OH till Föreläsning 5, Numme K2, Läsa mellan raderna. Allmän polynom-interpolation, S Ch 3.1.0

Relevanta dokument
OH till Föreläsning 5, Numme K2, GNM Kap 4-4.4A / GKN Kap 4.1A,(D),E Interpolation. Läsa mellan raderna. Allmän polynom-interpolation

Interpolation Modellfunktioner som satisfierar givna punkter

Interpolation. 8 december 2014 Sida 1 / 20

OH till Föreläsning 15, Numme K2, God programmeringsteknik

Föreläsning 5. Approximationsteori

Kurvanpassning. Kurvanpassning jfr lab. Kurvanpassning jfr lab

Polynomanpassning i MATLAB

OH till Föreläsning 14, Numme I2, God programmeringsteknik

Numerisk Analys, MMG410. Lecture 12. 1/24

OH till Föreläsning 12, NumMet O1, God programmeringsteknik

Del I: Lösningsförslag till Numerisk analys,

Numerisk Analys, MMG410. Lecture 13. 1/58

Teorifrågor. 6. Beräkna konditionstalet för en diagonalmatris med diagonalelementen 2/k, k = 1,2,...,20.

Lösningar till Tentamen i Beräkningsvetenskap II, 5.0 hp, Del A. 1. (a) ODE-systemet kan skrivas på formen

Sammanfattning (Nummedelen)

NUMPROG, 2D1212, vt Föreläsning 1, Numme-delen. Linjära ekvationssystem Interpolation, Minstakvadratmetoden

LAB 3. INTERPOLATION. 1 Inledning. 2 Interpolation med polynom. 3 Splineinterpolation. 1.1 Innehåll. 3.1 Problembeskrivning

Tentamen del 1 SF1546, , , Numeriska metoder, grundkurs

Tentamen, del 2 Lösningar DN1240 Numeriska metoder gk II F och CL

0.31 = f(x 2 ) = b 1 + b 2 (x 3 x 1 ) + b 3 (x 3 x 1 )(x 3 x 2 ) = ( ) + b 3 ( )(

Ansvariga lärare: Yury Shestopalov, rum 3A313, tel (a) Problem 1. Använd Eulers metod II (tre steg) och lös begynnelsevärdesproblemet

Uppgift 1 R-S. Uppgift 2 R-M. Namn:...

Denna föreläsning. DN1212 Numeriska metoder och grundläggande programmering FN Felfortplantning och kondition

Omtentamen i DV & TDV

a = a a a a a a ± ± ± ±500

DN1212 Numeriska Metoder och Grundläggande Programmering DN1214 Numeriska Metoder för S Lördag , kl 9-12

f(x) = x 2 g(x) = x3 100 h(x) = x 4 x x 2 x 3 100

Approximerande Splines. B-splines. Minsta kvadrat anpassning. Design av kurvor och ytor.

9 Skissa grafer. 9.1 Dagens Teori

Föreläsning 8, Numme i2,

Varning!!! Varning!!!

Gamla tentemensuppgifter

KTH 2D1240 OPEN vt 06 p. 1 (5) J.Oppelstrup

5 Om f (r) = 0 kan andraderivatan inte avgöra vilken typ av extrempunkt det handlar om. Återstår att avgöra punktens typ med teckenstudium.

Numeriska metoder för fysiker Lördag , kl 10-14

TANA09 Föreläsning 8. Kubiska splines. B-Splines. Approximerande Splines. B-splines. Minsta kvadrat anpassning. Design av kurvor och ytor.

Moment 1.15, 2.1, 2.4 Viktiga exempel 2.2, 2.3, 2.4 Övningsuppgifter Ö2.2ab, Ö2.3. Polynomekvationer. p 2 (x) = x 7 +1.

