP-dualitet: Relationer. LP-dualitet: Generellt

Vårt första exempel. LP-dualitet: Exempel. LP-dualitet: Generellt. LP-dualitet: Relationer

Linjärprogramming. EG2205 Föreläsning 7, vårterminen 2015 Mikael Amelin

5B1817 Tillämpad ickelinjär optimering. Kvadratisk programmering med olikhetsbivillkor Active-set metoder

Hemuppgift 2, SF1861 Optimeringslära för T, VT-10

Föreläsning 6: Nätverksoptimering

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag med bedömningskriterier till kontrollskrivning 2 Fredagen den 28 januari, 2011

Vinsten (exklusive kostnaden för inköp av kemikalier) vid försäljning av 1 liter fönsterputs är 2 kr för F1 och 3 kr för F3.

Optimering med bivillkor

TNK049 Optimeringslära

TAOP07/TEN1 OPTIMERINGSLÄRA GRUNDKURS för Y. Antal uppgifter: 7 Uppgifterna är inte ordnade efter svårighetsgrad.

Tentamensinstruktioner. När Du löser uppgifterna

Extrempunkt. Polyeder

TAOP33/TEN 2 KOMBINATORISK OPTIMERING GRUNDKURS för D och C

Ett linjärprogrammeringsproblem på allmän form ser ut som

Optimeringslära för T (SF1861)

Laborationsuppgift 1 Tillämpad optimeringslära för MMT (5B1722)

Laboration 1 - Simplexmetoden och modellformulering

5B1817 Tillämpad ickelinjär optimering. Metoder för problem utan bivillkor, forts.

Tentamensinstruktioner. Vid skrivningens slut

Vinsten (exklusive kostnaden för inköp av kemikalier) vid försäljning av 1 liter fönsterputs är 2 kr för F1 och 3 kr för F3.

Hemuppgift 1, SF1861 Optimeringslära, VT 2017

Flöde i nätverk. Flöde i nätverk. Specialfall av minkostnadsflödesproblemet

1 De fyra fundamentala underrummen till en matris

Tentamensinstruktioner. När Du löser uppgifterna

TAOP88/TEN 1 OPTIMERING FÖR INGENJÖRER

TAOP14: Optimeringslära SAMMANFATTNING OSKAR QVIST:

TNK049 Optimeringslära

Tentamensinstruktioner. När Du löser uppgifterna

TAOP86/TEN 1 KOMBINATORISK OPTIMERING MED

Hemuppgift 1, SF1861 Optimeringslära för T

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen DEL A

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen Fredagen den 23 oktober, 2009 DEL A

Tentamensinstruktioner

1 Positivt definita och positivt semidefinita matriser

Lösningar/svar. Uppgift 1. Tekniska Högskolan i Linköping Optimering av realistiska sammansatta system. Optimeringslära Kaj Holmberg

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till modelltentamen DEL A

1. (Dugga 1.1) (a) Bestäm v (3v 2u) om v = . (1p) and u =

Några övningsexempel i Optimeringslära

Tentamensinstruktioner

Optimeringslära Kaj Holmberg. Lösningar/svar. Iteration 2: x 2 s

Uppgift 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

Laboration 1 i SF1544: Öva på Matlab och konstruera en optimal balk Avsikten med denna laboration är att:

TAOP86/TEN 1 KOMBINATORISK OPTIMERING MED

Optimeringsproblem. 1 Inledning. 2 Optimering utan bivillkor. CTH/GU STUDIO 6 TMV036c /2015 Matematiska vetenskaper

Frågorna 1 till 6 ska svaras med ett kryss för varje korrekt påstående. Varje uppgift ger 1 poäng. Använd bifogat formulär för dessa 6 frågor.

Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Thomas Erlandsson

1 Linjära ekvationssystem. 2 Vektorer

z = min 3x 1 2x 2 + y Fixera y, vilket ger subproblemet

TAOP88/TEN 1 OPTIMERING FÖR INGENJÖRER

Flöde i nätverk. Flöde i nätverk. Specialfall av minkostnadsflödesproblemet

Vectorer, spannet av vektorer, lösningsmängd av ett ekvationssystem.

