Egenvärden, egenvektorer Om en matris är kvadratisk (dvs n n) kan vi beräkna egenvärden och egenvektorer till matrisen. Polynomet p(λ) = det(a λi) kallas det karakterisktiska polynomet för A. Ett nollställe λ till p(λ) kallas ett egenvärde. Eftersom p(λ) har gradtal n finns det n stycken komplexa nollställen, och därmed n stycken komplexa egenvärden, om man räknar dem med multiplicitet. En vektor x som uppfyller A x = λ x, där λ är ett egenvärde, kallas (höger)egenvektor. En vektor y som uppfyller y A = λ y, där λ är ett egenvärde, kallas vänsteregenvektor. (y är konjugattransponatet av y, dvs y = (ȳ) T.)
Egenvärden, egenvektorer, forts För att bestämma egenvärden försöker vi transformera matrisen till en form där det är lätt att bestämma egenvärden, och ur den processen också vaska fram egenvektorer. Egenvärdena till en triangulär matris är lika med digonalelementen. En blocktriangulär matris A = A 11 A 12 A 1b A 22 A 2b.... A bb med kvadratiska matriser på diagonalen har ett karakteristiskt polynom som ges av p(λ) = b k=1 det(a kk λ I). Så egenvärdena till A ges av egenvärdena till alla A kk.
OH-bild från Matte 3 Similaritet Om A och B båda är n n-matriser, så är A och B similära om det finns en inverterbar n n-matris P så att P 1 AP = B. Sats 4 Om n n-matriserna A och B är similära, så har de samma karakteristiska polynom, dvs de har samma egenvärden.
OH-bild från Matte 3 Diagonaliserbarhet En matris A sägs vara diagonaliserbar om den är similär med någon diagonalmatris, dvs om det finns en inverterbar matris P så att A = P DP 1 för någon diagonalmatris D. Sats 5: Diagonalisering En n n-matris A är diagonaliserbar om och endast om A har n st. linjärt oberoende egenvektorer. Matrisen P bildas då med n-st linjärt oberoende egenvektorer som kolonner, och D bildas av egenvärdena som diagonalelement, på så sätt att egenvärdet för egenvektorn i varje kolonn i P hamnar på diagonalen i motsvarande kolonn i D.
OH-bild från Matte 3 Sats 6 Om en n n-matris har n st. unika egenvärden så är matrisen diagonaliserbar. Sats 7 Låt A vara en n n-matris med p st. unika egenvärden λ 1, λ 2,..., λ p. a. Dimensionen hos egenrummet för λ k är mindre än eller lika med multipliciteten för λ k b. Matrisen A är diagonaliserbar om och endast om summan av egenrummens dimensioner är lika med n. Detta inträffar endast om dimensionerna för alla egenrum är lika med multipliciteten för motsvarande egenvärden. c. Om A är diagonaliserbar, bildar basvektorerna för samtliga egenrum, tillsammans en bas för R n.
OH-bild från Matte 3 Ortogonalt diagonaliserbara matriser En matris A sägs vara ortogonalt diagonaliserbar om det finns en ON-matris (ortogonal matris) P och en diagonalmatris D så att A = P DP T. Eftersom P T = P 1 för ON-matriser innebär det A = P DP T = P DP 1. Sats 2 En n n-matris är ortogonalt diagonaliserbar om och endast om A är symmetrisk.
Sats 4.1: Jordan-kanonisk-form För alla A C n n så finns det ickesingulär S C n n, så att S 1 A S = J där J är blockdiagonal J = diag(j 1 (λ n1 ), J 2 (λ n2 ),..., J b (λ nb )) och J k (λ nk ) = λ nk 1 0 λ nk 1......... 1 0 λ nk (Proposition 4.2) Varje Jordanblock J k (λ nk ) av dimension p p motsvarar ett egenvärde λ nk där endast en linjärt oberoende egenvektor går att finna till p upprepningar av egenvärdet. Om A är diagonaliserbar har varje Jordanblock dimension 1 1. Jordanblock har endast en högeregenvektor ê 1 och endast en vänsteregenvektor ê p.
