Laboration 3: Rekursiva definitioner, listor och ett olöst problem

Storlek: px
Starta visningen från sidan:

Download "Laboration 3: Rekursiva definitioner, listor och ett olöst problem"

Transkript

1 Laboration 3: Rekursiva definitioner, listor och ett olöst problem I detta arbetsblad finns ett antal exempel på hur man kan använda Mathematica för att få översikt över listor och dessutom ett antal exempel på algebraiska räkningar. Inledande om listor Mycket av det material som Mathematica producerar är listor, alltså ordnade mängder. Vi har sett att en matris t ex är en lista av sina rader, som i sin tur är listor av reella tal. Lösningarna till en ekvation är en lista av transformationsregler. Det finns må nga kommandon för att göra allt man kan vilja göra med listor. Här är nå gra exempel. En lista kan se ut så här: {15,5,35,45,55,65} In[1]:= För att sedan plocka ut i:te element ur en lista, skriver man [[i]] efter listan, t ex 15, 5, 35, 45, 55, 65 5 Out[1]= 55 In[]:= Out[]= Out[3]= 66 In[4]:= Out[4]= Har man en lista av listor, t ex följande lista roos av punkter i planet, kan man alltså plocka ut det :dra elementet ur den 3:de listan i roos så här. roos 11,, 33, 44, 55, 66, 77, 88 roos 3 11,, 33, 44, 55, 66, 77, 88 För att få första och sista elementet i en lista kan man använda First och Last First roos Last roos 11, Out[5]= 77, 88 In[6]:= Det finns kommandon för att ta snitt och komplement, och för att välja ut element som uppfyller ett visst kriterium, t ex vara jämna eller nå got annat. Se nästa exempel. INLEDANDE EXEMPEL: Hitta primtalstvillingar---ett exempel på att hantera listor Det finns oändligt må nga primtal, fast de ligger glesare och glesare bland heltalen. Vissa av dem som 11 och 13 eller och skiljer sig bara med och kallas för primtalstvillingar. Ingen vet om det finns oändligt må nga så dana eller inte. Här ska vi leka lite och se att det finns primtalstvillingar större än en miljard. Mathematica kan avgöra om ett tal är ett primtal: PrimeQ PrimeQ Out[6]= Out[7]= True False Vi kan få det 1000:de primtalet

2 Laboration3.nb In[8]:= Out[8]= 7919 In[9]:= Prime 1000 Och då kan vi använda Table för att göra en lista av de första hundra primtalen(som vanligt ger vi ett på hittat namn å t den) Amanda Table Prime i, i, 1, 100 Out[9]=, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 3, 9, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109, 113, 17, 131, 137, 139, 149, 151, 157, 163, 167, 173, 179, 181, 191, 193, 197, 199, 11, 3, 7, 9, 33, 39, 41, 51, 57, 63, 69, 71, 77, 81, 83, 93, 307, 311, 313, 317, 331, 337, 347, 349, 353, 359, 367, 373, 379, 383, 389, 397, 401, 409, 419, 41, 431, 433, 439, 443, 449, 457, 461, 463, 467, 479, 487, 491, 499, 503, 509, 51, 53, 541 In[10]:= Out[10]= In[11]:= Nu vill vi veta vilka av dessa som är primtalstvillingar. Vi vill alltså gå igenom listan och konstruera dellistan av de x för vilka x+ också är ett primtal. Den vägledande insikten är att Mathematica har kommandon för allt som svarar mot sedvanliga matematiska operationer. Att ur en mängd välja ut de x som uppfyller ett visst kriterium är ju ett vanligt matematiskt tillvägagå ngssätt. Alltså ska det finnas ett lätt sätt att göra detta på. Variabeln som löper över mängden kallas #. Så här väljer vi ut de # i Amanda som är mindre än 10. Amandaännuintetio Select Amanda, 10 &, 3, 5, 7 För att få primtalstvillingar kan vi då göra så här: stagnelius Select Amanda, PrimeQ & Out[11]= 3, 5, 11, 17, 9, 41, 59, 71, 101, 107, 137, 149, 179, 191, 197, 7, 39, 69, 81, 311, 347, 419, 431, 461, 51 In[1]:= Select[lista,kriterium] väljer ut de element i listan som uppfyller kriteriet. Här är listan amanda, # är som tidigare namnet på variabeln som löper över elementen amanda och kriteriet är att # + ska vara ett primtal. D v s vi väljer ut det första primtalet i varje par av primtalstvillingar. Nu kan vi ställa och snabbt besvara frå gan om det finns nå gra primtalstvillingar bland primtalen frå n det hundra miljonte primtalet och uppå t. amandamiljon Table Prime i, i, , ; stagneliusmiljon Select amandamiljon, PrimeQ & Out[13]= , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , Vi har alltså flera primtalstvillingar större än miljarder. Det man framförallt ska imponeras av är med vilken lätthet vi kan hantera mängder eller listor. EXEMPEL 1: Faktorisera tal In[14]:= Out[14]= FactorInteger , 4, 37, 1, , 1

3 Laboration3.nb 3 Svaret är en lista av par, det första elementet i varje par är en primtalsfaktor och det andra talet talar om hur må nga gå nger det förekommer. Alltså : primtalsfaktoriseringen är =3^4 x 37 x Nu kan du äntligen få veta om ditt telefonnummer eller personnummer är ett primtal... EXEMPEL : Visualisera nollställen till en polynomekvation. /Transformationsregler In[15]:= Vi kan numeriskt lösa ekvationer, men vad är det för svar vi få r egentligen? Det kommer i likhet med vad vi sett tidigare som transformationsregler. nn NSolve x^ 1 ^ 17 x^5 43 x^ 3 0, x Out[15]= x , x , x , x , x , x , x , x , x , x , x , x , x , x , x , x , x , x , x , x , x , x , x , x , x , x , x , x , x , x , x , x , x , x Vill vi få ut den tredje lösningen för att t ex kunna räkna med den, så må ste vi först ta och välja ut den tredje av de ovanstå ende transformationsreglerna: In[16]:= Out[16]= nn 3 x och sedan använda ersättningsoperatorn på x: In[17]:= a3 x. nn 3 Out[17]= Nu först kan vi (utan fusk av typen att kopiera och klistra) använda detta a som ett reellt tal: In[18]:= a3^17 3 Out[18]= In[19]:= Out[19]= In[0]:= Out[0]= Out[1]= 3 Antag sedan att vi vill se hur dessa komplexa tal ligger i det komplexa talplanet. Mathematica skriver den imaginära enheten i som I, och kan förstå s räkna med komplexa tal. Så här 3 I 1 I 1 5 Re 3 I Im 3 I Conjugate 3 I Out[]= 3

4 4 Laboration3.nb Tillbaks till listan av nollställen nn ovan, som vi ville visualisera. In[3]:= Om x är ett komplext tal, så är dess koordinater i det komplexa talplanet {Re[x],Im[x]}. Det första nollstället i listan kan vi plocka fram som x/. nn[[1]], och dess koordinater är alltså {Re[x/.nn[[1]]],Im[x/.nn[[1]]]}. Nu kan vi använda Table för att göra en lista av punkter i planet, så att vi sedan kan plotta dem. nn Table Re x. nn i, Im x. nn i, i, 1, 34 Out[3]= In[4]:= , , , , , , , , , , , , , 1.476, , 1.476, , , , , , , , , 0.391, , 0.391, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , 1.414, , 1.414, , , , , , , , , , , , ListPlot nn Out[4]= In[5]:= EXEMPEL 3: Räkna med polynom---kvoter och rester Antag att vi vill räkna ut resten av ett polynom vid division med ett annat p x^ ^13 x 1 Out[5]= 1 x x 13 Vill vi se hur polynomets koefficienter ser ut kan vi göra så här: In[6]:= p1 Expand p Out[6]= In[7]:= 8193 x x x x x x x x x x x 0 31 x 6 x 4 x 6 Antag nu att vi vill ha resten av detta polynom vid division med x^3+3x+17. Vi vet att resten ska bli ett andragradspolynom PolynomialRemainder p1, x^3 3 x 17, x Out[7]= x x Vill vi också veta kvoten finns det lämpliga kommandon för detta, som man kan hitta i hjälpcentrat(leta till exempel på PolynomialRemainder).

