SF65 Envariabelanalys Tentamen Lördagen den januari, 04 Skrivtid: 9:00-4:00 Tillåtna hjälpmedel: inga Examinator: Bengt Ek, Maria Saprykina Tentamen består av nio uppgifter som vardera ger maximalt fyra poäng. Resultatet på del A, som omfattar de tre första uppgifterna, kan höjas av resultat från den löpande examinationen (seminarierna) under kursen. Poängen från seminarierna läggs till poängen på del A på skrivningen, dock så att den totala poängen på del A blir högst p. De tre följande uppgifterna utgör del B och de tre sista uppgifterna del C. För de högsta betygen, A och B, krävs vissa poäng på del C. Betygsgränserna vid tentamen kommer att ges av Betyg A B C D E Fx Total poäng 7 4 8 6 5 varav från del C 6 3 För full poäng på en uppgift krävs att lösningen är väl presenterad och lätt att följa. Det innebär speciellt att införda beteckningar ska definieras, att den logiska strukturen tydligt beskrivs i ord eller symboler och att resonemangen är väl motiverade och tydligt förklarade. Lösningar som allvarligt brister i dessa avseenden bedöms med högst två poäng. Var god vänd!
SF65 Envariabelanalys Tentamen 04-0- DEL A. Hur många gånger (om någon) antar funktionen värdet 3 i intervallet x 9? f(x) = ( x) x. Använd en lämplig variabelsubstitution för att beräkna integralen e + ln x dx. x 3. En mjölkförpackning med temperaturen 4 C tas ur kylskåpet och placeras i ett rum med konstant temperatur 0 C. Efter minuter har mjölken antagit temperaturen C. Efter hur lång tid ytterligare har mjölkens temperatur nått 8 C? Förutsätt att förloppet följer Newtons lag, dvs att mjölkens temperaturändring per tidsenhet är proportionell mot temperaturskillnaden mellan rummet och mjölken. DEL B 4. Vi betraktar differentialekvationen y 5y + 6y = 0 sin x. a. (3p) Bestäm den allmänna lösningen till ekvationen. b. (p) Bestäm den lösning vars graf passerar origo (0, 0) och tangerar x-axeln där. 5. Det begränsade område som ligger mellan kurvan y = x och linjen y = delas av linjen y = k i två områden med lika stora areor. Bestäm värdet på konstanten k. 6. a. (p) Låt f(x) = ( + x) α, där α är ett reellt tal, och ange Maclaurinutvecklingen (dvs Taylorutvecklingen kring x = 0) av ordning för f(x), dvs ange Maclaurinpolynomet av grad med tillhörande restterm (på valfri form). b. (p) Bestäm med hjälp av resultatet i uppgift a. gränsvärdet lim ( x 4 + x 3 3 x 6 + 3x 5 ). x (Det kan vid beräkningen av gränsvärdet vara lämpligt att införa variabeln t, där t = x.)
SF65 Envariabelanalys Tentamen 04-0- 3 DEL C 7. Formulera och bevisa analysens huvudsats. Utan bevis får integralkalkylens medelvärdessats användas. 8. Vi betraktar den generaliserade integralen a. (p) Bevisa olikheten ln( + x ) dx. ln( + x) x för x 0. b. (p) Använd olikheten i a. för att visa att den givna integralen är konvergent. c. (p) Beräkna också integralens värde. 9. Funktionen f är kontinuerligt deriverbar för alla x (dvs f existerar och är kontinuerlig för alla x). Beräkna gränsvärdet lim x 0 f(sin x) f(arctan x) x 3. (Svaret kan innehålla f:s och f :s värden i enstaka punkter.)
