Några övningsexempel i Optimeringslära

Transkript

1 Några övningsexempel i Optimeringslära Avdelningen för Optimeringslära and systemteori, KTH, Feb 03 Innehåll Övningsexempel. Linjär optimering. Flöden i nätverk 7 3. Konvexitet 4. Ickelinjär optimering Svar och/eller lösningar till övningsexemplen 7 5. Linjär optimering 7 6. Flöden i nätverk 3 7. Konvexitet 9 8. Ickelinjär optimering 33

2 Övningsexempel i Optimeringslära Övningsexempel. Linjär optimering. Det är måndag morgon och Korvman AB har äntligen fått en rejäl beställning. Man ska nämligen under de närmast följande 6 söndagarna leverera respektive K, K, K 3, K 4, K 5 och K 6 kg korv till Gröna Lund. Korvman kan under varje vecka tillverka högst A kg korv till kostnaden C kr/kg. Om man sätter in övertidsarbete kan man under veckan tillverka ytterligare högst B kg korv, men då till den högre kostnaden D kr/kg. D är större än C.) Tillverkad korv kan frysas och lagras till kostnaden L kr per kg och lagringsvecka. K, K, K 3, K 4, K 5, K 6, A, B, C, D och L är givna tal.) Korvman vill bestämma en optimal produktions- och lagringsplan för de kommande 6 veckorna. Man kan anta att inga andra kunder kommer och stör bilden. Hjälp Korvman AB att formulera ovanstående som ett LP-problem. Foderman AB tillverkar produkterna MUU och GNÄGG ur råvarorna havre, råg och potatis. Näringsinnehållet i respektive råvara, mätt i enheter per kg, framgår av följande tabell, där NÄ = Näringsämne t ex protein), etc. NÄ NÄ NÄ3 HAVRE RÅG POTATIS 49 5 Enligt varudeklarationen skall respektive produkt innehålla minst följande kvantiteter näringsämnen, mätt i enheter per kg: NÄ NÄ NÄ3 MUU GNÄGG Produktionen planeras veckovis, och inför en viss vecka har Foderman av sin huvudleverantör erbjudits att inköpa råvaror till följande priser och maximala kvantiteter: kr/kg max antal kg HAVRE RÅG POTATIS Foderman har inneliggande beställningar på 000 kg MUU och 000 kg GNÄGG för den aktuella veckan, och man önskar tillverka dessa kvantiteter med råvaror som man kan köpa från sin huvudleverantör enligt ovan. Hur ska recepten se ut för de båda produkterna under den kommande veckan, och hur mycket av de olika råvarorna ska köpas in? Man vill förstås minimera sina inköpskostnader. Formulera Fodermans problem som ett LP-problem.

3 . Linjär optimering 3.3 Mustmans familjeföretag producerar och säljer 4 olika mustsorter: Äppelmust, Päronmust, Blandmust och Cidermust. Varje låda must innehållande 5 st enlitersflaskor) kostar Mustmans c kr att tillverka, kräver p timmar för framställning och q timmar för flaskpåfyllning och förpackning. Därefter kan Mustmans sälja lådan för k kronor. Observera att c, p, q och k har olika värden för de olika mustsorterna, enligt följande tabell: Mustsort c p q k Äpple Päron Bland Cider En normal vecka har man 80 timmar att tillgå för framställning och 40 timmar för flaskpåfyllning och förpackning. Man är mån om ett jämnt och brett sortiment och har därför bestämt att ingen av de fyra mustsorterna ska svara för mer än 40% eller mindre än 0% av den totala mustproduktionen. Mustmans must är populär och man har normalt inga svårigheter att sälja det man producerar, till ovan angivna priser. Frågan är nu hur mycket av respektive mustsort som ska tillverkas per vecka i genomsnitt), för att Mustmans vinst ska maximeras under de ovan angivna villkoren. Formulera detta som ett LP-problem..4 En teknolog vill minimera sina kostnader för föda, under vissa bivillkor på intaget av proteiner och kolhydrater.det finns totalt 6 olika födoslag som teknologen kan tänka sig att äta:. Hamburgare Sammys, utan bröd). Varmkorv Sibyllas, utan bröd) 3. Pommes Frittes Felix) 4. Vita bönor i tomatsås Heinz) 5. Jordnötter Estrellas, saltade) 6. Lakritsbåtar Cloettas) Den självklara drycken är vatten, som är gratis. Födoslag nr j j =,...,6) kostar c j kr/kg och innehåller p j proteinenheter/kg och k j kolhydratenh./kg. För att kunna upprätthålla sin anmärkningsvärda studiekapacitet behöver teknologenvarjedagminstp min proteinenheterochminstk min kolhydratenheter. Å andra sidan vill hon, av andra skäl, inte få i sig mer än K max kolhydratenheter per dag. a) Formulera teknologens dietproblem som ett LP-problem. Ange noggrant vad dina variabler står för och vad de har för sort. b) Hur många av de ovan nämnda 6 födoslagen kommer att ingå i teknologens optimala diet? Motivera utförligt.

4 4 Övningsexempel i Optimeringslära.5 Företaget SKOGAB har massafabriker vid kusten och skogslotter inne i landet. Fabrikerna F och F behöver respektive 5000 och 3000 kubikmeter virke under en given period. Virket kan bara tas från skogslotterna S och S, där det finns respektive 3500 och 4500 kubikmeter att tillgå. Problemet är hur man ska transportera virket till fabrikerna på billigast möjliga sätt. SKOGAB har följande transportalternativ, som även är markerade i figuren nedan. Notera att i orten M sker omlastning från lastbil till tåg. Kostnaden för denna omlastning antas vara inbakad i de nedan givna kostnaderna för järnvägstransport. Detsamma gäller för övriga omlastningar.) - flottning från S till F, till kostnaden C kr/m 3, - järnväg från orten M till F, till kostnaden C M kr/m, - järnväg från orten M till F, till kostnaden C M kr/m, - havsbogsering från F till F eller från F till F, till kostnaden C resp C kr/m, - lastbilstransporter, som omfattar övriga utritade alternativ, till kostnaden C M kr/m från S till M, C M kr/m från S till M resp C kr/m från S till F. Formulera, som ett LP-problem, SKOGAB:s problem att till lägsta kostnad transportera virket från skogslotterna till massafabrikerna. Ange noggrant vad Dina variabler och bivillkor står för. C,C M,...,C ovan är givna positiva konstanter.) S F M S F.6 Ett företag använder råvarorna R,...,R m för att blanda till produkterna P,...,P n. För varje kg av produkt P j åtgår a ij kg av råvara R i. a ij :na är givna icke-negativa tal.) Företaget kan köpa in R i till priset d i kr/kg medan man kan sälja P j till priset c j kr/kg. d i :na och c j :na är givna tal.) Marknadsbegränsningar gör att man inte vill blanda till mer än högst u j kg per vecka av P j. u j :na är givna tal.) Den enda produktionsbegränsningen är arbetstiden, 40 timmar per vecka, för företagets ende Blandmästare. Det tar t j timmar/kg att blanda till produkten P j. t j :na är givna tal.) Frågan är hur många kg av respektive produkt som skall blandas till per vecka för att företagets vinst skall maximeras. Formulera detta som ett LP-problem!

