TSIU61: Reglerteknik Föreläsning 5 Frekvensbeskrivning Bodediagram Gustaf Hendeby gustaf.hendeby@liu.se
TSIU61 Föreläsning 5 Gustaf Hendeby HT1 2017 1 / 1 Innehåll föreläsning 5 ˆ Sammanfattning av föreläsning 4 ˆ Introduktion till frekvensbeskrivning ˆ Sinus in, sinus ut ˆ Frekvensfunktion ˆ Bodediagram
TSIU61 Föreläsning 5 Gustaf Hendeby HT1 2017 2 / 1 Sammanfattning från föreläsning 4 (1/3) t u(t) = K P e(t) + K I e(τ) dτ }{{} t 0 Proportionell }{{} Integrerande e(t) = r(t) y(t) är reglerfelet. PID formuleringar Laplacetransform för PID regulatorn ( U(s) = K P + K ) I s + K Ds E(s) En alternativ parametrisering ( U(s) = K 1 + 1 ) T I s + K Ds E(s) + K D de(t) dt }{{} Deriverande
TSIU61 Föreläsning 5 Gustaf Hendeby HT1 2017 3 / 1 Sammanfattning från föreläsning 4 (2/3) Intuition för PID-regulator P -reglering betrakatar felet just nu (minskar reglerfelet) I -reglering minns även gamla fel (tar bort stationärt fel) D -reglering förutser vad som kommer att hända (stabiliserar)
TSIU61 Föreläsning 5 Gustaf Hendeby HT1 2017 4 / 1 Sammanfattning av föreläsning 4 (3/3) För ett insignal-utsignalstabilt återkopplat systemet gäller: r(t) = A = e 0 = lim s 0 1 1 + G o (s) = S(0) r(t) = At Om e 0 = 0 1 = e 1 = lim s 0 sg o (s) = lim s 0 r(t) = A Om e 0 = e 1 = 0 1 2 t2 = e 2 = lim s 0 s 2 G o (s) = lim s 0 S(0) s S(0) s 2 Felkoefficienterna kan alltså ses som koefficienter i en serieutveckling av känslighetsfunktionen S(s) = e 0 + e 1 s + e 2 s 2 +...
Frekvensbeskrivning
TSIU61 Föreläsning 5 Gustaf Hendeby HT1 2017 6 / 1 Exempel: högtalarspecification
TSIU61 F orel asning 5 Gustaf Hendeby Exempel: h ogtalarspecification HT1 2017 6/1
TSIU61 Föreläsning 5 Gustaf Hendeby HT1 2017 7 / 1 Exempel: bestäm högtalarspecification Högtalartest: ˆ En testsignal (en sinusformad spänning) skickas till högtalaren. ˆ En mikrofon mäter ljudet och registrerar förstärkningen från spänningsstyrka till ljudvolym. Typiska fenomen: ˆ Mätsignalen (ljudet) har samma frekvens (skulle låta väldigt illa annars) men förstärkningen beror på frekvensen.
TSIU61 Föreläsning 5 Gustaf Hendeby HT1 2017 8 / 1 Exempel: frekvenssvar Insignal: u(t) = π 2 sin(πt) Utsignal: Sinussignal med en amplitud på ungefär 3 m
TSIU61 Föreläsning 5 Gustaf Hendeby HT1 2017 8 / 1 Exempel: frekvenssvar Insignal: u(t) = π 2 sin(4πt) Utsignal: Sinussignal med en amplitud på ungefär 80 cm
TSIU61 Föreläsning 5 Gustaf Hendeby HT1 2017 8 / 1 Exempel: frekvenssvar Insignal: u(t) = π 2 sin(0.5πt) Utsignal: Sinussignal med en amplitud på ungefär 6 m
TSIU61 Föreläsning 5 Gustaf Hendeby HT1 2017 9 / 1 Sinus in, sinus ut Experimentellt underbyggd tes Sinussignal in ger sinussignal ut (assymptotiskt efter att effekter av begynnelsetillståndet försvunnit)
TSIU61 Föreläsning 5 Gustaf Hendeby HT1 2017 10 / 1 Exempel: sinus in, sinus ut
TSIU61 Föreläsning 5 Gustaf Hendeby HT1 2017 11 / 1 Sinusar kan approximera mycket Många signaler som inte ser ut som sinusar kan approximeras med sinusar. Ex fyrkantsvåg, N anger hur många sinusar som används. N = 1 N = 5 N = 2 N = 100
TSIU61 Föreläsning 5 Gustaf Hendeby HT1 2017 12 / 1 Frekvensanalys av ögondynamik Ögat har en reglermekanism som ser till att lagom ljusmängd kommer till näthinnan genom att pupillens storlek anpassas till det infallande ljuset.
