TSIU61: Reglerteknik Föreläsning 11 Tidsdiskret implementering Gustaf Hendeby gustaf.hendeby@liu.se
TSIU61 Föreläsning 11 Gustaf Hendeby HT1 2017 1 / 17 Innehåll föreläsning 11 ˆ Sammanfattning av föreläsning 10 ˆ Lite mer om tillståndsåterkoppling ˆ Datorimplementerade regulatorer ˆ Sampling av insignaler ˆ Samplingsteoremet ˆ Tidsdiskret regleralgoritm
TSIU61 Föreläsning 11 Gustaf Hendeby HT1 2017 2 / 17 Sammanfattning från föreläsning 10 (1/5) Överföringsfunktion: y (n) (t) + a 1 y (n 1) (t) + + a n y(t) = bu (n 1) (t) + + b n u(t) Tillståndsbeskriving (styrbar kanonisk form): a 1 a 2... a n 1 1 0... 0 0 ẋ(t) = 0 1... 0 x(t) + 0 u(t)........ 0 0... 1 0 0 }{{}}{{} A B y(t) = ( ) b 1 b 2... b n x(t) }{{} C Där x(t) är tillståndsvektorn.
TSIU61 Föreläsning 11 Gustaf Hendeby HT1 2017 3 / 17 Sammanfattning från föreläsning 10 (2/5) Överföringsfunktion till tillståndsbeskrivning ˆ Diagonalform (om polerna är reella) ˆ Styrbar kanonisk form ˆ Observerbar kanonisk form Tillståndsbeskriving till överföringsfunktion G(s) = C(sI A) 1 B + D = C(sI A) B det(si A) + D Systemets poler ges av A-matrisens egenvärden, det(si A) = 0.
TSIU61 Föreläsning 11 Gustaf Hendeby HT1 2017 4 / 17 Sammanfattning från föreläsning 10 (3/5) Tillståndsåterkoppling Styrlag: u(t) = Lx(t) + r(t) = Lx(t) + l 0 t(t)
TSIU61 Föreläsning 11 Gustaf Hendeby HT1 2017 5 / 17 Sammanfattning från föreläsning 10 (4/5) Hur väljer man regulatorn L? Antag här att dim(a) = 2 och L = (l 1, l 2), och poler önskas i p 1 och p 2. 1. Det önskade karakteristiska polynomet blir (s p 1)(s p 2) = s 2 + ( p 1 p 2)s + p 1p 2 = 0 (1) 2. Återkopplingens (A BL) karakteristiska polynom ges av: det ( si (A BL) ) = 0 3. Skriv på formen: 4. Jämför (1) och (2), kvationssystemet blir: 5. Lös ut l 1 och l 2. s 2 + f 1(l 1, l 2)s + f 2(l 1, l 2) = 0 (2) f 1(l 1, l 2) = (p 1 + p 2) f 2(l 1, l 2) = p 1p 2 6. Välj l 0 för att få rätt statisk förstärkning.
TSIU61 Föreläsning 11 Gustaf Hendeby HT1 2017 6 / 17 Sammanfattning från föreläsning 10 (5/5) Var ska polerna placeras? Några faktorer som påverkar var polerna ska placeras: ˆ Snabbhet ˆ Svängighet ˆ Dominerande pol ˆ Styrsignalstorlek ˆ Känslighet för mätbrus (observatör)
Tidsdiskret implementation
TSIU61 Föreläsning 11 Gustaf Hendeby HT1 2017 8 / 17 Från första föreläsningen: Design av farthållare
TSIU61 Föreläsning 11 Gustaf Hendeby HT1 2017 9 / 17 Från första föreläsningen: Vad är en regulator? Regulatorn är en dator i bilen, som mäter hastighet och önskad fart, och skickar styrsignaler (önskat moment) till motorn.
TSIU61 Föreläsning 11 Gustaf Hendeby HT1 2017 10 / 17 Datorimplenterade regulatorer Idag används oftast datorer för reglering Samplad reglering:
TSIU61 Föreläsning 11 Gustaf Hendeby HT1 2017 11 / 17 Datorimplementerade regulatorer Inmatning: Avläsning vid samplingsögonblicken t = t k, k = 0, 1,... Utmatning: Styckvis konstant styrsignal: u(t) = u k, t k t < t k+1 Samplingsintervall: T = t k+1 t k
TSIU61 Föreläsning 11 Gustaf Hendeby HT1 2017 12 / 17 Sampling av signaler
TSIU61 Föreläsning 11 Gustaf Hendeby HT1 2017 12 / 17 Sampling av signaler
TSIU61 Föreläsning 11 Gustaf Hendeby HT1 2017 12 / 17 Sampling av signaler
TSIU61 Föreläsning 11 Gustaf Hendeby HT1 2017 13 / 17 Aliaseffekten ˆ Frekvenser som är snabbare än halva samplingsfrekvensen, ω s, kan inte skiljas från en långsammare frekvens som tillhör intervallet [0, ω s /2] ˆ Alias eftersom de uppträder under falskt namn ˆ Exempel (sampling sker i kameran) https://youtu.be/ukotzy3lqqo https://youtu.be/jqdjjrymewg
TSIU61 Föreläsning 11 Gustaf Hendeby HT1 2017 14 / 17 Samplingsteoremet Hur ska samplingsfrekvensen väljas för att inte någon information ska gå förlorad vid sampling? Theorem (Samplingsteoremet) En signal som inte innehåller några signalkomponenter över frekvensen ω 0 kan exakt rekonstrueras från samplade värden om samplingsfrekvensen ω s uppfyller olikheten ω 0 1 2 ω s. Frekvensen ω N = ω s /2 brukar kallas nyquistfrekvensen.
TSIU61 Föreläsning 11 Gustaf Hendeby HT1 2017 15 / 17 Samplade regulatorer ˆ I reglersystem brukar man använda tumregeln att samplingsfrekvensen ω s ska vara 20 gånger snabbare än den önskade bandbredden ω B, dvs 20 gånger den snabbaste frekvens som man vill att det slutna systemet ska kunna följa. ˆ Det kan dock finnas signalkomponenter (t ex mätbrus) som kan leda till aliaseffekter om man inte lågpassfiltrerar (med ett antialiasfilter) för samplingen.
Sammanfattning
TSIU61 Föreläsning 11 Gustaf Hendeby HT1 2017 17 / 17 Några begrepp som får summera föreläsning 11 Samplingsintervall: Tidsintervallet mellan samplingsögonblicken: T = t k+1 t k Aliaseffekten: Frekvenser som är snabbare än halva samplingsfrekvensen (nyquistfrekvensen, ω N ) kan uppfattas som en långsammare frekvens. Samplingsteoremet: En signal som inte innehåller några frekvensbidrag över ω 0 kan exakt rekonstrueras från samplade värden om ω N ω 0. Euler bakåt Enkel approximation av derivata. Tustins approximationsformel: Bättre approximation av derivata.
Gustaf Hendeby gustaf.hendeby@liu.se www.liu.se