Isometrier och ortogonala matriser

Isometrier och ortogonala matriser (Delvis resultat som kunde kommit tidigare i kursen) För att slippa parenteser, betecknas linära avbildningar med A och bilden av x under en lin avbildn med Ax i stället för F (x), även i de fall då matrisräkning inte behövs och slutsatserna är giltiga även i oändligtdimensionella rum 9 Antag att en linär avbildning A bevarar skalärprodukten, dvs : för alla x, y : hax, Ayi hx, yi Hur är det med längden (normen) gäller det också för alla x : Ax x? Definition 9 En linär avbildning som bevarar längder, dvs som uppfyller Ax x för alla x kallas en isometrisk avbildning (en isometri) Ja, eftersom längden kan uttryckas (rentav definieras) utifrån skalärprodukten: Ax p hax, Axi p hx, xi x 0 Hur är det med omvändningen till föreg fråga är det sant att för alla x gäller Ax x? för alla x och y gäller hax, Ayi hx, yi Ja, eftersom skalärprodukten faktiskt kan uttryckas med hälp av längden (normen): Om vi inskränker oss till vektorrum över R : För alla x och y är 4 hx, yi hx + y, x + yi hx y, x yi och ersätter man x och y med Ax resp Ay fås 4 hax, Ayi hax + Ay, Ax + Ayi hax Ay, Ax Ayi [pga lineariteten] ha (x + y), A (x + y)i ha (x y), A (x y)i Om nu A bevarar längder, så är högerleden lika: ha (x + y), A (x + y)i A (x + y) 2 x + y 2 hx + y, x + yi och motsvarande för x y Därmed måste vänsterleden vara lika: hax, Ayi hx, yi Inlämningsuppgift till 7/0 Räkningarnaifråga0stämmerintelängre, om vi arbetar med komplexa tal Vadärdetsomintestämmer? (Vilken/vilka av räknereglerna för skalärprodukt på sid 7 modifieras, när man blandar in komplexa tal? Se Biguns komp sid7-) Slutsatsen att skalärpodukten kan uttryckas med normen är dock riktig och räkningarna kan modifieras så de visar detta Hur? ips: Förutom hx ± y, x ± yi, betrakta även hx±iy, x±iyi 9

2 Antag nu att A är matrisen relativt en ON-bas för en isometri Hur yttrar det sig på matrisen det kan rimligen inte vara vilka matriser som helst som beskriver sådana avbildningar Vi är ute efter en karaktärisering i stil med A matrisen relativt en ON-bas för en isometri m? A är diagonal / triangulär / ortogonal / symmetrisk / skevsym / Lösning: IochmedattA är en isometri, så bevarar A skalärprodukten hax, Ayi hx, yi för alla x och y Orden relativt en ON-bas är till för att säga att skalärprodukten beräknas på vanligt sätt ur koordinaterna (se anm i högerspalten) hx, yi nx x k y k k Skalärproduktsumman kan uttryckas med matrismultiplikation : 3 Vi har diskuerat proektions- speglings- och rotationsmatriser vilkaavdessamåstevaraortogonala? Speglings- och rotationsmatriser, eftersom speglingar och rotationer är isometrier Vid (ortogonal) proektion, däremot, minskar längden i allmänhet 4 Inlämningsuppgift till den 7/0 Som2,mennufrågarvioss: Vilken typ av matriser svara mot avbildningar med egenskapen för alla x och y hax, yi hx, Ayi (a) om vi räkna med reella tal enbart? (b) om även komplexa tal är tillåtna och hx, yi nx x k y k k hax, Ayi hx, yi m (Ax) Ay x y m x A Ay x y Detta skulle gälla för alla x och y Det är klart att likheten är sann när A A I, dvs då A är en ortogonal matris vare ortogonal matris beskriver en isometri, om basen är ON Men kan det inte hända att likheten gäller för alla x och y, även för andra A A? Ne: ag x e, y e k,däre och e k är kolonnmatriser med :a på plats resp k och 0:or annars, så fås e A rad i A µ kolonn k Ae k i A e A Ae k kolonn i A µ kolonn k i A ½, om k 0, annars dvs A A I dvs A måste vara en ortogonal matris Anm om skalärprodukt Obs att, när vi skriver skalärprodukten definieras genom hx, yi P n k x ky k, såavservifall,däringen skalärprodukt ännu är definierad! Om en skalärprodukt redan är definierad på något sätt och vi sedan övergår till ett icke ON-bas, så blir sambandet mellan skalärprodukt och koordinater en annan: ex i två dimensioner med bas {e, e 2 }, så är hx e + x 2 e 2,y e + y 2 e 2 i x y he, e i + x 2 y 2 he 2, e 2 i +x 2 y he 2, e i + x y 2 he, e 2 i och om nu he, e 2 i he 2, e i60tex så har vi även en term med x y 2 + x 2 y 0

