Taluppfattning åtgärda. Sammanfattning Västerås 3 och 4 februari 2009 Skriver först en liten sammanfattande inledning, tar upp de områden vi samtalade om och mycket av det vi tog upp hittar ni i Förstå och använda tal en handbok och i BeMapärmen. Ordningen på innehållet var lite olika de två eftermiddagarna. Kanske tycker en del att allt inte stämmer. Helt rätt, det kommer alltid upp lite olika saker. Mycket finns med här men naturligtvis inte detaljer. Jag hoppas att sammanfattningen ska komma till nytta. Att få chans att lyckas i matematik De flesta elever älskar matte under sitt första skolår. Allas vår önskan är att eleverna ska få en fortsatt intressant och givande resa in i matematikens spännande värld och att de ska kunna känna sig trygga med och intresserade av matematik och utveckla ett gott självförtroende. Tyvärr vet vi att somliga elever i stället upplever skolmatematiken svår och därmed tråkig. Vad är det som är svårt för dem? Var har de tappat fotfästet? Kan vår undervisning hjälpa dessa elever att lyckas då kan även vi känna att vi verkligen lyckats. Matematik och inte bara räkning Regeringens uppdrag är att fokus ska ligga på matematik. Det innebär att undervisningens fokus kommer att ligga på vägen fram till svaret och inte bara svaret. Att lyckas i matematik innebär bl a att kunna uttrycka sig muntligt, skriftligt och genom bilder, att kunna se, att kunna utnyttja samband och mönster, att kunna generalisera och därmed använda det man redan kan i nya sammanhang, att kunna tänka med mentala bilder och att kunna reflektera. Språket och arbete med konkret materiel blir då viktiga faktorer, varför aktiviteter som innebär kommunikation mellan lärare elever och elever elever får en framträdande roll. Allt detta innefattas av de förmågor som tas upp i målen. Progression kunskap som håller att bygga vidare på Det man lär sig i de tidiga åren är en förkunskap till det man lär sig sedan. Därför måste eleverna ha en begreppsförståelse som håller att bygga vidare på. Hur det ska användas senare avgör vilken kvalitet som krävs. Matematik är roligt när man förstår. Vi måste försöka hjälpa alla att få förstå. Elever ska inte rabbla tabellkunskaper utan först utveckla förståelse och ha en bra tankeform att sedan färdighetsträna och nöta in. Förståelse kan inte överföras. Var och en måste skapa förståelse själv av sina egna råvaror. Läraren hjälper till i processen. Konkret abstrakt - konkret Det kanske svåraste i matematik är att klara steget från det konkreta, där man kan se egenskaper, följa processer och flytta och sedan till att abstrakt hantera detta i tanken som mönster, strukturer. Språket är ett kraftfullt verktyg för att organisera tänkandet kring matematiska begrepp. Inre bilder hjälper oss att laborera i huvudet. Tänk på tärningsfemman där ni delade upp prickarna i olika femkamrater. Bra träning är att lyssna på sagor och ha inre bilder/mentala bilder i huvudet eller att t ex spela schack. Men vi får inte glömma att det är lika viktigt att kunna gå andra vägen, att översätta t ex 3 4 + 5 till konkret händelse. Risken är stor att en del elever bara kan hantera siffror och tal, men inte vet vad det står för.
TANKEN abstrakt SPRÅKET INRE BILDER OBS! Pilar i båda riktningarna! VERKLIGHETEN konkret Ett laborativt materiel ska hjälpa mig att utveckla en tankeform, som jag sedan kan använda utan materiel. Tyvärr är det många materiel som hjälper elever till rätta svar, men inte till en effektiv tankeform. Grundkunskaper för att lyckas med tal och räkning Vi utgick från några uppgifter och samtalade om vilka grunder eleverna behöver för att kunna beräkna och känna sig trygga med uppgifterna. Vi skrev upp följande områden: 1.Tal och talfakta 2.Talramsan, tallinjen 3.Tiobassystemet, positionssystemet 4Huvudräkning, skriftliga räknemetoder, räkneregler 5. Likhetstecknet. Bråk Efter samtalade vi gemensamt om de fem områdena ovan. Tyvärr kan jag inte skriva ut allt och en del klarar jag inte att forma på datorn. Alla grupper diskuterade någon/några av områdena ovan utifrån frågeställningar från Learning study : Vad innebär det att kunna? Vad är kritiskt för lärandet här? Kritiska aspekter Vad måste komma fram i undervisningen? Vad får vi inte ta för givet? Ulla Runesson Göteborg är en av projektledarna i Learning study. Läs mer om Learning study som betonar förståelse och att vi lärare blir medvetna om vilken kvalitet som behövs och vilka aspekter som måste komma fram i undervisningen. Genom att planera gemensamt kan vi dra nytta av allas erfarenhet och kunskap. Detta är ett bra sätt att gemensamt utveckla matematikundervisningen på skolan. Det eleverna har fått möta bestämmer vad de haft möjlighet att lära sig. (Learning study. Nämnaren artikelsök och ncm.gu.se matematikutvecklare (till vänster)) Till nationella provet i 3:an kan vi läsa motsvarande, nämligen att när vi har resultatet så ska vi först titta på undervisningen och reflektera över varför eleverna lyckats bra med vissa moment men kanske mindre bra med andra och hur vi skulle ändra undervisningen för att hjälpa eleverna till ännu bättre resultat. I andra hand tittar vi på organisationen. Kanske vi skulle behöva lite mer tid med en del elever eller kanske vi kan dela på annat sätt. I tredje hand tittar vi på eleven.