Sidor i boken f(x) = a x 2 +b x+c

Linjär Algebra och Numerisk Analys TMA 671, Extraexempel

Lösningar tentamen i kurs 2D1210,

Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Bo Styf. Genomgånget på föreläsningarna

Tentamen i Beräkningsvetenskap II, 5.0 hp,

SF1513 NumProg för Bio3 HT2013 LABORATION 4. Ekvationslösning, interpolation och numerisk integration. Enkel Tredimensionell Design

f(x) = x 2 g(x) = x3 100

Crash Course Envarre2- Differentialekvationer

Icke-linjära ekvationer

Laboration 6. Ordinära differentialekvationer och glesa system

Fö4: Kondition och approximation. Andrea Alessandro Ruggiu

TANA09 Föreläsning 5. Matrisnormer. Störningsteori för Linjära ekvationssystem. Linjära ekvationssystem

Linjära differentialekvationer av andra ordningen

TANA19 NUMERISKA METODER

Tentamen i Beräkningsvetenskap II, 5.0 hp,

Polynomekvationer. p 2 (x) = x x 3 +2x 10 = 0

1 Addition, subtraktion och multiplikation av (reella) tal

Akademin för utbildning, kultur och kommunikation MMA132 Numeriska Metoder Avdelningen för tillämpad matematik Datum: 2 juni 2014

Tentamen del 1 SF1511, , kl , Numeriska metoder och grundläggande programmering

Fler uppgifter på andragradsfunktioner

TATA42: Föreläsning 9 Linjära differentialekvationer av ännu högre ordning

Sammanfattning av ordinära differentialekvationer

8.5 Minstakvadratmetoden

Rapportexempel, Datorer och datoranvändning

Kurvor och ytor. Gustav Taxén

Frågorna 1 till 6 ska svaras med sant eller falskt och ger vardera 1

Polynomekvationer. p 2 (x) = x x 3 +2x 10 = 0

Dagens tema är exponentialfunktioner. Egentligen inga nyheter, snarare repetition. Vi vet att alla exponentialfunktioner.

Envariabelanalys 5B1147 MATLAB-laboration Derivator

DN1212 för M: Projektrapport. Krimskramsbollen. av Ninni Carlsund

TANA17 Matematiska beräkningar med MATLAB för M, DPU. Fredrik Berntsson, Linköpings Universitet. 26 november 2015 Sida 1 / 28

DN1212+DN1214+DN1215+DN1240+DN1241+DN1243 mfl Tentamen i Grundkurs i numeriska metoder Del 2 (av 2) Lördag , kl 9-12

x+2y+3z = 14 x 3y+z = 2 3x+2y 4z = 5

SF1625 Envariabelanalys

Flervariabelanalys E2, Vecka 3 Ht08

Tentamen i Teknisk-Vetenskapliga Beräkningar

SF1669 Matematisk och numerisk analys II Lösningsförslag till tentamen DEL A. r cos t + (r cos t) 2 + (r sin t) 2) rdrdt.

% Föreläsning 3 10/2. clear hold off. % Vi börjar med att titta på kommandot A\Y som löser AX=Y

Kort sammanfattning av Beräkningsvetenskap I. Varning!!! Varning!!!

Tentamen i Beräkningsvetenskap II, 5.0 hp,

Tentamen i Beräkningsvetenskap II, 5.0 hp,

Tentamen i Beräkningsvetenskap II, 5.0 hp,

Denna föreläsning. DN1212 Numeriska metoder och grundläggande programmering FN Runge-Kuttas metoder. Repetition av FN6 (GNM kap 6.

Polynomekvationer (Algebraiska ekvationer)

TENTAMEN I LINJÄR ALGEBRA OCH NUMERISK ANALYS F1/TM1, TMA

DN1212+DN1214+DN1215+DN1240+DN1241+DN1243 mfl Lördag , kl 9-12 Tentamen i Grundkurs i numeriska metoder Del 1 (av 2)

Repetition kapitel 1, 2, 5 inför prov 2 Ma2 NA17 vt18

Polynomanpassningsprogram

Denna föreläsning. DN1212 Numeriska metoder och grundläggande programmering FN Standardform för randvärdesproblem

2D1210, Numeriska Metoder, GK I för V 2.