TAOP88/TEN 1 OPTIMERING FÖR INGENJÖRER

Facit/lösningsförslag

SF1545 Laboration 1 (2015): Optimalt sparande

Vektorgeometri för gymnasister

SKRIVNING I VEKTORGEOMETRI

Laboration 1: Optimalt sparande

Tentamensinstruktioner

SKRIVNING I VEKTORGEOMETRI

1(8) x ijt = antal mobiltelefoner av typ i=1,,m, Som produceras på produktionslina 1,, n, Under vecka t=1,,t.

TAOP88/TEN 1 OPTIMERING FÖR INGENJÖRER

Flöde i nätverk. Flöde i nätverk. Specialfall av minkostnadsflödesproblemet. Specialfall av minkostnadsflödesproblemet. Slutsats.

TAOP88/TEN 1 OPTIMERING FÖR INGENJÖRER

Här är ett antal uppgifter, en del tagna från gamla tentamina, som handlar om basbyte. respektive B = uttryckta i basen A

Sats: Varje anslutningsmatris ar fullstandigt unimodular. Bevis: Lat m beteckna antalet rader i anslutningsmatrisen.

Institutionen för Matematiska Vetenskaper TENTAMEN I LINJÄR ALGEBRA OCH NUMERISK ANALYS F1, TMA

MIO310 OPTIMERING OCH SIMULERING, 4 p

Transkript:

Lösningar till 5B76 Optimeringslära för T, 4/5-7 Uppgift (a) Först använder vi Gauss Jordans metod på den givna matrisen A = Addition av gånger första raden till andra raden ger till resultat matrisen Addition av gånger andra raden till första raden, samt addition av gånger andra raden till tredje raden, ger till resultat matrisen = U Nu är A överförd till trappstegsform med två trappstegsettor En bas till R(A) erhålls genom att som basvektorer välja de kolonner i A som svarar mot trappstegsettor i U, kolonnerna och i A De två vektorerna och utgör alltså en bas till R(A) En bas till N (A) kan bestämmas enligt följande: Sätt x 3 = (den enda variabel som inte svarar mot en trappstegsetta) och bestäm sedan x och x (variablerna svarande mot trappstegsettor) så att Ux = Det ger den första och enda basvektorn till N (A) Fortsättning på nästa sida

Nu använder vi Gauss Jordans metod på matrisen A T = Addition av gånger första raden till andra raden ger till resultat matrisen Addition av gånger andra raden till första raden, samt addition av gånger andra raden till tredje raden, ger till resultat matrisen = Ũ Nu är A T överförd till trappstegsform med två trappstegsettor En bas till R(A T ) erhålls genom att som basvektorer välja de kolonner i A T som svarar mot trappstegsettor i Ũ, kolonnerna och i A T De två vektorerna och utgör alltså en bas till R(A T ) En bas till N (A T ) kan bestämmas enligt följande: Sätt y 3 = (den enda variabel som inte svarar mot en trappstegsetta) och bestäm sedan y och y (variablerna svarande mot trappstegsettor) så att Ũy = Det ger den första och enda basvektorn till N (A T )

Uppgift (b) Inför följande beslutsvariabler: x j = antal kg av produkten P j som blandas till per vecka y i = antal kg av råvaran R i som köps in per vecka Då kan företagets frågeställning formuleras som följande LP-problem i variablerna x j och y i : maximera då n m c j x j b i y i j= i= n a ij x j y i, j= x j d j, j =,, n i =,, m y i e i, i =,, m Kommentar: n j= a ijx j anger hur mycket som går åt av råvaran R i per vecka, och man måste köpa in minst så mycket Å andra sidan är det bortkastat att köpa in mer än man behöver, så vi kan utgå från att y i = n j= a ijx j i varje optimal lösning Med hjälp av detta samband kan variablerna y i elimineras ur problemet, varvid följande LP-problem i enbart variablerna x j erhålls: maximera då n k j x j j= n a ij x j e i, j= i =,, m x j d j, j =,, n, där konstanterna k j i målfunktionen ges av k j = c j m b i a ij Den första formuleringen är nog att föredra Det finns ingen anledning att välja en formulering med så få variabler som möjligt i= 3