1. Tal, talfakta Det räcker inte att kunna räkna till åtta föremål och skriva en åtta utan talet 8 måste säga innebära så mycket mer för eleverna. Talen måste verkligen säga eleverna något och de måste kunna leka med dem på olika sätt. T ex talet 8: Relationer inom talet: Vilka två tärningar är åtta tillsammans? Hur många kottedjur kan du göra av 8 stickor? Hur många kottefåglar? Hur många par skor behövs för att det ska vara åtta skor? Relationer mellan tal: Jämför med talet 5. Åtta är fem och tre. Använd starka femtalet som gör att 8 + 8 kan ses som 5 och 3 + 5 och 3. Det är enkelt att addera femmorna och sedan treorna. Åtta är för många saker för att kunna se på en gång, men grupperar vi så blir det enklare, en god hjälp för många elever. Åtta är två mindre än tio. Bra när man ska räkna t ex 46 + 38. Då kan man addera 46 och 40 och sedan dra bort 2 som man la till för mycket. Relationer till vardagen Vi har två bilar. Det blir åtta hjul tillsammans. Min lillasyster och jag ha två kusiner. När deras familj är hos oss är vi åtta vid bordet. Genom att inte bara räkna utan att arbeta med tal innebär taluppfattningsövningar även nyheter för de elever som redan kan räkna en hel del och som verkligen behöver även dessa kunskaper. Jag visade förslag på ett fyrdelat blad för att rita och skriva om tal t ex 24. Rita talet på olika sätt med tiobasmateriel Dela upp talet på olika sätt. Rita och skriv Skriv talet på olika tallinjer Skriv uppgifter som ger talet som svar, använd alla räknesätt. Låt elever berätta för en kamrat hur de gjort., och ibland skriva på skrivfilm och visa på OH:n och berätta för klassen. Visa konkret ibland på OH:n. Handboken s 144-145 Starka femtalet visade jag ett exempel på ifrån min mattebok i ettan nämligen bilden med 17 pennor som en tiobunt och sedan 5 pennor och 2 pennor en bit ifrån. Att konsekvent använda starka femtalet hjälper eleverna att utveckla inre mentala talbilder som de kan använda sig av. Talfakta, (talkamrater, tabellkunskaper) alla räknesätt. Vi samtalade om att eleverna måste inse att målet med sidor som 5 + 3 = och 5 2 = är att alla dessa kombinationer ska automatiseras. Talfakta kan eleverna leka in, med
förståelse, och utveckla inre bilder till hjälp. Först förstå hur de kan tänka sedan memorera. Symboler som + och kan införas senare. Tyvärr finns det många elever, och föräldrar, som tror att det viktiga är att skriva rätt svar till varje uppgift. Det handlar inte om att räkna fram svar utan att memorera kombinationerna så att man enkelt kan plocka fram dem. Arbetsminnet är begränsat och för att få det att räcka till för hela uppgiften måste man kunna plocka fram talfakta direkt. Men innan eleverna memorerar dessa måste talen betyda något för dem!!!! I multiplikation tog vi upp att kunna utnyttja kunskaper som de redan är säkra på t ex om de kan 3 x 8 = 24 så är 6 x 8= 48 och 7 x 8 = 48 + 8 Det innebär att eleverna behöver förstå de räknelagar som används där. Miniräknaren visades som hjälpmedel för att färdighetsträna. Den samt kortlek och tärningar blir aldrig för barnsligt högre upp. Jag gav exempel på att i åk 3 eller 4 kan det vara bättre att på miniräknaren träna tal som blir 99 eller 999 i st f enbart 9. De tränar 9-kamraterna, men det verkar inte barnsligt. Understanding how to make links is as important as memorizing the facts. Anghileri, Teaching Number Sense Vi måste hjälpa eleverna att få det att blixtra, att kunna koppla ihop sina olika kunskaper och erfarenheter i matematik samt att kunna utnyttja sina kunskaper i nya situationer. Jag visade en OH med 5 + 3= 8 i mitten och sedan flikar hur detta kan utnyttja t ex 50 + 30, 500 + 300, osv. 3 bollar + 2 bollar = 5 bollar 3 + 2 = 5 Generalisering 3 miljoner + 3 miljoner = 5 miljoner 300 + 200 = 500 Det är bra att kunna talkamraterna ända till 20, men vänta med dem till 2:an. De elever som har svårt att memorera klarar sig med 1 10 om de får träning på att gå över 10 t ex 8 + 7 som 8 + 2 + 5. 