Laboration 4: Lineär regression

3.6 De klassiska polynomens ortogonalitetsegenskaper.

f(a + h) = f(a) + f (a)h + f (θ) 2 h2, θ [a, a + h]. = f(a+h) f(a)

F 4 Ch Numerisk integration, forts.; Ch.4 Numerisk derivering.

Fel- och störningsanalys

Teori och teori idag, som igår är det praktik som gäller! 1 (Bokens nr 3216) Figur 1:

Lösningsanvisningar till vissa av de icke obligatoriska workout-uppgifterna i Beräkningsvetenskap II

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen Lördagen den 5 juni, 2010 DEL A

Dagens teman. Linjära ODE-system av ordning 1:

Medan du läser den är det meningen och viktigt att du ska aktivera de celler där det står Mathematicakommandon(i fetstil).

6 Derivata och grafer

Numeriska metoder. Kompendiet. Lektor: Yury Shestopalov. Tel Karlstads Universitet

Transkript:

OH till Föreläsning 5, Numme K2, 181119 S Ch 3-34, GNM Kap 4-44A / GKN Kap 41A,(D),E Interpolation x y 1900 3822 1910 3982 1920 4281 1930 4302 1940 4042 1950 3922 1960 3921 1970 3940 1980 3960 1990 3980 Läsa mellan raderna 1900 1920 1940 1960 1980 2000 Allmän polynom-interpolation, S Ch 310 Välj ett lämpligt gradtal till polynomet och välj ut nödvändigt antal tabellvärden(eller tag alla tabellvärdena och låt gradtalet bestämmas av det) Bestäm sedan polynomets koefficienter genom att låta polynomet gå igenom de utvalda tabellvärdena, p(x i ) = y i Linjär interpolation, S Ch 311, GNM sid (5)2 - GKN sid 134ff Sökt värde är y(1925) Linjär interpolation (approximation med en rät linje) kräver två givna punkter 1925 ligger mellan 1920 och 1930: y = kx+m y 1 = kx 1 +m y 2 = kx 2 +m 4281 = k1920+m 4302 = k1930+m k = 21 m = 249 y(1925) = k1925+m = = 21 1925+249 = = 40425+249 = 42915 Kvadratisk interpolation, S Ch 311, GNM sid (5)3 Sökt värde är y(1925) Kvadratisk interpolation (approximation med ett andragradspolynom) kräver tre givna punkter eftersom ett andragradspolynom har tre koefficienter 1925 ligger mellan 1920 och 1930, jag väljer x 1 = 1920, x 2 = 1930 och x 3 = 1940: y = c 1 +c 2 x+c 3 x 2 y 1 = c 1 +c 2 x 1 +c 3 x 2 1 y 2 = c 1 +c 2 x 2 +c 3 x 2 2 y 3 = c 1 +c 2 x 3 +c 3 x 2 3 4281 = c 1 +c 2 1920+c 3 1920 2 4302 = c 1 +c 2 1930+c 3 1930 2 4042 = c 1 +c 2 1940+c 3 1940 2 c 1 = 5206119 c 2 = 541135 y(1925) = c 1 +c 2 1925+c 3 1925 2 = 5206119+541135 1925+( 1405) 1925 2 = = 5206119 + 1041684875 5206403125 = 4326625 1 1920 19202 1 1920 3686400 A = 1 1930 1930 2 = 1 1930 3724900 = κ(a) = 29 10 11 1 1940 1940 2 1 1940 3763600 1940 ligger lika långt från 1925 som 1910 Hade jag valt x 1 = 1920, x 2 = 1930 och x 3 = 1910 hade jag fått c 1 = 5150535, c 2 = 53536 och c 3 = 139 vilket ger y(1925) = c 1 +c 2 1925+c 3 1925 2 = = 5150535+53536 1925+( 139) 1925 2 = 5150535+10305680 515081875= 432625 Nya koefficienter och ett lite annat svar! 1

