2. Volym och skala Mål, delmål och måluppgifter I det gemensamma spåret, G-spåret, finns Aktiviteter, Teorirutor och uppgifter som hjälper eleverna att nå målen. Eleverna måste inte nödvändigtvis arbeta med alla tre komponenterna. En del elever tycker de lär sig bäst när de gör Aktiviteter, andra när de får arbeta självständigt med uppgifter. Du som lärare får se till klassens och individernas bästa och anpassa arbetets upplägg. Nedan finns en översikt av kapitlets mål indelade i delmål och förslag på typiska måluppgifter. Måluppgifterna har vi valt så att de på ett tydligt sätt visar exempel på uppgifter som eleverna bör arbeta med för att närma sig målen. Matrisen hjälper dig att se hur eleverna är på väg mot målen via delmål. Den kan också fungera som stöd för eleverna genom att de själva kan bocka av de olika delmålen och följa sin egen utveckling. (I Del 1, s. 9, finns en allmän beskrivning av Mål, delmål och måluppgifter.) Mål Delmål Uppgifter 1 Beskriva geometriska egenskaper Kroppar (3D) och deras hos objekt i 2D och 3D begränsningsytor (2D) 1-4 s. 50-56 Begränsningsytor, hörn och kanter 6-7 Kroppar sedda från olika håll 10, 11, 14 Diagnosuppgifter D 1-2 2 Jämföra och bestämma olika Volym i kubik 18-19 föremåls volym s. 57-60 Volym i liter 23-24 Diagnosuppgifter D 3-4 3 Mäta och ange föremåls volym Volymenheter 29-32 och vikt i olika enheter s. 61-67 Viktenheter 42-46 Samband 54-56 Diagnosuppgifter D 5 4 Använda och göra beräkningar i Längdskala, 1D 59, 74 skala för 1-3 dimensioner s. 68-72 Area och volym, 2D och 3D 62-64, 68-69 Diagnosuppgifter D 6-7 5 Använda strategier vid problemlösning s. 73-74 (några av) strategierna 1-10 75-82 (Allmänt om problemlösning och strategier finns i Del 1, s. 14. Specifika förklaringar och synpunkter hittar du i kommentarerna till Lösa Problem i respektive kapitel.) 1
Diskussionsbild (sidan 49) Bilden visar Cloud Gate and Millennium Park i Chicago, USA. Även om kapitlet heter Volym och skala kan bilden handla om mycket annat. T.ex. höjd på byggnader, hur många våningar, hur högt står solen (människors skugglängder) eller byggnaders och människors spegelbilder i den buktiga stålytan. Vilka 2D figurer känner eleverna igen? De kan bl.a. hitta rektangulära långsidor på skyskrapan till vänster. Ett tak i form av en romb och parallelltrapetsformiga väggar på tredje skyskrapan från höger. Vilka 3D figurer känner eleverna igen? Vilka figurer kan de beskriva eller rita? Volym och skala i Prima Formula 4 och 5 Den sorts Volym som förekommer på s. 62-64 har tidigare behandlats i Prima Formula 4, s. 80-84. Den sorts Skala som finns på s. 69-70 har tidigare behandlats i Prima Formula 4, s. 204-212 och 221-224 samt i Prima Formula 5, s. 217-219. Den sorts diskussioner kring Skala och perspektiv som kan tas upp i samband med Diskussionsbilden på s. 49 har tidigare belysts i Prima Formula 4, s. 203 och återkommer i uppgift 7 nedan. Diskussionsförslag Titta på bilden sidan 49. 1. Frågan i bilden är inte färdig. Hur kan den fortsätta? 2. Vad ser ni på bilden som har med area att göra? 3. Vad ser ni på bilden som har med volym att göra? 4. På bilden ser ni några skyskrapor. Vilken verkar vara störst? Vad menar ni med störst? 5. Vad ser ni på bilden som har med skala att göra? 6. Den närmaste skyskrapan ser ut att vara 8 cm hög på bilden. Hur hög tror ni att den är i verkligheten? 7. Varför ser människorna närmast på bilden ut att vara längre än de som står längre bort? 8. Närmsta byggnaden ser ut att ha 7 våningar. Varje våning är på bilden 4 mm hög. I vilken skala är bilden, om vi räknar med att varje våning är 4 m hög? 2
BUS-faser Till våra storheter har vi tidigare presenterat och kommenterat storhetens speciella begreppsutveckling i form av BUS-faser. Sådana finns beskrivna i Lärarhandledningen för skolår 4, s. 80, och för skolår 5, s. 46. Nu när vi behandlar Volym i 3D använder vi en liknande progression, som kort beskrivs så här: BUS-faser Begrepps Utveckling för Storheter Exempel för Volym 3D Fas 1 UPPTÄCKA Upptäcka och lära känna begreppet samt uppfatta dess egenskaper diskutera olika uttrycksformer Fas 2 JÄMFÖRA sortera göra jämförelser Fas 3 MÄTA uppskatta/jämföra med någon referens, t.ex. centikuber använda olika volymmått Fas 4 ENHETER känna till olika enheter kunna välja lämplig enhet och göra rimliga värderingar förstå hur man växlar mellan olika enheter Fas 5 BERÄKNA arbeta med beräkningar bedöma rimlighet och värdera Sidan 50 (G-spår) Aktivitet 2:1 Till uppgift A och C finns ett kopieringsunderlag som eleverna kan få. Aktivitetens mål är att eleverna ska kunna vika och känna igen de fem polyedrarna i verklighet, samt känna igen dem på ritning (2D) och som utvikta tvådimensionella (2D) ytor. De ska bekanta sig med begränsningsytor för dessa 5 polyedrar och andra polyedrar, och även lära känna kroppar som inte är polyedrar. 3
