Studietips info r kommande tentamen TEN inom kursen TNIU22 Lämplig ordning på sammanfattande studier inom denna kurs: Inled med att grundligt studera föreläsningsanteckningarna Därefter läs tillörande sidor i läroboken (se arbetsscemat) särskilt definitioner, satser oc betydelsen av alla fetstilta begrepp Lös nu samtliga teorifrågor (från emsidan) med svar som ämtas ur läroboken oc föreläsningsanteckningarna Nu är du redo för att studera tidigare kontrollskrivningar oc tentamina såsom denna alltså efter att ovanstående ar bearbetats Komplettera nu med uppgifter från arbetsscemat
Peter Holgersson, ITN Linköpings Universitet Tel. 0705-9 99 92 peto@itn.liu.se Tentamen inom Enavariabelanalys Ordinarie tentamen för kursen HT204 Examination: TEN, TNIU22 Max: 2 p betyg 5: 6 p betyg 4: 2 p betyg 3: 8 p Bonus: 0-2 p grundad på KTR Lösningar: Fullständiga med tydliga förklaringar/beräkningar oc tydligt angivna svar Hjälpmedel: Skrivdon, linjal, kurvmall Skrivtid: 205-0- 4, kl. 08:00 3:00. a) Bestäm 4x + 3 + x & dx Lösning: )*+, dx = 2 &* dx + 3 - dx = 2 ln + -+*. -+*. -+*. x& + 3 arctan x + C b) Bestäm x & sin 3x dx Ledning: Upprepad partiell integration ger *. ;<=,*, + &* =>?,* @ + & ;<=,* &A + C c) Bestäm e *. 4x dx Lösning: e *. 4x dx = 2 e *. 2x dx = Kedjeregeln baklänges = 2e *. + C
2. Låt f x = *O +) &*. a) Bestäm samtliga asymptoter. Ledning: Gränsvärdesstudier ger asymptoter x = 0 oc y = * & b) Bestäm samtliga stationära punkter. Ledning: Teckenstudium av derivat ger en lokal minimipunkt x = 2 c) Skissa grafen. 3. Bestäm största oc minsta värde för f x = 3xȮ x + inom det slutna intervallet x 27, 8 Ledning: Tre ändpunkter, två stationära punkter oc två singulära punkter studeras. Av dessa sju sammanfaller några så i praktiken blir det fem olika punkter. Största värde = 5 i stationära punkten x = 8 oc minsta värde = i singulära punkten x = 0 (derivata saknas i denna punkt)
4. Låt f x = sin x + cos x + 3x a) Visa att f x är strängt växande Ledning: Man visar exempelvis att förstaderivatan är positiv för alla x- värden b) Bestäm inversens derivata f X- 3π Ledning: Symmetri i y = x utnyttjas os funktion oc invers. Eftersom att just f π = 3π beräknas f π = 2 oc symmetri ger att f X- 3π = - & 5. a) Visa med jälp av invers att f x = arcsin x ar derivatan f x = x & Ledning: y = arcsin x Invers ger sin y = sin arcsin x sin y = x Ledvis derivering med avseende på x ger Alltså gäller att cos y dy dx = dy dx = cos y = sin & y = x & f x = x & b) Bestäm f x för f x = e =>?.,* Ledning: Kedjeregeln ger x = e =>?,*. 2 sin 3x cos 3x 3 = 6 sin 3x cos 3x e =>?.,* 6. a) Visa med jälp av derivatans definition att funktionen är deriverbar i = 2 f x = x& + 8x för x 2 x, + 2 för x < 2
Ledning: 2 = 2 oc derivatans definition ger för denna punkt lika värde från båda ållen: x, + 2 2 & + 8 2 lim * & c x 2 x & + 8x 2 & + 8 2 lim * & e x 2 = = 2 = = 2 b) Visa med jälp av derivatans definition att x = e *. ar derivatan f x = 2xe *. Lösning: f f x f x + x e *+g. e *. e *.+&*g+g. e *. e *. e &*g+g. e *. e g &*+g e *. e g &*+g 2x + 2x + 2x + e *. e g &*+g 2x + - = 2xe *. Notera att denna derivata baklänges ger primitiv funktion i uppgift c) 7. En tunna med formen av en rak cirkulär cylinder skall tillverkas av m 2 plåt som skall räcka till två cirkulära bottenytor oc en mantelyta. Bestäm cylinderns maximala volym.
Ledning: bottenyta = B = πr & omkretsen = O = 2πr mantelytan = M = bottenytor = 2πr & öjden = = mantelytan omkretsen = 2πr& 2πr volym = V r = B = πr & 2πr& 2πr = r 2 πr, V r = 2 3πr& V r = 0 ~ r = ± Teckenstudium eller andraderivata ger maximal volym för V r = B = πr & 2πr& 2πr r = ~ V = π & 2π 2π & = π 3 2π = 0,077 m, 3