5B1574 - Portföljteori och riskvärdering Laboration 1 Farid Bonawiede - 831219-0195 Alexandre Messo - 831119-7472 1 - Spotränteberäkningar I denna uppgift ska vi beräkna spoträntan för olika löptider. Dessa baseras på obligationer med olika löptider. Genom att bilda linjärkombinationer av obligationer med samma löptid skapar vi fiktiva nollkuponger. Med dessa kan man sedan beräkna spoträntan för den specifika löptiden. I uppgiften ska vi anta att det är den 5 november år 2011. Obligationerna som finns har två utbetalningar per år som sker den 15 februari och den 15 augusti. Innan vi skapar våra nollkuponger, lägger vi först till den upplupna ränta som bärarna av obligationerna gjort sig förtjänta av. Det har gått 82 dagar sedan den senaste kupongutbetalningen. Mellan den 15 augusti och den 15 februari är det 184 dagar. Således blir den upplupna räntan: r upplupen = dagar sedan den senaste kupongen antal dagar i en kupongperiod kupongstorlek = 82 184 C 2 Adderar man denna upplupna ränta till det givna begärda priset för obligationen så erhålls dess totalpris, likvidbeloppet. Samtliga likvidbelopp finns samlade i tabell 1. Det är nu dags att beräkna våra nollkupongare. Det finns två krav vi sätter på vår linjärkombination. Om vi låter x 1 och x 2 vara antalet vi köper av respektive obligation, blir kraven följande: x 1 + x 2 = 1 x 1 c 1 + x 2 c 2 = 0 Vi har nio par av obligationer med samma löptid, och med ovanstående krav kan vi skapa nio fiktiva nollkupongare med olika löptider. Priset för vår skapade nollkupong blir: P 0 = P 1 x 1 + P 2 x 2 1
Tabell 1: Likvidbelopp och upplupen ränta för de olika obligationerna Obligation Begärt pris Upplupen ränta Likvidbelopp 15-Feb-2012 100 1.4762 101.4762 15-Feb-2012 100+22/32 2.0333 102.7208 15-Aug-2012 100+24/32 1.7548 102.5048 15-Aug-2012 101+1/32 1.8383 102.8696 15-Feb-2013 101+7/32 1.8383 103.0571 15-Feb-2013 101+12/32 1.8662 103.2412 15-Aug-2013 100+26/32 1.7826 102.5951 15-Aug-2013 102+1/32 1.9497 103.9810 15-Feb-2014 98+5/32 1.5319 99.6882 15-Feb-2014 102+9/32 1.9776 104.2588 15-Aug-2014 97+13/32 1.5319 98.9382 15-Aug-2014 101+23/32 1.9219 103.6406 15-Feb-2015 99+5/32 1.7269 100.8832 15-Feb-2015 109+4/32 2.5068 111.6318 15-Aug-2015 101+13/32 1.8940 103.3003 15-Aug-2015 107+27/32 2.3397 110.1835 15-Feb-2012 99+13/32 1.7548 101.1610 15-Feb-2012 103 1.9776 104.9776 2
I tabell 2 redovisas de erhållna nollkupongpriserna. Tabell 2: Förfallodag och likvidbelopp för våra fiktiva nollkupongare Förfallodag Likvidbelopp 15-Feb-2012 98.1781 15-Aug-2012 94.8438 15-Feb-2013 90.9062 15-Aug-2013 87.8125 15-Feb-2014 83.9766 15-Aug-2014 80.4643 15-Feb-2015 77.0826 15-Aug-2015 74.0469 15-Feb-2012 71.1055 Återstående löptid har beräknats med Matlabs datenum kommando. Man dividerar antal dagar med 365 för att uttrycka tiden i enheten år. Ex: t = datenum( 15 F eb 2012 ) datenum( 5 Nov 2011 ) 365 Återstående tider för våra nollkupongare framgår ur tabell 3. Tabell 3: Tid i enheten år till nollkupongernas förfallodagar Förfallodag t 15-Feb-2012 0.2795 15-Aug-2012 0.7781 15-Feb-2013 1.2822 15-Aug-2013 1.7781 15-Feb-2014 2.2822 15-Aug-2014 2.7781 15-Feb-2015 3.2822 15-Aug-2015 3.7781 15-Feb-2012 4.2822 Med kontinuerlig diskontering kan spoträntan beräknas ur följande ekvation: 3