Gram-Schmidts ortogonaliseringsmetod Vi ska här övertyga oss om att I vare ändligtdimensionellt skalärproduktrum kan man konstruera en ON-bas Det räcker att vi har en godtycklig uppsättning vektorer {v, v 2,, v m } som spänner upp vektorrummet, så kan vi modifiera den till en ortogonal bas (när vi väl har sinsemellan ortogonala vektorer, så är det bara att dividera dem med var sin längd, så har vi en ortonormerad bas!) {e, e 2,, e n } på fölande sätt Böra med att sätta e v Nu tänker vi oss v 2 uppdelad i vinkelräta komposanter, den ena parallell med, den andra vinkelrät mot e Genom att dra ifrån parallellkomposanten e 2 v 2 hv 2, e i he, e i e fås en vektor som är ortogonal mot e Observera också att e och e 2 spänner upp exakt samma underrum som v och v 2 : Vare linärkombination av v och v 2 kan skrivas som en linärkombination av e och e 2, samt omvänt: vare linärkombination av e och e 2 kan skrivas som en linärkombination av v och v 2 Således spänner {e, e 2 } samma underrum som {v, v 2 } Skulle någon e, e 2, bli 0, så hoppar vi över den i fortsättningen! Det skulle betyda att någon v k är en linärkombination av föregående v, v 2,, v k och därmed överflödig de givna{v, v 2,, v m } var linärt beroende och vår bas kommer att innehålla färre element, n<m Fortsätt på samma sätt: e 3 v 3 hv 3, e 2 i he 2, e 2 i e 2 hv 3, e i he, e i e 5 Bestäm, med Gram-Schmidts ortogonaliseringsmetod, en ON-bas för det underrum i R 4, som spänns upp av vektorerna v (,, 0, ) v 2 (3,,, ) v 3 (0, 3, 3, 3) 3 (,, 0, ) (2, 0,, 2) 3 (0,, 2, ) 6 6 Inlämningsuppgift till 7/0 Bestäm en ON-bas med avseende på skalärprodukten hf,gi Z f (x) g (x) dx för P 5 rummet av alla polynom av grad 5, genom att med Gram-Schmidts metod ortogonalisera földen,x,x 2,x 3,x 4,x 5ª e 4 v 4 hv 4, e 3 i he 3, e 3 i e 3 hv 4, e 2 i he 2, e 2 i e 2 hv 4, e i he, e i e Från vare v k drar vi bort alla komposanterna längs de sinsemellan ortogonala e,, e k som konstruerat hittills Det som återstår av vektorn är då vinkelrätt mot e,, e k, tex är e 4 ortogonal mot e 3 : he 4, e 3 i v 4 hv 4, e 3 i he 3, e 3 i e 3 hv 4, e 2 i he 2, e 2 i e 2 hv À 4, e i he, e i e, e 3 hv 4, e 3 i hv 4, e 3 i he 3, e 3 i he 3, e 3 i hv 4, e 2 i he 2, e 2 i he 2, e 3 i hv 4, e i he, e i he, e 3 i hv 4, e 3 i hv 4, e 3 i hv 4, e 2 i he 2, e 2 i 0 hv 4, e i he, e i 00 När v na tagit slut, har vi en ortogonal bas

Proektioner I 3 dim har vi två typer av ortogonala proektioner : proektion på en line : Om linen har normerad riktningsvektor n, så är avbildningen x 7 nn x avbildningsmatrisen nn () proektion på ett plan: Om planet har normerad normalvektor n, så är avbildningen x 7 x nn x avbildningsmatrisen I nn (2) Dessa har direkta motsvarigheter i R n då n>3 x 7 nn x : proektion på en line ett -dim underrum i R n, som består av alla multiplar av vektorn n x 7 x nn x : proektion på ett hyperplan ett (n )-dim underrum i R n som kan sägas bestå av alla vektorer ett fixt n Ex 7-9 illustrerar hur man i 4 (eller fler) dimensioner kan räkna precis på samma sätt som i 3 dim : 7 Låt n (, 3,, ) x (,,, ) Bestäm talet α så att x αn blir ortogonal mot n Vilket samband förväntar du dig skall råda mellan αn, x αn och x? Kontrollera! 8 Låt ` vara linen x x 2 x 3 t x 4 3, t R (a) Dela upp vektorn v (,,, ) ikomposanter v v k + v v k parallell med ` v ortogonal mot ` (b) Ange matrisen för ortogonal proektion på ` a) är precis det du gort i 7 : v k αn (, 3,, ) 2 v v v k (,,, ) 2 b) Den ortogonala proektionen av v är v k αn v n n n n v n tal n v n n tal n n n n v n n nn v Proektionsmatrisen är således n n nn α 2 αn 2 + x αn 2 x 2 Detaler: Om vi betecknar skalärprodukten på sedvanligt sätt med punkt: x αn n 0 (x αn) n x n αn n α x n n n 2