5 Laboration3.nb 5 Vi kan också räkna med rationella funktioner och partialbrå ksuppdela dem. In[8]:= rat 1 z 1 z 1 z z^ 9 z^3 1 z^3 ^ 3 1 z^ z ^ Out[8]= In[9]:= Out[9]= In[30]:= Out[30]= 1 z 1 z 1 z z 9 z3 1 z 3 rat Simplify rat 9 1 z 3 Apart rat 1 1 z 1 z 3 1 z 1 z z z z 3 3 z 1 z z In[31]:= In[35]:= EXEMPEL 4: Finns det fler kaniner om tio å r än atomer i universum? Rekursionsföljder. Out[35]= 89 En idealiserad modell för kanintillväxt ser ut så här. Antalet kaninpar efter n må nader kallas f[n], och uppfyller rekursionsformeln f[n] = f[n - 1] + f[n - ]. Startvillkoren är f[0]=1 och f[1]=1. En rekursiv definition lämpar sig förstå s för att beräknas på dator. f 0 1; f 1 1; f n_ : f n f n 1 f n f 10 In[36]:= Table f n, n, 1, 0 Out[36]= In[37]:= 1,, 3, 5, 8, 13, 1, 34, 55, 89, 144, 33, 377, 610, 987, 1597, 584, 4181, 6765, f 10 Out[37]= In[38]:= Antalet atomer i universum är ca 10^80, som är ett mycket större tal, suck. För att få grepp om hur snabbt antalet kaninpar växer gör vi nu en tabell av (närmevärden) av kvoterna mellan ett värde och det nästa: Table N f n 1 f n, n, 1, 0 Out[38]= 1., 0.5, , 0.6, 0.65, , , , , , , , , , , , , , , Observera formen av definitionen f[n_] := f[n]=. Kolonet efter f[n_] talar om för matematica att skjuta upp beräkningarna tills den verkligen behöver göra det. Att det också stå r upprepat f[n_] := f[n]= garanterar att programmet visserligen skjuter upp beräkningen tills det behövs, men att den också kommer ihå g redan beräknade värden, och inte upprepar beräkningen för dessa. Vi kan jämföra gränsvärdet med det tal som kallas gyllene snittet, ett slags förment idealbmi för snygga rektanglar.

6 6 Laboration3.nb In[39]:= N Sqrt 5 1 Out[39]= In[40]:= EXEMPEL 5: Man kan inte lita på Mathematicas kaninberäkningar och vad betyder nu detta för ens utsikter på arbetsmarknaden Lå t oss ändra startvärdena f[0] och f[1]. Här ett exempel: f 0 13; f ; f n_ : f n f n 1 f n Table N f n 1 f n, n, 1, 0 Out[44]= 5.185, , , , , , , , , , , , , , , , , , , In[45]:= Out[49]= Det verkar som om gränsvärdet även här blir det gyllene snittet. Fler experiment ger samma resultat. Men om man försöker bevisa detta så misslyckas man, för det är inte sant. Om man nämligen har startvärden (f[0],f[1]) som är en multipel av 1, 1 1 f 0 1; f 1 1 Sqrt 5 ; f n_ : f n f n 1 f n Table N f n 1 f n, n, 1, 0 5 så få r man ett annat resultat , , , , , , , , , , , , , , , , , , , Detta illustrerar att man lätt kan luras av beräkningar och missa undantagsfall. Vad man kan bevisa är att så fort som startvärdena inte är en multipel av 1, så kommer kvoterna att konvergera mot gyllenen snittet Detta har också konsekvenser för exaktheten i räkningarna. Så fort som man stör startvärdena lite ifrå n 1, förändras resultatet. I ovanstå ende exempel räknade Mathematica exakt med startvärdena 1, 1 1 5, för att sedan avrunda kvoterna numeriskt. Om vi istället avrundar startvärdena först, så kommer resultatet att se annorlunda ut.

7 Laboration3.nb 7 In[50]:= f 0 1; f 1 1 Sqrt 5 N; f n_ : f n f n 1 f n Table N f n 1 f n, n, 1, 100 Out[54]= , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , 1.618, , , , 1.669, , , ,.1758, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , De första talen här svarar alltså mot vad följden kommer att konvergera mot för det exakta startvärdet f[0]=1 och f[]= Men nu har vi stoppat in ett närmevärde på dessa startvärden (bara futtiga 30 decimalers noggrannhet...) och det slå r efter ett tag igenom i resultatet, och ger oss gamla tjatiga gyllene snittet. Osäkerheten i användningen av Mathematica är alltså av två slag : man kan inte gå igenom alla möjligheter, utan bara göra enstaka experiment och sedan kan man inte ens alltid lita på resultaten p g a att avrundningsfel kan ge kvalitativt annorlunda resultat. Empiri kan inte ersätta bevis och en matematikers analys av ett problem. EXEMPEL 6: Fler olösta problem---ett enkelt dynamiskt system In[55]:= Out[55]= Följande följd f[n] har ett startvärde f[1], och sedan är dess värden rekursivt definierade. Om ett värde x är jämnt ska det delas med, annars är nästa värde 3x+1. Vad händer när n gå r mot oändligheten? Först må ste vi definiera funktionen. Det är ju ett vanligt sätt att dela upp en definition av en funktion i olika fall-tänk på definitionen av absolutbelopp-så det finns förstå s möjlighet att göra så i mathematica. Först behöver vi ett kommando som talar om när ett tal är delbart med. Det finns ett kommando som heter Divisible[n,k] och som returnerar True/False beroende på om k delar n. Divisible 15, Divisible 16, False Out[56]= True Sedan finns det ett sätt att ge definitioner av den typ vi behöver. Det heter If och har formen If[kriterium, A, B]. Det returnerar A om kriteriet är sant och B om det är falskt. Alltså ger följande uttryck If[Divisible[x, ], x/, 3*x + 1] oss x/ respektive 3x+1 beroende på om x är delbart med eller inte. Då kan vi å tervända till vå rt problem

8 8 Laboration3.nb In[57]:= f 1 7; f n_ : f n If Divisible f n 1,, f n 1, 3 f n 1 1 ; Starta t ex med f[1]=7. Då blir nästa värde 3x7+1=, och sedan /=11, o s v. In[60]:= Table f n, n, 1, 100 Out[60]= 7,, 11, 34, 17, 5, 6, 13, 40, 0, 10, 5, 16, 8, 4,, 1, 4,, 1, 4,, 1, 4,, 1, 4,, 1, 4,, 1, 4,, 1, 4,, 1, 4,, 1, 4,, 1, 4,, 1, 4,, 1, 4,, 1, 4,, 1, 4,, 1, 4,, 1, 4,, 1, 4,, 1, 4,, 1, 4,, 1, 4,, 1, 4,, 1, 4,, 1, 4,, 1, 4,, 1, 4,, 1, 4,, 1, 4,, 1, 4, In[61]:= Vad händer på slutet här? Jo, 4 är delbart med, så om för ett visst n vi har f[n]=4, så är f[n+1]=. Av samma skäl är f[n+]=1. Men nu har vi ett tal som inte är delbart med och då ska vi multiplicera det med 3 och lägga till 1. Så f[n+3]=4. Men då är vi tillbaka där vi började och vi kommer igen att få 4,,1, som de nästa talen i följden. Försök med ett annat startvärde. f 1 318; f n_ : f n If Divisible f n 1,, f n 1, 3 f n 1 1 ; Table f n, n, 1, 100 Out[64]= 318, 1609, 488, 414, 107, 36, 1811, 5434, 717, 815, 4076, 038, 1019, 3058, 159, 4588, 94, 1147, 344, 171, 5164, 58, 191, 3874, 1937, 581, 906, 1453, 4360, 180, 1090, 545, 1636, 818, 409, 18, 614, 307, 9, 461, 1384, 69, 346, 173, 50, 60, 130, 65, 196, 98, 49, 148, 74, 37, 11, 56, 8, 14, 7,, 11, 34, 17, 5, 6, 13, 40, 0, 10, 5, 16, 8, 4,, 1, 4,, 1, 4,, 1, 4,, 1, 4,, 1, 4,, 1, 4,, 1, 4,, 1, 4,, 1, 4 Collatz problem är att avgöra om f[n] alltid hamnar i cykeln 4,,1 när n blir tillräckligt stort, oavsett vad startvärdet är. Det är förstå s rätt ointressant i sig själv, annat än att det har en viss signifikans bortom det vi gör här. Det är ett exempel på enkla diskreta dynamiska system, ett slags enkla babymodeller av en typ som används för att modellera komplexa fenomen i naturen. Det faktum att redan detta enkla system är så pass eländigt komplicerat har alltså betydelse för vå ra förväntningar på hur naturen beter sig. Vi kan inte förvänta oss att klara alla problem, suck. In[65]:= Out[68]= 4 Nu ska vi se att gränsvärdet med de första säg 1000 talen som startvärden ger förr eller senare cykel 41. Då ska vi alltså ha olika startvärden, och det är fiffigast att lägga in detta i en funktion av två variabler, där startvärdet är första variabeln m och antalet iterationer n den andra. f m_, 1 m; f m_, n_ : f m, n If Divisible f m, n 1,, f m, n 1, 3 f m, n 1 1 f 318, 100 Vi vill nu titta på värdena f[m,n] för alla m mindre än 1000 och se om vi få r 4,,1 för n tillräckligt stort. Vi kan göra en tabell av funktionsvärden till f[m, n](den har element så med användning av ett semikolon skriver vi inte ut den...)(observera hur vi talar om att m ska gå frå n 1 till 1000, och m frå n 1 till 150): In[69]:= Dyn Table f m, n, m, 1, 1000, n, 1, 150 ;