5 . Linjär optimering 5.7 Betrakta LP-problemet: P) min 6x +7x +3x 3 +x 4 +x 5 då x +x +x 3 +x 4 x 5 = 4 x +x +x 3 x 4 +x 5 = 3 x j 0, j =,...,5 a) Visa att följande lösning är optimal till P): x =, x 3 =, övriga x j = 0. b) Ställ upp det duala problemet D) till P). Åskådliggör D) i en figur och bestäm optimal lösning till D) grafiskt ur denna figur. Kontrollera därefter, med hjälp av räkningarna i a)-uppgiften ovan, att Du verkligen hittat rätt duallösning. ) ) 4 4 δ c) Antag att högerledsvektorn i P) ändras från till där δ 3 3+δ är ett reellt tal. Mellan vilka gränser på δ är det fortfarande optimalt med x och x 3 som basvariabler? Ange hur optimalvärdet beror av δ inom dessa gränser. d) Utred, m h a figuren i b)-uppgiften ovan, hur den duala optimallösningen y beror av δ, för alla värden på δ sådana att 3 δ 4. Ange också, baserat på detta, hur optimalvärdet till P) beror av δ då 3 δ 4, och jämför med c) ovan..8 Betrakta LP-problemet: P) min 3x +4x +5x 3 +x 4 då x +x +3x 3 +4x 4 4x +3x +x 3 +x 4 9 x +x +x 3 +3x 4 9 3x +x +x 3 +x 4 7 x j 0, j =,...,4 a) En trovärdig person påstår att optimal duallösning till detta problem är: ) y = T Använd denna information för att bestämma optimal primallösning x. Verifiera därefter att den trovärdiga personen verkligen hade rätt. b) Antag att högerledet i första bivillkoret ändras från till + δ. Mellan vilka gränser på δ är den aktuella basen fortfarande optimal? Ange också hur den optimala lösningen x beror av δ inom dessa gränser.

6 6 Övningsexempel i Optimeringslära.9 Betrakta följande LP-problem: P) ) min c T x c T = , ) ) 3 7 då Ax = b A =, b =, 3 7 x 0. ) T a) Visa att x = är unik optimallösning till P). ) 7+δ b) Antag att högerledet ändras till b =. 7+δ Hur påverkas optimallösningen och optimalvärdet av δ? Ange också för vilka värden på δ som ditt svar är giltigt. ) c) Antag att kostnadsvektorn ändras till c = 7+δ 4+δ 8+δ 6+δ, ) 7 medan högerledet b = är fixt. 7 För vilka värden på δ är lösningen i a)-uppgiften ovan fortfarande optimal? Räknehjälp: Om ad bc 0 så är a b c d.0 Consider the following approximation problem. ) = ad bc ) d b.) c a Given is a set T IR k, and the continuous functions f and f j, j =,...,n on T. The aim is to approximate f by a linear combination of the functions f j, j =,...,n. This leads to the following optimization problem. P) min max ft) n x j f j t) x j,j=,...,n t T j= For numerical solution of P), a set of points t,...,t m are selected in T and the following problem is solved. P ) min x j,j=,...,n max ft i),...,m n x j f j t i ) j= a) What conclusions can be drawn concerning the optimal value of P) from an optimal solution to P )? b) P ) looks complex, with an inner maximization and an outer minimization. Reformulate P ) as a mathematical programming problem of simplest possible kind. c) Determine the dual problem to the problem formulated in Exercise.0b and simplify as far as possible.

7 . Flöden i nätverk 7. Flöden i nätverk. Betrakta följande TP med 3 st leverantöreröch 4 st kunder. Tillgången hos respektive leverantör är, 9 och 3 enheter. Efterfrågan hos respektive kund är 6, 6, 4 och 0 enheter. Transportkostnaden per enhet från resp leverantör till resp kund ges av följande tabell där även de ovan givna siffrorna är införda för tydlighets skull): Kund Kund Kund 3 Kund 4 Tillgång Lev Lev Lev Efterfr Problemet går ut på att bestämma hur många enheter som ska skickas från resp leverantör till resp kund för att den totala transportkostnaden ska bli så liten som möjligt. a) Formulera ovanstående problem som ett LP-problem, med likhetsbivillkor för efterfrågekraven och olikhetsbivillkor för tillgångsbegränsningarna. Inför slackvariabler för olikhetsbivillkoren) och visa att dessa kan uppfattas som transportvariabler till en extra dummy-kund. Kund nr 5.) Hur stor efterfråganska denne 5:e kund tillskrivas för att det resulterande transportproblemet ska bli balanserat? b) Lös ovanstående transportproblem i balanserad form) med transportalgoritmen. Använd Nortwest Corner Ruleför att bestämma en startbaslösning. c) Besvara, mha sluttablån, följande känslighetsanalysfrågor: Antag att c = transportkostnaden från Lev. till Kund ) ändras från c = 3 till c = 3+δ. För vilka värden på δ gäller att Din optimala lösning ovan fortfarande är optimal till detta nya problem? d) Antag nu istället att det är c som ändras från c = 3 till c = 3+δ medan c = 3). Mellan vilka gränser på δ gäller att Din optimala lösning ovan fortfarande är optimal till detta nya problem?. Betrakta ett balanserat Transportproblem på formen: TP) min m nj= c ij x ij då nj= x ij = a i, i =,...,m m x ij = b j, j =...,n x ij 0 alla i och j.

8 8 Övningsexempel i Optimeringslära a i = tillgången hos leverantör nr i, b j = efterfrågan hos kund nr j, c ij = transportkostnad per enhet från lev.i till kund j. Data: m = 3 n = 6 a i : b j : c ij : a) Verifiera att följande lösning är optimal. Ange optimalvärdet. x ij : b) Ställ upp det duala LP-problemet D) till TP). Ange en optimal lösning och optimalvärdet till detta duala problem. c) Antag att både a och b samtidigt ändras med δ. Dvs a = 5+δ och b = 5+δ. Hur ändras optimallösningen och optimalvärdet till T P) resp D) som funktion av δ, för tillräckligt små ändringar δ? d) Bestäm gränser på δ uppåt och nedåt) för att ditt svar på c)-uppgiften ovan skall gälla..3 Betrakta Minkostnadsflödesproblemet i vänstra figuren nedan. I varje nod står dess nodnummer, och bredvid varje nod står dess tillgång b i som är negativ för noder med efterfrågan). På varje båge står dess kostnad c ij kr per flödesenhet. a) Visa att lösningen i högra figuren nedan är optimal. På varje båge står det aktuella flödet x ij. b) Antag att c 34 ändras från 5 till 3. Då är lösningen i högra figuren nedan inte längre optimal eller hur?). Bestäm därför en optimal lösning till detta nya problem med c 34 = 3). Utgå lämpligen från den givna lösningen

9 . Flöden i nätverk 9.4 Betrakta Minkostnadsflödesproblemet i vänstra figuren nedan. I varje nod står dess nodnummer, och bredvid varje nod står dess tillgång b i som är negativ för noder med efterfrågan). På varje båge står dess kostnad c ij kr per flödesenhet a) Visa att lösningen i högra figuren ovan är optimal. På varje båge står det aktuella flödet x ij. b) Formulera det aktuella minkostnadsflödesproblem som ett LP-problem och ställ upp dess duala LP-problem. Ange även en optimal lösning till detta duala problem! c) Antag att behovet i nod 4 ökar med δ > 0 dvs b 4 = 8 δ) samtidigt som tillgången i nod 3 ökar med samma δ dvs b 3 = 3+δ). Ange hur optimallösningen och optimalvärdet beror av δ för tillräckligt små värden på δ. Ange även hur optimallösningen till det duala problemet beror av δ för dessa värden på δ. Ange slutligen hur stort δ som högst får bli för att dina svar ovan ska gälla dvs bestäm vad tillräcklig småbetyder i detta fall)..5 Ett producerande företag har 3 fabriker och 5 försäljningsställen. En viss månad gäller att var och en av fabrikerna kan tillverka 00 ton av företagets produkt. Den sammanlagda produktionen ska fördelas lika på de olika försäljningsställena butikerna ) så att vart och ett av dessa erhåller 60 ton av produkten. Frågan är hur mycket man ska transporteras från respektive fabrik till respektive försäljningsställe. Svaret ges av att man önskar minimera den totala transportkostnaden, då man har givet konstanterna c ij = kostnaden per ton för att transportera från fabrik nr i till försäljningsställe nr j, för i =,,3 och j =,...,5. a) Hjälp företaget att bestämma en optimal transportplan, då c ij :na ges av nedanstående tabell där varje rad svarar mot en fabrik och varje kolumn svarar mot ett försäljningställe). Använd Transportalgoritmen, med startlösning enligt North West Corner Rule. Försäljningsställe nr. nr. nr. 3 nr. 4 nr. 5 Fabrik Fabrik Fabrik