A Den enda 3D-figuren som kan vara svår att kombinera med motsvarande 2D är tresidiga prismat, vilket delvis beror på att detta på bilden ser lite för lågt ut på höjden. (Jämför med Toblerone-prismat i figur A och E på nästa sida.) Låt gärna eleverna, här eller senare, undersöka hur en tetraeder kan tillverkas av ett på mitten vikt rektangulärt papper. (Man kan se på en tom mjölktetra 2 cl hur den är sammansatt.) Förslag finns också i samband med uppgift 3 nedan. B I uppgift 1 är begränsningsarean 6 1 cm 2 = 6 cm 2. I uppgift 2, är kubens kant dubbelt så lång och begränsningsarean blir 6 4 cm 2 = 24 cm 2. C Det kan vara svårt att bara se vikningarna och vara säker på vilka av figur 1-6 som duger att vikas till en kub. Så småningom bör eleverna komma fram till att: - figur 1, 4, 5 och 6, går att vika till en kub. - figur 2 endast har 5 rutor och därmed inte duger att bygga en sexsidig kub av. - figur 3 har 7 rutor och därmed eventuellt kan uteslutas. Den kan också tänkas fungera, då den går att vika till en kub, dock med dubbelt papper på en av begränsningsytorna. D Kanske har klassrummet och suddgummit formen av ett rätblock, en penna helt utan spets kan vara ett sexsidigt prisma, ett stolsben vara cylindriskt osv. Reflektionsförslag Aktivitet 2:1 1. Hur fungerade samarbetet i gruppen? Vad vill du ändra på? 2. Vad lärde du dig? Hur gick det till? 3. I uppgift C kan det vara svårt att avgöra vilka figurer som duger för att vika till en kub, utan att prova med utklippta kvadrater. Varför kan det vara svårt att bara se det direkt? 4. Se uppgift A. Vilka 2D-figurer var lättast att para ihop med motsvarande 3D? Varför? 5. Se uppgift A, figur 5. Går det att bygga en fyrsidig pyramid om de fyra tringlarnas höjder (h) minskas (och t.ex. blir hälften av triangelns bas)? h Sidorna 51-53 (G-spår) 4
Teorirutan. För att eleverna lättare ska lära känna polyedrars egenskaper, så är det lämpligt att de får bekanta sig även med kroppar som inte är polyedrar. Vi väljer att införa termen begränsningsyta, vilket enligt matematikterminologin är det korrekta uttrycket ( yta som begränsar en kropp ). Detta är även användbart för kroppar som inte är polyedrar, t.ex. kan en cylinder ha två cirkelformade och en rektangulär begränsningsyta. En del läromedel, diagnoser och prov väljer att istället tala endast om basytor och sidoytor. Detta ställer till det för eleverna (och lärarna) då de t.ex. ska tala om hur många basytor eller sidoytor ett rätblock har. Rätt svar kan vara att rätblocket har en basyta, två (eller tre par) basytor och fem, fyra eller sex sidoytor. Ibland får eleverna tipset att de kan kalla alla ytorna för sidoytor, och inte heller detta klarlägger begreppen. Det är korrekt att säga att det tresidiga prismat har ett par (parallella) basytor och tre sidoytor, men vi kan också säga att det har fem begränsningsytor, varav ett par är parallella. Vi använder ordet basyta senare (då vi har behov av det), t.ex. då vi beräknar volymer på sidan 57 och 59. Det är därför vi i Teorirutan inte skriver något om par av basytor, utan endast i pratbubblan pekar på basytan som kroppen står på. Speciellt i samband med pyramider (och prismor) kan detta vara lämpligt, eftersom vi här beskriver dem som tresidiga, fyrsidiga osv. I kommentaren efter begränsningsyta och basyta samt i definitionen för tetraeder i rutan nedan kan du se att gränsdragningen är problematisk mellan basyta och sidoyta, även med rätt terminologi. Definitioner enligt Matematiktermer för skolan begränsningsyta: yta som begränsar en kropp. Exempel: Ett klot har en sfär som begränsningsyta. Ett rätblock har sex plana begränsningsytor, som är rektangelområden. basyta: yta som avgränsar en geometrisk kropp och som man valt ut vid volymberäkning. Kommentar: Begränsningsytorna i ett rätblock är parvis parallella och ett par av sådana kan väljas till basytor. Övriga begränsningsytor kallas därvid för sidoytor. sidoyta: (i polyedrar) plan yta som begränsar polyedern. polyeder: kropp som begränsas av ändligt många plana områden. Kommentar: Det följer att de begränsande plana områdena är månghörningsområden. De kallas sidoytor (eller bara sidor); dessas (endimensionella) sidor kallas polyederns kanter; kanternas ändpunkter kallas polyederns hörn. regelbunden polyeder: (synonym: platonsk kropp) Polyeder där sidoytorna är sinsemellan kongruenta regelbundna månghörningsområden och där konfigurationen i varje hörn är kongruent med den vid varje annat hörn. * Kommentar: Det finns fem regelbundna polyedrar: Ordet regelbunden utelämnas ibland och man avser i så fall med t.ex. tetraeder en regelbunden tetraeder. tetraeder: polyeder med fyra sidoytor. Uppgift * Dessa 1. regelbundna Kropp A finns polyedrar i verkligheten eller Platonska som chokladen kroppar är: Toblerone tetraeder, och hexaeder den består av sex (kub), sammansatta oktaeder, kroppar dodekaeder av typ och E. ikosaeder (De finns i elevboken s. 53 uppgift 9.) 5
Kropp B är ett rätblock och här kan eleverna, genom att med vågräta snitt dela in paketet i fem lika delar se att den röda övre delen ser ut att vara just 20% av hela paketet. Kropp D är i verkligheten en tetraförpackning med mjölk. En tetraeder behöver inte vara regelbunden, men vi förutsätter här att Kroppen D består av fyra likadana trianglar. Den är därmed regelbunden, vilket också gäller för tärningen H (trots att de sex begränsningsytorna har olika många prickar, 1-6). Tetraedern D kan eleverna tillverka av ett rektangulärt papper med ena sidan dubbelt så lång som andra. Vik pappret på mitten, tejpa ihop långsidan och en av kortsidorna. Öppna upp vid andra kortsidan och man kan se en tetraeder. Detta enkla koncept var också förpackningsföretaget Tetra Paks första modell av mjölpaket. Uppgift 4. Cylindrarna F och G har båda en rektangel och två cirklar som begränsningsytor. Tack vare dessas storlek kan eleverna lättare se att kroppen F hör ihop med 2D-figuren 6 och att G hör ihop med figur 4. Denna säkerhet kan då hjälpa till att förklara de två rektanglarnas olika storlek. Uppgift 6-9. Den fyrsidiga pyramiden har åtta kanter, den tresidiga (tetraedern) har sex kanter. Sjung gärna en bit av sången nedan