Medan du läser den är det meningen och viktigt att du ska aktivera de celler där det står Mathematicakommandon(i fetstil).

Transkript

1 Laboration 1: Interpolation OBS! I denna notebook finns det mesta du behöver för att lösa webworkövningarna. Resten är det meningen att du ska leta reda på genom att söka i documentation centre. Medan du läser den är det meningen och viktigt att du ska aktivera de celler där det står Mathematicakommandon(i fetstil). Du kan också skriva och räkna direkt i notebooken, t ex ändra i kommandon för att beräkna något du behöver till webworkövningen. Det kan vara behändigt om du inte vill skriva så mycket text. ü Frågeställningen. Antag att man har en funktion f(x), och att man vet att den är av formen f(x)=ax+b (för några reella tal a och b). Dess graf y=f(x) kommer då att vara en linje i ett koordinatsystem i planet, och det räcker med två värden, eller två punkter på grafen, för att vi ska kunna räkna ut precis vad a och b är, och alltså kan räkna ut alla dess värden. Man kan undra hur många värden vi behöver veta för att bestämma en funktion som är ett andra eller tredjegradspolynom. Sett ur ett annat pespektiv är en linje den enklaste kurva som går genom två punkter i planet, och man kan mer generellt undra: Vilken funktion är den enklaste som går genom tre, fyra, eller fler givna punkter? Det är det första problem vi ska studera

2 2 Laboration nb Situationen att vi har ett antal punkter och försöker placera dem på en funktionsgraf, så att de passar bäst, uppträder ofta i tillämpningar av matematik. T ex i katatstroffilmer. Man har ett antal observationer av en asteroid och vill veta vad dess bana är, så att man uppskatta hur lång tid man har på sig (2036 är risken 1: , säger NASA...) innan den kolliderar med jorden och utplånar alla högre däggdjur. Osäkerheten i Nasa:s odds visar för övrigt hur svårt det är att lösa problemet med tillräcklig noggrannhet. Man vet av den allmänna teorin att asteroidens bana approximativt är en ellips eller hyperbel, d v s man vet i viss utsräckning vilken typ av funktioner som är involverade. Men mätvärdena som man får är utsatta för mätfel. Det kompenserar man med att mäta många punkter och sedan försöka approximera på bäst sätt. Om man letar efter en lineär funktion, kan man försöka passa ihop punkterna med en linjal, men det är uppenbarligen både opraktiskt, subjektivt och tidskrävande om antalet punkter är många. Hur gör man det då med en dator? Det är vårt andra problem: Hur hittar man den funktion av en viss typ---typ lineär eller typ ett polynom av viss grad--- som passar bäst ihop med mätdata? (Vi måste precisera vad som menas med den bästa funktionen. Det som är vanligast är att kräva att summan av kvadraterna på avstånden från punkterna till funktionsgrafen är så liten som möjligt. Approximationen som man då får kallas en minsta kvadratsapproximation.) Ett exempel på det andra problemet. Vi har uppenbarligen en lineär funktion, men avvikelsen från den är rätt stor: Fyra punkter i planet (x_1,y_1),...,(x_4,y_4) sådana att alla x_i :na är olika, ligger på grafen till ett unikt polynom av grad 3. Vad är motsvarigheten till att en linje är bestämd av två punkter? Hur många punkter behöver vi för att bestämma grafen till ett polynom p(x)=ax^3+bx^2+cx+d av grad 3? Varje värde på polynomet som vi vet ger oss en ekvation för de okända koefficienterna.