Uppgift (a) Eftersom alla c j = 3 så är töjningsenergiminimeringsproblemet ekvivalent med QP-problemet minimera f T H f då R f = p, där H = 3, R = 3, p = 8 Matrisen H är positivt definit, ty för varje vektor z IR 4 med z är z T Hz = 3 (z + z + z 3 + z 4 ) > Därmed är QP-problemet ekvivalent med det linjära ekvationssystemet H f R T u =, R f = p Ur H f R T u = erhålls att f = 3 R T u, som insatt i R f = p ger ekvationssystemet 3 RR T u = p, u 3 3 3 u =, med lösningen u = 3 u 3 8 4 Normalkrafterna i stängerna ges sedan av ˆf = 3 R T u = 3 = 4 Med den givna lastvektorn blev det alltså dragkraft i alla fyra stängerna Uppgift (b) p x 7 6 Om p = p y så blir enligt ovan u = u y = 3 p z u z u x p x p y p z / Vidare blir ˆf ˆf + ˆf 3 ˆf 4 = (,,, )ˆf = 3 (,,, ) R T u = = (,,, ) u x u x u y = (,, ) u y = u z u z 4

Uppgift 3(a) Om vi inför slackvariabler x 5 och x 6, för att överföra olikhetsbivillkoren till likhetsbivillkor, så får vi ett LP-problem på standardformen där A = minimera [ ], b = c T x då Ax = b, x, ( ) 8 och c 4 T = ( 3, 4,, 5,, ) Startlösningen ska ha basvariablerna x 5 och x 6, β = (5, 6) och δ = (,, 3, 4) [ ] [ ] Motsvarande basmatris ges av A β =, medan A δ = Basvariablernas värden i baslösningen ges av x β = b, där vektorn b beräknas ur ekvationssystemet A β b = b, [ ] ) ( ) ) ( ) ( b 8 ( b =, med lösningen b 4 b 8 = = b 4 Vektorn y med simplexmultiplikatorerna värden erhålls ur systemet A [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) T β y = c β, y y =, med lösningen y = = y Reducerade kostnaderna för icke-basvariablerna [ ges av ] r T δ = ct δ yt A δ = ( 3, 4,, 5) (, ) = ( 3, 4,, 5) Eftersom r δ = r = 3 är minst, och <, ska vi låta x bli ny basvariabel Då behöver vi beräkna vektorn ā ur systemet A β ā = a, [ ] ) ( ) ) (ā (ā =, med lösningen ā = = ā y ā ( ) Det största värde som den nya basvariabeln x kan ökas till ges av { } { bi 8 t max = min ā i > = min i ā i, 4 } = 4 = b ā Minimerande index är i =, varför x β = x 6 inte längre får vara kvar som basvariabel Dess plats tas av x Nu är alltså β = (5, ) och δ = (6,, 3, 4) Motsvarande basmatris ges av A β = [ ] [ ], medan A δ = Basvariablernas värden i baslösningen ges av x β = b, där vektorn b beräknas ur ekvationssystemet A β b = b, [ ] ) ( ) ) ( ) ( b 8 ( b =, med lösningen b 4 b 4 = = b 4 5