för eleverna. Fråga dem om de kan hitta något fel i texten, eller om de kan tillverka en hatt med endast tre kanter. Min hatt den har tre kanter Tre kanter har min hatt Och har den ej tre kanter Så är det ej min hatt På tyska (originalspråket) sjunger man inte kanter utan ecken (hörn). Och en sådan platt hatt/mössa är väl möjlig att tillverka och använda? I tabellen nedan syns tydligt att antalet hörn och kanter för en polyeder aldrig är samma. Alla polyedrar som finns på denna och bokens övriga sidor är konvexa (buktar utåt). För dessa polyedrar gäller Eulers polyederformel: Antal hörn minus antalet kanter plus antalet begränsningsytor är lika med 2. Detta kan göra uppgift 7 (och uppgift 6 och 9) intressantare för eleverna, genom att de kan kolla om de räknat rätt. Nedan har vi skrivit formeln på ett annat, enklare, sätt och gjort en sammanställning av uppgift 7. Kropp Begränsningsytor (B) Hörn (H) Kanter (K) formel: B + H K = 2 A 6 8 12 6 + 8 12 = 2 B 4 4 6 4 + 4 6 = C 5 6 9 5 + 6 9 = D 8 12 18 8 + 12 18 = 6
I uppgift 9 finns bilder på fem regelbundna polyedrar (platonska kroppar). Dessa fem är de enda som är möjliga att tillverka. Varför? Jo, om vi tänker på hur ett hörn i en 3-dimensionell kropp ser ut förstår man att minst tre månghörningar måste mötas och att vinkelsumman på månghörningarna som möts i hörnet måste vara mindre än 360º. Vid 360º blir nämligen figuren plan. De fem möjliga fallen blir då: 3 trianglar (tetraedern) 4 trianglar (oktaedern, med 8 liksidiga trianglar) 5 trianglar (ikosaedern, med 20 liksidiga trianglar) 3 kvadrater (hexaedern, kuben, med 6 kvadrater) 3 femhörningar (dodekaedern, med 12 regelbundna femhörningar) Reflektionsförslag efter sidan 51-53 1. Ge exempel på vad du lärde dig på dessa sidor. Titta på kropparna A-H i uppgift 1. Begränsningsytorna i A består av 6 rektanglar och 2 regelbundna sexhörningar. 2. Vilka begränsningsytor har H G E D B 3. a Försök rita de två begränsningsytorna för C. b Hur gör du om din stjärngossemössa är för stor för ditt huvud? 4. Förklara med egna ord vad du menar med begränsningsyta, hörn och kant. 5. Vilka påståenden är sanna A. En tetraeder har fyra sidoytor B. En tetraeder har en basyta och tre sidoytor C. Ett tresidigt prisma har 5 begränsningsytor D. En fyrsidig pyramid har fyra begränsningsytor 6. Se de regelbundna polyedrarna i uppgift 9. Dessa kan användas som rättvisa tärningar. Ikosaedern kan användas som 20-sidig tärning. Hur många sidor har de övriga kropparna? Ö9 På övningsblad 9 finns uppgifter som anknyter till s.50-53. Gruppledtrådar 6-2A och 6-2B passar till s. 50-60. Aktivitet 2:2 A 1 Om rätblocket ser ut som suddgummit på bilden bör svaren bli ungefär så här: rakt uppifrån rakt framifrån från sidan 7
A 2 Om cylindern ser ut som på bilden bör svaren bli ungefär så här: rakt uppifrån rakt framifrån B 1 Från sidan (till höger) ser den ut så här: grön röd gul B 2-3 Med fem centikuber kan figuren se ut på olika sätt framifrån, och det räcker inte alltid med att se figuren från endast två håll. Den kan se ut så här: Eller så här: blå gul blå gul Reflektionsförslag Aktivitet 2:2 1. Hur fungerade samarbetet i gruppen? Vad vill du ändra på? 2. Vad lärde du dig? Hur gick det till? 3. Varför ritar vi i A2, rakt framifrån så här: och inte så här: 4. Är det rätt att avbilda en kon rakt fram ifrån så här? 5. Du har byggt figurer med fyra centikuber i olika färger i uppgift C. Varför räcker det inte alltid att avbilda en figur från två olika håll, för att kunna bygga figuren? 8
Sidorna 55-56 (G-spår) Uppgift 10-11. I dessa uppgifter står det att Tanja/Cesar har ritat, och det innebär att storlekarna mellan 2D och 3D inte helt behöver stämma överens. Till uppgift 10 d hör cylindern D. Eleverna upptäcker och accepterar kanske att 3D-figuren har något större bredd/bas än rektangeln d. Eleverna har tidigare, i uppgift 4, bekantat sig med olika bilder av cylindrar och kan förmodligen föreställa sig att cylindern rakt framifrån i 2D blir en rektangel. Till uppgift 10 a hör konen B, och här har Tanja överensstämmande mått i 2D. Det kan dock vara lätt att förväxla svaren i a-b, speciellt eftersom tetraedern kan ritas mer eller mindre rakt framifrån. Om eleverna tittar till höjden på figurerna ser de att höjden i B stämmer bäst överens med höjden i a. I uppgift 11 c-d har cirklarna samma diameter. Det som får vägleda till att c hör samman med B är att c har en liten ofärgad cirkel i centrum. Eleverna kan upptäcka att det för uppgift 11 b endast finns tetraedern C som alternativ. Och därmed kan de också lära sig hur en sådan kropp bör ritas ovanifrån. Uppgift 12. Så här står det i facit: 12 a B och C. Även E? b A, B, C och G c F, G och H I facit har vi allstå skrivit ut Även E?, därför att eleverna kan lockas att undra över om även E är rätt, och kanske försöka rita E i 2D sett ovanifrån. Det bör då, med tanke på uppgift 11b, bli så här: Och, visst kan man se en rektangel/kvadrat när man tittar på den fyrsidiga pyramiden ovanifrån, precis som kuben (B) och rätblocket (C). I uppgift c kan det vara intressant att diskutera från vilket/vilka håll man kan se en cirkel. För F gäller från alla håll, för G uppifrån eller underifrån och för H endast underifrån. Uppgift 13. Endast alternativ B är rätt och denna figur är kanske svår att finna, eftersom den har roterat nästan ett halvt varv. Uppgift 14-15. Hoppas eleverna har tillgång till färger, annars får de, precis som vi, i vårt färglösa facit, skriva ut namnen på färgerna. Som synes i facit så är uppgift 15 omfattande och tidskrävande. Det är kanske inte nödvändigt att låta alla elever göra alla deluppgifterna. Endast uppgift 14 hör till delmålsuppgifterna. Uppgift 16. 16c är en försmak på den officiella volymberäkningen (3 3 3 = 27), se t.ex. s. 58, uppgift 18c. I 16 b är vårt svar i facit 6 olika färger. Kuben har sex begränsningsytor, alltså sex färger. Ö10 På övningsblad 10 finns uppgifter som anknyter till s.54-56. 9