3 Laboration nb 3 av grad 3? Varje värde på polynomet som vi vet ger oss en ekvation för de okända koefficienterna. Omt vi t ex vet att p(1)=4, så får vi att a +b+c+d=4. Vet vi dessutom att p(2)=3, så får vi att 2^3a+2^2b+2c+d=3. I allmänhet vet vi från teorin för ekvationssystem att det behövs och oftast räcker med fyra ekvationer för att bestämma fyra obekanta. Vet vi alltså att p(1)=4 p(2)=3 p(4)=1 p(10)=200 bör vi kunna hitta polynomet, genom att lösa ett ekvationssystem. Ett sådant polynom sägs interpolera punkterna. Det djupare sambandet mellan 4 och 3 är (här!) förstås att 4=3+1...Ett n:te gradspolynom har n+1 okända koefficienter, och det behövs minst n+1 ekvationer för att bestämma det. Allmännare kan vi gissa att n +1 punkter (x_1,y_1),...,(x_{n+1},y_{n+1}) (med sinsemellan olika x-värden), ligger på grafen till ett unikt polynom av grad n. Hur hittar man då detta polynom? 1. Första metoden att hitta ett interpolerande polynom.(involverar matriser, lösning av matrisekvationer med Solve, samt rita grafer med Plot) Det är behändigt att skriva ekvationssystemet av polynomvärden nyss som en matrisekvation. Vi ska lösa den som en sådan, och samtidigt gå igenom grundbegreppen för matriser i Mathematica. I Mathematica är en matris en lista av sina rader, och varje rad är en lista av de element som förekommer i dem. Följande är alltså en matris A = 881, 1, 1, 1<, 81, 2, 4, 8<, 81, 4, 16, 64<, 81, 10, 100, 1000<< 881, 1, 1, 1<, 81, 2, 4, 8<, 81, 4, 16, 64<, 81, 10, 100, 1000<< Notera att elementen är potenser av 1,2,4,10, sådana som förekommer när vi räknar ut p:s värden i dessa punkter. Vi ska strax använda denna matris. Vill vi kolla hur matrisen ser ut på vanligt sätt kan vi göra detta med ett kommando: MatrixForm@AD De okända koefficienterna i det sökta tredjegradspolynomet p(x)=ax^3+bx^2+cx+d ger en kolonnmatris X = 88d<, 8c<, 8b<, 8a<< MatrixForm@XD 88d<, 8c<, 8b<, 8a<< d c b a

4 4 Laboration nb Matrisprodukten AX är bara kolonnmatrisen med element p(1),p(2),p(4), p(10): (Observera sättet att skriva matrisprodukt A.X, med en vanlig punkt!) a + b + c + d 8 a + 4 b + 2 c + d 64 a + 16 b + 4 c + d 1000 a b + 10 c + d För att lösa ekvationerna p (1) = 4 p (2) = 3 p (4) = 1 p (10) = 200 kan vi alltså definiera en kolonnmatris B med element 4,3,1,200, och sedan lösa AX=B. Att lösa sker med kommandot Solve. Det ska vara TVÅ likhetstecken A. X ä B (ett likhetstecken används endast för att tilldela värden till uttryck, typ x=2) och sist i kommandot Solve talar vi om vilka av de okända värdena vi vill veta, här alltså {a, b, c, d}.) För att kunna använda lösningen senare ger vi den namnet Solution(med ETT likhetstecken). B = 884<, 83<, 81<, 8200<< Solution = Solve@A. X ã B, 8a, b, c, d<d 884<, 83<, 81<, 8200<< ::a Ø , b Ø , c Ø , d Ø >> Nu har vi alltså hittat koefficienterna i vårt polynom. Svaret består av transformationsregler av typ a ersätts med -35/156, etc. Men det har för många måsvingar för att kunna användas direkt, så därför plockar vi bort ett par med Flatten. Transf = Flatten@SolutionD :a Ø , b Ø , c Ø , d Ø > Dessa ersätttningregler kan vi sedan använda så här för att enkelt få fram polynomet (Första raden nedan rensar p och q från tidigare betydelser. Andra raden definierar vad p är, sedan ersätter vi a,b,c,d enligt reglerna i Trans fmed hjälp av ersättningskommandot /., sist räknar vi ut interpolationspolynomets värde för x=10, som en koll, vi vet ju att det ska bli 200.) : Clear@p, qd p = a * x^3 + b * x^2 + c * x + d q = p ê. Transf q ê. x Ø 10 d + c x + b x 2 + a x x 1435 x2 205 x