Bodediagram
TSIU61 Föreläsning 5 Gustaf Hendeby HT1 2017 14 / 1 Grafisk framställning av frekvensfunktionen Frekvensfunktionen kan skrivas som i arg G(iω) G(iω) = G(iω) e Bodediagram består av: ˆ Amplitudkurva G(iω) ˆ Faskurva arg G(iω) G(s) = 1 s + 1
TSIU61 Föreläsning 5 Gustaf Hendeby HT1 2017 15 / 1 Frekvenssvar
TSIU61 Föreläsning 5 Gustaf Hendeby HT1 2017 16 / 1 Frekvenssvar Bilens förstärkning från rattutslag till lateral position
TSIU61 Föreläsning 5 Gustaf Hendeby HT1 2017 17 / 1 Hendrik W. Bode (1905 1982) Bodediagrammets upphovsman ˆ 1905 född i Wisconsin, USA ˆ 1926 Bell Labs ˆ Jobbade med t ex filter och utjämnare ˆ Sen mer med teoretiska aspekter (Math Research Department) relaterat till bl a långdistanstelefoni ˆ 1935 PhD Columbia Unversity, NYC ˆ 1938 belopps- och faskurva för stabilitet ˆ WWII: var med och utvecklade elektriska styrsystem för avfyrning. Senare också inom missilsystem.
TSIU61 Föreläsning 5 Gustaf Hendeby HT1 2017 18 / 1 Varför är bodediagram bra? 1. Seriekoppling av system är enkelt (addera kurvorna). 2. Potenser av s blir räta linjer.
TSIU61 Föreläsning 5 Gustaf Hendeby HT1 2017 19 / 1 Första ordningens system Bodediagram för G(s) = 1 s + p
TSIU61 Föreläsning 5 Gustaf Hendeby HT1 2017 19 / 1 Första ordningens system Bodediagram för G(s) = 1 s + p
TSIU61 Föreläsning 5 Gustaf Hendeby HT1 2017 19 / 1 Första ordningens system Bodediagram för G(s) = 1 s + p
TSIU61 Föreläsning 5 Gustaf Hendeby HT1 2017 19 / 1 Första ordningens system Bodediagram för G(s) = 1 s + p
TSIU61 Föreläsning 5 Gustaf Hendeby HT1 2017 19 / 1 Första ordningens system Bodediagram för G(s) = 1 s + p
TSIU61 Föreläsning 5 Gustaf Hendeby HT1 2017 19 / 1 Första ordningens system Bodediagram för G(s) = 1 s + p Lutningen ges i db-skalan av 20 db per 10 rad/s, eller 20 db per dekad. Dekad = 10-potens
TSIU61 Föreläsning 5 Gustaf Hendeby HT1 2017 19 / 1 Första ordningens system Bodediagram för G(s) = 1 s + p G(iω) : Amplitudkurva (belopskurva) log-log-skala (ofta i db) arg G(iω): Faskurva (argumentkurva) lin-log-skala
TSIU61 Föreläsning 5 Gustaf Hendeby HT1 2017 20 / 1 Andra ordningens system Bodediagram för 1 G(s) = s 2 + 2ζs + 1 Den asymptotiska approximationen är dålig nära resonanstoppen.
TSIU61 Föreläsning 5 Gustaf Hendeby HT1 2017 21 / 1 Ytterligare ett exempel G(s) = 1 (s + 1)(s + 10) Statisk förstärkning: G(0) = 1 10 (= 20 db) Asymptotiska bodediagram ger en oftast bra approximation av den exakta kurvan, undantag är frekvensområden där flera närliggande brytpunkter bryter åt samma håll och nära en resonanstopp.
TSIU61 Föreläsning 5 Gustaf Hendeby HT1 2017 22 / 1 Bodediagram för allmänna system Allmän rationell överföringsfunktion: G(s) = K(1 + s z 1 )(1 + s z 2 )... (1 + s z m ) s p (1 + s p 1 )(1 + s p 2 )... (1 + s p n ) Amplitudkurva: log G(iω) = log K p log ω + log 1 + iω z 1 + + log 1 + iω z m log 1 + iω p 1 log 1 + iω p n Faskurva: arg G(iω) = p90 + arctan ω z 1 + + arctan ω z m arctan ω p 1 arctan ω p n Tumregel ˆ Brytpunk i täljaren = Asymp. Ampl. kurvans lutning ökar med 1. ˆ Brytpunk i nämnaren = Asymp. Ampl. kurvans lutning minskar med 1.
TSIU61 Föreläsning 5 Gustaf Hendeby HT1 2017 23 / 1 Bodediagram för ögondynamik Experiment Genom att utföra en rad sinus in, sinus ut experiment kan vi skissa upp ett bodediagram för ögondynamiken. Vi har experimentellt tagit reda på systemets dynamik genom att göra mätningar på systemet.
Sammanfattning
TSIU61 Föreläsning 5 Gustaf Hendeby HT1 2017 25 / 1 Några begrepp som får summera föreläsning 5 Bodediagram: Figurer som var för sig visar amplitudkurvan och faskurvan som funktion av ω ˆ G(iω) Amplitudkurva (beloppskurva), log-log-skala ˆ arg G(iω) Faskurva (argumentkurva), lin-log-skala Brytpunkt: Den frekvens där 2 asymptoter skär varandra i ett bodediagram
Gustaf Hendeby gustaf.hendeby@liu.se www.liu.se