10 0 Övningsexempel i Optimeringslära b) Formulera det duala LP-problemet till ovanståenede transportproblem och ange en optimal lösning till detta duala problem..6 Assignmentproblem kan skrivas på följande form: AP) min n nj= c ij x ij då nj= x ij = i =,...,n n x ij = j =,...,n x ij 0, för alla i,j Betrakta speciellt ett mycket litet) AP) med följande data: n = 3, c = c = c =, c 3 = c = c 3 =, c 3 = c 3 = c 33 = 5. Använd Transportalgoritmen för att lösa detta AP. Välj startbaslösning enligt Northwest corner rule. Första baslösningen får då z = 8.) De baslösnigar som genereras är degenererade, dvs vissa basvariabler har värdet 0, men det är bara att räkna på ändå. Det som kan hända är att variablernas värden inte ändras i vissa iterationer.).7 Låt B = {,),,3),,3),,4), 3,4), 3,5), 4,5), 4,6), 5,6)} och betrakta följande LP-problem i variablerna {x ij i,j) B}: P) min i,j) B c ijx ij då x +x 3 = b x +x 3 +x 4 = b x 3 x 3 +x 34 +x 35 = b 3 x 4 x 34 +x 45 +x 46 = b 4 x 35 x 45 +x 56 = b 5 x 46 x 56 = b 6 x ij 0, för alla i,j där: b = 7, b = 4, b 3 = 0, b 4 = 0, b 5 = 5, b 6 = 6, c =, c 3 = 3, c 3 = 3, c 4 = 5, c 34 =, c 35 =, c 45 =, c 46 = 5, c 56 = 4. Detta LP-problem kan tolkas som ett minkostnadsflödesproblem MKFP) i ett visst riktat nätverk. a) Åskådliggör detta MKFP genom att rita motsvarande nätverk. b) Som bekant svarar baslösningar till MKFP mot oriktade) uppspännande träd i nätverket. Ettav flera) uppspännande träd i det aktuella nätverket ges av bågmängden T = {,3),,4), 3,4), 3,5), 4,6)}. Bestäm motsvarande baslösning och verifiera att den är en tillåten baslösning med målfunktionsvärdet = 85. c) Är den ovan bestämda baslösningen optimal? Om inte, bestäm en optimal lösning till problemet! Ange även optimalvärdet.

11 3. Konvexitet 3. Konvexitet 3. Let C and D be two convex sets, α IR and f : C IR a convex function. Show that the following sets are convex. a) αc = {αx x C}. b) C D. c) C +D = {x+y x C,y D}. d) {x C fx) α}. e) epif = {x,µ) C IR fx) µ}. 3. Let C α denote a convex set in IR n for each α in the index set A. Show that α A C α is a convex set. 3.3 Let f and g be convex functions on a convex set C, and let α be a positive constant. Show that the following functions are convex on C. a) f +g. b) αf. c) max{f,g}. 3.4 Let f α be convex functions defined on the same convex set C) for each α in the index set A. Show that sup α A f α is a convex function. 3.5 Let f : I IR be a nondecreasing convex function on the interval I IR, and let g : C I be a convex function on the convex set C IR n. Show that fgx)) is a convex function on C. 3.6 Which of the following functions are convex? a) fx) = lne x +e x ). b) fx) = ln n e a ix i ). c) fx) = n x i. d) fx) = x /x, for x > 0. e) fx) = x x, for x,x > 0. f) fx) = n x i ) /n, for x i > Show the inequality between the arithmetic and the geometric mean, i.e., show that for x i > 0, it holds that n x i ) /n n n x i. 3.8 a) Let x,...,x m IR n be given. Show that m m C = {x IR n There exist t i 0 such that x = t i x i, t i = } is a convex set. b) Suppose that X is a convex subset of IR n and that x,...,x m X. Show that m t i x i X, if t i 0 and m t i =.

12 Övningsexempel i Optimeringslära 4. Ickelinjär optimering 4. Man vill anpassa kurvan y = a+bt till de givna punkterna t i,y i ) som ges i tabellen nedan. Man vill använda s k minstakvadrat anpassning, vilket innebär att parametrarna a och b bestäms så att följande kvadratsumma minimeras: 5 Sa,b) = a+bt i y i) a) Visa att S är en kvadratisk funktion av a och b, och minimera Sa,b) genom att lösa ett lämpligt ekvationssystem. b) Visa att dinaovan erhållna värdenpå a och b verkligen minimerarsa,b), lämpligen genom att bilda :a derivatsmatrisen till S och studera denna. Kända satser får användas utan bevis.) i t i 0 y i st punkter P,...,P 8 i planet har de givna koordinaterna: x,y ), x,y ),..., x 8,y 8 ). a) Man vill välja koordinater x,y) för ytterligare en punkt P på ett sådant sätt att summan av de 8 st avstånden från P till P i, i =,...,8) blir så liten som möjligt. Formulera detta som ett optimeringsproblem i variablerna x och y. Bestäm även ett analytiskt uttryck på gradienten till målfunktionen, och avgör om denna gradient existerar överallt. b) Man vill nu istället välja koordinater x, y) för punkten P på ett sådant sätt att summan av kvadraterna på de 8 st avstånden från P till P i, i =,...,8) blir så liten som möjligt. Formulera detta som ett optimeringsproblem i variablerna x och y. Visa att målfunktionen är kvadratisk och konvex. Härled det linjära ekvationssystem man behöver lösa för att bestämma optimallösningen. Lös detta ekvationssystem och bestäm ett explicit uttryck för den optimala placeringen av punkten P. 4.3 a) Man vill minimera den kvadratiska tvåvariabelfunktionen: px,x ) = x x ) +x +x ) +x +x ). Bestäm en minpunkt till px,x ), lämpligen genom att lösa ett visst ekvationssystem. Är Din erhållna lösning ett globalt minimum? Motivera! b) Nu vill man istället minimera den ickekvadratiska funktionen: fx,x ) = x x ) +x +x ) +x +x ) +7x 3 /3. Utför två iterationer med Newtons metod, med start i x = x = 0. Du behöver inte utföra någon linjesökning, det räcker att du tar enhetssteg x k+ =x k +d k ).