5 Laboration nb 5 Vi kan nu rita upp både de punkter i planet som vi har använt som utgångspunkt för att hitta vårt polynom och polynomet självt. Först punkterna. Vi tjockar till dem med PlotStyle Æ PointSize[0.02], och ger bilden ett namn, eftersom vi strax ska sätta in den i en gemensam bild med grafen till p. Punkter = ListPlot@881, 4<, 82, 3<, 84, 1<, 810, 200<<, PlotStyle Ø PointSize@0.02DD Så grafen till q: Grafen = Plot@q, 8x, 0, 10<D Vi kan se dessa två bilder tillsammans med kommandot Show. Show@Punkter, GrafenD

6 6 Laboration nb Varför fungerade detta? Alltså, varför kunde vi lösa ekvationssystemet? Ett kort argument är följande: Matrisen A definierar en lineär avbildning T från R^4 till R^4. Avbildningen kan beskrivas så här: om p(x)=ax^3+bx^2+cx+d, så är T(a,b,c,d)=(p(1),p(2),p(4),p(10)). Vi vill inse att denna avbildning är surjektiv, vilket enligt algebrakursens teori är ekvivalent med att den är injektiv. Om (a,b,c,d) tillhör nollrummet och p(x)=ax^3+bx^2+cx+d, så är T(a,b,c,d)=(p(1),p(2),p(4),p(10))=(0,0,0,0). Men det innebär att vi har ett tredjegradspolynom med fyra olika nollställen 1,2,4,10. Men ett trejegradspolynom kan inte ha mer än tre nollställen, om det inte är nollpolynomet. Alltså måste p(x) vara nollpolynomet, och alltså är (a,b,c,d)=(0,0,0,0) och avbildningen injektiv. Q.E.D. Samma argument ger allmännare att n +1 punkter (x_1,y_1),...,(x_{n+1},y_{n+1}) med sinsemellan olika x-värden, ligger på grafen till ett unikt polynom av grad n. Som en konsekvens av teorin och argumentet får vi att determinanten av A är skild från 0. Det kan vi också kolla direkt: Det@AD 2592 GÖR NU DE FEM FÖRSTA WEBWORKÖVNINGARNA!!! 2. Mer rakt på sak för att hitta interpolerande polynom Vi introducerade matriser och vektorer ovan för att det är användbart, och också gav en förståelse om varför det alltid finns ett interpolationspolynom. Men vi kunde också ha gått direkt på polynomet. Definiera det först som en funktion, så att vi inte ska behöva skriva så mycket.(observera formen på definitionen: x_ talar om att x är en variabel och likhetstecknet med kolon att Mathematica ska skjuta upp uträkningen av uttrycket tills den måste använda sig av definitionen på höger sidan.) polynom@x_d := a * x^3 + b * x^2 + c * x + d För att kolla att det fungerar räknar vi ut polynomets värde för x=1 och x=2. polynom@1d polynom@2d a + b + c + d 8 a + 4 b + 2 c + d Sedan löser vi systemet (p(1), p(2), p(4), p(10))=(0, 0, 0, 0), och kallar lösningen EL. Sist plockar fram första elementet i EL med EL[[1]] ---ett annat sätt än Flatten att bli av med måsvingar, så att vi kan använda resultatet som transformationsregler.