9 Laboration3.nb 9 In[70]:= Dyn 13 Out[70]= 13, 40, 0, 10, 5, 16, 8, 4,, 1, 4,, 1, 4,, 1, 4,, 1, 4,, 1, 4,, 1, 4,, 1, 4,, 1, 4,, 1, 4,, 1, 4,, 1, 4,, 1, 4,, 1, 4,, 1, 4,, 1, 4,, 1, 4,, 1, 4,, 1, 4,, 1, 4,, 1, 4,, 1, 4,, 1, 4,, 1, 4,, 1, 4,, 1, 4,, 1, 4,, 1, 4,, 1, 4,, 1, 4,, 1, 4,, 1, 4,, 1, 4,, 1, 4,, 1, 4,, 1, 4,, 1, 4,, 1, 4,, 1, 4,, 1, 4,, 1, 4,, 1, 4,, 1, 4,, 1, 4,, 1, 4,, 1, 4,, 1, 4,, 1, 4, Vad är resultatet av kommandot table här? Vad är elementen i listan Dyn? Jo 13: e elementet Dyn[[13]] är listan av alla funktionsvärden {f[13,1],f[13,],...,f[13,150]}, d v s effekten av att iterera med startvärdet 13 högst hundrafemtio gå nger. Nu gäller det att hå lla tungan rätt i mun...vi vill välja ut element i Dyn, alltså listor av typen {f[m,1],f[m,],...,f[m,150]}, så att det sista elementen inte är 4,,1. Sista elementet f[m,150] i en så dan lista kan vi få fram med Last[#], där # är variabeln som löper över elementen i listan. Följande kommando plockar alltså ut de {f[m,1],f[m,],...,f[m,150]}, så att det sista elementen inte är 4,,1. In[71]:= ( skrivs som!=, och && är mathematicas symbol för det logiska "och") dd Select Dyn, Last 4 && Last && Last 1 & ; För att nu få fram det första elementet här så använder vi First In[7]:= First dd Out[7]= 703, 110, 1055, 3166, 1583, 4750, 375, 716, 3563, , 5345, , 8018, 4009, 1 08, 6014, 3007, 90, 4511, , 6767, 0 30, , , 15 7, 45 68, 841, 68 54, 34 6, , , 5 697, 77 09, , 19 73, 57 80, 8 910, , , 1 683, , 3 55, , , 4 394, 1 197, 36 59, 18 96, 9148, 4574, 87, 686, 3431, 10 94, 5147, 15 44, 771, 3 164, 11 58, 5791, , 8687, 6 06, , , , 58 64, 9 31, , 43 98, 1 991, , 3 987, 98 96, , , 74, , , , , , , 15 5, 6 66, , , , 3 485, , 35 8, , 8807, 6 4, 13 11, , , 59 45, 9 76, , , 95, , , , , , 75 48, 37 64, 18 81, 9406, 4703, , 7055, 1 166, , , , 47 66, 3 813, , 35 70, , 8930, 4465, , 6698, 3349, , 504, 51, 156, 68, 314, 157, 47, 36, 118, 59, 178, 89, 68, 134, 67, 0, 101, 304, 15, 76, 38 In[73]:= In[74]:= Vi ser alltså att för m=703 räcker inte 150 iterationer av vå r funktion. Men 00 räcker: Table f 703, i, i, 1, 00 Out[74]= 703, 110, 1055, 3166, 1583, 4750, 375, 716, 3563, , 5345, , 8018, 4009, 1 08, 6014, 3007, 90, 4511, , 6767, 0 30, , , 15 7, 45 68, 841, 68 54, 34 6, , , 5 697, 77 09, , 19 73, 57 80, 8 910, , , 1 683, , 3 55, , , 4 394, 1 197, 36 59, 18 96, 9148, 4574, 87, 686, 3431, 10 94, 5147, 15 44, 771, 3 164, 11 58, 5791, , 8687, 6 06, , , , 58 64, 9 31, , 43 98, 1 991, , 3 987, 98 96, , , 74, , , , , , , 15 5, 6 66, , , , 3 485, , 35 8, , 8807, 6 4, 13 11, , , 59 45, 9 76, , , 95, , , , , , 75 48, 37 64, 18 81, 9406, 4703, , 7055, 1 166, , , , 47 66, 3 813, , 35 70, , 8930, 4465, , 6698, 3349, , 504, 51, 156, 68, 314, 157, 47, 36, 118, 59, 178, 89, 68, 134, 67, 0, 101, 304, 15, 76, 38, 19, 58, 9, 88, 44,, 11, 34, 17, 5, 6, 13, 40, 0, 10, 5, 16, 8, 4,, 1, 4,, 1, 4,, 1, 4,, 1, 4,, 1, 4,, 1, 4,, 1, 4,, 1, 4,, 1, 4,, 1, 4,

För att få första och sista elementet i en lista kan man använda First och Last

För att få första och sista elementet i en lista kan man använda First och Last Arbetsblad 3 I det tredje arbetsbladet tar vi upp rekursiva definitioner, listor och primtal. Precis som det tidigare arbetsbladet är detta en mindre modifiering av en text skriven av Rikard Bögvad för

Läs mer

Prov 1 2. Ellips 12 Numeriska och algebraiska metoder lösningar till övningsproven uppdaterad 20.5.2010. a) i) Nollställen för polynomet 2x 2 3x 1:

Prov 1 2. Ellips 12 Numeriska och algebraiska metoder lösningar till övningsproven uppdaterad 20.5.2010. a) i) Nollställen för polynomet 2x 2 3x 1: Ellips Numeriska och algebraiska metoder lösningar till övningsproven uppdaterad.. Prov a) i) ii) iii) =,, = st 9,876 =,9876,99 = 9,9,66,66 =,7 =,7 Anmärkning. Nollor i början av decimaltal har ingen betydelse

Läs mer

Läsanvisning till Discrete matematics av Norman Biggs - 5B1118 Diskret matematik

Läsanvisning till Discrete matematics av Norman Biggs - 5B1118 Diskret matematik Läsanvisning till Discrete matematics av Norman Biggs - 5B1118 Diskret matematik Mats Boij 28 oktober 2001 1 Heltalen Det första kapitlet handlar om heltalen och deras aritmetik, dvs deras egenskaper som

Läs mer

Material till kursen SF1679, Diskret matematik: Lite om kedjebråk. 0. Inledning

Material till kursen SF1679, Diskret matematik: Lite om kedjebråk. 0. Inledning Matematik, KTH Bengt Ek november 207 Material till kursen SF679, Diskret matematik: Lite om kedjebråk 0 Inledning Talet π (kvoten mellan en cirkels omkrets och dess diameter) är inte ett rationellt tal