Reflektionsförslag efter sidan 55-56 1. Ge exempel på vad du lärde dig på dessa sidor. 2. Titta på uppgift 10 a och b. Hur tänkte du ut de rätta svaren? 3. Titta på uppgift 11 b. Varför är här tre sträckor inuti triangeln? 4. Titta på uppgift 12 a. a Varför bör kroppen E ritas i 2D så här? b Varför står det i facit att även E kan vara rätt svar? 5. Titta på uppgift 16c. Hur vet du att stora kuben innehåller 27 småkuber? Alla syns väl inte? Sidan 57 (G-spår) Aktivitet 2:3 A1 Kopiera underlaget till aktiviteten och dela ut det till eleverna. A2 Här skriver vi Vilken ask tror ni rymmer flest, för att eleverna ska uppskatta innan de mäter och beräknar. På vilka grunder tror de något? Summan av längd, bredd och höjd är samma i de båda askarna (4 + 3 + 3 = 5 + 2 + 3), men volymen är 6 cm 3 större i A. Eleverna kan kanske redan nu se att här finns ett samband Area-Volym (som följs upp i uppgift 21), vilket har likheter med sambandet Omkrets-Area (i kapitel 1, s. 27). A3 I denna uppgift inför vi begreppet basyta, som senare används av Bella i uppgift 19. B Här kan eleverna, genom Cesars och Dibas svar, se att 1 dm 3 = 1000 cm 3. Reflektionsförslag Aktivitet 2:3 1. Hur fungerade samarbetet i gruppen? Vad vill du ändra på? 2. Vad lärde du dig? Hur gick det till? 3. Hur beräknar du på enklaste sätt volymen för asken A respektive B? 4. Rutnät A har ungefär samma antal rutor som rutnät B. Varför är då volymen för A så pass mycket större? 5. Se Cesars och Dibas svar och gör enhetsbytena. a 1 dm 3 = cm 3 b 1 cm 3 = mm 3 c 1 m 3 = cm 3 6. Hur tänker du när du gör enhetsbyten av typ a) 3 cm 3 = mm 3 b) 1,5 cm 3 = mm 3 c) 1 m 3 = dm 3 = cm 3 = mm 3 7. Varför har man valt att a) skriva just en trea ( 3 ) lite upphöjt i t.ex. m 3? b) kalla enheterna för just kubik- meter/decimeter/centimeter? 6. Hur tänker du när du ska uppskatta volymen av a) en tändsticksask Sidan b) 58-60 en glass-strut (G-spår) 7. Hur tänker du när du ska mäta och beräkna volymen av en tändsticksask? 10
Teorirutorna. På sidan 58 tar vi upp enheterna kubikdecimeter och kubikcentimeter samt att dessa motsvaras av de våta, vanliga, volymenheterna liter respektive milliliter. På sidan 60 introduceras kubikmetern och i tabellen sammanfattas enhetsbytena för längd (1D), area (2D) och volym (3D). På sista raden finns också uppföljning till Aktivitet 2:3 Reflektionsuppgift 6c. Uppgift 18-19. I uppgift 18 kan eleverna se antalet kuber i ett, två respektive tre lager. Detta anknyter då till Bellas sätt att beräkna volymen utifrån en basyta i uppgift 19. Det är nyttigt för eleverna att förstå både Bellas och Cesars sätt att beräkna volym på rätblock. I senare skolår kommer de att använda Bellas sätt då de t.ex. ska beräkna volymen av en cylinder, och redan nu är Bellas sätt lämpligt vid beräkning av volym för tresidigt prisma (t.ex. toblerone). F Uppgift 21 c. Här kommer parallellen mellan Omkrets-Area och Area-Volym och i facit skriver vi: Ju mer regelbunden kroppen är, desto mindre begränsningsarea har den. Uppgift 22-23. Genom deluppgifterna får eleverna också praktisera enhetsbyten. Ö11 På övningsblad 11 finns uppgifter som anknyter till s.57-60. Reflektionsförslag efter sidan 58-60 1. Ge exempel på vad du lärde dig på dessa sidor. 2. Titta på uppgift 19. Tänker du helst som Bella eller som Cesar när du beräknar volymer? Motivera ditt val. 3. Titta på uppgift 21c. Vilka likheter ser du mellan denna uppgift och uppgift 73 på sidan 28? 4. Du vet att 1 dm 3 = 1000 cm 3 = 1000 ml = 1 liter. Hur många centikuber (cm 3 ) går det då på 4 cl? 5. Ge exempel på likheter/skillnader mellan Volym och Vikt. 11
Sidan 61 (G-spår) Aktivitet 2:4 A Liknande aktiviteter finns i Formula 4, kapitel 3. A1 Ordning efter storlek, med ungefärlig vikt i gram (inklusive emballage): Föremål vikt (g) Loka 1550 Mjölk 1050 Yoghurt 1050 CornFlakes 600 Fruit Cocktail 490 A4 papper 5 Tre centikuber 3 Penna 3 Tändsticka 0,1 A2 Ordning efter storlek, med ungefärlig volym i liter: Föremål volym (l) CornFlakes 5 Loka 1,5 Mjölk 1 Yoghurt 1 Fruit Cocktail 0,6 Penna 0,01 3 centikuber 0,003 A4 papper 0,006* Tändsticka 0,0002 * I uppgift 51b, på sidan 66, kommer eleverna fram till att ett vanligt A4-papper (80 grams) har volymen 6 cm 3. 1 dm 3 = 1 liter och då är 1 cm 3 = 1 ml. Då är 6 cm 3 = 6 ml = 0,006 liter. A3 Föremålen har olika densitet, väger olika mycket per kubikcentimeter. Fler exempel får eleverna se på sidan 67. B1 Eleverna kan kanske tycka att Cylinder B bör bli fylld. Det är ju samma papper. Men, i cylinder B utnyttja vi bottenarean bättre. Bottenarean beräknas med π r 2 och då får större radie större betydelse (r r) än mindre höjd. B2 Teoretiskt kan man räkna fram att Volymen för B, V B = V A 2 V A 1,414. Då är V A / V B = 1 / 2 0,7. Cylinder B blir alltså fylld endast till 70%. Att roten ur två dyker upp här beror på att A4 papprets höjd/bas = 2. B3 Rätt svar är här C = 2 B. Detta kan också beräknas teoretiskt, men kan förklaras på ett enklare sätt så här: Basytans omkrets i C är dubbelt så stor som den är i B. Därmed blir basytans area 4 gånger så stor. Å andra sidan blir höjden hälften så stor. Alltså volymen dubbelt så stor. 12