7 Laboration nb 7 EL = Solve@8polynom@1D ã 4, polynom@2d ã 3, polynom@4d ã 1, polynom@10d ã 200<, 8a, b, c, d<d EL@@1DD ::a Ø , b Ø , c Ø , d Ø >> :a Ø , b Ø , c Ø , d Ø > Sist använder vi transformationsregeln EL[[1]] för att få fram det polynom q(x) som är svaret. Clear@qD q@x_d = polynom@xd ê. EL@@1DD q@1d x 1435 x2 205 x GÖR NU WEBWORKÖVNING 6!!! ü 3. Minsta kvadratmetoden (Nu ska jag fuska. Jag startar med en lineär funktion f(x)=2.1x+.3 och lägger till en slumpkomponent som ska representera ett mätfel. Sedan gör jag en tabell över 100 punkter på grafen. Det är inte så intressant nu hur jag gör det, jag ville bara vara överdrivet ärlig, så hoppa över förståelsen av nästa kommando, och titta på grafen lite längre ner. Tabellen ska föreställa mätdata, som modulo en slumpfaktor beter sig lineärt. Detta är ett försök att efterlikna ett material från ett verkligt naturvetenskapligt experiment.) Punktmängd = Table@8i, 2.1 * i RandomReal@NormalDistribution@0,.5DD<, 8i, -3, 7,.1<D; Det material av punkter i planet jag nu har kallas alltså Punktmängd, och hur det ser ut kan vi se med kommandot ListPlot: Bild1 = ListPlot@PunktmängdD

8 8 Laboration nb Det syns rätt bra på bilden(som vi också givit ett namn: Bild1) att punktmängden kommer från en lineär funktion, och hade det varit på riktigt och ett experimentellt material, skulle det vara intressant att se vilken lineär funktion som är i botten. En lineär funktion är en lineärkombination av funktionen 1 och funktionen x, och kommandot Fit hittar den lineärkombination av dessa två som bäst passar med mängden av punkter(vi ger denna funktion ett namn)(observera hur Fit är uppbyggd: först står mängden Punktmängd som vi vill approximera, sedan mängden {1, x} av de funktioner som vi får använda, och sist vilken variabel de approximerande funktionerna beror av. Är du osäker på hur man ska använda ett kommando som Fit så leta i Documentation centre på Fit, och läs exemplena där.) funktion1 = Fit@Punktmängd, 81, x<, xd x För att se hur funktion1 ser ut så plottar vi dess graf(semikolonet ; betyder att Mathematica inte behöver visa upp bilden, eller allmännare efter ett kommando att Mathematica inte ska printa ut resultatet av kommandot.). Samtidigt ger vi grafen ett namn Bild2 och visar den sedan med Show tillsammans med den tidigare bilden av punktmängden: Bild2 = Plot@funktion1, 8x, -4, 8<D; Show@Bild1, Bild2D Vi ser att vi har lyckats få ett ganska dåligt närmevärde på den funktion som vi startade med, och la till en slumpkomponent till, nämligen x. Men sådant är livet. Hade vi fått en bättre approximation om vi försökt med ett andragradspolynom? funktion2 = Fit@Punktmängd, 81, x, x^2<, xd x x 2 Nej, det blir en relativt liten koefficient framför x^2(i förhållande till de andra koefficienterna är den mindre än 5% av dem) så det troliga är att vårt material är lineärt(vilket vi ju också visste att det var).