Läs mer

TATM79: Föreläsning 3 Komplexa tal

TATM79: Föreläsning 3 Komplexa tal TATM79: Föreläsning 3 Komplexa tal Johan Thim 22 augusti 2018 1 Komplexa tal Definition. Det imaginära talet i uppfyller att i 2 = 1. Detta är alltså ett tal vars kvadrat är negativ. Det kan således aldrig

Läs mer

Övningshäfte 3: Polynom och polynomekvationer

Övningshäfte 3: Polynom och polynomekvationer LMA100 VT2005 ARITMETIK OCH ALGEBRA DEL 2 Övningshäfte 3: Polynom och polynomekvationer Syftet med denna övning är att repetera gymnasiekunskaper om polynom och polynomekvationer samt att bekanta sig med

Läs mer

Labb 3: Ekvationslösning med Matlab (v2)

Labb 3: Ekvationslösning med Matlab (v2) Envariabelanalys Labb 3: Ekvationslösning 1/13 Labb 3: Ekvationslösning med Matlab (v2) Envariabelanalys 2007-03-05 Björn Andersson (IT-06), bjoa@kth.se Johannes Nordkvist (IT-06), nordkv@kth.se Det finns

Läs mer

Laboration 4: Integration på olika sätt

Laboration 4: Integration på olika sätt Laboration 4: Integration på olika sätt I detta arbetsblad finns dels ett antal exempel på hur man kan använda Mathematica för att beräkna integraler och sedan ett exempel på Monte-Carlo integration. Exempel

Läs mer

MMA132: Laboration 2 Matriser i MATLAB

MMA132: Laboration 2 Matriser i MATLAB MMA132: Laboration 2 Matriser i MATLAB Introduktion I den här labben skall vi lära oss hur man använder matriser och vektorer i MATLAB. Det är rekommerad att du ser till att ha laborationshandledningen

Läs mer

TATM79: Föreläsning 1 Notation, ekvationer, polynom och summor

TATM79: Föreläsning 1 Notation, ekvationer, polynom och summor TATM79: Föreläsning 1 Notation, ekvationer, polynom och summor Johan Thim 22 augusti 2018 1 Vanliga symboler Lite logik Implikation: P Q. Detta betyder att om P är sant så är Q sant. Utläses P medför Q

Läs mer

Tal och polynom. Johan Wild

Tal och polynom. Johan Wild Tal och polynom Johan Wild 14 augusti 2008 Innehåll 1 Inledning 3 2 Att gå mellan olika typer av tal 3 3 De hela talen och polynom 4 3.1 Polynom........................... 4 3.2 Räkning med polynom...................

Läs mer

Texten är en omarbetning av en text skriven av Rikard Bögvad för kursen Matematik I (30 hp).

Texten är en omarbetning av en text skriven av Rikard Bögvad för kursen Matematik I (30 hp). Introduktion Med hjälp av dator kan man utföra omfattande matematiska beräkningar, men också få datorn att producera lösningar på icke-triviala uppgifter. I det här momentet av kursen ska vi bekanta oss

Läs mer

MA2047 Algebra och diskret matematik

MA2047 Algebra och diskret matematik MA2047 Algebra och diskret matematik Något om komplexa tal Mikael Hindgren 17 oktober 2018 Den imaginära enheten i Det finns inga reella tal som uppfyller ekvationen x 2 + 1 = 0. Vi inför den imaginära

Läs mer

Hela tal LCB 1999/2000

Hela tal LCB 1999/2000 Hela tal LCB 1999/2000 Ersätter Grimaldi 4.3 4.5 1 Delbarhet Alla förekommande tal i fortsättningen är heltal. DEFINITION 1. Man säger att b delar a om det finns ett heltal n så att a Man skriver b a när

Läs mer

1. Ange samtliga uppsättningar av heltal x, y, z som uppfyller båda ekvationerna. x + 2y + 24z = 13 och x 11y + 17z = 8.

1. Ange samtliga uppsättningar av heltal x, y, z som uppfyller båda ekvationerna. x + 2y + 24z = 13 och x 11y + 17z = 8. Tentamenskrivning MATA15 Algebra: delprov 1, 6hp Lördagen den mars 014 Matematikcentrum Matematik NF LÖSNINGSFÖRSLAG 1. Ange samtliga uppsättningar av heltal x, y, z som uppfyller båda ekvationerna x +

Läs mer

Uppföljning av diagnostiskt prov Repetition av kursmoment i TNA001-Matematisk grundkurs.

Uppföljning av diagnostiskt prov Repetition av kursmoment i TNA001-Matematisk grundkurs. Uppföljning av diagnostiskt prov 06-0- Repetition av kursmoment i TNA00-Matematisk grundkurs. Reella tal, intervall, räta linjer, cirklar Faktorsatsen, faktoriseringar, polynomekvationer Olikheter Ekvationer

Läs mer

Matematisk kommunikation för Π Problemsamling

Matematisk kommunikation för Π Problemsamling Problemsamling Charlotte Soneson & Niels Chr. Overgaard september 200 Problem. Betrakta formeln n k = k= n(n + ). 2 Troliggör den först genom att exempelvis i summan +2+3+4+5+6 para ihop termer två och

Läs mer

1, 2, 3, 4, 5, 6,...

1, 2, 3, 4, 5, 6,... Dagens nyhet handlar om talföljder, ändliga och oändliga. Talföljden 1,, 3, 4, 5, 6,... är det första vi, som barn, lär oss om matematik över huvud taget. Så småningom lär vi oss att denna talföljd inte

Läs mer

Rekursionsformler. Komplexa tal (repetition) Uppsala Universitet Matematiska institutionen Isac Hedén isac

Rekursionsformler. Komplexa tal (repetition) Uppsala Universitet Matematiska institutionen Isac Hedén isac Uppsala Universitet Matematiska institutionen Isac Hedén isac distans@math.uu.se Algebra I, 5 hp Vecka 21. Vi nämner något kort om rekursionsformler för att avsluta [Vre06, kap 4], sedan börjar vi med

Läs mer

Induktion, mängder och bevis för Introduktionskursen på I

Induktion, mängder och bevis för Introduktionskursen på I Induktion, mängder och bevis för Introduktionskursen på I J A S, ht 04 1 Induktion Detta avsnitt handlar om en speciell teknik för att försöka bevisa riktigheten av påståenden eller formler, för alla heltalsvärden

Läs mer

Polynomekvationer (Algebraiska ekvationer)

Polynomekvationer (Algebraiska ekvationer) Polynomekvationer (Algebraiska ekvationer) Faktorsatsen 1. Pettersson: teori och exempel på sid. 21-22 Det intressanta är följande idé: Om man på något sätt (Vilket det är en annan fråga, se nedan!) har

Läs mer

TATM79: Föreläsning 1 Notation, ekvationer, polynom och olikheter

TATM79: Föreläsning 1 Notation, ekvationer, polynom och olikheter TATM79: Föreläsning 1 Notation, ekvationer, polynom och olikheter Johan Thim 15 augusti 2015 1 Vanliga symboler Lite logik Implikation: P Q. Detta betyder att om P är sant så är Q sant. Utläses P medför

Läs mer

Föreläsning 9: Talteori

Föreläsning 9: Talteori DD2458, Problemlösning och programmering under press Föreläsning 9: Talteori Datum: 2009-11-11 Skribent(er): Ting-Hey Chau, Gustav Larsson, Åke Rosén Föreläsare: Fredrik Niemelä Den här föreläsningen handlar

Läs mer

Medan du läser den är det meningen och viktigt att du ska aktivera de celler där det står Mathematicakommandon(i fetstil).

