Reglerteknik AK, Period 2, 213 Föreläsning 12 Jonas Mårtensson, kursansvarig
Sammanfattning Systembeskrivning Reglerproblemet Modellering Specifikationer Analysverktyg Reglerstrukturer Syntesmetoder Implementering
Systemet Ett fysikaliskt system som behöver styras
Reglerproblemet Stabilitet, robusthet Följ en referens Minska inverkan av störningar Ändra systemegenskaper med återkoppling
Modellering Signaler y = vad vi vill styra u = vad vi kan styra med v = störningar z = mätsignaler n = mätstörning
Modellering Differentialekvationer insignal/utsignal x = f x, u y = g(x, u) lllllllllllll x = AA + BB y = CC + DD y + a 1 y + a 2 y + a 3 y = b 1 u + b 2 u + b 3 u LLLLLLL Y s = G s U(s) G s = C ss A 1 B + D, G s = b 1s 2 + b 2 s + b 3 s 3 + a 1 s 2 + a 2 s + a 3
Frekvenstolkning u t = sin(ωω) y t = G ii sin (ωω + arg G(ii)) 5 Bode Bode Diagram Nyquist Nyquist Diagram Magnitude (db) -5-1 -9 Imaginary Axis -2-4 -6-8 -1 Phase (deg) -135-12 -14-18 1-2 1-1 1 1 1 1 2 Frequency (rad/s) -16-1.2-1 -.8 -.6 -.4 -.2 Real Axis
Poler - stabilitet Poler till G(s) är samma som egenvärden till A i x = AA + BB Amplitude Amplitude Amplitude Step Response 1.5 5 Time (seconds) Step Response 1 5 5 Time (seconds) Step Response 5 5 Time (seconds) Imaginary Axis (seconds -1 Imaginary ) Axis (seconds -1 Imaginary ) Axis (seconds -1 ) 1 Pole-Zero Map Amplitude -1-2 2 Real Axis (seconds -1 ) Pole-Zero Map 1 Amplitude -1-2 2 Real Axis (seconds -1 ) Pole-Zero Map 1 Amplitude -1-2 2 Real Axis (seconds -1 ) Step Response.1.5 5 Time (seconds) Step Response.2.1 5 Time (seconds) Step Response 5-5 5 Time (seconds) Imaginary Axis (seconds -1 Imaginary ) Axis (seconds -1 Imaginary ) Axis (seconds -1 ) 5 Pole-Zero Map -5-2 2 Real Axis (seconds -1 ) Pole-Zero Map 5-5 -2 2 Real Axis (seconds -1 ) Pole-Zero Map 5-5 -2 2 Real Axis (seconds -1 )
Rotort Poler som funktion av parameter K r(t) Σ K G(s) y(t) 1 G s = Q(s) P(s) G cc (s) = KK(s) P(s) + KK(s)
Rotort, G s = s s+2 K(s+4) s+1 +K(s+4) Root Locus 1 5 Imaginary Axis (seconds -1 ) -5-1 -4-3.5-3 -2.5-2 -1.5-1 -.5 Real Axis (seconds -1 )
Nyquistkriteriet N P = 1 2π vvv arg γ(1 + G o ) Antal poler i HHP för G cc antal poler i HHP för G o = antal varv som kurvan cirklar kring punkten 1 G = s + 4 s(s + 1)(s + 2) 2 1.5 1.5 G o 3 2 1 G o stabil, inga omcirklingar G cc stabil -.5-1 -1.5-1 -2-2.5 1 1.5 2-3 -2-1 1 2
Förenklat Nyquistkriterium Antag G o stabil. Då är G cc stabil om punkten 1 ligger till vänster om Nyquistkurvan G ii, ω,. G = 2( s+4) s(s+1)(s+2) G =.5( s+4) s(s+1)(s+2) 1.2-1 -.2 -.4-2 -.6-3 -4 Instabil -.8-1 Stabil -5-6 -5-4 -3-2 -1 1-1.2-1.4-1.2-1 -.8 -.6 -.4 -.2.2
Stabilitetsmarginaler Skärfrekvens ω c : G iω c = 1 Fasmarginal φ m : arg G iω c + 18 o Amplitudmarginal A m = 1/ G iω p Nyquist Diagram Bode Diagram 1.5 Magnitude (db) 5-5 -1 Imaginary Axis -.5-15 -45-1 Phase (deg) -9-135 -18-1.5-1 -.5.5 1 1.5 2 Real Axis -225-27 1-2 1-1 1 Frequency (rad/s)
Specifikationer i tidsplanet r(t) e(t) Σ F(s) G(s) y(t) 1 Steg i referenssignalen, r t = 1 1.4 1.2 1 Step Response Stigtid T r Översläng M Stationärt fel e o Amplitude.8.6.4.2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 Time (seconds)
