TFEI0: Vågfysik Tentamen 14100: Svar och anvisningar Uppgift 1 a) Vågen kan skrivas på formen: vilket i vårt fall blir: s(x,t) =s 0 sin t π T x + α λ s(x,t) = cos [π (0,4x/π t/π)+π/3] Vi ser att periodtiden är T =1/π s, vilket ger frekvensen f = π Hz. Våglängden är λ = π/0,4 m 7,9 m. Utbredningshastigheten blir: v = fλ = π /0,4 m/s 5 m/s Eftersom vi har olika tecken på t- och x-termerna i argumentet så följer det att vågen utbreder sig i positiv x-riktning. Svar: Frekvens: 3,1 Hz, våglängd 7,9 m. Hastighet: 5 m/s i positiv x-led. b) Hastigheten för en punkt x 0 där vågen utbreder sig fås genom derivering av läget: v = s t Vi ser att vid (x,t) =(,1) har vi: Svar: 96 cm/s =1,6sin(0,8x t + π/3) m/s 1,6sin(1,6 +π/3) = 96 cm/s c) Utbredningshastigheten för en våg beror på mediet. Det spelar alltså ingen roll hur fort man rör handen. 1
Uppgift a) För en tunn positiv lins gäller och förstorningen, M är: Bildavståndet fås genom: 1 f = 1 a + 1 b M = b a 1 b = 1 f 1 a = 1 75 10 3 m 1 1 7 m 1 så att b =7,5 cm. Förstorningen är 0,075/7 = 0.00785 där minustecknet beror på att bilden blir uppochnedvänd. Vi får nu höjden av bilden: 1,80 M =1,80 0.00785 m = 0,008 m =,8mm. Svar:,8 mm. b) Med beteckningar enligt figuren nedan har vi: β = 55, α 1 = 90 β = 35 l = l 1 + l =,00 m l 1 =0,50 m, l =1,50 m n 1 = 1, n =1,33 där vi söker sträckan D = L + x. Vi ser att: tan α 1 = x l 1 x = l 1 tan α 1 Snells lag ger: Alltså har vi: Svar: 1,07 m tan α = L l L = l tan α n 1 sin α 1 = n sin α α = arcsin D = l tan n1 sin α 1 n n1 arcsin sin α 1 + l 1 tan α 1 =1,07 m n
Uppgift 3 a) Vi har följande samband för en mottagare (m) som rör sig mot respektive ifrån en stillastående sändare (s): v ( v m ) f 1 = f 0 v v v m f = f 0 v Vilket ger sambandet: v + v m = f 1 = α v v m f där vi infört beteckningen α för att underlätta räkningarna. Vi löser ut v m : Svar: 38 m/s αv αv m = v + v m v m (α + 1) = v(α 1) v m = v α 1 38 m/s α +1 b) Två högtalare som är uppställda i punkterna (-1,0) och (1,0) m sänder ut ljudvågor i fas. I punkten P med koordinaterna (0,3) m registreras ljudintensitetsnivån 60 db. Ena högtalaren stängs nu av. Hur stor är tryckamplituden för den ljudvåg som nu registreras i P? Antag att lufttemperaturen är 0 och normalt atmosfärstryck. ( p) Vi tecknar tryckamplituden p då båda högtalarna i ljuder. Sambandet: I = p Z p = ZI Då endast en av högtalarna ljuder blir tryckamplituden p/. Intensiteten I relateras till ljudintensitetsnivån, L enligt: Vi löser ut intensiteten: L = 10 log I I 0, I 0 = 10 1 W/m I = 10 L/10 I 0 = 10 60/10 10 1 W/m = 10 6 W/m Med hjälp av akustiska impedansen för luft: Trycket p blir då: Z = ρv =1, 340 Ns/m 3 = 408 Ns/m 3 p = 408 10 6 Pa = 8,6mPa Trycket då endast en högtalare ljuder blir alltså: 8,6/ = 14,3 mpa. Svar: 14,3 mpa 3