Medan du läser den är det meningen och viktigt att du ska aktivera de celler där det står Mathematicakommandon(i fetstil). Laboration 1: Interpolation OBS! I denna notebook finns det mesta du behöver för att lösa webworkövningarna. Resten är det meningen att du ska leta reda på genom att söka i documentation centre. Medan

Läs mer

Matematik 5 Kap 2 Diskret matematik II

Matematik 5 Kap 2 Diskret matematik II Matematik 5 Kap 2 Diskret matematik II Inledning Konkretisering av ämnesplan (länk) http://www.ioprog.se/public_html/ämnesplan_matematik/struktur_äm nesplan_matematik/struktur_ämnesplan_matematik.html

Läs mer

Matematisk kommunikation för Π Problemsamling

Matematisk kommunikation för Π Problemsamling Problemsamling Niels Chr. Overgaard & Johan Fredriksson 3 september 205 Problem 0. Skriv följande summor mha summationstecken. ( Dvs på formen q k=p a k där k är en räknare som löper med heltalssteg mellan

Läs mer

Sidor i boken 110-113, 68-69 2, 3, 5, 7, 11,13,17 19, 23. Ett andragradspolynom Ett tiogradspolynom Ett tredjegradspolynom

Sidor i boken 110-113, 68-69 2, 3, 5, 7, 11,13,17 19, 23. Ett andragradspolynom Ett tiogradspolynom Ett tredjegradspolynom Sidor i boken 110-113, 68-69 Räkning med polynom Faktorisering av heltal. Att primtalsfaktorisera ett heltal innebär att uppdela heltalet i faktorer, där varje faktor är ett primtal. Ett primtal är ett

Läs mer

Resträkning och ekvationer

Resträkning och ekvationer 64 Resträkning och ekvationer Torsten Ekedahl Stockholms Universitet Beskrivning av uppgiften. Specialarbetet består i att sätta sig in i hur man räknar med rester vid division med primtal, hur man löser

Läs mer

POLYNOM OCH POLYNOMEKVATIONER

POLYNOM OCH POLYNOMEKVATIONER Explorativ övning 8 POLYNOM OCH POLYNOMEKVATIONER Syftet med denna övning är att repetera gymnasiekunskaper om polynom och polynomekvationer samt att bekanta sig med en del nya egenskaper hos polynom.

Läs mer

Algebra I, 1MA004. Lektionsplanering

Algebra I, 1MA004. Lektionsplanering UPPSALA UNIVERSITET Matematiska Institutionen Dan Strängberg HT2016 Fristående, IT, KandDv, KandMa, Lärare 2016-11-02 Algebra I, 1MA004 Lektionsplanering Här anges rekommenderade uppgifter ur boken till

Läs mer

Talmängder N = {0,1,2,3,...} C = {a+bi : a,b R}

Talmängder N = {0,1,2,3,...} C = {a+bi : a,b R} Moment 1..1, 1.., 1..4, 1..5 Viktiga exempel 1., 1.4, 1.8 Övningsuppgifter I 1.7, 1.8, 1.9 Extrauppgifter 1,,, 4 Den teori och de exempel, som kommer att presenteras här, är normalt vad jag kommer att

Läs mer

Förkortning och förlängning av rationella uttryck (s. 29 Origo 3b)

Förkortning och förlängning av rationella uttryck (s. 29 Origo 3b) 1 Print 1 Algebraiska 2 Variabler 1 Algebraiska 3 Input 1 Algebraiska 4 For 1 Algebraiska uttryck, Rationella uttryck Förkortning och förlängning av rationella uttryck (s. 29 Origo 3b) Eleverna kan träna

Läs mer

Enklare matematiska uppgifter

Enklare matematiska uppgifter Elementa Årgång 49, 966 Årgång 49, 966 Första häftet 2555. Visa att 4 n + n + 8 ej kan vara primtal för något heltal n 0. 2556. Man vill göra en behållare utan lock, som rymmer m 3, i form av en rätvinklig

Läs mer

Talmängder. Målet med första föreläsningen:

Talmängder. Målet med första föreläsningen: Moment 1..1, 1.., 1..4, 1..5, 1.. 1..5, 1..6 Viktiga exempel 1.7, 1.8, 1.8,1.19,1. Handräkning 1.7, 1.9, 1.19, 1.4, 1.9 b,e 1.0 a,b Datorräkning 1.6-1.1 Målet med första föreläsningen: 1 En första kontakt

Läs mer

M0038M Differentialkalkyl, Lekt 15, H15

M0038M Differentialkalkyl, Lekt 15, H15 M0038M Differentialkalkyl, Lekt 15, H15 Staffan Lundberg Luleå Tekniska Universitet Staffan Lundberg M0038M H15 1/ 15 Repetition Lekt 14 Bestäm följande gränsvärden cos x tan x lim x 0 x x + ln ( e 2x

Läs mer

Ansvariga lärare: Yury Shestopalov, rum 3A313, tel 054-7001856 (a) Problem 1. Använd Eulers metod II (tre steg) och lös begynnelsevärdesproblemet

Ansvariga lärare: Yury Shestopalov, rum 3A313, tel 054-7001856 (a) Problem 1. Använd Eulers metod II (tre steg) och lös begynnelsevärdesproblemet FACIT: Numeriska metoder Man måste lösa tre problem. Problemen 1 och är obligatoriska, och man kan välja Problemet 3 eller 4 som den tredje. Hjälp medel: Miniräknare (med Guidebook för miniräknare) och

Läs mer

Förkortning och förlängning av rationella uttryck (s. 27 Origo 3c)

Förkortning och förlängning av rationella uttryck (s. 27 Origo 3c) 1 Print 1 Algebraiska 2 Variabler 1 Algebraiska 3 Input 1 Algebraiska 4 For 1 Algebraiska uttryck, Rationella uttryck 1 Algebraiska uttryck, Gränsvärden Förkortning och förlängning av rationella uttryck

Läs mer

Polynomekvationer. p 2 (x) = x x 3 +2x 10 = 0

Polynomekvationer. p 2 (x) = x x 3 +2x 10 = 0 Moment.3.,.3.3,.3.5,.3.6, 2.4., 2.4.2 Viktiga exempel.2,.4,.8,.2,.23,.25,.27,.28,.29, 2.23, 2.24 Handräkning.2,.3,.8,.24,.25,.27,.29 ab,.30,.3 ac, 2.29 abc Datorräkning.6-.3 Ett polynom vilket som helst

Läs mer

Lösningsförslag till Tentamen i 5B1118 Diskret matematik 5p 14 augusti, 2002

Lösningsförslag till Tentamen i 5B1118 Diskret matematik 5p 14 augusti, 2002 Institutionen för matematik, KTH Mats Boij och Niklas Eriksen Lösningsförslag till Tentamen i 5B1118 Diskret matematik 5p 14 augusti, 2002 1. Använd induktion för att visa att 8 delar (2n + 1 2 1 för alla

Läs mer

3.3. Symboliska matematikprogram

3.3. Symboliska matematikprogram 3.3. Symboliska matematikprogram Vi skall nu övergå till att behandla de vanligaste matematikprogrammen, och börja med de symboliska. Av dessa kan både Mathematica och Maple användas på flere UNIX-datorer.

Läs mer

Lite om räkning med rationella uttryck, 23/10

Lite om räkning med rationella uttryck, 23/10 Lite om räkning med rationella uttryck, / Tänk på att polynom uppför sig ungefär som heltal Summan, differensen respektive produkten av två heltal blir ett heltal och på motsvarande sätt blir summan, differensen

Läs mer

Lösandet av ekvationer utgör ett centralt område inom matematiken, kanske främst den tillämpade.