Reflektionsförslag Aktivitet 2:4 1 Hur fungerade samarbetet i gruppen? Vad vill du ändra på? 2 Vad lärde du dig? Hur gick det till? 3 Hur tänker du när du rangordnar föremål efter a) vikt b) volym 4 Varför kommer Cornflakes paketet överst när du rangordnar efter volym, men bara i mitten när du rangordnar efter vikt? 5 Försök förklara varför C = 2 B är rätt svar i uppgift B3. Sidan 62-64 (G-spår) Vi har tidigare, i Prima Formula 4 på s. 81-84, presenterat volym och volymenheter. I Lärarhandledning 4, s. 85, beskriver vi en aktivitet som heter Vilken volym har munhålan? Först får eleverna gissa och därefter mäta hur många centiliter vatten de kan ha i sin mun. Om vi säger att man kan ha 5 cl i sin mun, hur många kubikcentimeter motsvarar detta då? Praktiska frågan blir då: Hur många centikuber (iskuber) motsvarar 5 cl vatten? Det väldigt sällan en elev tror att 5 cl motsvaras av 50 cm 3 (centikuber), förrän man gjort omvandlingarna: 1 liter = 1 dm 3, alltså är 1 ml = 1 cm 3. Då är 5 cl = 50 ml = 50 cm 3. Kan eleverna ha 5 cl vatten i sin mun, så borde de kunna ha 50 centikuber? Hårda centikuber är dock inte så lättformade som vatten, vilket också bidrar till synen på volym för fasta respektive flytande ämnen. Detta kan vara en minnesvärd tankeställare, gärna som en aktivitet. Eller som en diskussion där man får gissa först och därefter se hur viktigt det är att kunna göra korrekta enhetsbyten. Uppgift 25d. Om Zlatan väger 100 kg är hans volym ungefär 100 liter. Kanske eleverna vet att en människa nästan flyter i vatten och har därför ungefär samma densitet, 1kg/dm 3. Mer om densitet kommer på sidan 67. Teorirutan på s. 63 visar eleverna vad prefixen deci, centi och milli betyder. Vid byte ett steg från större till mindre enhet multiplicerar man med 10 (som i uppgift 30 och 32). Vid byte ett steg från mindre till större enhet dividerar man med 10 (som i uppgift 31). (OBS, feltryck i bokens första tryckning! Längst ner, till höger i elevbokens teoriruta står det: / 100. Det är fel! Det ska vara: / 10.) Uppgift 29. Elevernas svar kan och får skilja sig från dem i facit. Be dem gärna motivera sina svar. Man kan diskutera vad som menas med passar bäst. Är det t.ex. bäst med enheten centiliter för läskburken, bara för att den oftast anges så på burken? Uppgift 30-32. Här finns både progression och samband mellan uppgifterna. Uppgift 30 och 32 byter enhet från större till mindre enhet, i uppgift 32 med decimaltecken. Dessa uppgifter ligger nära dem i 30, för att eleverna lätt ska kunna kolla storleken. Uppgift 30 och 31 ligger parvis nära varandra i storlek, vilket underlättar då eleverna i uppgift 31 ska går från mindre till större enhet. 13
Uppgift 33-34. Det kan vara nyttigt för eleverna att se sina svar inprickade på tallinjen. En sådan visar tydligt storleksordning från vänster till höger (och alltid i samma enhet). Den ligger då som grund och förklaring till uppgift 34. Uppgift 35. För att eleverna ska slippa ta upp tiden med att skriva av tabellen, har vi gjort uppgiften med många deluppgifter a-h. Om du själv däremot har möjlighet att skriva av tabellen på tavlan, så att eleverna får se den helt ifylld, så kan det öka elevernas förståelse vid enhetsbyten. Uppgift 36. Här kommer den klassiska formuleringen Alex och fyra kompisar ska dela lika, vilket ofta får elever att välja att dividera med 4 i stället för 5. Uppgift 41. I denna uppgift finns risken att elever får svaret till 40 dagar (i stället för 10), eftersom de inte läser sista raderna om man ska ta fyra matskedar om dagen. Reflektionsförslag efter sidan 62-64 1. Ge exempel på vad du lärde dig på dessa sidor. 2. Titta på uppgift 30 och 32. Hur kan du se att du byter enheter rätt genom att jämföra 30a med 32a, 30b med 32 b osv.? 3. Titta på uppgift 31. Hur tänker du när du går från mindre till större enhet? 4. Titta på uppgift 33. På vilket sätt kan en tallinje hjälpa dig när du ska bedöma olika volymers storlek? 5. Ge exempel på likheter/skillnader mellan enheter för Volym och enheter för Vikt. Ö12 På övningsblad 12 finns uppgifter som anknyter till s. 61-64. Gruppledtrådar 6-2C och 6-2D passar till s. 61-70. Sidan 65-67 (G-spår) Vi har tidigare, i Prima Formula 4 på sidan 85-87, presenterat vikt (massa) och viktenheter. Teorirutan. Denna liknar teorirutan på sidan 63, men nu visas prefixen kilo (k) och hekto (h) som är tiopotenser större än gram (g) och utgår ifrån gram. Enheten mellan hektogram (hg) och gram (g) finns inte längre. På bilden i boken visar vi det genom att skriva ett streck där den gamla enheten dekagram (dg) skulle stått. Om vi återinförde gamla enheten dekagram (deka = 10) så skulle enhetsbytet handla om 10 hela vägen. Nu måste eleverna tänka en enhetsövergång på 100 mellan gram och hektogram. Kanske blir det enklare för en del elever att tänka dekagram emellan? Annars kan eleverna tänka på att hekto betyder hundra och att kilo betyder tusen och då utgå från enheten gram. 14