13 4. Ickelinjär optimering Betrakta följande ickelinjära optimeringsproblem: P) max x +3x då x x 4 x +x 0.5 cirkel med radie 4.53) x +x 5 x 0, x 0 Åskådliggör problemet i en figur och bestäm med hjälp av denna samtliga lokala optima lokala maxpunkter) till P). 4.5 Betrakta följande ickelinjära optimeringsproblem: P) max x x då x x 0 x +x 0 x +x 0 Åskådliggör problemet P) i en figur och bestäm med hjälp av denna och smärre analytiska beräkningar, den optimala lösningen till P). 4.6 Låt tvåvariabelfunktionen f vara definierad genom: fx) = x 3 +x x 6x x, x IR a) I vilken eller vilka av följande fyra punkter har den givna funktionen ett lokalt maximum? ) T, ) T, ) T, x = ) T. 6 Motivera svaret ordentligt! b) Har fx) ett globalt maximum i någon av de fyra punkterna? 4.7 Betrakta följande tre kvadratiska funktioner, definierade på IR : f x) = 6x x 5x +4x x x f x) = x +8x 8x 6x x x f 3 x) = 70x +30x 36x 64x a) Bestäm vilken eller vilka av dessa funktioner som har ett lokalt maximum ) T. i punkten x = Motivera svaret ordentligt. b) För den eller de av ovanstående funktioner som inte har ett lokalt maximum i x = ska du bestämma en så kallad ascent-riktning ) T i punkten x, dvs en riktning d sådan att f x + αd) > f x) för alla tillräckligt små α > 0.

14 4 Övningsexempel i Optimeringslära 4.8 Betrakta en rätvinklig låda med längden = x cm, bredden = y cm och höjden = z cm. Man vill välja x, y och z så att lådans volym maximeras under bivillkoret att längden på rymddiagonalen i lådan ska vara = 0 cm. a) Formulera detta som ett optimeringsproblem i variablerna x, y och z. b) Visa att lösningen x = y = z = ) uppfyller :a ordningens nödvändiga villkor för ett lokalt optimum. 4.9 Formen på en vanlig pappkartong bestäms av de tre variablerna x L, x B och x H, med betydelsen längd, bredd resp höjd. Materialkostnaden för en viss kartong antas ges av uttrycket: C ytan av botten + ytan av locket) + C summan av de övriga fyra sidornas ytor), där C och C är givna positiva konstanter. a) Formulera, som ett ickelinjärt optimeringsproblem med ett likhetsbivillkor, problemet att välja en ur materialkostnadssynpunkt optimal form på en kartong med den givna volymen m 3. Du behöver för enkelhets skull inte explicit ange och behandla positivitetskraven på variablerna. Dessa kommer ändå att bli uppfyllda i optimallösningen. Kalla detta problem P ). b) Ställ upp första ordningens optimalitetsvillkor för P ). c) Överför problemet till ett problem utan bivillkor genom att ur volymsbivillkoret lösa ut någon av dina variabler som funktion av de övriga. Kalla detta nya problem som bara har två variabler) P ). Ställ upp första ordningens optimalitetsvillkor för P ) och bestäm, analytiskt, optimal kartongform som funktion av C och C ). 4.0 Antag att man vill bestämma strömmarna x ij i de olika länkarna bågarna ) i ett transportproblemliknande elektriskt nätverk med m st källnoder och n st sänknoder. Det går en länk från varje källnod till varje sänknod, men inga direkt-)länkar mellan olika källnoder eller mellan olika sänknoder. Totalt finns alltså m n länkar i nätverket. Totala strömmen ut från respektive källnod är given av de positiva talen a,...,a m, medan totala strömmen in till respektive sänknod är given av de positiva talen b,...,b n, där förstås m a i = n j= b j. De olika länkarna har givna resistanser r ij > 0. Man leds då till följande QP-problem, där målfunktionen är totala effekten värmeförlusten) medan bivillkoren är balansekvationer för strömmarna: QP) min m nj= r ij x ij då nj= x ij = a i, i =,...,m m x ij = b j, j =,...,n Notera skillnaderna mot det vanliga transportproblemet T P): I QP) är målfunktionen kvadratisk, i TP) är den linjär. I TP) måste variablerna uppfylla x ij 0, vilket inte krävs i QP)!)

15 4. Ickelinjär optimering 5 a) Det väsentliga arbetet för att bestämma optimal lösning till QP) ovan består i att lösa ett linjärt ekvationssystem med m + n st variabler och lika många ekvationer. Ställ upp detta ekvationssystem på explicit form! Kalla lämpligen variablerna i ekvationssystemet för u,..., u m, v,..., v n = dualvariabler eller nodpotentialer ). Avgör vidare om ekvationssystemet alltid har en entydig lösning. b) Antag nu att alla resistanser r ij är lika stora, säg r ij = för alla i och j. Visa att optimal lösning till QP) då ges av: x ij = n a i + m b j m n S, m där S = a i = n b j. j= Konstruera slutligen ett exempel, med m = n =, där minst ett x ij < 0 i optimallösningen och rita ut strömmarna i nätverket. 4. I nedanstående elektriska nätverk har var och en av länkarna resistansen Ω. x6 x7 A x x x A x x 3 Om man skickar strömmen A från nod till nod 6, så blir strömmarna x j i de olika länkarna optimal lösning till följande QP-problem: QP) min 7 j= x j = totala värmeförlusten) då Ax = b Kirchhoffs :a lag, dvs strömbalans i noderna) där x = x x x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 ), A = och b = Sista raden i A och b kan som bekant strykas pga redundans. A blir då en 5 7-matris med linjärt oberoende rader. a) Ställ upp optimalitetsvillkoren för QP) i x IR 7 och u IR 5 där u är lagrangemultiplikatorvektorn) och visa att detta leder till ett linjärt ekvationssystem i x och u.

16 6 Övningsexempel i Optimeringslära Om x elimineras ur detta så erhålls ett ekvationssystem i enbart u. Ställ upp detta system explicit och visa att det har den entydiga lösningen ) T. u = Bestäm slutligen optimal lösning x till QP). Kan duockså ge en fysikaliskt tolkning av u?) b) Ett alternativt sätt att bestämma optimalt x till QP) är att använda en nollrumsmetod enligt följande: ) T Visa först att x = är en tillåten lösning till QP) och att de båda kolumnerna i matrisen Z slingströmmarna ), Z =, utgör en bas i nollrummet till A Använd detta för att bestämma optimal lösning till QP). 4. Consider the problem P), defined as P) min x +x x +7x 8x 6x s.t. x +x 6, 0 x 3, x 0. a) Find all points that satisfy the KT-conditions for P). b) Find a global minimizer to P). Note that the amount of computation required would be very large using this strategy on larger problems.)

17 5. Linjär optimering 7 Svar och/eller lösningar till övningsexemplen 5. Linjär optimering. Inför följande variabler, för j =,...,6: x j = antal kg korv som tillverkas vecka j till kostnaden C kr/kg, y j = antal kg korv som tillverkas vecka j till kostnaden D kr/kg, z j = antal kg korv som lagras från vecka j till vecka j +. Problemformulering: min 6 j= C x j +D y j +L z j ) då x +y z = K x j +y j +z j z j = K j, j =,...,6 0 x j A, j =,...,6 0 y j B, j =,...,6 z j 0, j =,...,6. Inför följande variabler för den aktuella veckan: x MH = antal kg Havre som används till MUU, x MR = antal kg Råg som används till MUU, x MP = antal kg Potatis som används till MUU, x GH = antal kg Havre som används till GNÄGG, x GR = antal kg Råg som används till GNÄGG, x GP = antal kg Potatis som används till GNÄGG. Problemformulering: v min.5x MH +.5x GH +.0x MR + +.0x GR +.5x MP +.5x GP då x MR +x MH +x MP = 000 x GH +x GR +x GP = 000 x MH +x GH 000 x MR +x GR 000 x MP +x GP 000 3x MH +4x MR +49x MP x GH +4x GR +49x GP x MH +8x MR +x MP x GH +8x GR +x GP x MH +7x MR +5x MP 000 0x GH +7x GR +5x GP 7000 x MH, x MR, x MP, x GH, x GR, x GP 0