Lösandet av ekvationer utgör ett centralt område inom matematiken, kanske främst den tillämpade. 1.1 Ekvationslösning Lösandet av ekvationer utgör ett centralt område inom matematiken, kanske främst den tillämpade. 1.1.1 Polynomekvationer Ett polynom i en variabel x är som bekant en summa av termer

Läs mer

Introduktion till algoritmer - Lektion 1 Matematikgymnasiet, Läsåret 2014-2015. Lektion 1

Introduktion till algoritmer - Lektion 1 Matematikgymnasiet, Läsåret 2014-2015. Lektion 1 Kattis Lektion 1 I kursen används onlinedomaren Kattis (från http://kattis.com) för att automatiskt rätta programmeringsproblem. För att få ett konto på Kattis anmäler du dig på Programmeringsolympiadens

Läs mer

29 Det enda heltalet n som satisfierar båda dessa villkor är n = 55. För detta värde på n får vi x = 5, y = 5.

29 Det enda heltalet n som satisfierar båda dessa villkor är n = 55. För detta värde på n får vi x = 5, y = 5. Tentamenskrivning MATA15 Algebra: delprov 1, 6hp Lördagen den 3 november 01 Matematikcentrum Matematik NF LÖSNINGSFÖRSLAG 1 a) Lös den diofantiska ekvationen 9x + 11y 00 b) Ange alla lösningar x, y) sådana

Läs mer

Föreläsningsanteckningar, Introduktion till datavetenskap HT S4 Datastrukturer. Tobias Wrigstad

Föreläsningsanteckningar, Introduktion till datavetenskap HT S4 Datastrukturer. Tobias Wrigstad 1 Datatyper Tobias Wrigstad Det finns flera olika typer av (slags) data Olika datatyper har olika egenskaper. T.ex. är ett personnummer inte ett tal. (Den sista siffran skall stämma enligt den s.k. Luhnalgoritmen

Läs mer

Euklides algoritm för polynom

Euklides algoritm för polynom Uppsala Universitet Matematiska institutionen Isac Hedén isac distans@math.uu.se Algebra I, 5 hp Vecka 22. Euklides algoritm för polynom Ibland kan det vara intressant att bestämma den största gemensamma

Läs mer

Mängder och kardinalitet

Mängder och kardinalitet UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Erik Melin Specialkursen HT07 28 september 2007 Mängder och kardinalitet Dessa blad utgör skissartade föreläsningsanteckningar kombinerat med övningar. Framställningen

Läs mer

2 (6) k 0 2 (7) n 1 F k F n. k F k F n F k F n F n 1 2 (8)

2 (6) k 0 2 (7) n 1 F k F n. k F k F n F k F n F n 1 2 (8) De naturliga talen. Vi skall till att börja med stanna kvar i världen av naturliga tal, N 3. Vi har redan använt (i beviset av Euklides primtalssats) att de naturliga talen är uppbyggda (genom multiplikation)

Läs mer

Bisektionsalgoritmen. Kapitel Kvadratroten ur 2

Bisektionsalgoritmen. Kapitel Kvadratroten ur 2 Kapitel 4 Bisektionsalgoritmen Vi ska konstruera lösningar till algebraiska ekvationer av formen f(x) = 0 med hjälp av bisektionsalgoritmen (intervallhalveringsmetoden). På samma gång ska vi se hur man

Läs mer

Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Thomas Erlandsson

Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Thomas Erlandsson Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Thomas Erlandsson LÄSANVISNINGAR VECKA 36 VERSION 1. ARITMETIK FÖR RATIONELLA OCH REELLA TAL, OLIKHETER, ABSOLUTBELOPP ADAMS P.1 Real Numbers and the Real

Läs mer

(N) och mängden av heltal (Z); objekten i en mängd behöver dock inte vara tal. De objekt som ingår i en mängd kallas för mängdens element.

(N) och mängden av heltal (Z); objekten i en mängd behöver dock inte vara tal. De objekt som ingår i en mängd kallas för mängdens element. Grunder i matematik och logik (2017) Mängdlära Marco Kuhlmann 1 Grundläggande begrepp Mängder och element 2.01 En mängd är en samling objekt. Två standardexempel är mängden av naturliga tal (N) och mängden

Läs mer

Introduktion till MATLAB

Introduktion till MATLAB 29 augusti 2017 Introduktion till MATLAB 1 Inledning MATLAB är ett interaktivt program för numeriska beräkningar med matriser. Med enkla kommandon kan man till exempel utföra matrismultiplikation, beräkna

Läs mer

LABBA MED PRIMTAL OCH DELBARHET. Andreas Wannebo

LABBA MED PRIMTAL OCH DELBARHET. Andreas Wannebo LABBA MED PRIMTAL OCH DELBARHET Andreas Wannebo Vi ska studera egenskaper för heltalen. Det finns heltal såsom 1,2,3,4,... De är de positiva heltalen och det är dem vi vill studera. Först kan man ställa

Läs mer

Betygskriterier Matematik E MA1205 50p. Respektive programmål gäller över kurskriterierna

Betygskriterier Matematik E MA1205 50p. Respektive programmål gäller över kurskriterierna Betygskriterier Matematik E MA105 50p Respektive programmål gäller över kurskriterierna MA105 är en nationell kurs och skolverkets kurs- och betygskriterier finns på http://www3.skolverket.se/ Detta är

Läs mer

DN1212/numpm Numeriska metoder och grundläggande programmering Laboration 1 Introduktion

DN1212/numpm Numeriska metoder och grundläggande programmering Laboration 1 Introduktion Staffan Romberger 2008-10-31 DN1212/numpm Numeriska metoder och grundläggande programmering Laboration 1 Introduktion Efter den här laborationen ska du kunna hantera vektorer och matriser, villkorssatser

Läs mer

Tentamen TAIU07 Matematiska beräkningar med MATLAB för MI

Tentamen TAIU07 Matematiska beräkningar med MATLAB för MI TEKNISKA HÖGSKOLAN I LINKÖPING Matematiska institutionen Beräkningsmatematik/Fredrik Berntsson Tentamen TAIU07 Matematiska beräkningar med MATLAB för MI Tid: 14-18, 13:e Mars, 2018 Provkod: TEN1 Hjälpmedel:

Läs mer

Matematik 4 Kap 4 Komplexa tal

Matematik 4 Kap 4 Komplexa tal Matematik 4 Kap 4 Komplexa tal Konkretisering av ämnesplan (länk) http://www.ioprog.se/public_html/ämnesplan_matematik/struktur_ämnesp lan_matematik/struktur_ämnesplan_matematik.html Inledande aktivitet

Läs mer

A B A B A B S S S S S F F S F S F S F F F F

A B A B A B S S S S S F F S F S F S F F F F Uppsala Universitet Matematiska institutionen Isac Hedén isac distans@math.uu.se Algebra I, 5 hp Vecka 17. Logik När man utför matematiska resonemang så har man alltid vissa logiska spelregler att förhålla

Läs mer

Sats 2.1 (Kinesiska restsatsen) Låt n och m vara relativt prima heltal samt a och b två godtyckliga heltal. Då har ekvationssystemet

Sats 2.1 (Kinesiska restsatsen) Låt n och m vara relativt prima heltal samt a och b två godtyckliga heltal. Då har ekvationssystemet Avsnitt 2 Tillägg om kongruensräkning Detta avsnitt handlar om två klassiska satser som används för att förenkla kongruensräkning: Kinesiska restsatsen och Fermats lilla sats. Den första satsen används

Läs mer

4x 1 = 2(x 1). i ( ) får vi 5 3 = 5 1, vilket inte stämmer alls, så x = 1 2 är en falsk rot. Svar. x = = x x + y2 1 4 y

4x 1 = 2(x 1). i ( ) får vi 5 3 = 5 1, vilket inte stämmer alls, så x = 1 2 är en falsk rot. Svar. x = = x x + y2 1 4 y UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Styf Prov i matematik BASKURS DISTANS 011-03-10 Lösningar till tentan 011-03-10 Del A 1. Lös ekvationen 5 + 4x 1 5 x. ( ). Lösning. Högerledet han skrivas

Läs mer

Komplexa tal med Mathematica

Komplexa tal med Mathematica Komplexa tal med Mathematica Vi startar med att lösa en andragradsekvation Solve[x^ - x + == 0] Vi får de komplexa rötterna x 1 = 1 i och x = 1 + i. När vi plottar funktionen f(x) = x x+ ser vi tydligt

Läs mer

, S(6, 2). = = = =

, S(6, 2). = = = = 1 Matematiska Institutionen KTH Lösningar till tentamensskrivning på kursen Diskret Matematik, moment A, för D2 och F, SF161 och SF160, den 17 april 2010 kl 09.00-14.00. Examinator: Olof Heden. DEL I 1.