Jämför vi enheterna för Längd, Volym och Massa (Vikt) så ser vi prefixens olika betydelser och vilka omvandlingstal som behövs. Se nedan. Fastän det är svårt att uppskatta (känna) hur mycket 1 g är, så använder man ofta att 1 g = 1000 mg i beräkningar. Enheten hektometer (1 hm = 100 m) var tidigare vanlig inom lantmäteri och artilleriet. km m dm cm mm l dl cl ml kg hg g mg För elever som behöver ord för att göra enhetsbyten med enbart 10 är prefixen dessa: kilo- hekto- deka- meter/liter/gram deci- centi- milli- Uppgift 43-45. Här finns både progression och samband mellan uppgifterna. Uppgift 43 och 45 byter enhet från större till mindre enhet, i uppgift 45 med decimaltecken. Uppgifterna i 45 ligger nära dem i 43, för att eleverna lätt ska kunna kolla att svaren ligger nära varandra i storlek. Uppgift 43 och 44 ligger parvis nära varandra i storlek, vilket underlättar då eleverna i uppgift 44 ska går från mindre till större enhet. Uppgift 47-48. Se kommentarer till uppgift 33-35 ovan. Uppgift 49-50. Dessa uppgifter ger eleverna ytterligare exempel på behovet/nyttan av att överföra olika enheter till en och samma. Uppgift 51b. Som beskrivits i kommentarer till Aktivitet 2:4, A2, ovan, så handlar det här om den vanliga typen av A4, ett s.k. 80 gramspapper, vilket betyder 80 g/m 2. 16 sådana A4-papper väger 80 g och lägger man ut dem sida vid sida så täcker de arean 1 m 2. Ett sådant papper har tjockleken 0,1 mm. Det är intressant att fundera över hur ett så tunt papper kan få så stor volym. Låt därför eleverna vika ett A4 några gånger. Då ser de att det kan vara rimligt med volym kring 6 cm 3. F Uppgift 52. Precis som i uppgift 51a handlar detta om att det är samma massa före som efter poppningen. Massan ska alltså även här vara oförändrad, om påsen inte läcker. Det kan dock, tack vare läckage skilja något, men också därför att våra vanliga vågar känner skillnad på om påsen är stor eller liten. Detta sker genom att lyftkraften i luft (precis som i vatten) påverkas. Svaret blir under alla omständigheter närmast alternativ B. Uppgift 54. Vi har tidigare konstaterat att 1 dm 3 = 1 liter och att 1 cm 3 = 1 ml Nu vet vi också att 1 liter vatten väger 1000 g, och därmed att vikten för 1 cm 3 = 1 ml är 1 gram Uppgift 56. Eleverna vet av erfarenhet att is är lättare än vatten (därför att isen flyter). Här får de göra beräkningar på differensen. F Uppgift 57. Denna uppgift har viss likhet med uppg. 25d, s. 62, Zlatans vikt. 15
Reflektionsförslag efter sidan 65-67 1. Ge exempel på vad du lärde dig på dessa sidor. 2. Förklara på något sätt varför det går 100 g på 1 hg. 3. Titta på uppgift 43 och 45. Hur kan du se att du byter enheter rätt genom att jämföra 43a med 45a, 43b med 45b osv.? 4. Titta på uppgift 51. a Varför förändras inte papprets vikt när du viker det? b Hur kan ett så tunt papper ha så stor volym som 6 cm 3? 5. Titta på uppgift 52. a Varför förändras inte popcornspåsens efter poppningen? 6. Titta på sidan 67. Varför är det så speciellt att utgå från vatten när man ska se samband mellan vikt och volym. 7. Varför har 4 centikuber samma volym som 4 cl (= 40 ml)? Ö13 På övningsblad 13 finns uppgifter som anknyter till s. 65-67. Sidan 68 (G-spår) Aktivitet 2:5 Aktiviteter som handlar om längdskala finns i Formula 4 s. 204, 207-208 och 211(area). Aktivitet 2:5 behandlar egentligen även areaskala och volymskala, men vi nämner inte dessa namn. Den visar också sambanden med kvadrattal och kubtal. Nedan följer facit till A-C. Uppmärksamma gärna sambanden mellan dem. A Facit: 1) 2 cm 2) 3 cm 3) 10 cm = 1 dm 4) 0,1 cm = 1 mm B Facit: 1) 4 cm 2 2) 9 cm 2 3) 100 cm 2 = 1 dm 2 4) 0,01 cm 2 = 1 mm 2 C Facit: 1) 8 cm 3 2) 27 cm 3 3) 1000 cm 3 = 1 dm 3 4) 0,001 cm 3 = 1 mm 3 D Svaret 162 cm 3 kan eleverna få på olika sätt. Volymen blir 27 (3x3x3) gånger så stor, alltså 27 6 cm 3. Eller kan eleverna skriva förstorade rätblockets kanter och beräkna volymen (cm 3 ) = 9 6 3 = 162. 16
Reflektionsförslag Aktivitet 2:5 1. Hur fungerade samarbetet i gruppen? Vad vill du ändra på? 2. Vad lärde du dig? Hur gick det till? 3. Hur tänker du när du förstorar något i a) en dimension, 1D (en sträcka) b) två dimensioner, 2D (en area) c) tre dimensioner, 3D (en volym) 4. Ett rätblock har volymen 1 dm 3. Hur stor blir volymen i skala a) 2:1 b) 10:1 c) 1:10 d) 1:2 Sidan 69-72 (G-spår) Teorirutor och uppgifter som handlar om längdskala finns i Prima Formula 4, s. 205-209, och i Prima Formula 5, s. 217-219. I Prima Formula 4, s. 210-212, behandlas även förstoringar i 2D. Teorirutan. Bilden på fjärilen i naturlig storlek eller skala 1:1 kan också benämnas som verklig storlek. När vi i förstoringen 2:1 skriver att Blåvingen är dubbelt så stor som i verkligheten, så menar vi att längd (eller bredd) är dubbelt så stor. Dock är ju arean 4 gånger så stor. Uppgift 59-60. I uppgift 59 finns sträckan 4 cm i 1D. Detta innebär att sträckan i skala 4:1 blir 4 gånger så lång, men tjockleken på linjen förblir samma. Detta med linjen tjocklek utreder vi i kommentarer till s. 19 Aktivitet 1:4. I uppgift 60 ser eleverna vad som händer med centikuber när de avbildas i 2D och hur arean förändras i olika skalor. (När vi ritar våra rektanglar på ett rutnät (0,5 cm) så menar vi att detta är ett papper som hela tiden är samma. Rutorna på pappret ska alltså inte förändras när rektangeln ska förstoras/förminskas.) Uppgift 62. Här ser eleverna att kvadrattalen kan ses som en kvadrat med arean 1 cm 2 som förstoras i skalan 2:1, 3:1 osv. Uppgift 63-64. Upplysningen om att blå rektangelns höjd är 1,0 cm talar om att rektanglarna är ritade på 0,5 cm papper. Detta gör kanske att några elever tänker i antal rutor när de löser uppgifterna. I uppgift 64b kan eleverna välja att utgå från den blå rektangelns area på 1,5 cm 2, när de beräknar gröna rektangelns area: 9 1,5 cm 2 = 13,5 cm 2, men de kanske föredrar att beräkna arean utifrån den gröna rektangelns bas och höjd. Ö14 På övningsblad 14 finns uppgifter som anknyter till s. 68-70. Gruppledtrådar 6-2E och 6-2F passar till s. 71-74. 17