SF65 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 04-0- DEL A. Hur många gånger (om någon) antar funktionen värdet 3 i intervallet x 9? I intervallets ändpunkter antar f värdena f(x) = ( x) x f() = ( ) = och f(9) = ( 9) 9 = 9. För att finna dess värden däremellan bestämmer vi först f:s derivata (derivatan av en produkt) f (x) = ( ) x + ( x) x = 3 ( 3x) = x (4 x). x Dess enda nollställe är x = 4 och f(4) = ( 4) 4 = 6. Tabell: x 4 9 f (x) + 0 f(x) 6 9 I intervallet [, 4] är f kontinuerlig (en produkt av elementära funktioner) och f() = < 3 < 6 = f(4), så f antar värdet 3 minst en gång i intervallet (enligt satsen om mellanliggande värden). Eftersom f (x) > 0 för alla x med < x < 4 är f strängt växande där och kan inte anta samma värde mer än en gång. f antar alltså värdet 3 precis en gång i intervallet ], 4[. På samma sätt (f kontinuerlig, f(4) = 6 > 3 > 9 = f(9), f (x) < 0 så f strängt avtagande) ser man att f antar värdet 3 precis en gång i intervallet ]4, 9[. För x =, 4, 9 är f(x) 3, så f antar värdet 3 precis två gånger i intervallet [, 9]. Svar. f antar värdet 3 precis två gånger i intervallet [, 9].
SF65 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 04-0-. Använd en lämplig variabelsubstitution för att beräkna integralen e + ln x dx. x Eftersom integranden har en faktor (vilket ju är derivatan av ln x) och resten är en x funktion av just ln x, inför vi t = ln x som ny variabel och får: e [ ] + ln x t = ln x; x = e t = dx = x dt = dx; x = t = 0 = + t dt = x 0 [ ] = ( + t) 3 = ( 3 3 3 3 ) = ( 8 ). 3 0 (Det går också bra att använda t = + ln x som ny variabel. Då blir integralen t dt.) Svar. Integralens värde är 3 ( 8 ).
SF65 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 04-0- 3 3. En mjölkförpackning med temperaturen 4 C tas ur kylskåpet och placeras i ett rum med konstant temperatur 0 C. Efter minuter har mjölken antagit temperaturen C. Efter hur lång tid ytterligare har mjölkens temperatur nått 8 C? Förutsätt att förloppet följer Newtons lag, dvs att mjölkens temperaturändring per tidsenhet är proportionell mot temperaturskillnaden mellan rummet och mjölken. Låt mjölkens temperatur vid tid t vara T (t) och kalla 4 C för T 0 och 0 C för T. Enligt Newtons lag uppfyller då T (t) för någon (positiv) konstant k: { T = k(t T ), T (0) = T 0. Vi löser först differentialekvationen. Karakteristiska ekvationen för motsvarande homogena ekvation är r = k, med roten r = k, så den homogena ekvationens allmänna lösning är T h (t) = Ae kt, A en godtycklig konstant. För en partikulärlösning till den inhomogena ekvationen görs ansatsen T (t) = c, en konstant. Insättning i ekvationen ger 0 = k(c T ), så vi får en lösning om c = T, T p (t) = T. Den allmänna lösningen till ekvationen är alltså T (t) = T h (t) + T p (t) = Ae kt + T. Konstanten A bestäms av villkoret på T (0). Det ger vilket ger A = T 0 T och lösningen A + T = T 0, T (t) = (T 0 T )e kt + T. Kalla minuter för t a, C för T a och tiden då mjölken är 8 C (=T b ) för t b. Då är T a = T (t a ) = (T 0 T )e kta + T, så e kta = Ta T T 0 T, och p.s.s. e kt b = T b T T 0 T. Om man sätter in talvärden för T. :na får man e kta = 0 = och 4 0 e kt b = 8 0 = = 4 0 8 (e kta ) 3 = e k 3ta, så t b = 3t a och den sökta tiden t b t a = t a, dvs 4 minuter. Svar. Efter ytterligare 4 minuter.