Läs mer

Kompletteringskompendium

Kompletteringskompendium Kompletteringskompendium Tomas Ekholm Institutionen för matematik Innehåll 0 Notationer och inledande logik 3 0.1 Talmängder............................ 3 0. Utsagor.............................. 3 1 Induktion

Läs mer

10! = =

10! = = Algebra II: Gamla tentor Algebra II: Lösningar till tentan den 28. maj 2012 Hjälpmedel: Papper skrivdon samt miniräknare. 1. Låt ϕ : N N vara Eulers ϕ-funktion. (a) Primfaktorisera ϕ(10!). Lösning: Faktoriseringen

Läs mer

a = a a a a a a ± ± ± ±500

a = a a a a a a ± ± ± ±500 4.1 Felanalys Vill man hårddra det hela, kan man påstå att det inte finns några tal i den tillämpade matematiken, bara intervall. Man anger till exempel inte ett uppmätt värde till 134.78 meter utan att

Läs mer

ger rötterna till ekvationen x 2 + px + q = 0.

ger rötterna till ekvationen x 2 + px + q = 0. KTHs Sommarmatematik 2002 Exempel Övningar Lösningar 1 Lösningar 2 Översikt 2.1 Introduktion Introduktion Avsnitt 2 handlar om den enklaste typen av algebraiska uttryck, polynomen. Eftersom polynom i princip

Läs mer

Matematik (1-15 hp) Programkurs 15 hp Mathematics (1-15) 92MA11 Gäller från: Fastställd av. Fastställandedatum. Styrelsen för utbildningsvetenskap

Matematik (1-15 hp) Programkurs 15 hp Mathematics (1-15) 92MA11 Gäller från: Fastställd av. Fastställandedatum. Styrelsen för utbildningsvetenskap DNR LIU-2009-00464 1(5) Matematik (1-15 hp) Programkurs 15 hp Mathematics (1-15) 92MA11 Gäller från: Fastställd av Styrelsen för utbildningsvetenskap Fastställandedatum 2012-01-09 2(5) Huvudområde Matematik

Läs mer

Finaltävling i Uppsala den 24 november 2018

Finaltävling i Uppsala den 24 november 2018 SKOLORNAS MATEMATIKTÄVLING Svenska matematikersamfundet Finaltävling i Uppsala den 4 november 018 1. Låt ABCD vara en fyrhörning utan parallella sidor, som är inskriven i en cirkel. Låt P och Q vara skärningspunkterna

Läs mer

Lösningar till övningstentan. Del A. UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Styf. Övningstenta BASKURS DISTANS

Lösningar till övningstentan. Del A. UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Styf. Övningstenta BASKURS DISTANS UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Styf Övningstenta BASKURS DISTANS 011-0-7 Lösningar till övningstentan Del A 1. Lös ekvationen 9 + 5x = x 1 ( ). Lösning. Genom att kvadrera ekvationens led

Läs mer

Allmänt om Mathematica

Allmänt om Mathematica Allmänt om Mathematica Utvecklades av Wolfram Research (Stephen Wolfram) på 80-talet Programmet finns bl.a. till Windows, Mac OS X, Linux. Finns (åtminstone) installerat i ASA B121 (Stansen), i matematik

Läs mer

MATLAB. Python. Det finns flera andra program som liknar MATLAB. Sage, Octave, Maple och...

MATLAB. Python. Det finns flera andra program som liknar MATLAB. Sage, Octave, Maple och... Allt du behöver veta om MATLAB: Industristandard för numeriska beräkningar och simulationer. Används som ett steg i utvecklingen (rapid prototyping) Har ett syntax Ett teleskopord för «matrix laboratory»

Läs mer

Tentamensuppgifter, Matematik 1 α

Tentamensuppgifter, Matematik 1 α Matematikcentrum Matematik NF Tentamensuppgifter, Matematik 1 α Utvalda och utskrivna av Tomas Claesson och Per-Anders Ivert Aritmetik 1. Bestäm en största gemensam delare till heltalen a) 5431 och 1345,

Läs mer

Diagonalisering och linjära system ODE med konstanta koe cienter.

Diagonalisering och linjära system ODE med konstanta koe cienter. Diagonalisering och linjära system ODE med konstanta koe cienter. Variabelbyte i linjära system di erentialekvationer. Målet med det kapitlet i kursen är att lösa linjära system di erentialekvationer på

Läs mer

Variabler. TANA81: Beräkningar med Matlab. Matriser. I Matlab skapas en variabel genom att man anger dess namn och ger den ett värde:

Variabler. TANA81: Beräkningar med Matlab. Matriser. I Matlab skapas en variabel genom att man anger dess namn och ger den ett värde: TANA81: Beräkningar med Matlab - Variabler och Matriser - Logiska uttryck och Villkor - Repetitionssatser - Grafik - Funktioner Variabler I Matlab skapas en variabel genom att man anger dess namn och ger

Läs mer

Gaussiska primtal. Christer Kiselman. Institut Mittag-Leffler & Uppsala universitet

Gaussiska primtal. Christer Kiselman. Institut Mittag-Leffler & Uppsala universitet 195 Gaussiska primtal Christer Kiselman Institut Mittag-Leffler & Uppsala universitet 1. Beskrivning av uppgiften. De förslag som presenteras här kan behandlas på flera olika sätt. Ett första syfte är

Läs mer

LMA033/LMA515. Fredrik Lindgren. 4 september 2013

LMA033/LMA515. Fredrik Lindgren. 4 september 2013 LMA033/LMA515 Fredrik Lindgren Matematiska vetenskaper Chalmers tekniska högskola och Göteborgs universitet 4 september 2013 F. Lindgren (Chalmers&GU) Matematik 4 september 2013 1 / 25 Outline 1 Föreläsning

Läs mer

Interpolation Modellfunktioner som satisfierar givna punkter

Interpolation Modellfunktioner som satisfierar givna punkter Interpolation Modellfunktioner som satisfierar givna punkter Några tillämpningar Animering rörelser, t.ex. i tecknad film Bilder färger resizing Grafik Diskret representation -> kontinuerlig 2 Interpolation

Läs mer

Polynomekvationer. p 2 (x) = x x 3 +2x 10 = 0

Polynomekvationer. p 2 (x) = x x 3 +2x 10 = 0 Moment.3.,.3.3,.3.5,.3.6, 2.4., 2.4.2 Viktiga exempel.2,.4,.8,.2,.23,.25,.27,.28,.29, 2.23, 2.24 Övningsuppgifter.2,.3,.8,.24,.25,.27,.29 ab,.30,.3 ac, 2.29 abc Ett polynom vilket som helst kan skrivas

Läs mer

Tentamen TAIU07 Matematiska beräkningar med MATLAB för MI

Tentamen TAIU07 Matematiska beräkningar med MATLAB för MI TEKNISKA HÖGSKOLAN I LINKÖPING Matematiska institutionen Beräkningsmatematik/Fredrik Berntsson Tentamen TAIU07 Matematiska beräkningar med MATLAB för MI Tid: 8-12, 19:e Mars, 2019 Provkod: TEN1 Hjälpmedel:

Läs mer

Något om Taylors formel och Mathematica

Något om Taylors formel och Mathematica HH/ITE/BN Taylors formel och Mathematica Något om Taylors formel och Mathematica Bertil Nilsson 207-0-0 I am the best Ett av Brooks många ödmjuka inlägg i den infekterade striden som under början av 700

Läs mer

Moment 1.15, 2.1, 2.4 Viktiga exempel 2.2, 2.3, 2.4 Övningsuppgifter Ö2.2ab, Ö2.3. Polynomekvationer. p 2 (x) = x 7 +1.