Uppgift 67. I denna uppgift läser eleverna: Hur många gånger större blir arean. Vi skriver så för att eleverna även ska känna till detta vanliga sätt att utrycka sig, men vi föredrar det mera korrekta sättet: Hur många gånger så stor är. Det kan uppstå problematik utifrån uppgifter av typ: Rita en sträcka som är fyra gånger så stor som. Vid en sådan uppgift kan en elev bli osäker och fråga: Ska jag ta med den sträckan som redan är där? Om eleven inte får svar, kan han eller hon rita en sträcka som är fem gånger så lång. Uppgift 68. Här ser eleverna att kubtalen (i tabellen: Volym, cm 3 ), kan ses som en kub som har volymen 1 cm 3 och att denna förstoras i skalan 2:1, 3:1 osv. Uppgift 71. Anledningen till att Arvid visar sin beräkning är för att eleverna ska vänja sig vid korrekta och sammansatta lösningar med rätt utsatta enheter. Uppgift 72. I facit skriver vi så här: 72 a Basen 5 3,4 cm = 17 cm. Höjden 5 4,8 cm = 24 cm. b Höjd i verkligheten (mm): 24. Höjd på bilden (mm): 24/5 = 4,8 5 Eleverna kan mäta med lite olika noggrannhet och därmed få lite olika svar. I uppgift b kanske några elever mäter den verkliga höjden på sexan till 25 mm. Den är egentligen närmare 24 mm. Vilket svar de än ger blir den beräknade höjden på bilden av förminskningen ändå 5 mm efter avrundning. Uppgift 74. I denna delmålsuppgift kan eleverna få göra beräkningar på sina egna sätt och behöver inte ta efter Milos sätt i föregående uppgift. Reflektionsförslag efter sidan 69-72 1. Ge exempel på vad du lärde dig på dessa sidor. 2. Hur tänker du när du ska avbilda en sträcka (40 cm) i skala a) 10:1 b) 2:1 c) 1:1 d) 1:2 e) 1:10 3. En rektangel har basen 6 cm och höjden 4 cm. Hur stor blir arean om rektangeln avbildas i skala a) 10:1 b) 2:1 c) 1:1 d) 1:2 e) 1:10 4. Ett rätblock har längden 10 cm, bredden 6 cm och höjden 4 cm. Hur stor blir volymen om rektangeln avbildas i skala a) 10:1 b) 2:1 c) 1:1 d) 1:2 e) 1:10 5. Hur förklarar du för någon vad som menas med a) kvadrattal b) kubtal 6. Ungefär vilken volym har din bok Prima Formula 6? Gissa först. Ö15 På övningsblad 15 finns uppgifter som anknyter till s. 71-72. 18
Sidan 73-74 (G-spår) Lösa problem Problemlösningsstrategier De problemlösningsstrategier som vi arbetar med i Prima FORMULA 4-6 är: 1. Upptäcka mönster 2. Göra tabell 3. Rita bild 4. Gissa och kontrollera 5. Leta systematiskt 6. Granska villkoren 7. Börja bakifrån 8. Rita hjälplinjer och flytta delar 9. Använda ekvation 10. Förenkla problemet I detta kapitels Lösa problem bör en eller flera av strategierna komma till god nytta. Uppgift nr Strategi nr 75-78 1, 2 79 10, 1-2 80 8 81 4 82 9, 6 Uppgift 75-78. Dessa bygger parvis på varandra, så att uppgift 75 konkret visar den talföljd som kommer i uppgift 76. Det samma gäller för uppgifterna 77-78. Uppgift 79. I avsnittet Något extra i Prima Formula 4, s. 32, har vi samma trappor som i denna uppgift I a-uppgiften frågas efter hur många kuber som behövs för en trappa med 6 våningar. Det är svårt för de flesta elever att svara på detta om de bara ska se bilden och räkna antalet. Men om de ser mönstret i tillhörande talföljd så blir det lättare. Att bygga talföljder och se talmönster har de fyra föregående uppgifterna haft som budskap. Eleverna kan här använda strategin Förenkla problemet (strategi 10) och börja med att se antalet för 1-3 våningar ( Bus bygger en som är 3 våningar ). Därefter kan de använda strategi 1-2 (Upptäcka mönster och Göra tabell). Antal våningar: 1 2 3 4 Antal kuber: 1 4 9 16 Att göra tabell är eleverna vana vid från tidigare och nu visar Bus att man kan gå direkt på talföljden och skriva ut den från början och därmed se mönstret. På detta sätt får hela sidans uppgifter tillsammans budskapet Upptäcka mönster i talföljder, och så småningom känna igen vissa talföljder. Uppgift 81a. Eleverna vet att det är en kub och kan därmed använda strategin Gissa och kontrollera (strategi 4), och sätta in lämpligt värde på s för att få fram s s s = 125. De kan också genom att känna igen vissa talföljder se att talet 125 är ett kubtal, och de har bekantat sig med just detta kubtal i uppgift 76a. 19
Uppgift 82. I detta problem kan eleverna använda strategin Använda ekvation (strategi 9), eller snarare hitta vad x står för i uttrycket: 2 (5 4 + 5 x + 4 3) Till läraren: I uppgift 82 ska egentligen den sista produkten vara 3 4 i stället för 4 3. OBS, det har blivit fel deluppgifts-numrering i uppgift 82. Istället för a, c och d ska det förstås vara a, b och c. Sidan 75 (G-spår) Tänk efter 2 T1 Eleverna tänker säkert på flera olika sätt innan de kommer fram till följande svar. a Be gärna eleverna förkorta kropparnas namn, t.ex: trianglar med T, rektanglar med R och cirklar med C. Svaret blir då: A: 2T + 3R B: 6R C: 4T D: 4T + 1R E: 1R + 2C b Vi kan även med formel kontrollera (som vi visade i lärarhandledningen till uppgift 7, elevboken s. 53) att vi räknat rätt. Kropp Begränsningsytor (B) Hörn (H) Kanter (K) formel: B + H K = 2 A 5 6 9 5 + 6 9 = 2 B 6 8 12 6 + 8 12 = 2 C 4 4 6 4 + 4 6 = 2 D 5 5 8 5 + 5 18 = 2 E 3 - - Formeln gäller endast polyedrar T2 Ovanifrån Framifrån A * C * E * Sett snett framifrån 20