4 SF65 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 04-0- DEL B 4. Vi betraktar differentialekvationen y 5y + 6y = 0 sin x. a. (3p) Bestäm den allmänna lösningen till ekvationen. b. (p) Bestäm den lösning vars graf passerar origo (0, 0) och tangerar x-axeln där. a. Karakteristiska ekvationen för motsvarande homogena ekvation är r 5r + 6 = 0, med rötterna r, =, 3, så den homogena ekvationens allmänna lösning är y h (x) = C e x + C e 3x, där C, C är godtyckliga konstanter. För att finna en partikulärlösning till den inhomogena ekvationen låter vi den komplexa funktionen u(x) uppfylla ekvationen u 5u + 6u = 0e ix (= 0(cos x + i sin x)). Då uppfyller y = Im u den givna ekvationen. Ansätt en lösning u(x) = ce ix, c en konstant. Det ger u (x) = ice ix, u (x) = ce ix. Insättning i ekvationen ger ( c 5ic + 6c)e ix = 0e ix, så vi får en lösning om c = 0 = = + i. u 5 5i i p(x) = ( + i)e ix, så y p (x) = Im u p (x) = Im( + i)(cos x + i sin x) = cos x + sin x. (Man kan också ansätta partikulärlösningen y(x) = a cos x + b sin x och sätta in. Det ger en lösning om a = b =, så samma y p som ovan.) Den allmänna lösningen till ekvationen är alltså y(x) = y h (x) + y p (x) = C e x + C e 3x + cos x + sin x, vilket ger y (x) = C e x + 3C e 3x sin x + cos x. Konstanterna C, C bestäms av villkoret att grafen tangerar x-axeln i (0, 0), dvs y(0) = y (0) = 0. De ger C + C + = 0 och C + 3C + = 0, vilket ger C =, C = och lösningen y(x) = e x + e 3x + cos x + sin x. Svar. a. Den allmänna lösningen är y(x) = C e x + C e 3x + cos x + sin x, där C, C är godtyckliga konstanter, b. Den sökta lösningen är y(x) = e x + e 3x + cos x + sin x.
SF65 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 04-0- 5 5. Det begränsade område som ligger mellan kurvan y = x och linjen y = delas av linjen y = k i två områden med lika stora areor. Bestäm värdet på konstanten k. Vi beräknar för k > 0 arean av det begränsade området mellan linjen y = k och kurvan y = x och kallar den A(k). x-värdena för punkter i området ges av x k, dvs k x k. För vart och ett av dessa x ligger (x, y) i området precis om x y k, så arean är k [ ] A(k) = (k x k ) dx = kx x3 = 4k 3 3 3. k k = ger arean av området som skulle halveras, så villkoret som bestämmer k är A(k) = A(), dvs 4k 3 = 4, så k 3 3 3 = och k = = 3. 3 4 k Svar. Det sökta värdet är 3 4.
6 SF65 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 04-0- 6. a. (p) Låt f(x) = ( + x) α, där α är ett reellt tal, och ange Maclaurinutvecklingen (dvs Taylorutvecklingen kring x = 0) av ordning för f(x), dvs ange Maclaurinpolynomet av grad med tillhörande restterm (på valfri form). b. (p) Bestäm med hjälp av resultatet i uppgift a. gränsvärdet lim x ( x 4 + x 3 3 x 6 + 3x 5 ). (Det kan vid beräkningen av gränsvärdet vara lämpligt att införa variabeln t, där t = x.) a. Utvecklingen är en standardutveckling (binomialformeln) och får ges från minnet. Utan minne: f(x) = ( + x) α, f (x) = α( + x) α, f (x) = α(α )( + x) α, så f(0) = ( + 0) α =, f (0) = α, f (0) = α(α ). Det ger Maclaurinpolynomet p (x) = f(0) + f (0)x + f (0) x = + αx + α(α ) x. Eftersom f är deriverbar hur många gånger som helst då x > är resttermen x 3 B(x), där B(x) är begränsad i någon omgivning till x = 0. Den sökta utvecklingen blir f(x) = + αx + α(α ) x + x 3 B(x), (B(x) begränsad i en omgivning till x = 0). b. Med den rekommenderade variabeln t = och α = resp. i utvecklingen i a. fås x 3 x4 + x 3 = + = t 4 t 3 t + t = ( + t + ( ) (t) + t 3 B t (t)) = = + + t B t t (t), 3 x6 + 3x 5 = 3 + 3 = 3 + 3t = ( + 3t + 3 ( 3 ) (3t) + t 3 B t 6 t 5 t t 3 (t)) = = + + t B t t (t), där B (t) och B (t) är begränsade i en omgivning till t = 0. Det ger lim ( x 4 + x 3 3 x 6 + 3x 5 ) = lim (( + + t B x t 0+ t t (t)) ( + + t B t t (t))) = = lim t 0+ ( + t (B (t) B (t))) =. Svar. a. Utvecklingen kan skrivas f(x) = + αx + α(α ) x + x 3 B(x), där B(x) är begränsad i en omgivning till x = 0. b. Gränsvärdet är.