Moment 1.15, 2.1, 2.4 Viktiga exempel 2.2, 2.3, 2.4 Övningsuppgifter Ö2.2ab, Ö2.3. Polynomekvationer. p 2 (x) = x 7 +1. Moment.5, 2., 2.4 Viktiga exempel 2.2, 2.3, 2.4 Övningsuppgifter Ö2.2ab, Ö2.3 Ett polynom vilket som helst kan skrivas Polynomekvationer p(x) = a 0 +a x+a 2 x 2 +...+a n x n +a n x n Talen a 0,a,...a n

Läs mer

Att undervisa och studera matematik med datoralgebraprogrammet Maxima. Per Jönsson och Thomas Lingefjärd

Att undervisa och studera matematik med datoralgebraprogrammet Maxima. Per Jönsson och Thomas Lingefjärd Att undervisa och studera matematik med datoralgebraprogrammet Maxima Per Jönsson och Thomas Lingefjärd Malmö och Göteborg 2009 1 Kort om Maxima Begreppet CAS (computer algebra system) eller på svenska

Läs mer

MMA132: Laboration 1 Introduktion till MATLAB

MMA132: Laboration 1 Introduktion till MATLAB MMA132: Laboration 1 Introduktion till MATLAB De flesta numeriska metoder låter oss få en tillräckligt bra lösning på ett matematiskt problem genom att byta ut komplexa matematiska operationer med kombinationer

Läs mer

Block 2 Algebra och Diskret Matematik A. Följder, strängar och tal. Referenser. Inledning. 1. Följder

Block 2 Algebra och Diskret Matematik A. Följder, strängar och tal. Referenser. Inledning. 1. Följder Block 2 Algebra och Diskret Matematik A BLOCK INNEHÅLL Referenser Inledning 1. Följder 2. Rekursiva definitioner 3. Sigmanotation för summor 4. Strängar 5. Tal 6. Övningsuppgifter Referenser Följder, strängar

Läs mer

x2 6x x2 6x + 14 x (x2 2x + 4)

x2 6x x2 6x + 14 x (x2 2x + 4) Tentamenskrivning MATA15 Algebra: delprov 1, 6hp Måndagen den 5:e november 01 Matematikcentrum Matematik NF LÖSNINGSFÖRSLAG 1. För vilka reella tal x gäller olikheten x 6x + 14? Lösningsalternativ 1: Den

Läs mer

Komponentvisa operationer,.-notation Multiplikation (*), division (/) och upphöj till (ˆ) av vektorer följer vanliga vektoralgebraiska

Komponentvisa operationer,.-notation Multiplikation (*), division (/) och upphöj till (ˆ) av vektorer följer vanliga vektoralgebraiska Matlab-föreläsning 3 (4), 17 september, 2015 Innehåll Sekvenser (från förra föreläsningen) Upprepning med for-slingor och while-slingor Villkorssatser med if - then -else - Logik Sekvenser - repetion från

Läs mer

Introduktion till Komplexa tal

Introduktion till Komplexa tal October 8, 2014 Introduktion till Komplexa tal HT 2014 CTH Lindholmen 2 Index 1 Komplexa tal 5 1.1 Definition och jämförelse med R 2................ 5 1.1.1 Likheter mellan R 2 och C................ 5

Läs mer

När du gjort detta kan du öppna motsvarande övning i WebWork: Självstudie 3(algebra), och lösa problemen där med samma metoder.

När du gjort detta kan du öppna motsvarande övning i WebWork: Självstudie 3(algebra), och lösa problemen där med samma metoder. Tillämpning 3: Mathematica och vektorer Vi ska nu använda Mathematica för att lösa problem med vektorer. Läs, som de andra noteböckerna, först igenom denna text, medan du löpande evaluerar de celler som

Läs mer

Gaussiska heltal. Maja Wallén. U.U.D.M. Project Report 2014:38. Department of Mathematics Uppsala University

Gaussiska heltal. Maja Wallén. U.U.D.M. Project Report 2014:38. Department of Mathematics Uppsala University U.U.D.M. Project Report 014:38 Gaussiska heltal Maja Wallén Examensarbete i matematik, 15 hp Handledare och examinator: Gunnar Berg Juni 014 Department of Mathematics Uppsala University Innehållsförteckning

Läs mer

Matematisk analys för ingenjörer Matlabövning 2 Numerisk ekvationslösning och integration

Matematisk analys för ingenjörer Matlabövning 2 Numerisk ekvationslösning och integration 10 februari 2017 Matematisk analys för ingenjörer Matlabövning 2 Numerisk ekvationslösning och integration Syfte med övningen: Introduktion till ett par numeriska metoder för lösning av ekvationer respektive

Läs mer

DEL I. Matematiska Institutionen KTH

DEL I. Matematiska Institutionen KTH 1 Matematiska Institutionen KTH Lösning till tentamensskrivning i Diskret Matematik för CINTE, CL2 och Media 1, SF1610 och 5B1118, tisdagen den 21 oktober 2008, kl 08.00-13.00. Examinator: Olof Heden.

Läs mer

STYRANDE SATSER. 1) Skriv ett program som räknar ut hur många år du har till pensionen. Vi räknar här med att man pensioneras det år man fyller 65 år.

STYRANDE SATSER. 1) Skriv ett program som räknar ut hur många år du har till pensionen. Vi räknar här med att man pensioneras det år man fyller 65 år. STYRANDE SATSER 1) Skriv ett program som räknar ut hur många år du har till pensionen. Vi räknar här med att man pensioneras det år man fyller 65 år. Vilket år är du född? 1971 Då har du bara 35 år kvar

Läs mer

Sidor i boken f(x) = a x 2 +b x+c

Sidor i boken f(x) = a x 2 +b x+c Sidor i boken 18-151 Andragradsfunktioner Här ska vi studera andragradsfunktionen som skrivs f(x) = ax +bx+c där a, b, c är konstanter (reella tal) och där a 0. Grafen (kurvan) till f(x), y = ax + bx +

Läs mer

SJÄLVSTÄNDIGA ARBETEN I MATEMATIK

SJÄLVSTÄNDIGA ARBETEN I MATEMATIK SJÄLVSTÄNDIGA ARBETEN I MATEMATIK MATEMATISKA INSTITUTIONEN, STOCKHOLMS UNIVERSITET Iterationer på ett intervall av Fredrik Bratt 2011 - No 3 MATEMATISKA INSTITUTIONEN, STOCKHOLMS UNIVERSITET, 106 91 STOCKHOLM

Läs mer

Komplexa tal: Begrepp och definitioner

Komplexa tal: Begrepp och definitioner UPPSALA UNIVERSITET Baskurs i matematik, 5hp Matematiska institutionen Höstterminen 007 Erik Darpö Martin Herschend Komplexa tal: Begrepp och definitioner Komplexa tal uppstod ur det faktum att vissa andragradsekvationer,

Läs mer

Högpresterande. Särskilt begåvade

Högpresterande. Särskilt begåvade Talangfulla elever Högpresterande Särskilt begåvade (från NP Ma C 2011) Nedan ges derivatans värde hos en funktion ff i en given punkt PP. lim h 0 2 + h 5 + 3 (2 5 + 3) h = 80. a) Ange funktionen ff. b)

Läs mer

2 Tillämpad Matematik I, Övning 1 HH/ITE/BN. De objekt som finns G men inte i H.

2 Tillämpad Matematik I, Övning 1 HH/ITE/BN. De objekt som finns G men inte i H. HH/ITE/BN Tillämpad Matematik I, Övning 0 3 Tillämpad Matematik I Övning Allmänt 0 Övningsuppgifterna, speciellt Typuppgifter i första hand, är exempel på uppgifter du kommer att möta på tentamen. På denna

Läs mer

MA2047 Algebra och diskret matematik

MA2047 Algebra och diskret matematik MA2047 Algebra och diskret matematik Något om heltal Mikael Hindgren 17 september 2018 Delbarhet Exempel 1 42 = 6 7 Vi säger: 7 är en faktor i 42 eller 7 delar 42 Vi skriver: 7 42 Definition 1 Om a, b

Läs mer

Övningshäfte 2: Induktion och rekursion

Övningshäfte 2: Induktion och rekursion GÖTEBORGS UNIVERSITET MATEMATIK 1, MMG200, HT2017 INLEDANDE ALGEBRA Övningshäfte 2: Induktion och rekursion Övning D Syftet är att öva förmågan att utgående från enkla samband, aritmetiska och geometriska,

Läs mer

Newtons metod och arsenik på lekplatser

Newtons metod och arsenik på lekplatser Newtons metod och arsenik på lekplatser Karin Kraft och Stig Larsson Beräkningsmatematik Chalmers tekniska högskola 1 november 2004 Introduktion Denna övning ingår i Lärardag på Chalmers för kemilärare

Läs mer