Uppgift 4 a) Upplösningskriteriet ger den kritiska vinkeln θ k enligt: sin θ k = 1,λ D som vi kan teckna med rent geometriska hänsynstaganden som: tan θ k = x L där L är avståndet till flygplanet och x är den önskade upplösningen. Vi ser att θ k x/l eftersom vinkeln är så liten och första ekvationen ger nu våglängden: λ = D x 1,L = 305 och slutligen frekvensen: Svar: 91 GHz f = 1,cL Dx = 91 GHz b) Se diskussionen i kursboken s6. För sfäriska speglar där brännvidden är liten i förhållande till parabolens radie som träffas av parallella strålar kommer inte randstrålar att skära optiska axeln på samma ställe som paraxiala strålar. Däremot kan detta uppnås med en parabolisk spegel. c) Se s85 i kursboken, och särskilt figur 5.5 4
Uppgift 5 a) Antag att 1,0 dm ifrån ett strålande röntgenrör är intensiteten 1 MW/m. Hur stor är intensiteten 1,0 m ifrån källan? ( p) Kalla intensiteten på avståndet 1,0 dm I 0. Vi tänker oss att effekten fördelas på en del av en sfärisk yta med radie R =0,10 m, så att intensiteten blir: I 0 = P 4πR0 och vi får P = I 0 4πR0.Dennaeffektfördelas nu på en sfär med radie R, vilket ger: I(R) = P 4πR = I 4πR0 0 4πR = I R0 0 R Eftersom (R 0 /R) =(0,10/1,0) =0,01 får vi I(1)=10 kw/m. Svar: 10 kw/m b) För dämpad svängning gäller att intensiteten: I = I 0 e γt Vi eftersom t = s/v kan vi skriva om detta som: I = I 0 e αs där α = γ/v är en okänd dämpningskonstant. Intensiteten avtar till hälften efter sträckan s = s 1/ vilket göra att vi kan bestämma konstanten ur: dvs 0,5I 0 = I 0 e αs 1/ α = ln s 1/ Vi kan nu lösa ut sträckan s som funktion av I och får: Då I/I 0 =1/10 får vi: s = ln(i/i 0) α = ln(i/i 0 ) s 1/ ln Svar: 6,5 cm s = ln 10 0,0188 = 6,5 cm ln 5
Uppgift 6 a) För att bestämma brytningsindex för en viss vätska utförs ett dubbelspaltexperiment med röd He-Ne-laser (våglängd 63,8 nm). Avståndet mellan gittret och skämen är 10,0 cm. Om lasern belyser gittret under vinkelrätt infall i luft blir avståndet mellan nollte och första ordningens maximum 1,0 mm. Då uppställningen nedsänks i vätskan och försöket upprepas blir motsvarande avstånd 8,5 mm. Beräkna vätskans brytningsindex. ( p) Brytningsindex kan vi defniera som: För dubbelspalten gället sambandet: som kan skrivas: n = λ 0 λ d sin θ = mλ d sin θ = m λ n m =1för första ordningens maximum. Om vi sätter x 0 för sträckan mellan nollte och första ordningens maximum då försöket utförs i luft kan vi lösa ut motsvarande vinkel: x0 θ 0 = arctan x 0 L L där uppskattningen görs för små vinklar. Vidare har vi för små vinklar att: θ 0 = λ 0 d så att: λ 0 = dθ 0 = d x 0 L Medan då försöket utförs i vätskan har vi: Brytningsindex får nu som: Svar: 1,4 λ = dθ = d x L n = λ 0 λ = x 0 x = 1 8,5 =1,4 6
b) Vi har sambandet: v = F µ Eftersom f = v/λ och våglängden är samma för de båda gitarrerna har vi att: F f µ Vi kallar den lägre frekvensen f 1 och den högre frekvensen f.dåsvävning uppstår med frekvens f gäller att: f = f f 1 Det vi söker är alltså f. Vi betraktar nu gitarren som stäms. Vi vet kvoten mellan den gamla och nya dragspänningen är: Denna kvot kan också skrivas: q = q = F F =1,05 f f 1 Vi löser nu ut den söka frekvensen: f = f f q(f f) =f f ( q 1) = qf vilket innebär att: q 1,05 f = f =4 Hz = 36 Hz q 1 1,05 1 Svar: 36 Hz 7