Sid (7) i matematisk statistik Statistik och kvalitetsteknik 7,5 hp Tillåtna hjälpmedel: Miniräknare. Studenterna får behålla tentamensuppgifterna. Skrivtid: 4.00-7.00 ger maximalt 24 poäng. Betygsgränser: 2-5,75 p ger betyget 3, 6-9,75 ger betyget 4, 20-24 ger betyget 5. VIKTIGT! Lösningarna ska presenteras på ett sådant sätt att beräkningar och resonemang blir lätta att följa. Avsluta varje lösning med ett tydligt svar i de fall där det är möjligt.
Sid 2 (7) Uppgift Nedanstående beräkningar från Minitab är gjorda för en Poissonfördelning med väntevärde λ = 4. Cumulative Distribution Function Poisson with mean = 4 x P( X <= x ) 0,095782 Probability Density Function Poisson with mean = 4 x P( X = x ) 2 0,46525 a) Vad är P(X 2)? (,5 p) b) Vad är P(X 2)? (,5 p) Uppgift 2 I ett företag som tillverkar brytare för högspänning överväger man att modifiera de gamla modellerna så att man får färre mekaniska delar och högre tillförlitlighet. Det är dock viktigt att brytarnas prestanda inte försämras (utan helst blir något bättre). De viktigaste egenskaperna hos brytarna är hur länge de är öppna respektive slutna ( Open times respektive Close times ). Dessa har toleransgränserna 8 och 26 respektive 90 och 05 ms. Ett försök gjordes där tider (i ms) mättes för såväl gamla (Bas) som modifierade (Mod) brytare. Följande resultat erhölls när materialet analyserades i Minitab. Two-Sample T-Test and CI: BasOpen; ModOpen Two-sample T for BasOpen_ vs ModOpen_ N Mean StDev SE Mean BasOpen 38 23,02 0,807 0,3 ModOpen 0 22,462 0,923 0,29 Difference = mu (BasOpen) - mu (ModOpen) Estimate for difference: 0,559 95% CI for difference: (-0,035;,53) T-Test of difference = 0 (vs not =): T-Value =,89 P-Value = 0,065 DF = 46 Both use Pooled StDev = 0,8308
Sid 3 (7) Two-Sample T-Test and CI: BasClose; ModClose Two-sample T for BasClose vs ModClose N Mean StDev SE Mean BasClose 38 99,64,89 0,3 ModClose 0 96,85 2,2 0,67 Difference = mu (BasClose_) - mu (ModClose_) Estimate for difference: 2,79 95% CI for difference: (,98; 4,384) T-Test of difference = 0 (vs not =): T-Value = 3,79 P-Value = 0,002 DF = 3 a) Vilka hypoteser testar man och vilka slutsatser kan man dra från testen? Motivera. (2 p) b) I de två testen ovan är det ett antagande som skiljer sig åt. Vilket är det? ( p) Uppgift 3 Fortsättning från Uppgift 2. I utskrifterna nedan används ett alternativt sätt att analysera materialet. Mann-Whitney Test and CI: BasOpen; ModOpen N Median BasOpen 38 22,925 ModOpen 0 22,585 Point estimate for ETA-ETA2 is 0,445 95, Percent CI for ETA-ETA2 is (-0,80;,30) W = 985,5 Test of ETA = ETA2 vs ETA not = ETA2 is significant at 0,704 The test is significant at 0,703 (adjusted for ties) Mann-Whitney Test and CI: BasClose; ModClose N Median BasClose 38 99,620 ModClose 0 96,220 Point estimate for ETA-ETA2 is 2,735 95, Percent CI for ETA-ETA2 is (,30;4,249) W = 060,0 Test of ETA = ETA2 vs ETA not = ETA2 is significant at 0,00 The test is significant at 0,00 (adjusted for ties)