2. Talramsan, tallinjen Vi samtalade om att osäkra elever ofta inte har förstått talradens uppbyggnad, vilket kräver förståelse att tiobassystemets växlingar. Någon påminde om att ha tallinjen uppsatt i klassrummet och att vi borde arbeta mer den. Ett sätt att visa på uppbyggnaden och mönster är att skriva upp talraden på rutat papper ( t ex från blädderblock) och sedan kunna klippa remsor som 0 9, 10 19, 20 29 osv och sätta remsorna under varandra så att en hundraruta bildas. Gör upptäckter tillsammans där! Sedan kan remsorna tejpas ihop igen och vi har talraden. Låt gärna eleverna göra detta själva, flera gånger. Visa hopp i hundrarutan. Gör motsvarande hopp på tallinjen genom att ha en tillklippt färgad remsa som t ex är 10 cm och starta på olika tal och gör 10-hopp. Gör på motsvarande sätt med 2-hopp. Använd en klädlina och klädnypor med tal, eller med kort med tal om det ska synas på långt håll. Sätt upp 0 och 10 och låt eleverna placera ut 5, 1 osv. Ändra enkelt genom att flytta t ex klädnypan med 10. Vad händer om 10:an flyttas? Alla måste flytta. Vad händer om..0:an flyttas? 100 flyttas?... Det är lätt att förändra tallinjen. Låt elever göra ute i grupper.
3. Tiobassystemet, positionssystemet Alla elever måste få möjlighet att förstå varför vi har ett tiobasystem. De måste få göra tiogrupper och senare växla 10 tiogrupper till en hundragrupp. Börja gärna med historiska symboler för tiopotenserna. Jag visade det egyptiska symbolerna som är enkla för barnen att använda. Låt eleverna konstruera egna system. Arbeta med tiobasmateriel. Detta kan hjälpa många elever att börja förstå vad tal innebär!!! Låt eleverna rita och visa tal med tiobasmateriel. Det är ett stort steg till positionsystemet och att varje position anger vad en siffra är värd. Även här fungerar kulturhistoria bra. De hinduiska köpmännens räknande i fåror för ental, tiotal, hundratal osv blir konkret och ger bra inre bilder. Här kan + och också visas enkelt. OBS! Alla elever bör få uppleva att skriva tal utifrån fårorna och möta behovet av NOLLAN! Det arbeta ni lägger ned på dessa områden lovar jag att ni har igen flerfalt!!!! Utan förståelse här blir tal bara siffror för många elever och de kan aldrig känna trygghet med tal!!! Skilj på siffra och tal. Vi har tio siffror 0 9 och om vi har många av varje så kan vi med de tio siffrorna bilda oändligt många tal. 4. Huvudräkning, skriftliga räknemetoder, räkneregler När vi ska skruva isär något, tittar vi först hur skruven ser ut, plattskruv eller stjärnskruv, vilken dimension, och sedan hämtar vi en passande mejsel. Eleverna ska behärska olika räknevrktyg och sedan titta på talen i uppgiften och därefter välja verktyg! 43 + 45 = Här ska alla direkt se svaret. Ingen övergång. 43 + 39 = Här blir det övergång. Vad väljer jag nu?? 51 30 = Här ska alla direkt se svaret för alla talsorterna räcker till. 51 39 = Här räcker inte entalen i 51. Vad väljer jag då??? Här måste varje lärare bestämma vilka strategier olika elever ska lära sig. De elever som har jobbigt med matten ska inte möta alltför många olika utan kunna effektiva strategier som håller även om de finns enklare lösningar som flertalet elever kan använda. Jag visade på möjligheterna att tidigt låta barn leka med tal. Börja t ex med 3 elever i en grupp och 2 i en annan. Hur många är de tillsammans? Vad händer om en elev flyttar över till den andra gruppen? Fortfarande är de lika många. Gör på samma sätt med konkreta föremål, rita och skriv sedan på mattespråket 3 + 2 = 5 4 + 1 = 5 osv. Vad händer om det är 9 + 5? Tänk om det vore 10 i första gruppen. Då gör vi det och det blir 10 och 4. 9 + något konkret arbete med att flytta över en sak 9 + 5 10 + 4 9 + 8 10 + 7 Hur kan man tänka här? 19 + 5 19 + 15 39 + 25 29 + 5 29 + 15 69 + 25 49 + 5 49 + 15 49 + 35 Hur skulle du kunna tänka om det var 8 + något? 7 + något