18 8 Övningsexempel i Optimeringslära.3 Inför följande variabler: x A = antal lådor Äppelmust som produceras per vecka, x P = antal lådor Päronmust som produceras per vecka, x B = antal lådor Blandmust som produceras per vecka, x C = antal lådor Cidermust som produceras per vecka. 0% Äppelmust x A 0 x A+x P +x B +x C ) x P +x B +x C 9x A 0. 40% Äppelmust x A 4 0 x A+x P +x B +x C ) 3 x A x P x B x C 0. Intäkt - kostnad för Äppelmust = = 45 kr/låda. Problemformulering: max 45x A +55x P +50x B +80x C då.0x A +.6x P +.5x B +4.0x C 80.4x A +.4x P +.4x B +.8x C 40 9x A +x P +x B +x C 0.5x A x P x B x C 0 x A 9x P +x B +x C 0 x A +.5x P x B x C 0 x A +x P 9x B +x C 0 x A x P +.5x B x C 0 x A +x P +x B 9x C 0 x A x P x B +.5x C 0 x A 0, x P 0, x B 0, x C 0..4 a) Låt x j = antal kg/dag av födoslag nr j som teknologen förtär. Problemformulering: med slackvariabler s, s och s 3 ) max 6j= c j x j då 6j= p j x j s = P min, 6j= k j x j s = K min, 6j= k j x j +s 3 = K max, x j 0, j =,...,6, s i 0, i =,,3. b) Vi har 9 variabler x,...,x 6,s,s,s 3 ) och 3 likhetsbivillkor. I den optimala lösningen erhållen med Simplexmetoden) har man 3 st basvariabler. Övriga 6 st variabler har värdet 0 i optimum. Vidare måste minst en av s och s 3 vara > 0 i optimum förutsatt att K max > K min, men om K max = K min så kan de båda sista bivillkoren ovan slås ihop till ett bivillkor 6 j= k j x j = K min med samma slutsats som nedan). Högst st x j -variabler är alltså basvariabler i den optimala lösningen, och därmed ingår högst två olika födoslag i den optimala dieten!

19 5. Linjär optimering 9.5 Inför följande variabler för den aktuella planeringsperioden: X, X M, X M, X, X, X M, X M och X, med betydelsen: X = antal kubikmeter som flottas från S till F, osv. Problemformulering: min C X +C M X M +C M X M +C X +C X + +C M X M +C M X M +C X då X +X M = 3500 ut från S) X +X M = 4500 ut från S) X M +X M X M X M = 0 balansvillkor i M) X +X M X +X = 5000 netto in till F) X +X M +X X = 3000 netto in till F) alla variabler X ij 0.6 Låt x j = antal kg P j som blandas till per vecka, och u i = antal kg R i som köps in per vecka. LP-formulering: max j c jx j i d iu i ) då j a ijx j u i = 0 för alla i ) j t jx j 40 3) 0 x j u j för alla j 4) u i 0 för alla i 5) Anmärkning: Eftersom a ij :na är ickenegativa tal så kommer 5) automatiskt att bli uppfyllt om u i :na elimineras ur problemet m h a ). Man får då ett LP-problem i enbart variablerna x j.).7 a) Tillåten baslösning med alla r j 0. b) y = 4, y =. c) 3 δ, z = 3 5δ. ) T d) Om 3 δ så är y = 4 och z = 3 5δ. ) T Om < δ 4 så är y= och z = 0+δ. ) T Om 3 δ < 3 så är y= 5 3 och z = 8δ..8 a) LP-problemet P) och dess duala problem D): P) min 3x +4x +5x 3 +x 4 då x +x +3x 3 +4x 4 p) 4x +3x +x 3 +x 4 9 p) x +x +x 3 +3x 4 9 p3) 3x +x +x 3 +x 4 7 p4) x j 0, j =,...,4.

20 0 Övningsexempel i Optimeringslära D) max y +9y +9y 3 +7y 4 då y +4y +y 3 +3y 4 3 d) y +3y +y 3 +y 4 4 d) 3y +y +y 3 +y 4 5 d3) 4y +y +3y 3 +y 4 d4) y i 0 i =,...,4. ) T Om y = är optimal lösning till D) så måste, enligt komplementaritetssatsen, följande gälla för den optimala lösningen x till P): x = x 3 = 0 eftersom d) och d3) är uppfyllda med strikt olikhet. p) och p) måste vara uppfyllda med likhet eftersom y och y > 0. Alltså gäller att x +4x 4 = och 4x +x 4 = 9, varur följer att x =.6 och x 4 =.6. Nu kollar vi att y enligt ovan verkligen är optimal till D): ) T x = är tillåten till P) och ) T y = är tillåten till D). Vidaregäller att c T x = = 0, medan y T b= = 0, dvs c T x = y T b. Därmed är x optimal till P) och y optimal till D). b) Skriv P) på likhetsform, med surplus-variabler x 5,...,x 8 : min 3x +4x +5x 3 +x 4 +0x 5 +0x 6 +0x 7 +0x 8 då x +x +3x 3 +4x 4 x 5 = p) 4x +3x +x 3 +x 4 x 6 = 9 p) x +x +x 3 +3x 4 x 7 = 9 p3) 3x +x +x 3 +x 4 x 8 = 7 p4) x j 0, j =,...,8 Enligt a) är x, x 4, x 7 och x 8 basvariabler i optimum, så att: x x x β =, A x 7 β = och b = x ) T. A β x β = b medför då att x β = Om nu b ändras med δ e så ändras x β med x β, som erhålls ur: ) T ) T A β x β = δ e = δ xβ = δ 4δ δ δ ) T, x β + x β =.6 δ δ δ δ 5 varur följer att: 6 δ 4 för att x β + x β ska vara 0). För dessa δ ändras optimallösningen enligt ovan, och z opt = 0+ δ 3.

21 .9 a) x och x 3 basvariabler A β =.0 Let 5. Linjär optimering β = ) 3 ) och A β = ) Då blir i sin tur A β b =, OK!.4 ) Vidare blir y T = c T β A.4 0.8, varför reducerade kostnaderna blir r = c y T a = =.4 > 0 och r 4 = =. > 0. Eftersom båda ickebasvariablerna har strikt positiva r j så är den föreslagna lösningen unikt optimal. ) ) 7+δ.8+0.4δ b) b = A β 7+δ b = som är 0 så länge δ δ ) T Alltså: För alla δ 7 så är x = δ.4+0. δ 0 optimal lösning till det högerleds-störda problemet. Optimalvärdet ändras enligt: z = y 7+δ)+y 7+δ) =.4+3. δ. ) c) c T = 7+δ 4+δ 8+δ 6+δ om vi behåller samma bas) ) ) ) y T = c T A 4+δ 8+δ A δ β = β = Nya reducerade kostnader blir nu: med x och x 3 som basvar.) r = 7+δ 5.6 δ 0.8 =.4+0. δ som är 0 om δ 7, r 4 = 6+δ 4.8 δ.4 =. 0.4 δ som är 0 om δ 3, och r = r 3 = 0 förstås. Alltså: Lösningen från a)-uppgiften är fortfarande optimal om 7 δ 3. fx) = max t T ft) n f L x) = max t T m ft) J= n J= x j f j t) x j f j t) where T m = {t,t,...,t m }. Since T m is a subset of T if holds that f L x) fx), therefore P ) is a relaxation of P). Furthermore let ˆx L be the optimal solution to P ) and p the optimal value to P). a) Using the above notation we have f L ˆx L ) p fˆx L ) = max ft) n ˆx Lj f j t) t T j= b) P ) can be reformulated as P ) min x 0 n s.t. x 0 + x j f j t i ) ft i ) i =,...,m, j= n x 0 x j f j t i ) ft i ) i =,...,m, j= x 0 0.