Sid 4 (7) a) Vilka slutsatser kan man dra från dessa utskrifter? (p) b) Vilket antagande är det man måste göra i Uppgift 2, men inte här? (p) c) Beskriv kort i ord hur detta test (Mann-Whitney) genomförs. (p) Uppgift 4 Fortsättning från Uppgift 2 och 3. Vid tillverkning av de nya modifierade brytarna har man successivt tagit ut sådana ur produktionen och mätt de intressanta tiderna. I bilden nedan illustreras 30 stycken Open times. I-MR Chart of ModOpen Individual Value 24,0 22,5 2,0 9,5 UCL=23,575 _ X=20,84 8,0 4 7 0 3 6 Observation 9 22 25 28 LCL=8,06 3 UCL=3,359 Moving Range 2 MR=,028 0 LCL=0 4 7 0 3 6 Observation 9 22 25 28 a) Efter ca 3 observationer verkar något hända i processen och vid den 5:e slås larm. Beskriv vad man kan utläsa ur graferna om vilken förändring som sker. (,5 p) b) Om man har upprepade mätningar vid varje tidpunkt kan man skatta standardavvikelsen i processen m.h.a. dessa. Hur bär man sig åt för att skatta spridningen som visas i MR-diagrammet i detta fall då man endast har en mätning vid varje tidpunkt? (,5 p)
Sid 5 (7) Uppgift 5 Vid en undersökning av hur vulktemperaturen påverkar draghållfastheten hos syntetiskt gummi, gjordes försök med 3 olika temperaturer. Följande draghållfastheter uppmättes. Temp Draghållfasthet 25 C 2,0 2,7 2,26 2,06 2,8 2, 40 C 2,7 2,09 2,0 2,02 2,05 2,03 55 C 2,09 2, 2,0 2,09 2,08 2,2 En ANOVA-körning i Minitab gav följande resultat. One-way ANOVA: 25C; 40C; 55C Source DF SS MS F P Factor 2 0,0092 0,0046,2 0,327 Error 5 0,05730 0,00382 Total 7 0,0665 S = 0,068 R-Sq = 3,85% R-Sq(adj) = 2,36% Individual 95% CIs For Mean Based on Pooled StDev Level N Mean StDev -----+---------+---------+--------- +---- 25C 6 2,37 0,0902 (---------*----------) 40C 6 2,0767 0,0557 (---------*----------) 55C 6 2,0983 0,047 (----------*---------) -----+---------+---------+--------- +---- 2,050 2,00 2,50 2,200 Pooled StDev = 0,068 a) Vilken hypotes testar man med hjälp av ANOVA-tabellen och vad blir resultatet om man genomför testet på 5% signifikansnivå i detta fall? (2 p) En residualanalys visade följande.
Sid 6 (7) Residual Plots for 25C; 40C; 55C 99 Normal Probability Plot Versus Fits Percent 90 50 0-0, 0,0 Residual 0, Residual 0,0 0,05 0,00-0,05-0,0 2,070 2,085 2,00 2,5 Fitted Value 2,30 Histogram 8 Frequency 6 4 2 0-0,0-0,05 0,00 0,05 Residual 0,0 0,5 b) Det finns något i residualanalysen som tyder på att det inte är så lyckat att använda ANOVA. Vad är det? ( p) Uppgift 6 Vad står bokstäverna i DMAIC för? Förklara kortfattat vad de olika momenten innebär. (3 p) Uppgift 7 Beskriv det s.k. kvalitetshuset och dess byggstenar. (3 p)
Sid 7 (7) Uppgift 8 Kvaliteten Y (mätt i given enhet) av en viss tillverkad destillationsprodukt påverkas linjärt av hur länge den lagras. Anta att avvikelserna i kvalitet från det linjära sambandet kan anses normalfördelade med väntevärde 0 och okänd standardavvikelse. För att undersöka det linjära sambandet gjordes kvalitetsmätningar på olika exemplar lagrade exakt 2, 4, 6, 8, 0 och 2 år. Motsvarande kvalitetsvärden blev 39,6, 45,8, 50,7, 58,9, 63, och 7,2. En enkel linjär regressionsmodell anpassades i Minitab och följande utskrift erhölls. The regression equation is Kvalitet = 33, + 3,2 Tid 6 cases used Predictor Coef SE Coef T P Constant 33,0733 0,9229 35,84 0,000 Tid 3,57 0,85 26,30 0,000 S = 0,99343 R-Sq = 99,4% R-Sq(adj) = 99,3% a) Hur många kvalitetsenheter kan man förvänta sig att en produkt ökar om man förlänger lagringstiden med 5 år? ( p) b) Skatta så bra som möjligt utgående från den anpassade modellen, den förväntade kvaliteten för en produkt som lagrats i 7 år. ( p) c) Hur stor andel av variationen i kvalitet kan hänföras till andra orsaker än lagringstid? ( p)