Invarianta underrum Ett invariant underrum till A är ett underrum X till C n (eller R n ), som uppfyller villkoret att för alla x X är A x X. Vi kan också skriva A X X. Proposition 4.3 Givet n n-matrisen A, låt X = [ x 1 x 2... x m ] vara en n m-matris med linjärt oberoende kolonner, och låt X = Col(X) = Span{x 1, x 2,..., x m }. Då är X ett invariant underrum om och endast om det finns en m m- matris B så att A X = X B. I så fall är alla egenvärden till B också egenvärden till A. Om m = 1 så är X = [ x 1 ] en egenvektor och 1 1-matrisen B ett egenvärde.
Sats 4.2: Schur-kanonisk-form För alla A C n n så finns det en unitär Q C n n och en övertriangulär T C n n så att Q A Q = T. Egenvärdena till A finns på diagonalen av T. Sats 4.3: Reell Schur-kanonisk-form För alla A R n n så finns det en ortogonal V R n n och en block-övertriangulär T R n n så att V T A V = T. Blockmatriserna på diagonalen av T har antingen storlek 1 1 eller 2 2. Reella egenvärden ges av 1 1-blocken, och egenvärden som är par av komplexkonjugerade tal ges av 2 2-blocken.
Egenvektorer från Schur-form Givet Schur-formen Q A Q = T, dvs A Q = Q T : Om x är en egenvektor till T, så är Q x en egenvektor till A, ty A Q x = Q T x = Q λ x = λ Q x så det räcker att hitta egenvektorer till T. Antag att λ har multiplicitet 1. Om löser (T λ I)x = 0 får vi T 11 λ I t 12 T 13 x 1 0 0 t T 23 ξ 2 = 0 T 33 λ I x 3 0 dvs x 3 = 0, och ξ 2 är en fri variabel. Vektorn x 1 finner vi genom att lösa det övertriangulära ekvationssystemet (T 11 λ I)x 1 = ξ 2 t 12. Om vi sätter ξ 2 = 1 ger det x = x 1 ξ 2 = x 3 (T 11 λ I) 1 t 12 1 0
Störningsanalys Multipla egenvärden har oändliga konditionstal Detta är bekymmersamt, men det går att finna multipla egenvärden med någon sorts nogrannhet ändå pga: Proposition 4.4 Egenvärden är kontinuerliga funktioner av A, även om de inte är deriverbara.
Störningsanalys Sats 4.4 Om λ är ett enkelt egenvärde till A, med högeregenvektor x och vänsteregenvektor y, som båda är normerade x 2 = y 2 = 1. Låt λ + δλ vara motsvarande egenvärde till ett stört problem A + δa. Då är och δλ = y δa x y x + O( δa 2 ) δλ δa 2 y x + O( δa 2 ) dvs konditionstalet för egenvärdet λ är 1/ y x. Detta tillämpat på Jordanblock av stolek minst 2 2 ger konditionstal 1/ ê T p ê 1 = 1/0 = som väntat. Följdsats 4.1 Om A är symmetrisk, så är konditionstalet 1 dvs δλ δa 2 + O( δa 2 )
Störningsanalys För stora störningar duger inte O( ) Sats 4.5: Bauer-Fike Givet att A C n n är diagonaliserbar och har enkla egenvärden, och att vi till varje egenvektor λ i har normerade högeroch vänsteregenvektorer x i och y i, dvs x i 2 = y i 2 = 1 så ligger egenvärdena till A + δa någonstans inne i var sin cirkulär skiva B i med centrum i λ i och radie n δa 2 y i x i
Störningsanalys, egenvektorsmatrisen Sats 4.7 Låt oss anta att A C n n är diagonaliserbar och har enkla egenvärden, och att vi till varje egenvektor λ i har normerade höger- och vänsteregenvektorer x i och y i, dvs x i 2 = y i 2 = 1. Anta vidare att S uppfyller S 1 A S = Λ = diag(λ 1,..., λ n ). Då är S 2 S 1 2 max i 1 y i x i. Om vi väljer S = [ x 1 x 2... x n ], så är S 2 S 1 2 n max i 1 y i x i dvs konditionstalet för S ligger inom en faktor n från sitt minsta möjliga värde. Denna sats visar att konditioneringen för matrisen S är, i allt väsentligt, samma som konditioneringen för egenvärdena.