22 Övningsexempel i Optimeringslära c) The dual of the problem formulated above is D ) max s.t. m µ i ν i )ft i ) m µ i +ν i ) m µ i ν i )f j t i ) = 0 j =,...,n µ i, ν i 0 i =,...,m. Since it is not optimal to have both µ i and ν i > 0, we can simplify D ) by introducing the variables y i = µ i ν i with y i = µ i + ν i. We then obtain the following problem m max y i ft i ) D ) s.t. m m y i y i f j t i ) = 0 j =,...,n

23 6. Flöden i nätverk 3 6. Flöden i nätverk. a) P) min 3 4j= c ij x ij då 4j= x ij a i, i =,,3 ) 3 x ij = b j, j =...,4 ) x ij 0 alla i och j. Inför slackvariabler x 5, x 5,x 35 för villkoren ), och inför c 5 = c 5 = c 35 = 0 och b 5 = 7= ). Då kan P) skrivas som följande balanserade TP: P) min 3 5j= c ij x ij då 5j= x ij = a i, i =,,3 ) 3 x ij = b j, j =...,5 ) x ij 0 alla i och j. som kan representeras av tabellen: Kund Kund Kund 3 Kund 4 Kund 5 Tillgång Lev Lev Lev Efterfr b) Man får följande transporttablåer: x ij för basvariabler): r ij för ickebasvariabler): u i v j : x 5 in i basen och x 4 ut ur basen: x ij för basvariabler): r ij för ickebasvariabler): u i 0 0 v j : Alla r ij 0 aktuell baslösning optimal. c) Allmänt: r ij = c ij u i v j där u i :na och v j :na beror av c ij :na för basvariblerna. x är ickebasvariabel i optimum, så om c ändras med δ så ändras r med δ medan övriga r ij ej påverkas! Kravet på δ blir då att r +δ 0, dvs δ.

24 4 Övningsexempel i Optimeringslära d) x är basvariabel i optimum, så om c ändras till 3+δ så påverkar detta u i :na och v j :na, och därmed r ij :na, enligt följande: r ij för ickebasvariabler): u i +δ 0 δ δ δ +δ +δ 0 v j : δ 0 Kravet att alla r ij 0 medför att δ.. a) Den givna lösningen x är uppenbarligen tillåten till TP. För att utreda om den är optimal beräknar vi reducerade kostnader r ij = c ij u i v j med hjälp av en resultattablå: b) r ij : u i v j : 0 r ij 0 för alla ickebasvariabler. Därmed är den föreslagna lösningen optimal. Optimalvärdet = i j c ijx ij = 336. D) max 3 a i u i + 6 j= b j v j då u i +v j c ij, alla i och j. Som bekant utgör simplexmultiplikatorerna i tablån ovan optimal duallösning, dvs u = 5,6,4) T och v =,,,,,0) T. Denna lösning är tillåten till D) eftersom alla r ij 0), och den har målfunktionsvärdet 3 a i u i + 6 j= b j v j = 336 = TP):s optimalvärde. c) Störning av a och b får följande effekt på baslösningen: x ij δ) : a i δ 3 5+δ 0 +δ δ δ 8 δ b j : 5+δ Ändringen av optimalvärdet = )δ = 7δ. Eftersom c ij :na är desamma, så ändras inte u i :na och v j :na och därmed inte duala problemets optimallösning. Däremot ändras duala problemets optimalvärde med u δ +v δ = 7δ. d) Om δ = 4 så blir x 5 = 0. Om δ = 0 så blir x 5 = 0. Dessa är de kritiska gränserna för δ, dvs 0 < δ < 4..3 a) Den givna lösningen är en tillåten baslösning med basvariablerna: x =, x 3 = 3, x 4 = 7 och x 45 = 3. Nodpriser simplexmultiplikatorer) bestäms ur att λ i λ j = c ij för alla basvariabelbågar, samt att λ 5 = 0.

25 6. Flöden i nätverk 5 Då blir: λ 4 =, λ = 6, λ = 0, λ 3 = 6. Reducerade kostnader r ij = c ij λ i +λ j för alla ickebasvariabler: r 3 =, r 34 =, r 35 =. Alla r ij 0 Baslösningen optimal. b) Om c 34 = 3 så blir istället r 34 = < 0, varför vi vill göra x 34 till basvariabel. Om x 34 = θ > 0 så påverkas övriga basvariabler enligt följande se i nätverket): x 3 = 3+θ, x = θ, x 4 = 7 θ, x 45 = 3. x 34 kan alltså bli =. Då blir x = 0. Ny baslösning: x 3 = 5, x 4 = 5, x 34 =, x 45 = 3. Simplexmultiplikatorer och reducerade kostnader: λ 5 = 0, λ 4 =, λ 3 = 5, λ = 9, λ = 6. r =, r 3 =, r 35 =. Alla r ij 0 Nya baslösningen optimal..4 a) Tillåten baslösning med alla r ij 0. b) λ = 6,7,,4,,0) T c) x 4 = 9+δ, x 3 = 4 δ, z = 8 δ, δ 4..5 a) Transportalgoritmen ger följande tablåer: x ij för basvariabler): r ij för ickebasvar.): u i v j : Låt x 3 som har r 3 = ) bli ny basvaribel och byt bas. x ij för basvariabler): r ij för ickebasvar.): u i v j : 0 Låt x 5 som har r 5 = ) bli ny basvaribel och byt bas. x ij för basvariabler): r ij för ickebasvar.): u i v j : 0 Alla r ij 0 aktuell baslösning optimal, dvs:

26 6 Övningsexempel i Optimeringslära Från fabrik nr : 60 ton till butik nr och 40 ton till butik nr 5. Från fabrik nr : 60 ton till butik nr 3 och 40 ton till butik nr 4. Från fabrik nr 3: 60 ton till butik nr, 0 ton till butik nr 4 och 0 ton till butik nr 5. Totala transportkostnaden blir då = 0. b) Duala problemet: D) max 00u +u +u 3 )+60v +v +v 3 +v 4 +v 5 ) då u i +v j c ij, för alla i och j. En optimallösning erhålls direkt ur sluttablån ovan, dvs u = 4, u = 4, u 3 = 5, v =, v =, v 3 =, v 4 =, v 5 = 0, med optimalvärdet = ) = 0, som ovan..6 Transportalgoritmen ger följande tablåer: x ij för basvariabler): r ij för ickebasvar.): u i v j : Låt x 3 som har r 3 = ) bli ny basvaribel. Om x 3 växer från 0 så blir både x och x 3 omedelbart < 0. Alltså låter vi en av dessa, t.ex x 3, lämna basen. Den nya basvariabeln x 3 får värdet 0 i den nya baslösningen. x ij för basvariabler): r ij för ickebasvar.): u i 3 5 v j : 0 Låt x 3 som har r 3 = ) bli ny basvaribel. x 3 kan växa till värdet. Då blir både x och x 33 = 0. Alltså låter vi en av dessa, t.ex x 33, lämna basen. x ij för basvariabler): r ij för ickebasvar.): u i v j : 0 Låt x som har r = ) bli ny basvaribel.