9 Laboration nb 9 WEBWORKÖVNING 7-8!!! ü Till uppgift 8 i webwork behöver du de rätt stora datamängderna GG1,GG2, och GG3. De finns lagrade i detta arbetsblad, se nedan. Du kan komma åt dem genom att aktivera de tre cellerna nedan. SEDAN KAN DU KOMMA ÅT DEM MED DERAS NAMN GG1, etc. och du kan t ex se dem grafiskt genom att använda ListPlot, som i sista cellen i detta arbetsblad. GG1 och de andra är (simuleringar av) mätdata för tre olika funktioner, alla polynom. Din uppgift är att uppskatta gradtalet hos det underliggande polynomet och föra in resultatet i webwork. Du har två verktyg----det ena är kommandot Fit för att få fram det polynom av ett visst gradtal som bäst approximerar datamängden, och det andra är Plot och Show för att se hur bra approximationen är punktvis. Pröva olika gradtal och titta på hur stora koefficienterna är i förhållande till varandra. GG1 = `, `<, 8-9.9`, `<, 8-9.8`, `<, 8-9.7`, `<, 8-9.6`, `<, 8-9.5`, `<, 8-9.4`, `<, 8-9.3`, `<, 8-9.2`, `<, 8-9.1`, `<, 8-9.`, `<, 8-8.9`, `<, 8-8.8`, `<, 8-8.7`, `<, 8-8.6`, `<, 8-8.5`, `<, 8-8.4`, `<, 8-8.3`, `<, 8-8.2`, `<, 8-8.1`, `<, 8-8.`, `<, 8-7.9`, `<, 8-7.8`, `<, `, `<, 8-7.6`, `<, 8-7.5`, `<, 8-7.4`, `<, 8-7.3`, `<, `, `<, 8-7.1`, `<, 8-7.`, `<, 8-6.9`, `<, 8-6.8`, `<, `, `<, 8-6.6`, `<, 8-6.5`, `<, 8-6.4`, `<, 8-6.3`, `<, `, `<, 8-6.1`, `<, 8-6.`, `<, `, `<, 8-5.8`, `<, 8-5.7`, `<, 8-5.6`, `<, 8-5.5`, `<, `, `<, 8-5.3`, `<, `, `<, 8-5.1`, `<, 8-5.`, `<, `, `<, 8-4.8`, `<, `, `<, 8-4.6`, `<, 8-4.5`, `<, `, `<, 8-4.3`, `<, `, `<, 8-4.1`, `<, 8-4.`, `<, `, `<, 8-3.8`, `<, `, `<, `, `<, 8-3.5`, `<, `, `<, 8-3.3`, `<, `, `<, `, `<, 8-3.`, `<,

10 10 Laboration nb `, `, 3.`, `, `, `<, 8-2.8`, `<, `, `<, `, `<, 8-2.5`, `<, `, `<, 8-2.3`, `<, `, `<, `, `<, 8-2.`, `<, `, `<, `, `<, `, `<, `, `<, 8-1.5`, `<, `, `<, `, `<, `, `<, `, `<, 8-1.`, `<, `, `<, `, `<, `, `<, `, `<, 8-0.5`, `<, `, `<, `, `<, `, `<, `, `<, 80.`, `<, `, `<, `, `<, `, `<, `, `<, 80.5`, `<, `, `<, `, `<, `, `<, `, `<, 81.`, `<, `, `<, `, `<, `, `<, `, `<, 81.5`, `<, `, `<, `, `<, `, `<, `, `<, 82.`, `<, `, `<, `, `<, `, `<, `, `<, 82.5`, `<, `, `<, `, `<, `, `<, `, `<, 83.`, `<, `, `<, `, `<, `, `<, `, `<, 83.5`, `<, `, `<, `, `<, `, `<, `, `<, 84.`, `<, `, `<, `, `<, `, `<, 84.4`, `<, 84.5`, `<, `, `<, `, `<, `, `<, 84.9`, `<, 85.`, `<, `, `<, `, `<, `, `<, 85.4`, `<, 85.5`, `<, `, `<, `, `<, `, `<, 85.9`, `<, 86.`, `<, `, `<, `, `<, `, `<, `, `<, 86.5`, `<, `, `<, `, `<, `, `<, `, `<, 87.`, `<,