Kvadratisk interpolation med centrering Med x 1 = 1920, x 2 = 1930 och x 3 = 1940 kan jag centrera kring medelvärdet m = 1930 y = c 1 +c 2 (x m)+c 3 (x m) 2 4281 = c 1 +c 2 (1920 1930)+c 3 (1920 1930) 2 4302 = c 1 +c 2 (1930 1930)+c 3 (1930 1930) 2 4042 = c 1 +c 2 (1940 1930)+c 3 (1940 1930) 2 c 1 = 4302 c 2 = 1195 y(1925) = c 1 +c 2 (1925 1930)+c 3 (1925 1930) 2 = = 4302+( 1195) (1925 1930)+( 1405) (1925 1930) 2 = 4302+5975 35125 = 4326625 1 1920 1930 (1920 1930) 2 1 10 100 A = 1 1930 1930 (1930 1930) 2 = 1 0 0 = κ(a) = 14 10 2 1 1940 1930 (1940 1930) 2 1 10 100 Hade jag valt x 1 = 1920, x 2 = 1930, x 3 = 1910 och m = 1920 hade jag fått c 1 = 4281, c 2 = 16 och c 3 = 139 vilket ger y(1925) = c 1 +c 2 (1925 1920)+c 3 (1925 1920) 2 = 4281+16 (1925 1920)+ ( 139) (1925 1920) 2 = 4281+80 3475 = 432625 Nya koefficienter (förutom högstagradskoefficienten)men samma svar! (Numreringen av x i spelar här ingen roll Vi hade fått exakt samma koefficienter om vi hade tagit tex x 1 = 1910, x 2 = 1920 och x 3 = 1930) Oavsett vilka punkter jag valt får jag mycket snällare siffror vid centrerad än naiv ansats! Kvadratisk interpolation med Newtons ansats, S Ch 312, GNM(5)4, GKN 135 Ett alternativ till centrering är Newtons fiffiga ansats Koefficienterna bestäms som vanligt med p(x i ) = y i Med x 1 = 1920, x 2 = 1930 och x 3 = 1940 (och y 1 = 4281, y 2 = 4302 och y 3 = 4042) får jag p(x) = c 1 +c 2 (x x 1 )+c 3 (x x 1 ) (x x 2 ) p(x) = c 1 +c 2 (x 1920)+c 3 (x 1920) (x 1930) 4281 = c 1 +c 2 (1920 1920)+c 3 (1920 1920) (1920 1930) = c 1 4302 = c 1 +c 2 (1930 1920)+c 3 (1930 1920) (1930 1930) = c 1 +10c 2 4042 = c 1 +c 2 (1940 1920)+c 3 (1940 1920) (1940 1930) = c 1 +20c 2 +200c 3 c 1 = 4281 c 2 = 21 A = y(1925) = c 1 +c 2 (1925 1920)+c 3 (1925 1920) (1925 1930) = = 4281+21 5+( 1405) 5 ( 5) = 4281+105+35125 = 4326625 1 0 0 Lättlöst ekvationssystem 1 10 0 = κ(a) = 20 10 2 Lågt konditionstal 1 20 200 Återanvändbara koefficienter Hade jag valt x 1 = 1920, x 2 = 1930, x 3 = 1910 och Newtons ansats hade jag fått p(x) = c 1 +c 2 (x x 1 )+c 3 (x x 1 ) (x x 2 ) p(x) = c 1 +c 2 (x 1920)+c 3 (x 1920) (x 1930) 4281 = c 1 +c 2 (1920 1920)+c 3 (1920 1920) (1920 1930) = c 1 4302 = c 1 +c 2 (1930 1920)+c 3 (1930 1920) (1930 1930) = c 1 +10c 2 3982 = c 1 +c 2 (1910 1920)+c 3 (1910 1920) (1910 1930) = c 1 10c 2 +200c 3 c 1 = 4281 c 2 = 21 c 3 = 139 y(1925) = c 1 +c 2 (1925 1920)+c 3 (1925 1920) (1925 1930) = = 4281+21 5+( 139) 5 ( 5) = 4281+105+3475 = 432625 2