27 6. Flöden i nätverk 7 Om x växer från 0 så blir x omedelbart < 0. Alltså låter vi x lämna basen. Den nya basvariabeln x får värdet 0 i den nya baslösningen. x ij för basvariabler): 0 0 r ij för ickebasvar.): u i 3 4 v j : 0 Nu är r ij 0 för alla ickebasvariabler. Optimal lösning är alltså: x 3 = x = x 3 =, övriga x ij = 0, z = 6..7 a) Detta MKFP åskådliggörs genom följande nätverk: i c ij j b) Basvariablernas värden kan nystas upp i exempelvis följande ordning: nod 6 x 46 = 6, nod 5 x 35 = 5, nod x 4 = 4, nod x 3 = 7, nod 3 eller nod 4) x 34 =. Eftersom alla x ij ovan blev > 0 så är baslösningen tillåten. Målfunktionsvärdet = c ij x ij = 85. c) Simplexmultiplikatorer nodpriser) bestäms ur att λ i λ j = c ij för basvariabelbågarna, samt λ 6 = 0. Vi får: λ 6 = 0, λ 4 = 5, λ = 0, λ 3 = 7, λ 5 = 5, λ = 0. Reducerade kostnader r ij = c ij λ i +λ j för ickebasvariabler: r =, r 3 = 0, r 45 =, r 56 = låt x 56 bli ny basvariabel. x 56 = θ x 35 = 5+θ, x 46 = 6 θ, x 34 = θ x 34 ska ut ur basen. Ny baslösning: x 3 = x 35 = 7, x 4 = x 46 = 4, x 56 =. Målfunktionsvärdet = 83. Nya λ i : λ 6 = 0, λ 5 = 4, λ 3 = 6, λ = 9, λ 4 = 5, λ = 0. Reducerade kostnader r ij = c ij λ i +λ j för ickebasvariabler: r =, r 3 =, r 34 =, r 45 = låt x 3 bli ny basvariabel. x 3 = θ x 35 = 7+θ, x 56 = +θ, x 46 = 4 θ, x 4 = 4 θ x 46 eller alternativt x 4 ) ska ut ur basen. Ny baslösning: x 3 = 7, x 3 = 4, x 35 =, x 56 = 6, x 4 = 4. Målfunktionsvärdet = 79.

28 8 Övningsexempel i Optimeringslära Nya λ i : λ 6 = 0, λ 5 = 4, λ 3 = 6, λ = 9, λ = 9, λ 4 = 4. Reducerade kostnader r ij = c ij λ i +λ j för ickebasvariabler: r =, r 34 = 0, r 46 =, r 45 =. Alla r ij 0 den aktuella baslösningen är optimal i x ij j

29 7. Konvexitet 9 7. Konvexitet 3. c) Take two points a and b in C +D. Show that λa + λ)b belongs to C +D for all λ [0,]. a C +D = a = x a +y a for some x a C and y a D b C +D = b = x b +y b for some x b C and y b D Using the above we get λa+ λ)b = λx a +y a )+ λ)x b +y b ) = = λx a +λy a + λ)x b + λ)y b = = λx a + λ)x b +λy a + λ)y b C +D since C and D are convex. This shows that C +D is convex. 3. Take two points a and b in α A C α. Show that λa + λ)b belongs to α AC α for all λ [0,]. This is true for if a and b are in α AC α, then for each α A we have a C α and b C α. Since C α is a convex set, λa+ λ)b belongs to C α. Since this is true for every α C α, we have λa + λ)b in α A C α. This shows that α A C α is a convex set. 3.3 a) Let x and y be two points in C. Show that f + g)λy + λ)x) λf +g)y) λ)f +g)x) for all λ [0,]. f +g)λy + λ)x) = fλy + λ)x)+gλy + λ)x) {f and g are convex} λfy)+gy))+ λ)fx)+gx)) = This shows that f +g is convex. = λf +g)y)+ λ)f +g)x) 3.4 Let x and y betwo points in C. Show that supf α λy+ λ)x) λsupf α y)+ α A α A λ)supf α x) for all λ [0,]. α A λsupf α y)+ λ)supf α x) λf β y)+ λ)f β x) α A α A {f β, β A is convex } f β λy + λ)x) Since the inequality above holds for all β A it must hold that sup β A f β λy + λ)x) λsup α A f α y)+ λ)supf α x) α A This shows that supf α is convex. α A

30 30 Övningsexempel i Optimeringslära 3.5 Let x and y be two points in C, and let λ [0,]. Since g is convex on C, it follows that g λ)x+λy) λ)gx)+λgy). Hence, since f is a nondecreasing function on I, we have fg λ)x+λy)) f λ)gx)+λgy)). Finally, since f is a convex function on I, we have f λ)gx)+λgy)) λ)fgx))+λfgy)). The required result now follows by combining the last two inequalities. 3.6 a) Convex. b) Convex. c) Convex. d) fx) = x /x, where x > 0, is convex if and only if the Hessian matrix fx) is positive semidefinite for all x > 0, where fx) = x x x x x Since both /x > 0 and /x )x /x3 ) x /x ) x /x ) = 0 0, the Hessian matrix is positive semidefinite, which shows that f is convex for x > 0. e) Convex. f) Convex. 3.7 Since ln is an increasing function which is well-defined for positive arguments, it holds that n ) /n x i n x i ) n n lnx i ln x i, n n n for x i > 0, i =,...,n. The proof is by induction. Consider the inequality n n lnx i ln n ) n x i. for x i > 0, i =,...,n. lnx is a concave function for x > 0, and hence the inequality holds for n =. Now, suppose the inequality holds for n = k. We want to show that it holds also for n = k +. x x 3

31 7. Konvexitet 3 For some x i > 0, i =,...,n, consider the identity k+ lnx i = k k+ k+ k ) k lnx i + k+ lnx k+. Since the inequality in question is assumed to be valid for k = n, it follows that k+ lnx i k k+ k+ ln k The concavity of ln now gives ) k x i + k+ lnx k+. k+ k k lnx i ln x i + ) ) k+ k+ k+k k+ x k+ = ln x i, k+ as required. 3.8 a) Let x and y be arbitrary points in C and let λ [0,]. Since x C, there exist t i 0, i =,...,m such that m x = t i x i and m t i =. Similarly, since y C, there exist s i 0, i =,...,m such that But then, m y = s i x i and m s i =. m m m λ)x+λy = λ) t i x i +λ s i x i = λ)t i +λs i )x i. Hence, if we define r i = λ)t i +λs i, i =,...,m, we have m λ)x+λy = r i x i, and the properties of s i and t i give r i 0, i =,...,m and m r i =. Consequently, λ)x+λy C, as required. b) The proof is by induction. For m =, the statement is that if x X and x X, t 0, t 0 and t +t =, then t x +t x X. This is true from the convexity of X. Suppose that the statement is true for m = k, i.e., if x,...,x k X, t i 0, i =,...,k and k t i =, then k t i x i X. We want to show that the statement is true also for m = k+. Let x,...,x k+ X, t i 0, i =,...,k + and k+ t i =. We want to show that k+ t ix i X. If t k+ =, then we must have t i = 0,

32 3 Övningsexempel i Optimeringslära i =,...,k and the statement is true since k+ t ix i = x k+ X. Now consider the case when t k+ <. Then, k+ k k t i t i x i = t i x i +t k+ x k+ = t k+ ) x i +t k+ x k+. t k+ Since t i 0, i =,...,k + and k+ t i =, it follows that t i t k+ 0, i =,...k and k t i t k+ =. Hence, since it is assumed that the statement is true for m = k, it holds that k t i x i X. t k+ But then, since t k+ [0,], the convexity of X ensures that k+ t i x i = t k+ ) k and the induction proof is complete. t i t k+ x i +t k+ x k+ X,

33 8. Ickelinjär optimering Ickelinjär optimering 4. a) Utveckla: Sa,b) = 5a + i t 4 i )b + i t i )ab i y i )a i y i t i)b+ i y i = sätt in siffrorna) = = 5a +34b +0ab 44a 8b+4. Nödvändigt för minimum är att Sa,b) = 0 { 0a+0b 44 = 0 ekvationssystemet: 0a+68b 8a = 0 med lösningen: a = och b = b) Bilda andraderivatsmatrisen Sa,b) = Eftersom dennaär positivt definit0 > 0, 68 > 0 och > 0) så är den kvadratiska funktionen Sa, b) strikt konvex, varför lösningen ovan är ett globalt minimum. 4. a) Problemet kan formuleras: minimera fx,y), x,y IR, där 8 fx,y) = x x i ) +y y i ) ). f Gradienten, fx,y) = x, f ), där: y f 8 x = f 8 y = x x i, x x i ) +y y i ) ) y y i. x x i ) +y y i ) ) Vi ser att gradienten existerar om och endast om x,y) x i,y i ) för alla i =,...,8. b) Problemet kan formuleras: minimera px, y), x, y IR, där 8 px,y) = x x i ) +y y i ) ) = ). = 8x +8y i x i )x i y i )y + i x i + i y i, som är en kvadratisk funktion i x och y. Gradienten till p är px,y) = 6x i x i, 6y ) i y i). 6 0 Hessianen till p är px,y) =, 0 6 som är positivt definit 6 > 0, 6 > 0, > 0).