Specifikationer i frekvensplanet Överföringsfunktion från r y Bode Diagram 2 Önskemål: G c ii = 1, ω Statiskt fel: e o = 1 G c Resonanstopp: M p Bandbredd: ω B Magnitude (db) -2-4 -6-8 -1 1-1 1 Frequency (rad/s)
Översättning till krav på GG Skärfrekvens: ω c ω B Fasmarginal: M p 1 φ m Statisk förstärkning G c 1 G o Magnitude (db) 5-5 Bode Diagram System: G Frequency (rad/s):.778 Magnitude (db):.11-1 -9 Phase (deg) -135-18 1-2 1-1 1 1 1 1 2 Frequency (rad/s)
Specifikationer Stigtid bandbredd skärfrekvens Översläng resonanstopp fasmarginal Statiskt fel statisk förstärkning=1 statisk förstärkning=
Robusthetskriteriet Verkliga system är komplicerade Relativt modellfel ΔG G o = G (1 + ΔG) F stabiliserar G o om Δ G ii < 1 T ii ω r(t) e(t) Σ F(s) G(s) y(t) 1
Specifikationer r F r Σ G v Σ y F y Σ n Slutna systemet r y: G c = GF r 1+GF y Känslighetsfunktionen v y: S = 1 1+GF y Kompl. känslighetsf. n y: T = GF y 1+GF y
Prestandabegränsningar 5 S s + T s = 1 Bode Diagram 5 log S ii dd = Bode Diagram -5 Magnitude (db) -1-15 -2-25 Magnitude (db) -5-1 -3-35 -15-4 1-1 1 1 1 Frequency (rad/s) -2.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 Frequency (rad/s)
Reglerdesign r(t) e(t) Σ F(s) G(s) y(t) 1 PID-regulator (ideal) Lead/lag F s = K P + K I s + K Ds F s = K τ Ds + 1 τ I s + 1 ββ D s + 1 τ I s + γ 1. Bestäm önskad skärfrekvens ω c, justeras med K 2. Kontrollera fasmarginal vid ω c, inför lead-länk vid behov 3. Insvängning och stationärt fel, inför lag-länk för att öka lågfrekvensförstärkningen 4. Iterera 1-3 vid behov, ibland krävs flera lead/lag-länkar
PD/lead PI/lag 6 Bode Diagram 6 Bode Diagram Magnitude (db) 5 4 3 2 τ D s + 1 ββ D s + 1 Magnitude (db) 5 4 3 2 välj γ τ I s + 1 τ I s + γ 1 1 justera τ I 9 Phase (deg) 45 välj β Phase (deg) -45 1-2 1-1 1 1 1 1 2 1 3 Frequency (rad/s) justera τ D -9 1-3 1-2 1-1 1 1 1 1 2 Frequency (rad/s)
Tillståndsåterkoppling Polplacering Observatör Återkoppling x = AA + BB y = CC u = LL + l r x = A BB x + Bl o r det ss A BB = x = Ax + BB + K y Cx det ss A KK = u = L x + l r
Tillståndsteori Styrbarhet och observerbarhet - polplacering Separationsprincip för återkoppling och observatör Observatör påverkar inte G c (dock transient) Observatör påverkar S och T Lösning till tillståndsekvationer x t = e AA x + e A t τ BB τ dd t e AA = L 1 { ss A 1 }
Framkoppling och återkoppling F f (s) Σ H(s) v(t) r(t) e(t) Σ F(s) Σ G(s) Σ y(t) 1 Reglerfelet E = 1 GF f SS 1 GG SS Välj F f 1/G och H 1/G G går inte alltid att invertera, invertera det som går
Kaskadreglering Inre loop snabbare ( 1) Exemplevis aktuatordynamik r(t) Σ F 1 Σ F 2 G 2 G 1 y(t) 1 1
Direkt syntes / IMC (Internal Model Control) r(t) Σ G c G G y(t) G Σ 1 G c = önskat slutet system, tex 1/(λλ + 1) Om G = G => ingen återkoppling (om ingen störning) F = 1 G 1 G c Invertera det som går av G G c måste innehålla icke inverterbar del av G G c
Implementering Samplat system, fasförsämring e ss Sampla 2 ggr snabbare än bandbredden Derivataapproximation x t 1 (x t x t T ) T 1 q 1 Operatorer p 2 T 1+q 1 (Tustin) Nyquistfrekvens ω s /2 Förfilter innan sampling