Vektorn y med simplexmultiplikatorerna värden erhålls ur systemet A [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) T β y = c β, y y =, med lösningen y = = 3 3 y Reducerade kostnaderna för icke-basvariablerna [ ges av ] r T δ = ct δ yt A δ = (, 4,, 5) (, 3) = (3,,, ) Eftersom r δ så är den aktuella baslösningen optimal Därmed är punkten x = 4, x =, x 3 =, x 4 = optimal till det ursprungliga problemet Optimalvärdet är z = Uppgift 3(b) Antag nu att c T = ( 3, 4,,,, ) i stället för ( 3, 4,, 5,, ) Om vi startar från slutlösningen ovan, med β = (5, ) och δ = (6,, 3, 4), så gäller fortfarande att [ ] [ ] ( ) ( ) 4 A β =, A δ =, b = och y = 4 3 Men reducerade kostnaderna för icke-basvariablerna ges nu av [ ] r T δ = ct δ yt A δ = (, 4,, ) (, 3) = (3,,, ) Eftersom r δ4 = r 4 = är minst, och <, ska vi låta x 4 bli ny basvariabel Då behöver vi beräkna vektorn ā 4 ur systemet A β ā 4 = a 4, [ ] ) ( ) ) (ā4 (ā4 =, med lösningen ā 4 = = ā 4 y ā 4 ( ) Eftersom ā 4 så kan x 4 öka obegränsat, varvid målfunktionsvärdet går mot Därmed saknar problemet ändligt optimalvärde och algoritmen avbryts Extra kommentar (som inte krävs): Om man sätter x 4 = t och låter t öka från, medan de övriga ickebasvariablerna ligger kvar vid, så påverkas målfunktionen enligt z = z + r 4 t = t, medan basvariablernas ( ) ( ) ( ) värden påverkas enligt x β = b x5 4 ā 4 t, = t x 4 x (t) 4 x (t) Detta kan skrivas x(t) = x 3 (t) x 4 (t) = + t = x + t d x 5 (t) 4 x 6 (t) Då är Ax(t) = b och x(t) för alla t, x(t) är en tillåten lösning för varje t, medan c T x(t) = c T x + t c T d = t då t + 6

Uppgift 3(c) Om primala problemet är på standardformen minimera c T x då Ax = b, x, så är det duala problemet på formen: maximera b T y då A T y c, som här blir: maximera 8y + 4y då y + y 3, y y 4, y + y, y y 5, y, y Om man ritar upp det tillåtna området till detta problem i en figur med y och y på axlarna så ser man att det blir en femhörning med hörnen i koordinaterna ( 5, 5), (, 3), (, 4), ( 5, 45) och ( 5, 35) Uppgift 3(d) I figuren ovan ska vi nu byta ut bivillkoret y y 5 mot bivillkoret y y Men då ser man direkt att det inte finns något y som uppfyller både y + y 3 och y y (Vilket även inses om man adderar dessa båda olikheter) Alltså saknar det duala problemet tillåtna lösningar, vilket är vad vi väntade oss eftersom det primala problemet hade tillåtna lösningar men saknade (ändlig) optimallösning 7

Uppgift 4 Vi har ett kvadratiska optimeringsproblem med linjära olikhetsbivillkor på formen där H = minimera xt Hx + c T x då Ax b, 5, c = 4, A = och b = Vi ska lösa problemet med den metod som finns kortfattat sammanfattad på formelbladet (i form av ett antal Steg ) I den givna startpunkten x = (,, ) T är all tre bivillkoret uppfyllda med likhet Därför startar vi med α = (,, 3) och γ tom 5 Då är H x + c = 4 och A α =, och därmed A T α = Vi får svaret JA i Steg, ty H x + c = A T αū med ū = ( 5, 4, ) T, så vi går till Steg Här konstateras att ū < (och minst), varför α = flyttas över till γ vektorn [ ] Sedan går vi till Steg 3 med α = (, 3), γ = () och A α = I Steg 3 ska vi minimera dt Hd + (H x + c) T d under bivillkoret A α d =, minimera d + d + d 3 + d d + d d 3 + d d 3 5d 4d d 3 då d = och d 3 = Insättning av d = d 3 = i målfunktionen leder till att vi ska minimera d 5d med avseende på d Detta enkla envariabelproblem har den optimala lösningen ˆd = 5 5 5 Vi får alltså att ˆd = Eftersom x + ˆd = uppfyller alla bivillkor låter vi denna punkt bli nästa iterationspunkt x och går till Steg Nu är α = (, 3) och γ = () Vidare är 5 [ x =, H x + c = 5, A α = 5 ], A T α = Vi får svaret JA i Steg, ty H x + c = A T αū med ū = ( 5, 5) T, så vi går till Steg Här konstateras att ū < (och minst), varför α = flyttas över till γ vektorn Sedan går vi till Steg 3 med α = (3), γ = (, ) och A α = [ ] 8