34 34 Övningsexempel i Optimeringslära Därmed är px, y) en strikt konvex kvadratisk funktion som minimeras av lösningen till ekvationssystemet: px, y) = 0, 0), { 6x xi = 0 dvs ekvationssystemet: 6y y i = 0 { x = Detta system har lösningen: 8 xi, y = 8 yi. P ska alltså placeras i tyngdpunktenför de 8 punkterna P i. 4.3 a) px) = 3x +6x +4x x x 4x + = xt Hx+c T x+c 0, där H = ), c = 4 ), c 0 =. H är positivt definit, ty 6 > 0, > 0 och > 0. Alltså erhålls ett globalt minimum till px) ur ekv.systemet: ) T. px) = 0, dvs Hx= c, med lösningen x = Detta är ett globalt minimum pga att den kvadratiska funktionen px) = xt Hx+c T x+c 0 är konvex då H är positivt definit. 7 b) fx) = xt Hx+c T x+c x3 = px)+ 7 3 x3. ) T, fx) = Hx+c+ 7x 0 4x 0 fx) = H Newtonsteget d k) bestäms ur ekv.systemet fx k) )d = fx k) ). ) T x 0) = 0 0 fx 0) ) = H och fx 0) ) = c Hd = c ) T ) d = 7 7 x ) = x 0) +d 0) = T. 7 7 ) ) ) T x ) = fx ) ) = och fx 4 ) ) = 7 0 ) ) 8 4 ekv.systemet: d = ) 3/40 med lösningen: d ) = /40 x ) = x ) +d ) = 7 40 ) 4 T Tillåtna området = alla punkter i x,x )-planet som ligger i området F i figuren nedan. ) T. Nivåkurvorna till målfunktionen är vinkelräta mot vektorn 3 Grafisk optimering ger att det finns två lokala maxima: Det ena i skärningspunkten mellan x x = 4 och x +x = 5 x = 4,x = och målfunktionsvärdet =, 7 ).

35 8. Ickelinjär optimering 35 det andra i skärningspunkten mellan x +x = 0.5 och x +x = 5 x = 0.5,x = 4.5 och målfunktionsvärdet = 4.5. x 7 6 3) T 5 x + x =5 4 3 F x + =0.5 x 3) T x x = x F=Tillåtna området 4.5 Tillåtna området = alla punkter i x,x )-planet som ligger i området F i figuren nedan. Några nivåkurvor till målfunktionen är också utritade streckade). Grafisk optimering ger att optimallösningen till problemet är skärningspunkten mellan kurvorna g x) = x x = 0 och g 3 x) = x +x = 0, dvs x = 3 ) och x = 3. x f x,x )=-. f x,x )=- f x,x )= F f x,x )= x - x =0 f x,x )= x x - =0 x + x - =0 x F=Tillåtna området

36 36 Övningsexempel i Optimeringslära 4.6 a) Ett nödvändigt villkor för att x ska kunna vara ett lokalt maximum till fx) är att fx) = 0. Derivering ger att: ) T. fx) = 6x +x x x x x Insättningger att treav defyrapunkternauppfyller fx) = 0, nämligen ) T, ) T x = och ) T. ) T 6 Punkten 0 kan alltså inte vara ett lokalt maximum till fx). ) För att gå vidare beräknar vi x x fx) =. x x Det är välkänt att om fx) är negativt definit och fx) = 0) så är x ett lokalt maximum till fx). Å andra sidan, om fx) inte är negativt semidefinit så är x inte ett lokalt maximum. ) Insättning ger att fx) är negativt definit för x = 0 0, medan fx) inte är negativt semidefinit för de övriga båda, dvs för x = ) T 0 och ) T. ) T 6 Alltså är x = 0 0 den enda av de fyra punkterna som är ett lokalt maximum till fx). b) Punkter som inte är lokala maxpunkter kan inte heller vara globala maxpunkter. Enda kandidaten bland de fyra är alltså x = 0 0. ) T ) T Men f0,0) = 0 och t.ex) f0,0) = 300, så x = 0 0 är inte en global maxpunkt. SVAR: Ingen av de fyra punkterna är en global maxpunkt. 4.7 Deriveringar ger följande gradienter och andraderivatsmatriser: ) ) 6 0x +4x 0 4 f x) =, f x) =. +4x x 4 ) ) 6x 6x 6 6 f x) =, f x) =. 8 6x x 6 ) ) 70 7x 7 0 f 3 x) =, f 3 x) =. 30 8x 0 8 ) T. Låt x = Då gäller: ) T, ) T, f x) = 0 0 f x) = 0 0 f3 x) =,) T 0 0 Därmed kan x ej vara en lokal maxpunkt till f 3 x). ) T. En ascentriktning till f 3 x) i x är t.ex) gradienten, dvs d = ) 0 4 Betrakta nu f x) =. 4 Eftersom 0 > 0, > 0 och 0 4) 4) > 0 så är f x) positivt definit, och därmed är f x) negativt definit, och därmed är x ett lokalt maximum till f x). ) T

37 ) 6 6 Betrakta nu f x) = Ickelinjär optimering 37 Eftersom < 0 så är f x) varken positivt eller negativt definit, utan istället indefinit. x är därmed en sadelpunkt till f x). Taylorutveckling ger: f x+αd) = f x)+α f x) T d+ α dt f x)d+oα ), dvs f x+αd) f x) α dt f x)d för små α ty f x) = 0). d är därför en ascentriktning till f x) i x om dt f x)d > 0, ) ) 8 3 d dvs om d,d ) = 8d 3 6d d d > 0. Kvadratkomplettering ger: 8d 6d d d = d +3d ) d ) som är > 0 ) T. om exempelvis d = a) min fx,y,z) = xyz d då hx,y,z) = x +y +z 4400 = 0 x, y, z 0 ) ) b) f +λ h = yz zx xy +λ x y z = = sätt in den föreslagna lösningen x = y = z = ) 4800) = = ) ) 4800λ = om λ = a) P ) min C x L x B +C x B x H +C x H x L då x L x B x H = samt x L, x B, x H 0 som vi enligt uppgiften ej behöver behandla) b) Första ordningens optimalitetsvillkor för P ): c) x H = x B x L C x B +C x H λx B x H = 0 C x L +C x H λx L x H = 0 C x B +C x H λx L x B = 0 x L x B x H = 0 P ) min Fx L,x B ) = C x L x B + C x B + C x L Första ordningens optimalitetsvillkor för P ): F x L = C x B C x L F x B = C x L C x B = 0 = 0 Detta ickelinjära ekvationssystem kan lösas analytiskt ˆx L = ˆx B = C C ) 3 och därmed ˆx H = C C ) 3.