11 Laboration nb `, `, 7.`, `, `, `<, `, `<, `, `<, `, `<, 87.5`, `<, `, `<, `, `<, `, `<, `, `<, 88.`, `<, `, `<, 88.2`, `<, 88.3`, `<, `, `<, 88.5`, `<, `, `<, 88.7`, `<, 88.8`, `<, `, `<, 89.`, `<, `, `<, `, `<, 89.3`, `<, `, `<, 89.5`, `<, `, `<, `, `<, 89.8`, `<, `, `<, 810.`, `<<; GG2 = `, `<, 8-9.9`, `<, 8-9.8`, `<, 8-9.7`, `<, 8-9.6`, `<, 8-9.5`, `<, 8-9.4`, `<, 8-9.3`, `<, 8-9.2`, `<, 8-9.1`, `<, 8-9.`, `<, 8-8.9`, `<, 8-8.8`, `<, 8-8.7`, `<, 8-8.6`, `<, 8-8.5`, `<, 8-8.4`, `<, 8-8.3`, `<, 8-8.2`, `<, 8-8.1`, `<, 8-8.`, `<, 8-7.9`, `<, 8-7.8`, `<, `, `<, 8-7.6`, `<, 8-7.5`, `<, 8-7.4`, `<, 8-7.3`, `<, `, `<, 8-7.1`, `<, 8-7.`, `<, 8-6.9`, `<, 8-6.8`, `<, `, `<, 8-6.6`, `<, 8-6.5`, `<, 8-6.4`, `<, 8-6.3`, `<, `, `<, 8-6.1`, `<, 8-6.`, `<, `, `<, 8-5.8`, `<, 8-5.7`, `<, 8-5.6`, `<, 8-5.5`, `<, `, `<, 8-5.3`, `<, `, `<, 8-5.1`, `<, 8-5.`, `<, `, `<, 8-4.8`, `<, `, `<, 8-4.6`, `<, 8-4.5`, `<, `, `<, 8-4.3`, `<, `, `<, 8-4.1`, `<, 8-4.`, `<, `, `<, 8-3.8`, `<, `, `<, `, `<, 8-3.5`, `<, `, `<, 8-3.3`, `<, `, `<, `, `<, 8-3.`, `<, `, `<, 8-2.8`, `<, `, `<, `, `<, 8-2.5`, `<, `, `<,

12 12 Laboration nb 2.5`, `, `, `, 8-2.3`, `<, `, `<, `, `<, 8-2.`, `<, `, `<, `, `<, `, `<, `, `<, 8-1.5`, `<, `, `<, `, `<, `, `<, `, `<, 8-1.`, `<, `, `<, `, `<, `, `<, `, `<, 8-0.5`, `<, `, `<, `, `<, `, `<, `, `<, 80.`, `<, `, `<, `, `<, `, `<, `, `<, 80.5`, `<, `, `<, `, `<, `, `<, `, `<, 81.`, `<, `, `<, `, `<, `, `<, `, `<, 81.5`, `<, `, `<, `, `<, `, `<, `, `<, 82.`, `<, `, `<, `, `<, `, `<, `, `<, 82.5`, `<, `, `<, `, `<, `, `<, `, `<, 83.`, `<, `, `<, `, `<, `, `<, `, `<, 83.5`, `<, `, `<, `, `<, `, `<, `, `<, 84.`, `<, `, `<, `, `<, `, `<, 84.4`, `<, 84.5`, `<, `, `<, `, `<, `, `<, 84.9`, `<, 85.`, `<, `, `<, `, `<, `, `<, 85.4`, `<, 85.5`, `<, `, `<, `, `<, `, `<, 85.9`, `<, 86.`, `<, `, `<, `, `<, `, `<, `, `<, 86.5`, `<, `, `<, `, `<, `, `<, `, `<, 87.`, `<, `, `<, `, `<, `, `<, `, `<, 87.5`, `<, `, `<, `, `<, `, `<, `, `<, 88.`, `<,