T3. a dl (cl) b ml c liter d m 3 (liter) T4. apelsin < mjölkpaket < cornflakes < badboll T5. I deluppgift a ska eleverna utgå från liter och övergå till centiliter där centi betyder hundradels. Alltså: 3 liter = 300 cl. I b ska 3 kilogram växlas till gram. kilo betyder tusen, alltså: 3 kg = 3000 g. T6. Massan ändras inte vid förändrat utseende. Vi kallar här massa för vikt, och menar att den inte ändras då bladet skrynklas. T7. a 80 m b 800 m c 400 m d 400 km = 40 mil. Eleverna kan dra nytta av progressionen i uppgifterna och låta svaren delvis bygga på varandra. T8. a 8 cm 3 b 24 cm 2 c 21 3 mm 2 = 63 mm 2 Sidan 76 (G-spår) Diagnos 2 Facit till Diagnos 1 Sida i Spår 1 med liknande uppgifter D1 a 3R + 2T b 4T c 1R + 4T d 1R + 2C e 6R 78 D2 a tetraedern b cylindern c rätblocket 78 D3 a 27 cm 3 b 54 cm 2 79 D4 6 dm 3 = 6 l = 6000 cm 3 = 6000 ml 80 D5 a 15 cl < 1,5 l < 1550 ml < 150 dl 80 b 0,3 kg < 0,31 kg < 3,2 hg < 325 g 81 D6 30 m 79 D7 a 27 cm 3 b 54 cm 2 c 126 mm 2 = 1,26 cm 2 79 21
Sidan 37 Utmaningar 2 U1 Här finns tre olika stenar: röd (r), grön (g) och blå (b). Eleverna kan ställa upp tre ekvationer. r + g = 6 g + b = 7 b + r = 5 Eleverna kan inte lösa sådana ekvationssystem systematiskt, men de kan Gissa och kontrollera (strategi 4) Då kan de komma fram till: r = 2 g = 4 b = 3 På sidan 211 kan eleverna se exempel på liknande ekvationssystem och hur man kan lösa mera systematiskt. Eleverna väljer kanske strategi Göra tabell i stället (strategi 2). När de Granskar villkoren (strategi 6) finner de att ingen sten väger mer än 4 kg (b + r = 5 och endast heltalsvärden) och att den gröna verkar tyngst. Detta kan begränsa de olika värden som behöver sättas in i tabellen. Dessutom hjälper det vid val av värden att Leta systematiskt (strategi 5). grön blå röd summa 4 3 7 4 _ 6 5 Det finns bara en lösning, tre obekanta och tre villkor, men det är nyttigt för eleverna att ändå ställa frågan och pröva om det finns fler lösningar. U2 Om vi antar att tegelstenen väger x kg så får vi ekvationen: 1 x = x 1 3 Denna ekvation har lösningen x = 3/2 = 1,5. Eleverna löser inte sådana ekvationer nu, men kanske kan de lösa uppgiften genom prövning med olika värden. Eller kan de Göra tabell och sätta in olika värden. Hel sten (kg) Tredjedels (kg) 1 kg 3 > 1 + 1 2 > 2/3 + 1 1 < 1/3 + 1 1,5 = 0,5 + 1 U3 Den tydligaste lösningen för eleverna får de nog med en tabell: 2 liter motsvarar 60 bitar 1 liter motsvarar 30 bitar A 33 cl (0,33 l) motsvarar ungefär (1/3 liter) 30/3 = 10 bitar B 1,5 l motsvarar 1,5 30 = 45 bitar 22
Sidan 78-81 (Spår 1) På dessa sidor förekommer endast de begrepp och uppgiftstyper som eleverna arbetat med i G-spåret. Vi kommenterar därför endast de uppgifter där det kan finnas tveksamheter i tolkning eller något annat som är speciellt intressant att lyfta fram. Uppgift 83b. Eleverna får gärna tycka att klotet D ser regelbundet ut. Detta finns inte med i facit, eftersom regelbunden endast definieras för polyedrar (och klotet är inte en polyeder). Uppgift 84c. I facit har vi svarat med både F och E. Avbildningen av E ovanifrån bör se ut så här: Här kan vi då säga att vi ser (minst) en triangel ovanifrån. Uppgift 96c och f. En liten kaffekopp kan ha volymen 1 dl, en stor 2,5 dl = 250 ml. I facit har vi valt svaret 1 dl, eftersom 250 ml passar in på uppgift f Uppgift 102. Vi har i facit placerat in badboll som nr 2, men låt gärna eleverna lägga den senare. Det viktigaste är att kunna uppskatta/jämföra vikten och motivera sina val. Sidan 82-85 (Spår 2) Uppgift 112b. I facit skriver vi B, F och H. Man kan tänka sig att även ta med D. På bilden ser inte sidoytan ut att vara kvadratisk, därför har vi inte med den i facit. Låt gärna eleverna ta med D i sitt facit, och låt dem motivera varför. Uppgift 118c. I facit svarar vi Ja, nästan dubbelt så stor. Det är bara 160/96 1,7 gånger så stort. Och eventuellt kan eleverna acceptera detta som nästan dubbelt. Meningen är att detta ska få eleverna att upptäcka att trots att Ebbas rätblock har samma volym som Dibas, så har det nästan dubbelt så stor begränsningsarea. Den vanliga generella slutsatsen kan då komma fram, nämligen att ju mer kubisk desto mindre begränsningsarea. Uppgift 119. Om eleverna ritar detta L i skala 1:2 på halv-centimeterrutat papper så bör det bli så här: De kan då se att arean är 1 cm 2. De har också tidigare sett att arean blir 1/4 när längdskalan är 1:2. Uppgift 127. Svaret bör vara 200 cm 3, eftersom detta är den naturliga enheten för denna stens volym. Därför har vi facit skrivit svar i denna följd: 200 cm 3 (2 dl = 0,2 l = 0,2 dm 3 = 200 cm 3 ) Egentligen är skillnaden mellan volymen före och efter... = (minus) 2dl, men detta hindrar inte från att hitta rätt svar. Uppgift 128. Denna bygger på att densiteten för vatten är 1 kg/dm 3, vilket tidigare framförts på s. 67. 23
Uppgift 132. Den ekvation som passar till denna uppgift kan vara: 6x + 100 = 1000. Men eleverna kommer nog, utan att använda ekvation, fram till att de sex äpplena tillsammans väger 900 g. De får ändå en sorts upptäckt i vad vågskål och ekvation har för samband. Uppgift 133. Beräkningen kan ske direkt genom att dividera 50 med 2/3. Detta klara inte eleverna, och det blir inte bättre av att dividera 50 med 0,67. (De som gör detta får svaret till ungefär 74,63. De som dividerar 50 med 0,7 får till ungefär 71,43.) Ett sätt att få exakta svaret 75 mil är att lösa uppgiften på detta sätt: På 2 liter kommer man 3 mil På 50 25 3 mil = 75 mil Sidan 86-88 Något extra Uppgift 143. På sidan 112-115 kommer mer om potenser där exponenten är noll. Vi kan då se att 10 0 = 1 och att även 2 0 = 1. Eleverna kan se det genom att upptäcka mönstret i 10 3 = 1000, 10 2 = 100, 10 1 = 10, 10 0 = 1, 10-1 = 0,1 Uppgift 144. Här kan 1 m 3 paras med såväl 10 3 liter som 10 6 ml. Nu önskar vi dig och dina elever roliga och lärorika matematik-lektioner! 24