Hur fungerar det vid övergångar? 9 + 1 99+1 999 + 1 9 + 2 99 + 2 999+ 2 9 + 3 99 + 3 999 + 3... Om man använder denna strategi vid addition så måste man visa vad som händer vid subtraktion. 7 5 10-8 20 18 22 20 differensen, skillnaden är hela tiden 2 om båda talen adderas eller subtraheras med samma tal som här 3, 10 och 2. Det är enklast om man fixar till så att den andra termen inte innehåller ental utan en nolla. OBS! Olika elever klarar olika strategier vid olika tidpunkter. Man måste förstå en strategi och kunna visa den konkret och förklara den för att träna in och använda den. Talsortsräkning addition har också hög lösningsfrekvens. Men Se upp med talsortsräkning subtraktion. Min rekommendation är att inte använda den. I subtraktion finns det mycket smartare strategier. Samtala om 21 2 och 21 19. Skriv olika typuppgifter på kort och låt elever parvis sortera utifrån strategier och diskutera. Då ligger fokus på processen/tankeformerna och inte bara på rätta svar. Vi ska inte förbjuda elever att räkna på fingrarna, men vi ska hjälpa dem till bättre tankeformer så att de ser att det är bättre än att räkna ett och ett på fingrarna, en tankeform som inte är utvecklingsbar i högre talområden. Att låta elever fortsätta att räkna ett och ett steg framåt på fingrarna är den största räknefällan!!! Bättre strategier kommer inte av sig självt. Ingen elev ska behöva räkna 34 + 23 på fingrarna i årskurs 2. Alla ska direkt kunna se att det är 57. Standardalgoritmerna. Varför har så många struntat i dem? Tanken i kursplanen var att ändra på ordningen och nu börja med taluppfattning och huvudräkning och sedan algoritmerna. Nu har huvudräkning ibland drivits till absurdum och en del svaga elever har inget räkneverktyg som de är trygga med. Vad är enklare att addera fem tal vågrätt eller lodrätt? Nog är det enklare med lodrätt och tänk när det kommer in tiondelar och ibland hundradelar. Om eleverna har goda kunskaper i taluppfattning som nämnts ovan så är det ENKELT att låta dem upptäcka standardalgoritmen i addition. När eleverna gör den med konkret materiel och med mattespråket så lägg minnestian där du vill att minnessiffran ska vara. Om eleverna kan tiobasväxlingarna så är detta lätt!!! Subtraktionsalgoritmen kan väl komma något senare och även där är det tiobasväxlingarna som är grunden och sedan konkret materiel. Vilket räkneverktyg passar: överslagsräkning, huvudräkning, algoritmer, miniräknare!! 5. Likhetstecknet, bråk
Problemet med = är att många elever uppfattar symbolen som att det är efter det man skriver svaret och det håller inte när man ska räkna med ekvationer och likheter. Luckuppgifter som 3 + 2 = + 1 och vågen för likheter är bra träning. Jag rekommenderade även att introducera = och samtidigt. T ex 3 + 2 4 + 4 och 3 + 2 4 + 1 Vilken symbol ska man välja i resp ruta. Då måste man ta ställning! Detta är variationspedagogik. Om man ska lära ett barn gul färg så kan inte bara visa gult. Man måste även visa saker som inte är gula. Bråk Vi samtalade om att börja dela helheter och bara stambråk, med en del. * Skilj på 1 fjärdedel där alla fyra delarna är lika stora och 1 del av fyra olika stora delar * Fjärdedelar av olika helheter kan vara olika stora. Helheten som delas avgör. * ¼ kan se olika ut. Dela en kvadrat i fjärdedelar på olika sätt. * Olika delar. Klipp, rita ½, 1/3, ¼, 1/5 osv * Jämför olika delar t ex ¼ av en stor tårta kan vara större än ½ av en liten tårta. * Del av helhet Del av antal. * ¾ av helhet och antal * 1. hur många delar blir det av tredjedelar, fjärdedelar osv. * Generalisera ½ > ¼ ¼ > 1/5 ¼ > 1/88 jämför 1/75 och 1/25