13 Laboration nb `, `, 8.`, `, `, `<, 88.2`, `<, 88.3`, `<, `, `<, 88.5`, `<, `, `<, 88.7`, `<, 88.8`, `<, `, `<, 89.`, `<, `, `<, `, `<, 89.3`, `<, `, `<, 89.5`, `<, `, `<, `, `<, 89.8`, `<, `, `<, 810.`, `<<; GG3 = `, `<, 8-9.9`, `<, 8-9.8`, `<, 8-9.7`, `<, 8-9.6`, `<, 8-9.5`, `<, 8-9.4`, `<, 8-9.3`, `<, 8-9.2`, `<, 8-9.1`, `<, 8-9.`, `<, 8-8.9`, `<, 8-8.8`, `<, 8-8.7`, `<, 8-8.6`, `<, 8-8.5`, `<, 8-8.4`, `<, 8-8.3`, `<, 8-8.2`, `<, 8-8.1`, `<, 8-8.`, `<, 8-7.9`, `<, 8-7.8`, `<, `, `<, 8-7.6`, `<, 8-7.5`, `<, 8-7.4`, `<, 8-7.3`, `<, `, `<, 8-7.1`, `<, 8-7.`, `<, 8-6.9`, `<, 8-6.8`, `<, `, `<, 8-6.6`, `<, 8-6.5`, `<, 8-6.4`, `<, 8-6.3`, `<, `, `<, 8-6.1`, `<, 8-6.`, `<, `, `<, 8-5.8`, `<, 8-5.7`, `<, 8-5.6`, `<, 8-5.5`, `<, `, `<, 8-5.3`, `<, `, `<, 8-5.1`, `<, 8-5.`, `<, `, `<, 8-4.8`, `<, `, `<, 8-4.6`, `<, 8-4.5`, `<, `, `<, 8-4.3`, `<, `, `<, 8-4.1`, `<, 8-4.`, `<, `, `<, 8-3.8`, `<, `, `<, `, `<, 8-3.5`, `<, `, `<, 8-3.3`, `<, `, `<, `, `<, 8-3.`, `<, `, `<, 8-2.8`, `<, `, `<, `, `<, 8-2.5`, `<, `, `<, 8-2.3`, `<, `, `<, `, `<, 8-2.`, `<, `, `<, `, `<, `, `<,

14 14 Laboration nb `, `, `, `, `<, 8-1.5`, `<, `, `<, `, `<, `, `<, `, `<, 8-1.`, `<, `, `<, `, `<, `, `<, `, `<, 8-0.5`, `<, `, `<, `, `<, `, `<, `, `<, 80.`, `<, `, `<, `, `<, `, `<, `, `<, 80.5`, `<, `, `<, `, `<, `, `<, `, `<, 81.`, `<, `, `<, `, `<, `, `<, `, `<, 81.5`, `<, `, `<, `, `<, `, `<, `, `<, 82.`, `<, `, `<, `, `<, `, `<, `, `<, 82.5`, `<, `, `<, `, `<, `, `<, `, `<, 83.`, `<, `, `<, `, `<, `, `<, `, `<, 83.5`, `<, `, `<, `, `<, `, `<, `, `<, 84.`, `<, `, `<, `, `<, `, `<, 84.4`, `<, 84.5`, `<, `, `<, `, `<, `, `<, 84.9`, `<, 85.`, `<, `, `<, `, `<, `, `<, 85.4`, `<, 85.5`, `<, `, `<, `, `<, `, `<, 85.9`, `<, 86.`, `<, `, `<, `, `<, `, `<, `, `<, 86.5`, `<, `, `<, `, `<, `, `<, `, `<, 87.`, `<, `, `<, `, `<, `, `<, `, `<, 87.5`, `<, `, `<, `, `<, `, `<, `, `<, 88.`, `<, `, `<, 88.2`, `<, 88.3`, `<, `, `<, 88.5`, `<, `, `<,

15 Laboration nb `, `, `, `, 88.7`, `<, 88.8`, `<, `, `<, 89.`, `<, `, `<, `, `<, 89.3`, `<, `, `<, 89.5`, `<, `, `<, `, `<, 89.8`, `<, `, `<, 810.`, `<<;