I Steg 3 ska vi minimera dt Hd + (H x + c) T d under bivillkoret A α d =, minimera d + d + d 3 + d d + d d 3 + d d 3 5d + 5d 3 då d 3 = Insättning av d 3 = i målfunktionen leder till att vi ska minimera d + d + d d 5d med avseende på d och d, utan några bivillkor Detta konvexa kvadratiska tvåvariabelproblem är ekvivalent med ekvationssystemet [ ] ( ) ( ) d =, med lösningen d 5 = 5, ˆd = 5 Vi får alltså att ˆd = Eftersom x + ˆd = uppfyller alla bivillkor låter vi denna punkt bli nästa iterationspunkt x och går till Steg Nu är α = (3) och γ = (, ) Vidare är x =, H x + c =, A α = [ ], A T α = Vi får svaret JA i Steg, ty H x + c = A T αū med ū =, så vi går till Steg Här konstateras att ū, varför den aktuella iterationspunkten x =, tillsammans med vektorn ŷ =, uppfyller optimalitetsvillkoren, H x + c = A T ŷ, A x b, ŷ och ŷ T (A x b) = Vi stannar därför här 9

Uppgift 5(a) Problemet kan skrivas på formen: minimera f(x) då g i (x), i =,, 3, där f(x) = c x 4x x 3, g (x) = x + x, g (x) = x + x 3, g 3(x) = x + x 3 Målfunktionen är linjär, och därmed även konvex De kvadratiska bivillkorsfunktionerna har andraderivatsmatriserna, och, som samtliga är positivt semidefinita Därmed är även bivillkorsfunktionerna konvexa, varför det betraktade problemet är ett konvext optimeringsproblem Vidare uppfyller exempelvis x = (,, ) T samtliga bivillkor med strikt olikhet, så det betraktade problemet är ett regulärt konvext problem Det betyder att en punkt ˆx är en globalt optimal lösning till problemet om och endast om ˆx är en KKT-punkt Uppgift 5(b) Lagrangefunktionen kan skrivas L(x, y) = f(x) + 3 i= y ig i (x) = = c x 4x x 3 + y (x + x ) + y (x + x 3 ) + y 3(x + x 3 ) KKT-villkoren kan delas upp i fyra grupper enligt följande (KKT ) L/ x j = för j =,, 3 : c + x (y + y ) =, 4 + x (y + y 3 ) =, + x 3 (y + y 3 ) = (KKT ) Tillåten punkt, g i (x) för i =,, 3 : x + x, x + x 3, x + x 3 (KKT 3) Lagrangemultiplikatorerna icke-negativa: y, y, y 3 (KKT 4) Komplementaritetsvillkor, y i g i (x) = för i =,, 3 : y (x + x ) =, y (x + x 3 ) =, y 3 (x + x 3 ) = Uppgift 5(c) Antag först att x = (4,, ) T Då är x + x =, x + x 3 =, x + x 3 < Komplementaritetsvillkoren ger då att y 3 =, varefter villkoren KKT kan skrivas c + 8(y + y ) =, 4 + 4(y + ) =, + 4(y + ) = Vi ser att detta system saknar lösning om c 4 Om c = 4 så uppfyller x = (4,, ) T, tillsammans med y = (, 5, ) T, samtliga KKT-villkor, varvid x är en global optimallösning till problemet

Uppgift 5(d) Antag nu att x = (,, ) T Då är x + x =, x + x 3 =, x + x 3 = Villkoren KKT kan nu skrivas y + y = 5 c, y + y 3 =, y + y 3 = Lösningen till detta ekvationssystem i y blir, med utnyttjande av den givna räknehjälpen, y 5 c y = = 5 c = c + 4 c y 3 c + 6 Vi ser att villkoren KKT 3 blir uppfyllda om och endast om 6 c För dessa värden på konstanten c så uppfyller x = (,, ) T, tillsammans med ( c y =, c, 6 + c ) T, samtliga KKT-villkor, varvid x är en global optimallösning 4 4 4