Eftersom de två första punkterna i ansatsen var desamma blev ekvationerna likadana och koefficienterna därmed oförändrade Från och med den nya punkten får man nya koefficienter Dock är högstagradskoefficienten förstås densamma som vid naiva och centrerade ansatsen och vi känner igen svaret (Numreringen av x i påverkar koefficienternas värden men inte polynomets!) Hur bra är resultatet?, S Ch 312, GNM sid (5)6-7,16-17 - GKN sid 136 E trunk = Skillnaden mellan beräknat polynomvärde och rätta värdet Skillnaden mellan beräknat värde och det man får om man ökar gradtalet med ett första försummade termen i Newtons ansats (Inte vid naiv och centrerad ansats!) Specialfall : vid linjär IP i ekvidistant tabell blir E trunk max 2 y /8 vid kvadratisk IP i ekvidistant tabell blir E trunk max 3 y /15 E tab E y, dvs felgränsen i de givna tabellvärdena Exempel : vid linjär IP blir E tab = E y, vid kvadratisk IP blir E tab = 5/4E y Vårt exempel: Med linjär IP fick vi y(1925) = 42915 och med kvadratisk IP fick vi y(1925) = 4326625 Trunkeringsfelets gräns vid linjär IP skattas då till E trunk = 42915 4326625 = 35125 och osäkerheten pga fortplantade fel i indata till E tab = 1 E y = 05 Gränsen för beräkningsfelet är svårskattad men klart mindre om vi använt Newtons eller centrerad ansats än den naiva Eftersom trunkeringsfelets gräns är mycket större än tabelleringsfelets lönar det sig att öka gradtalet hos interpolationspolynomet Runges fenomen, S Ch 323, GNM sid (5)9 - GKN sid 139 Polynom av hög grad, speciellt vid ekvidistanta data, kan få kraftiga svängningar i ytterområdena x 1 y 1 k 1 x 2 y 2 k 2 x 3 y 3 k 3 Styckvis interpolation, S Ch 34, GKN sid 140 Olika polynom mellan varje punktpar Ett tredjegradspolynom har fyra koefficienter: p 1 (x) = c 1 +c 2 x+c 3 x 2 +c 4 x 3, x 1 x x 2 p 1 (x 1 ) = y 1 p 1 (x 2 ) = y 2 p 1 (x 1) = k 1 p 1 (x 2) = k 2 p 2 (x) = b 1 +b 2 x+b 3 x 2 +b 4 x 3, x 2 x x 3 p 2 (x 2 ) = y 2 p 2 (x 3 ) = y 3 p 2 (x 2) = k 2 p 2 (x 3) = k 3 Hermites interpolationsformel, GNM sid (5)10 & (5)20 - GKN sid 141 & 171! h i = x i+1 x i c i = (y i+1 y i )/(x i+1 x i ) P(x) = y i +c i (x x i )+ +(x x i )(x x i+1 )((k i+1 c i )(x x i )+(k i c i )(x x i+1 ))/h 2 i 3 4 1 5 2 1 6 3 25 Önskas y(42) blir det x i = 3 y i = 4 k i = 1 x i+1 = 5 y i+1 = 2 k i+1 = 1 = c i = (2 4)/(5 3) = 1 3