r(t) = 1 t ln F P 0 F betecknar vårt nominella belopp, som vi satt till 100. Detta ger oss spoträntorna för de olika löptiderna, se tabell 4. Tabell 4: Spoträntorna till respektive förfallodag Förfallodag t 15-Feb-2012 0.0658 15-Aug-2012 0.0680 15-Feb-2013 0.0744 15-Aug-2013 0.0731 15-Feb-2014 0.0765 15-Aug-2014 0.0782 15-Feb-2015 0.0793 15-Aug-2015 0.0795 15-Feb-2012 0.0796 Vi skulle vilja uttrycka spoträntan med följande funktion, r(t) = a 0 + a 1 t + a 2 t 2 + a 3 t 3 + a 4 t 4 Med Matlabs funktion polyfit kan vi anpassa ett fjärdegradspolynom till våra spoträntor. Vi får då följande koefficienter: Tabell 5: Koefficienterna till fjärdegradspolynomet a 0 = 6.293 10 2 a 1 = 1.003 10 2 a 2 = 2.825 10 3 a 3 = 5.964 10 4 a 4 = 6.341 10 5 Med dessa koefficienter har vi slutligen plottat spoträntan som funktion av tiden, se figur 1. 4
0.08 0.078 0.076 0.074 Spotränta 0.072 0.07 0.068 0.066 0.064 0.062 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 År efter 5 Nov 2011 Figur 1: Spoträntan som funktion av tiden 2 - Beräkningar på statsobligationer När man handlar med obligationer och statsskuldväxlar så brukar man inte prata om själva priset. Utan man förhandlar om vilken ränta som ska gälla. På Stockholmsbörsens hemsida har vi hittat information om vilka räntor som gäller i dagsläget (21 november 2005). Detta tillsammans med villkoren för de noterade statsobligationerna medför att vi kan beräkna deras pris, kurs och upplupna ränta. Villkoren hittade vi på Riksgäldskontorets hemsida. Vid beräkningen av dagens pris utgår vi ifrån ekvation (3.2) i Luenbergers bok Investment Science : P = F [1 + λ m ]n + C λ { } 1 1 [1 + λ m ]n Vi har utgått ifrån att det nominella beloppet är 100 (F = 100). Alla statsobligationer har kupongutdelning en gång om året, vilket innebär att 5
m = 1. Värdet på n har vi beräknat genom att ta reda på skillnaden i antal dagar mellan förfallodatum och dagens datum, dividerat med 365. Marknadsräntan betecknas med λ. Upplupna räntan beräknas på samma sätt som för uppgift 1. I tabell 6 redovisas samtliga kupongutbetalningar, förfallodatum och marknadsräntor för de emitterade statsobligationerna. Tabell 6: Hämtade uppgifter för de aktuella obligationerna Obligation Förfallodag Kupongstorlek Marknadsränta SO 1037 15-Aug-2007 8.00 2.025 SO 1040 5-May-2008 6.50 2.190 SO 1043 28-Jan-2009 5.00 2.325 SO 1048 1-Dec-2009 4.00 2.450 SO 1045 15-Mar-2011 5.25 2.620 SO 1046 8-Oct-2012 5.50 2.765 SO 1041 5-May-2014 6.75 2.850 SO 1049 12-Aug-2015 4.50 2.925 SO 1050 12-Jul-2016 3.00 2.965 SO 1047 01-Dec-2020 5.00 3.030 Exempel: Likvidbeloppet för statsobligationen SO1047 skall beräknas. Vi börjar med att beräkna kursen för obligationen med n = 5550/365 samt λ = 0.03030. P = { } 100 [1 + 0.03030 5550/365 ] + 5 1 1 0.03030 [1 + 0.0303] 5550/365 = 123.721 Upplupna räntan: r upplupen = 294 365 5 = 4.027 Likvidbeloppet blir alltså 123.721+4.027 128. Vi gör dessa beräkningar för alla emitterade statsobligationer. Resultaten redovisas i tabell 7. 6
Tabell 7: Beräknad upplupen ränta, kurs samt likvidbelopp för de aktuella obligationerna Obligation Upplupen ränta Kurs Likvidbelopp SO 1037 0.81 11.02 111.83 SO 1040 2.48 10.87 113.34 SO 1043 3.23 8.54 111.77 SO 1048 3.22 6.11 109.33 SO 1045 2.73 13.27 116.00 SO 1046 5.24 17.31 122.55 SO 1041 2.57 29.45 132.02 SO 1049 0.49 13.37 113.86 SO 1050 0.58 0.32 100.90 SO 1047 4.03 23.72 127.75 7