9 Visa att om ` är en line i R n genom origo, dvs en mängd av typen tn, t R, n fix vektor 6 0 och y är en godtycklig punkt, så är den ortogonala proektionen Py av y på ` den punkt på ` som ligger närmast y Bevis: Dela upp y ikomposanter parallellt med resp vinkelrätt mot n : y y k + y Parallellkomposanten svarar ust mot ortogonala proektionen av y på linen tn : Skriv nu y k Py y tn (Py tn)+y, obs att de två vektorerna i högerledet är ortogonala, alltså har vi enl Pythagoras sats y tn 2 Py tn 2 + y 2 0+ y 2 Likhet fås när tn Py Då har alltså vänsterledet minimum! 20 Vi kan emellertid tänka oss proektioner på underrum av andra dimensioner ex är {(x,x 2,x 3,x 4 ):x x 2 x 4 0} ett underrum i R 4 av dimension 2, eftersom (,, 0, 0) och (0, 0,, 0) är en bas Vare vektor kan delas upp i vinkelräta komposanter µ a + b (a, b, c, d) 2, a + b 2,c,0 µ a b + 2, a b 2, 0,d varav den ena (här den första) tillhör underrummet Proektionsmatrisen är /2 /2 0 0 /2 /2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Men hur räknar man fram sådant systematiskt? (Ovan har vi avsiktligt ett enkelt fall, där det går att testa sig fram) Antag att man på något sätt fått en ON-bas q, q 2,, q m för underrummet U R n Sätt P q q + q 2 q 2 + + q m q m Verifiera att P ger ortogonal proektion på U, iden meningen att för vare x R n Verifiera också att Px U x Px alla vektorer i U P 2 P P P ips: Kontrollera att man kan skriva P QQ, där Q q q 2 q m (Q har q :na som kolonner) 3

Lösning: Kortast blir det, om vi utnyttar ex P QQ Q Q I, (ortonormerad föld!) Q (x Px) Q x Q QQ x 0 visar att x Px är ortogonal mot alla rader i Q, dvs mot alla q J :na, och därmed ortogonal mot Px Men det går också att räkna på direkt med summan : Px X q q x är en linärkombination av q :na och alltså U q k (x Px) q k x X q k q q x q k x q k q k q k x 0 visar att x Px är ortogonal mot alla q na och därmed mot alla linärkombinationer därav, dvs mot alla vektorer i U Slutligen X q q X q q X,k q q q k q k 2 Generalisera 9 till godtyckliga underrum: Låt U mängden av alla linärkombinationer av några utvalda vektorer q, q 2,, q m R n (I övn 9 kan man säga att U mängden av alla linärkombinationer av en enda vektor, n) Det är ingen inskränkning att anta att q :na bildar en ortonormerad mängd annars kan vi, med Gram-Schmidts metod, byta ut dem mot en sådan, utan att ändra på U Enl 20 finns då en ortogonal proektion P på U Visa att, för vare y gäller att Py är den punkt i U, som ligger närmast y Lösning: Låt z vara en annan punkt i U än Py Vi vill visa att Betrakta uppdelningen y z > y Py y z (y Py)+(Py z) I och med att såväl Py som z är linärkombinationer av q :na, så gäller detsamma (Py z) och alltså (y Py) (Py z) Därmed är Pythagoras sats tillämplig: y z 2 y Py 2 + Py z 2 varav syns att y z 2 > y Py 2 X k q k q k X q q X q q X q q X q q 4

Minstakvadratmetoden Ettsättattangripaproblemet Givet ett antal samhörande värden på storheterna x och y, (x,y ), (x 2,y 2 ),, (x n,y n ), bestäm det polynom av grad d, där d n vars graf ansluter bäst till de n punkterna är att resonera med längd- och proektioner Ansätt ett polynom c 0 + c x + c 2 x 2 + + c d x d Vi önskar bestämma koefficienterna c så att x x 2 x d x 2 x 2 2 x d c 0 2 c c d x n x 2 n x d n eller kort Ac y y y 2 y n Problemet är att högerledet är en punkt i ett rum med hög dimension, n, medan vänsterledet är en linärkombination av endast d (< n) vektorer (kolonnerna i matrisen) och därför, oavsett hur vi väler c :na kan vi inte få annat än punkter i ett d-dimensionellt underrum Vi bestämmer oss för att med bäst mena en c som minimerar y Ac Låt Py proektionen av y på underrummet som kolonnerna i A spänner upp, alltså y Py alla kolonner i A vilket på matrisform kan skrivas A (y Py) 0 A Py A y och bestäm c så att Ac Py, dvs A Ac A y 5

22 Inlämningsuppgift till den 7/0 Bestäm det polynom p (x) av grad högst 3, som approximerar f (x) x 4 på intervallet [, ], bäst, i minstakvadratmening, dvs det p (x) som minimerar Z (f (x) p (x)) 2 dx genom att observera att integralen är ingenting annat än f p 2 hf p, f pi om vi som skalärprodukt tar hf,gi Z f (x) g (x) dx Vad säger 2? Dina resultat från 6 ger dig en ON-bas för P 3 Plotta f (x) och p (x) för att kontrollera rimligheten Flervariabelanalysen ger en annan metod att ta fram p (x) hur då? 6