Skattningen blir y(x = 42): P(42) = 4+( 1) (42 3)+(42 3)(42 5)((( 1) ( 1))(42 3)+(1 ( 1))(42 5))/(2 2 ) = 3184 Vill man skatta y(x = 32): P(32) = 4+( 1) (32 3)+(32 3)(32 5)((( 1) ( 1))(32 3)+(1 ( 1))(32 5))/(2 2 ) = 4124 Vill man skatta y(52) måste man beräkna nya värden på h och c eftersom x = 52 ligger i nästa intervall Styckvis interpolation - splines, S Ch 341, GNM sid (5)12 - GKN sid 142 x y p 1 (x) = a 1 +a 2 x+a 3 x 2 +a 4 x 3 x 1 y 1 p 2 (x) = b 1 +b 2 x+b 3 x 2 +b 4 x 3 16 sökt x 2 y 2 x 3 y p 3 (x) = c 1 +c 2 x+c 3 x 2 +c 4 x 3 koefficienter! 3 x 4 y 4 p x x 1 2 x 3 x 4 x 4 (x) = d 1 +d 2 x+d 3 x 2 +d 4 x 3 5 x 5 y 5 Givna värden på funktionen i mätpunkterna och kontinuerlig första- och andraderivata ger villkoren p 1 (x 1 ) = y 1 p 1 (x 2 ) = y 2 p 2 (x 2 ) = y 2 p 2 (x 3 ) = y 3 p 3 (x 3 ) = y 3 p 3 (x 4 ) = y 4 p 4 (x 4 ) = y 4 p 4 (x 5 ) = y 5 p 1(x 2 ) = p 2(x 2 ) p 2 (x 3) = p 3 (x 3) p 3(x 4 ) = p 4(x 4 ) 1(x 2 ) = 2(x 2 ) 2 (x 3) = 3 (x 3) 3(x 4 ) = 4(x 4 ) = 14 villkor Fattas 2 st! De två felande villkoren får (måste) vi alltid välja själva I naturliga (kubiska) splines gör man valet = 0 i ytterkanterna, dvs i exemplet ovan skulle de två extra villkoren bli 1 (x 1) = 0 och 4 (x 5) = 0 I praktiken Lös ekvationssystemet nedan för k-värdena och använd sedan dessa k-värden i Hermites interpolationsformel 2h 1 h 1 0 0 0 h 2 2(h 2 +h 1 ) h 1 0 0 0 h 3 2(h 3 +h 2 ) h 2 0 0 h n 1 2(h n 1 +h n 2 ) h n 2 0 0 0 h n 1 2h n 1 y 1 om i = 1 h där b i = i 1 h i y i + hi h i 1 y i 1 om i = n y n 1 om i = 2,3,,n 1 Styckvis interpolation - nästan splines? k 1 b 1 k 2 b k 3 = 3 2 b 3 k n Om man vill slippa lösa ekvationssystemet ovan kan man skatta derivatorna med följande formler där N är antalet givna punkter (Detta betyder dock att andraderivatan inte blir kontinuerlig) ( ) ( ) y2 y 1 y3 y 1 k 1 = 2 x 2 x 1 x 3 x 1 ( ) ( ) ( yi+1 y i 1 yn y N 1 yn y N 2 k i = i = 2,,N 1 k N = 2 x i+1 x i 1 x N x N 1 x N x N 2 b n ) 4 c 2018 Ninni Carlsund Levin

Grad 2 Grad 2 Grad 3 Så här blev det utan centrering! Grad 7 Grad 8 Grad 9 Grad 7 6000 5500 5000 4500 3500 3000 Grad 8 4600 3600 Grad 9 2500 3400 Lagranges interpolationsformel, S Ch 311 L k (x) = (x x 1) (x x k 1 )(x x k+1 ) (x x n ) (x k x 1 ) (x k x k 1 )(x k x k+1 ) (x k x n ) Notera att L k (x j ) = δ jk vilket ger att p n 1 (x) = n y i L i (x) i=1 k = 1 n Hermites gamla interpolationsformel, GNM sid (5)10 (Används ibland i EXS och extentor) h i = x i+1 x i y i = y i+1 y i g i = h i k i y i c i = 2 y i h i (k i +k i+1 ) Så för valfritt t [0,1] kan vi beräkna x = x i +th i y = y i +t y i +t(1 t)g i +t 2 (1 t)c i 3 4 1 5 2 1 6 3 25 Önskas y(42) blir det Vill man skatta y(x = 42) : t = (x x i )/h i = (42 3)/2 = 06 y = 4+06 ( 2)+06 (1 06) 4+ +06 2 (1 06) ( 4) = 3184 h = 5 3 = 2 y = 2 4 = 2 g = 2 1 ( 2) = 4 c = 2 ( 2) 2(1+( 1)) = 4 Vill man skatta y(x = 32) : t = (x x i )/h i = (32 3)/2 = 01 y = 4+01 ( 2)+01 (1 01) 4+ +01 2 (1 01) ( 4) = 4124 Vill man skatta y(52) måste man beräkna nya värden på h, y, g och c eftersom x = 52 ligger i nästa intervall 5 c 2018 Ninni Carlsund Levin