Funktionsserier och potensserier Viktiga exempel på funktionsföljder är funktionsserier. Summan s(x) av f k (x) definieras som gränsvärdet av partialsummorna s n (x) = n f k (x) för varje fixt x I. Serien konvergerar likformigt mot s(x) i intervallet I om s n (x) konvergerar mot s(x) likformigt där. Weierstrass majorantsats: Om det finns en konvergent talserie a k sådan att f k (x) a k för alla k och alla x I, så konvergerar funktionsserien f k (x) likformigt i intervallet I. x Ex : Visa att serien + k 2 x 2 konvergerar i intervallet [a, [, där a 0, och att konvergensen är likformig om a > 0 men ej om a = 0. Satserna om likformig konvergens från förra gången kan direkt översättas till funktionsföljder:
SATS. Om f k är kontinuerliga f(x) = f k (x) konvergerar likformigt, så är f(x) kontinuerlig. SATS. Om f k är kontinuerliga och funktionsserien så är b f k (x) konvergerar likformigt i [a, b], a f k(x) dx = b a f k (x) dx. SATS. Om f k är kontinuerligt deriverbara, funktionsserien f k (x) konvergerar och konvergerar likformigt, så är f k (x) = f k (x) för alla x I. f k (x) Ett specialfall av s k funktionsserier är potensserier: f(x) = a k (x x 0 ) k.
Vi kan betrakta reella potensserier där, a k, x, x 0 R eller komplexa potensserier där a k, x, x 0 C. I det sistnämnda fallet skriver man oftare z i stället för x. En potensserie kan betraktas som en sorts oändligt Taylorpolynom. I själva verket kan alla satser om utveckling av vanliga elementära funktioner översättas till serier, t ex e x = k! xk, ln( + x) = ( ) k x k. k Potensserier är i många avseenden lättare att använda än Taylorpolynom, eftersom man slipper resttermen. Man måste dock komma ihåg att man i stället blir tvungen att hålla reda på konvergensen. I exemplet ovan så konvergerar serien för e x för alla x, medan serien för ln( + x) divergerar för x >. Vi låter nu x 0 = 0, eftersom det allmänna fallet kan reduceras till detta genom variabelbyte. Vi betraktar både reella och komplexa serier (som inte är svårare och på många sätt mer naturligt).
SATS. Mängden M av punkter z C där en given potensserie konvergerar är en öppen cirkelskiva med centrum i origo och radie r samt delar av cirkelskivans rand. Observera att fallen r = och r = 0 är möjliga. I det reella fallet talar man i stället om potensseriens konvergensintervall. Detta intervalls ändpunkterna ligger symmetriskt runt origo. Det finns fyra olika möjligheter: [ r, r], [ r, r[, ] r, r], ] r, r[, Ex 2. 2 k x k, Ex 3. k 2 ( 3 ) k x k, Ex 4. k x k, Ex 5. k!x k. Talet r ovan kallas seriens konvergensradie, och kan i många fall beräknas m h a Cauchys rotkriterium eller d Alemberts kvotkriterium: SATS. r = lim k a k /k = lim k a k a k+. (Om motsvarande gränsvärden existerar.)
Polynom är ofta enklare att räkna med än allmänna funktioner. Poängen med potensserier kan sammanfattas: Potenserier fungerar i stort sett som polynom inom konvergensmängden. Några användbara exempel på polynomliknande egenskaper hos potensserierserier: I. Potensserier är oändligt deriverbara (i M). II. Potensserier kan deriveras termvis (i M). III. Potensserier kan integreras termvis (i M). IV. Potensserier multipliceras som polynom. V. Två serier är lika koefficienterna är lika. Ex 6. Bestäm potensserien till f(z) = ( z) 2. I stort sett alla vanliga funktioner som är oändligt deriverbara i origo kan skrivas som potensserier. Däremot är det ovanligt att en potensserie kan summeras till en explicit funktion. Här följer några exempel där serien kan beräknas: Ex 7. kz k = z kz k = z D(z k ) = zd ( z k) = zd ( ) z z = z ( z) 2. Ex 8. f(z) = 2 k k+2 zk, f(z) = ( ) k k+ z2k.