SF65 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 04-0- 7 DEL C 7. Formulera och bevisa analysens huvudsats. Utan bevis får integralkalkylens medelvärdessats användas. Satsen säger att om f är kontinuerlig i intervallet a x b så är funktionen deriverbar och S(x) = x a f(t) dt, a x b S (x) = f(x) för alla x med a < x < b. För att bevisa påståendet skall vi visa att då a < x < b existerar S(x + h) S(x) lim h 0 h och att det är lika med f(x) (det är ju definitionen av derivatan S ). Integralkalkylens medelvärdessats säger att om f är en kontinuerlig funktion i [c, d] finns ξ [c, d] med d f(t) dt = f(ξ)(d c) (om c > d skall [c, d] tolkas som [d, c] och, som vanligt, d c f(t) dt = c d c f(t) dt). Låt a < x < b och h vara så litet (till beloppet) att a < x + h < b. Då ger medelvärdessatsen att S(x + h) S(x) = x+h f(t) dt = f(ξ h ), h h x för något ξ h mellan x och x + h. Då h 0 fås ξ h x, så f(ξ h ) f(x) (f är ju kontinuerlig i x). Det visar att gränsvärdet lim h 0 av vänsterledet också existerar, så S är deriverbar i x och S (x) = f(x). Saken är klar. Svar. Se lösningen.
8 SF65 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 04-0- 8. Vi betraktar den generaliserade integralen a. (p) Bevisa olikheten ln( + x ) dx. ln( + x) x för x 0. b. (p) Använd olikheten i a. för att visa att den givna integralen är konvergent. c. (p) Beräkna också integralens värde. a. Låt f(x) = x ln( + x). Vi skall visa att f(x) 0 då x 0. Derivering av f ger f (x) = = x, så f (x) > 0 då x > 0. Eftersom f är +x +x kontinuerlig då x 0 ger det att f är strängt växande då x 0. f(0) = 0 ln = 0, så f(x) = f(x) f(0) 0 då x 0. Saken i a. är klar. b. För alla x 0 är 0 ln(+ ) och > 0 så med resultatet i a. fås 0 ln(+ ). x x x x Eftersom dx är konvergent är enligt en känd jämförelsesats också den betraktade x integralen det. Saken i b. är klar. c. Vi inför en faktor i integranden och använder partialintegration (derivering av ln( + ) x ger ju då en rationell integrand). X ln( + x ) dx = [ x ln( + x ) ] X X = [ x ln( + x ) ] X + X x + x x 3 dx = dx = [ x ln( + ) + arctan x ] X. x + x Enligt b. är 0 ln( + ), så lim x x X X ln( + ) = 0 och X = lim X ln( + ) dx = lim x X X ln( + x ) dx = ((X ln( + ) + arctan X) ( ln( + ) + arctan )) = X = 0 + π ln π = π ln. 4 Svar. a. och b. visade ovan. c. Integralens värde är π ln.
SF65 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen 04-0- 9 9. Funktionen f är kontinuerligt deriverbar för alla x (dvs f existerar och är kontinuerlig för alla x). Beräkna gränsvärdet f(sin x) f(arctan x) lim. x 0 x 3 (Svaret kan innehålla f:s och f :s värden i enstaka punkter.) f är deriverbar, så medelvärdessatsen ger att f(sin x) f(arctan x) = f (ξ)(sin x arctan x) för ett ξ mellan sin x och arctan x. Då x 0 fås ξ 0, så lim x 0 f (ξ) = f (0), eftersom f är kontinuerlig. Då fås lim x 0 f(sin x) f(arctan x) x 3 = lim x 0 ( f (ξ) ) sin x arctan x x = f sin x arctan x (0) lim. 3 x 0 x 3 Maclaurinutvecklingarna sin x = x x3 + 6 x5 B(x) och arctan x = x x3 + 3 x5 C(x), där B, C är begränsade i en omgivning till x = 0, ger sin x arctan x lim x 0 x 3 x 3 = lim 6 +x5 (B(x) C(x)) x 0 x 3 Det sökta gränsvärdet är alltså 6 f (0). Svar. Det sökta gränsvärdet är 6 f (0). = lim 6 +x (B(x) C(x)) =. x 0 6